湖北省十堰市名校联盟2025-2026学年九年级上学期1月月考数学试题

2025-2026学年上学期九年级阶段性测试（三） 一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分） 1．2024年6月25日14时07分，嫦娥六号返回器成功着陆，实现世界首次月球背面采样返回，这是我国建设航天强国、科技强国取得的又一标志性成果．下列是与中国航天事业相关的图标，其中可以看作是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．一元二次方程3x2+1＝﹣6x化成一般形式后二次项系数为3，则一次项系数和常数项分别是（　　） A．﹣6，1 B．6，1 C．﹣6x，1 D．6x，1 3．从数学的观点看，对以下成语或诗句中的事件判断正确的是（　　） A．诗句“清明时节雨纷纷”是必然事件 B．诗句“离离原上草，一岁一枯荣”是不可能事件 C．成语“守株待兔”是随机事件 D．成语“水中捞月”是随机事件 4．将抛物线．y＝x2向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为（　　） A．y＝（x+4）2﹣1 B．y＝（x﹣4）2﹣1 C．y＝（x+4）2+1 D．y＝（x﹣4）2+1 5．如图，在△ABC中，DE∥BC，，若BC＝9，则DE等于（　　） A．4.5 B．3 C．3.5 D．4 x … ﹣7.21 ﹣7.20 ﹣7.19 ﹣7.18 ﹣7.17 … y … ﹣0.04 ﹣0.03 0.01 0.02 0.03 … 6．已知抛物线y＝ax2+bx+c上的某些点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： 则该函数与x轴的其中一个交点的横坐标的范围是（　　） A．﹣7.21＜x＜﹣7.20 B．﹣7.20＜x＜﹣7.19 C．﹣7.19＜x＜﹣7.18 D．﹣7.18＜x＜﹣7.17 7．如图，钢琴调音时（将琴弦拧紧或放松，使其达到一定的音高），琴弦的振动频率f（Hz）是琴弦张力T（N）的反比例函数．已知当张力T＝200N时，频率f＝220Hz（即达到标准音高A3）．若要使频率升高到440Hz（即达到标准音高A4），应该如何调整张力？（　　） A．增大至150N B．减小至150N C．增大至100N D．减小至100N 8．电影《哪吒之魔童降世》上映以来，全国票房连创佳绩，据不完全统计，第一天的票房约4亿元，以后每天的票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入约达30亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（　　） A．4（1+x）2＝30 B．（1+x）2＝30 C．4+4x+4x2＝15 D．4+4（1+x）+4（1+x）2＝30 9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，且∠ADC＝110°，则∠BEC的度数为（　　） A．35° B．30° C．25° D．20° 10．如图，正方形ABCD中，AD＝4，点P为AB上一个动点，将△PBC沿CP折叠得到△PCE，点B的对称点为点E，作射线AE交CD于点F，若点E恰好为AF的中点，则BP的长为（　　） A． B． C．3 D． 第5题图 第7题图 第9题图 第10题图 2、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．请你构造一个函数，写出一个开口向下，对称轴是直线x＝1的抛物线的表达式：　 　 ． 12．二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小亮将二维码打印在面积为10cm×10cm的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积 为 　 cm2． 13．如图，把△ABC绕点A按顺时针方向旋转44°，得到△AB′C′，点B′落在边BC上，若BC∥AC′，则∠CAB′＝　 　 °． 14．设x1、x2是方程x2+mx﹣2＝0的两个根，且x1+x2＝2x1x2，则m＝　 　 ． 15．用总长为a米的铝合金材料做成如图1所示的“日”字形窗框（材料厚度忽略不计），窗户的透光面积y（米2）与窗框的宽x（米）之间的函数图象如图2所示，则a的值是 　 　 ． 第12题图 第13题图 第15题图 三、解答题（本大题共9小题，共75分） 16．（8分）解方程： （1）（x+1）2﹣4＝0； （2）x2﹣7x+6＝0． 17．（6分）如图，在△ABC和△DEC中，∠BCE＝∠ACD，∠B＝∠CED． 求证：△ABC∽△DEC； 18．（6分）甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，小明在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小明从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“文”的概率为 　 　 ． （2）小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率． 