第1单元 完美的图形——圆（知识清单）数学青岛版（五四制）五年级下册

第1单元 完美的图形——圆 单元知识清单讲义 一、圆的认识 1.圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，这个定点叫做圆心，定长叫做半径 2.圆的各部分名称： 圆心（）：圆中心的点，确定圆的位置 半径（r）：连接圆心和圆上任意一点的线段，决定圆的大小，同一个圆有无数条半径，且长度都相等 直径（d）：通过圆心并且两端都在圆上的线段，同一个圆有无数条直径，且长度都相等 3.半径与直径的关系：在同一个圆里，直径的长度是半径的2倍，即d=2r或r=d÷2 二、圆的特征 1.圆是轴对称图形，有无数条对称轴，每条直径所在的直线都是它的对称轴 2.在同一个圆或等圆中，半径都相等，直径都相等 3.圆的大小由半径（或直径）决定，位置由圆心决定 三、圆的画法 1.用圆规画圆的步骤： 定圆心：确定圆的位置 定半径：确定圆的大小 旋转一周：画出完整的圆 2.用绳子画圆的方法：固定绳子一端为圆心，拉直绳子旋转一周 四、圆周率 1.圆周率（π）的定义：任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，叫做圆周率 2.圆周率的特点： 是一个无限不循环小数 π≈3.14（通常取近似值3.14进行计算） 祖冲之是世界上第一个把圆周率精确到小数点后第七位的人 五、圆的周长 1.周长定义：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长（C） 2.周长计算公式： C=πd（已知直径求周长） C=2πr（已知半径求周长） 3.半圆的周长=圆周长的一半+直径，即C=πr+2r或C=πd÷2+d 六、圆的面积 1.面积定义：圆所占平面的大小叫做圆的面积（S） 2.面积计算公式：S=πr² 3.圆环的面积计算：圆环面积=外圆面积-内圆面积，即S=πR²-πr²=π(R²-r²)（R为外圆半径，r为内圆半径） 七、圆的实际应用 1.车轮做成圆形的原因：滚动平稳，摩擦力小 2.计算圆形物体的周长和面积在生活中的应用： 计算花坛、操场跑道的周长 计算圆形桌面、圆形铁片的面积 计算圆柱形容器的底面周长和底面积 八、注意事项 1.计算时π的取值要根据题目要求，未说明时通常取3.14 2.区分圆的周长和面积的概念及单位： 周长单位：厘米、分米、米等长度单位 面积单位：平方厘米、平方分米、平方米等面积单位 3.在解决实际问题时，要明确是求周长还是面积 题型一：圆的概念及特点 【例1】圆的要素中，( )确定圆的大小，( )确定圆的位置。 【答案】 半径 圆心 【详解】如图： 圆的要素中，（半径）确定圆的大小，（圆心）确定圆的位置。 【练1】墨子在《墨经》中记载：“圆，一中同长也。”这里的“一中”指的是圆有一个( )，“同长”指的是圆的( )长度相等。 【答案】 圆心 半径 【分析】“圆，一中同长也”，即圆有一个圆心，圆心到圆上各点的距离是半径，同一个圆中的半径都相等；据此解答。 【详解】根据分析可知，墨子在《墨经》中记载：“圆，一中同长也。”这里的“一中”指的是圆有一个圆心，“同长”指的是圆的半径长度相等。 题型二：画圆 【例2】要在下边正方形内画一个最大的圆，怎样才能确定圆心和半径？写出你的想法，并画出这个圆。 【答案】图见详解 正方形对角线的交点是这个圆的圆心，圆心到圆上的距离是这个圆的半径。 【分析】正方形对角线具有互相平分且相等的性质，当画出正方形两条对角线时，它们的交点就是圆的圆心，圆的半径是圆心到圆上任意一点的距离，在正方形内画最大圆时，圆要与正方形的四条边都刚好接触，此时，圆心到正方形任意一条边的距离就是圆的半径，而这个距离恰好等于正方形边长的一半。画出这个圆即可。 【详解】用直尺连接正方形的两条对角线，找到它们的交点，标记为圆心O，从圆心O向正方形的任意一条边作垂线，这条垂线的长度就是半径r，以O为圆心，r为半径，用圆规画圆，这个圆就是正方形内最大的圆，简单来说：正方形对角线的交点是这个圆的圆心，圆心到圆上的距离是这个圆的半径。 如图： 【练2】用圆规画一个直径是4厘米的圆，并用字母，o、r、d标出它的圆心、半径和直径。 【答案】见详解 【分析】先确定圆心，用圆规的针脚固定在圆心，然后以圆规两脚之间的距离为4÷2＝2厘米旋转一周，并标出圆心、半径和直径即可。 【详解】4÷2＝2（厘米） 如图： 题型三：与圆相关的轴对称图形 【例3】用两个大小不同的圆组成图形，对称轴最多可以有（    ）条。 A．无数 B．2 C．1 【答案】A 【分析】由题意可知，要想对称轴的条数最多，那两个大小不同的圆组成同心圆的时候，对称轴最多，据此可解答。 【详解】由分析可知，两个大小不同的圆组成同心圆的时候，对称轴最多，有无数条。 