2026年九年级数学中考总复习：与圆有关的位置关系

与圆有关的位置关系

一、核心知识点梳理

（一）点与圆的位置关系（中考基础考点）

判定依据：设⊙O 的半径为r，点 P 到圆心 O 的距离为d，则位置关系由d与r的大小关系决定：

点 P 在圆内：d<r（无公共点，点在圆内部区域）；

点 P 在圆上：d=r（唯一公共点，点在圆周上）；

点 P 在圆外：d>r（无公共点，点在圆外部区域）。

相关应用：

三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆，外接圆的圆心（外心）是三角形三边垂直平分线的交点，外心到三个顶点的距离相等（等于外接圆半径）；

锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形外心在斜边中点（斜边为直径），钝角三角形外心在三角形外部。

（二）直线与圆的位置关系（中考核心考点）

1、判定依据：设⊙O 的半径为r，圆心 O 到直线l的距离为d，位置关系分三种：

位置关系	公共点个数	d与r的关系	核心特征
相离	0 个	d>r	直线与圆无交点
相切	1 个	d=r	直线与圆有唯一公共点（切点）
相交	2 个	d<r	直线与圆有两个公共点（弦的两个端点）

2、切线的性质与判定（中考必考点）

切线的性质：

切线垂直于过切点的半径（核心性质，必考）；

经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；

经过切点且垂直于切线的直线必过圆心。

切线的判定（两种常用方法）：

定义法：直线与圆有唯一公共点，且d=r；

判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线（需同时满足 “过半径外端” 和 “垂直于半径”，缺一不可）

切线长定理（高频考点）

定义：从圆外一点引圆的两条切线，这两条切线的长度叫做切线长；

定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，且这一点与圆心的连线平分两条切

线的夹角（如：点 P 在⊙O 外，PA、PB 为切线，则 PA=PB，OP 平分∠APB）。

三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆，内切圆的圆心（内心）是三角形三个内角平分线的交点，内心到三边的距离相等（等于内切圆半径），内心一定在三角形内部。

（三）圆与圆的位置关系（中考基础考点，侧重基础应用）

判定依据：设两圆的圆心距为d，大圆半径为R，小圆半径为r（R≥r），位置关系分五种：

位置关系	公共点个数	d与R、r的关系	核心特征
外离	0 个	d>R+r	两圆无交点，相互独立
外切	1 个	d=R+r	有唯一公共点（外切点），圆心、切点共线
相交	2 个	R−r<d<R+r	有两个公共点，两圆部分重叠
内切	1 个	d=R−r	有唯一公共点（内切点），圆心、切点共线
内含	0 个	d<R−r	小圆在大圆内部，无交点（d=0时两圆同心）

 

二、易错点辨析（中考高频丢分点）

点与圆位置关系：忽略 “外心到顶点距离等于半径”，误将三角形高的交点当作外心；

切线判定错误：

遗漏判定定理的两个条件（如仅垂直于半径，未过半径外端，误判为切线）；

证明切线时，未先连接半径（缺少 “半径” 这个核心条件，逻辑不成立）；

切线性质应用错误：误将 “切线垂直于半径” 记为 “切线垂直于直径”，或忽略 “过切点” 的前提；

切线长定理误用：忽略 “从圆外同一点引切线” 的条件，误将不同点引的切线当作长度相等；

圆与圆位置关系：

混淆 “外切” 与 “内切” 的圆心距公式（外切d=R+r，内切d=R−r）；

忽略 “R≥r” 的前提，导致内含与外离的范围判断错误；

计算失误：在切线与勾股定理结合时，边长对应错误（如将切线长当作半径代入公式）。

三、同步练习

1．已知的半径为，圆心到直线l的距离为，则直线与的位置关系是（    ）

A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切

2．下列命题是真命题的是（　　）

A．等边三角形是中心对称图形

B．对角线相等的四边形是平行四边形

C．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等

D．圆的切线垂直于过切点的直径

3．如图，是的直径，是的切线，A为切点，与交于点D，连接．若，则的度数为（    ）

A． B． C． D．

4．如图，点为的内心，，，点，分别为边，上的动点，且始终保持．三名同学思考后分别有如下结论：①；②当时，的周长有最小值；③四边形的面积与长无关．则正确的结论是（    ）

A．①②③ B．①② C．①③ D．②③

5．如图，四边形内接于，对角线是的直径，是的切线．若，则的度数为（   ）

A． B． C． D．

6．如图，分别切于点切于点C，分别交于点M，