19．（7分）如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为 A（﹣1，2），B（﹣3，4），C（﹣2，6），在给出的平面直角坐标系中： （1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB1C1，并直接写出B1、C1的坐标； （2）计算点B旋转到点B1位置时，经过的路径长． 20．（7分）如图，已知一次函数y1＝ax+b与反比例函数的图象在第一，第三象限分别交于A（1，4），B（n，﹣1）两点，直线AB与y轴，x轴分别交于C，D两点． （1）求一次函数和反比例函数关系式； （2）比较大小：AD　 　 BC（填“＜”，“＝”或“＞”）； （3）当y1＞y2时，请直接写出x的取值范围． 21．（8分）如图，在△ABC中，以边BC为直径的⊙O交AC于D，若DE⊥AB于E，且DE与⊙O相切． （1）求证：DA＝DC． （2）若BC＝10，AC＝16，求DE的长． 22．（10分）材料一：某种旅游纪念品的进价为每件15元，销售单价不低于20元． 材料二：当销售单价定为20元时，每天可以销售100件，市场调查反映，销售单价每提高1元，日销量将会减少10件． 材料三：物价部门规定销售单价不能超过28元，且为正整数．商店按规定适当涨价销售． 任务一：建立函数模型 （1）设该纪念品的销售单价为x（单位：元），日销量为y（单位：件），日销售利润为W（单位：元），分别写出y与x，W与x的函数解析式，并写出x的取值范围； 任务二：设计销售方案 （2）若日销售利润为540元，销售单价应定为多少元？ （3）销售单价定为多少元时，销售该纪念品所获日销售利润最大？最大利润是多少？ 23．（11分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，正方形DEFG的顶点D在边BA上（不与A、B重合），顶点E在直线BC上（不与B，C重合），连接BG． （1）如图1，若点D为AB中点，且顶点E在BC的延长线上时，求证：； （2）如图2，若顶点D不是AB中点，且顶点E在边BC上时，确定线段BE、BG、BD之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，若AD＝2，BD＝4，正方形DEFG绕点D旋转，当CF＝8时，直接写出BF的长是 　 ． 24．（12分）已知抛物线的图像经过点，与x轴交于另一点B，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D． (1)直接写出a的值，并直接写出B，C两点坐标； (2)如图1，若点P为抛物线上异于点D的任意一点，轴，交对称轴于点Q，求的值； (3)如图2，若点P是抛物线上任意一点，且点P的横坐标为m. ①当，求面积的最大值； ②过点P作轴，交抛物线于另一点Q，轴交直线于点E，轴交直线于点F，当的值为14时，直接写出m的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期九年级阶段性测试（三） 参考答案及评分标准 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C D B B D D D B 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. y＝﹣x2+2x（答案不唯一）　 12. 60 13. 24　 14. 4 15. 6 三．解答题（共9小题，共75分） 16. 解：（1）（x+1）2﹣4＝0， 移项得：（x+1）2＝4， 直接开平方得：x+1＝±2， 解得：x1＝1，x2＝﹣3； （2）x2﹣7x+6＝0， 因式分解得：（x﹣6）（x﹣1）＝0， 解得：x1＝6，x2＝1． 17. 解：∵∠BCE＝∠ACD， ∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE，……………………………………………………2分 ∴∠ACB＝∠DCE， ∵∠B＝∠CED， ∴△ABC∽△DEC． ……………………………………………………6分 18. 解：（1）； ……………………………………………………2分 （2）画树状图如解图， 由树状图知，共有12种等可能的结果，两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的结果有2种，则两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率为．………………………6分 19. 解：（1）如图，△AB1C1为所作，B1（1，4），C1（3，3）； ………………………作图2分，坐标一个1分，共4分 （2）∵AB， ∴B点经过的路径长π． ………7分 20. 解：（1）由条件可得，解得m＝4， ∴反比例函数的解析式为；………1分 ∵B（n，﹣1）点在反比例函数的图象上， ∴﹣n＝4，解得n＝﹣4， ∴B（﹣4，﹣1）， ∵一次函数y1＝kx+b的图象经过A（1，4），B（﹣4，﹣1）两点， ∴，解得， ∴y1＝x+3； ………2分 （2）＝； ………4分 （3）由图象可知：y1＞y2时x的取值范围是x＞1或﹣4＜x＜0． ………7分 21. （1）证明：连接OD， ∵DE与⊙O相切， ∴OD⊥DE， ∵AB⊥DE， ∴OD∥AB， ∵BO＝CO， ∴AD＝CD； ……………………………………………3分 （2）解：连接BD， 由（1）知，AD＝CD， ∵AC＝16， ∴AD＝CD＝8， ∵BC为⊙O的直径， ∴∠BDC＝90°， ∴BD垂直平分线AD， ∴AB＝BC＝10， ∵∠ADB＝90°， ∴BD6， ……………………………………………5分 ∵DE⊥AB， ∴S△ADBAD•BDAB•DE， ∴DE． ……………………………………………8分 22. 解：（1）由题知，当销售单价为x时，日销量为y＝100﹣10（x﹣20）＝﹣10x+300． ∴日销售利润W＝（x﹣15）y＝（x﹣15）（﹣10x+300）＝﹣10x2+450x﹣4500． ∴y关于x的函数解析式为y＝﹣10x+300（20≤x≤28，且x为整数），W关于x的函数解析式为W＝﹣10x2+450x﹣4500（20≤x≤28，且x为整数）． ……………………3分（每个函数各1分，取值范围1分） （2）由题意，结合（1）W＝﹣10x2+450x﹣4500， ∴令w＝﹣10x2+450x﹣4500＝540， ∴x2﹣45x+504＝0． ∴x1＝21，x2＝24． 答：要使日销售利润为540元，销售单价应定为21元或24元．……………………6分 （3）由题意得，W＝﹣10x2+450x﹣4500＝﹣10（x﹣22.5）2+562.5， ……………8分（找到对称轴即可） ∵x为正整数， ∴当x＝22或23时，销售该纪念品所获日销售利润最大，最大利润是560元． 答：销售单价定为22元或23元时，销售该纪念品所获日销售利润最大，最大利润是560元． ……………………………10分 23.（1）证明：连接CD，如图1， ∵∠ACB＝90°，CB＝CA，正方形DEFG的顶D在边BA上， ∴∠CDB＝90°，∠EDG＝90°，CD＝BD， ∴∠EDC＝∠GDB， 在△ECD和△GDB中， ， ∴△ECD≌△GBD（SAS）， ∴BG＝EC， ∵Rt△ACB是等腰直角三角形， ∴Rt△CDB是等腰直角三角形， ∴， ∴； ……………………3分 （2）解： ……………………4分 理由如下：点G作GH⊥AB，过点E作EQ⊥AB， ∵四边形DEFG是正方形， ∴∠GDH+∠EDQ＝90°，ED＝DG ∵∠HDG+∠HGD＝90°， ∴∠EDQ＝∠HGD， 在△GDH和△DEQ中， ， ∴△GDH≌△EDQ（AAS）， ∴EQ＝DH，DQ＝HG， ∵∠ACB＝90°，CB＝CA， ∴∠CBA＝45°， ∴△EQB为等腰直角三角形，△GHB为等腰直角三角形，……………………6分 ∴，， ∴， ∴； ……………………………7分 （3）解：或3． ……………11分（答对一个得2分） 【解析】∵正方形DEFG的顶D在边BA上（不与A、B重合），顶点E任直线BC上（不与B、C重合），当CF＝8时， 如图3，过点D作DI⊥CB，FH⊥CB，连接BF， ∵∠IDE+∠DEI＝∠DEI+∠FEH＝90°， ∴∠FEH＝∠IDE， 在△DIE和△EFH中， ， ∴△DIE≌△EFH（AAS）， ∴IE＝FH， ∵BD＝4，AD＝2， ∴AB＝6， ∴，， 故BH+BE＝BE+IE， ∴IE＝BH＝FH， ∴△BHF是等腰直角三角形， 设：FH＝IE＝BH＝x， ∴， 在直角三角形CFH中，由勾股定理得：CH2+FH2＝CF2， ∴， 解得：（负值已舍去）， 在直角三角形BHF中，由勾股定理得：BH2+FH2＝BF2， ∴（负值已舍去）； 如图4，E在BC延长线上时， ∴CH＝x﹣（x﹣CI）﹣（x﹣EH）＝2x＝3x， 在直角三角形CFH中，由勾股定理得：CH2+FH2＝CF2， ∴（3x）2+x2＝82， 解得：x（负值已舍去）， 在直角三角形BHF中，由勾股定理得：BH2+FH2＝BF2， ∴BF3（负值已舍去）， 综上所述，BF的长是或3， 故答案为：或3． 24.（1）解：抛物线的图像经过点， ∴，解得； ……………………………1分 ∴， 当时，， ∴； ……………………………2分 当时，由得，， ∴； ……………………………3分 （2）解：由得抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ……………………………4分 设， ∵点P为抛物线上异于点D的任意一点，轴，交对称轴于点Q， ∴ ∴， ……………………………5分 ，……………………………6分 ∴； ……………………………7分 （3）解：①设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 由题意知，，则， 又∵，即点在点的上方， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； ……………………………10分 ②m值为或 ……………………………12分 当点P在Q右侧时，由题意，当点P在点B处时，点Q在点A处，此时P、E重合，，，F(-2，4) ∴ ∴点P在点B右侧，此时点P、Q都在直线下方，如图， 由题意，，，，，， ∴，PE=，QF=， ∴， 由得， 解得或（舍去）； 同理，当点P在Q左侧时，根据抛物线的对称性，，即， 综上，满足条件的m值为或． 学科网（北京）股份有限公司 $