故答案为：A 【点睛】本题考查圆的相关知识，因为一个圆的对称轴有无数条，所以注意同心圆的对称轴是多的。 【练3】长方形有( )条对称轴，等腰三角形有( )条对称轴，圆形有( )条对称轴。 【答案】 2 1 无数 【分析】一个图形沿一条直线对折，直线两旁的图形完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，折痕所在的直线就是对称轴。 【详解】长方形有4条对称轴，等腰三角形有1条对称轴，圆有无数条对称轴。 【点睛】此题考查轴对称图形对称轴的求法，注意等腰三角形与等边三角形的对称轴数量的区别，等边三角形是3条对称轴，等边三角形是1条对称轴。 题型四：圆的周长 【例4】如图，大圆半径是3厘米，三个小圆的直径之和等于大圆的直径，那么三个小圆的周长之和是( )厘米。 【答案】18.84 【分析】根据圆的周长＝π×直径；因为大圆内3个圆的直径和等于大圆的直径，所以这三个圆的周长和等于大圆的周长，据此解答。 【详解】3.14×3×2 ＝9.42×2 ＝18.84（厘米） 大圆半径是3厘米，三个小圆的直径之和等于大圆的直径，那么三个小圆的周长之和是18.84厘米。 【练4】一根铁丝刚好可以围成一个边长是6.28cm的正方形。如果用这根铁丝围成一个圆，那么它的直径是（    ）cm。 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据正方形的周长=边长×4，先求出铁丝的总长，然后根据可求出直径。 【详解】6.28×4=25.12（cm） 25.12÷3.14=8（cm） 故答案为：D 题型五：半圆的周长 【例5】半圆的周长等于圆周长的一半，半圆的面积等于圆面积的一半。( ) 【答案】× 【分析】周长是指封闭图形一周的长度。围成圆的平面的大小叫做圆的面积。据此判断。 【详解】半圆的周长等于圆周长的一半加上直径，半圆的面积等于圆面积的一半。 原题说法错误。 故答案为：× 【练5】把一个直径2cm的圆形纸片剪成两个半圆后，每个半圆形纸片的周长是（    ）cm。 A．6.28 B．3.14 C．5.14 D．31.4 【答案】C 【分析】一个圆剪成两个半圆，那么半圆的周长相当于圆周长的一半加上一个直径的长度，根据圆的周长公式：C＝πd，把数代入即可求解。 【详解】3.14×2÷2＋2 ＝3.14＋2 ＝5.14（cm） 每个半圆形纸片的周长是5.14cm。 故答案为：C 题型六：圆的周长的应用 【例6】一辆自行车轮胎的外半径是0.36米。如果每分钟转100周，通过一座1000米长的桥需要几分钟？（得数保留一位小数） 【答案】4.4分钟 【分析】先根据“圆的周长＝2πr（r为半径）”计算出轮胎的周长；再用轮胎的周长乘100计算出每分钟走过的长度；最后根据“时间＝路程÷速度”用1000除以每分钟走过的长度，结果用“四舍五入”法保留一位小数即可。 【详解】1000÷（2×3.14×0.36×100） ＝1000÷（6.28×0.36×100） ＝1000÷（2.2608×100） ＝1000÷226.08 ≈4.4（分钟） 答：通过一座1000米长的桥需要4.4分钟。 【练6】世界最大的“射电望远镜”建在我国贵州省（如图），它被誉为“中国天眼”。它就像一只巨大的碗，在碗口上走一圈大约需要走1570米，碗口半径大约是多少米？ 【答案】250米 【分析】碗口是圆形的，在碗口上走一圈大约需要1570米，即圆的周长是1570米，根据圆的周长＝2πr，计算得到半径。 【详解】1570÷3.14÷2 ＝500÷2 ＝250（米） 答：碗口半径大约是250米。 题型七：含圆的组合图形的周长 【例7】求阴影部分的周长。 【答案】14.28厘米 【分析】观察图形可知，两个完全一样的半圆可以组成一个圆，则阴影部分的周长＝直径为2厘米的圆的周长＋2条4厘米的线段之和，根据圆的周长公式C＝πd，代入数据计算求解。 【详解】3.14×2＋4×2 ＝6.28＋8 ＝14.28（厘米） 阴影部分的周长是14.28厘米。 【练7】求图中阴影部分的周长。 【答案】33.12dm 【分析】由图可知，阴影部分的周长由三部分组成：大圆的圆弧、小圆的圆弧、大圆的一条半径。 大圆半径相当于小圆直径，为4×2＝8dm，根据圆的周长公式C＝2πr求出圆的周长，再除以4即可求出大圆的弧长； 小圆半径为4dm，根据圆的周长公式C＝2πr求出圆的周长，再除以2即可求出小圆的弧长； 最后将三部分长度相加即可求出阴影部分的周长。 【详解】4×2＝8（dm） 2×3.14×8÷4 ＝6.28×8÷4 ＝50.24÷4 ＝12.56（dm） 2×3.14×4÷2 ＝6.28×4÷2 ＝25.12÷2 ＝12.56（dm） 12.56＋12.56＋8 ＝25.12＋8 ＝33.12（dm） 所以阴影部分的周长是33.12dm。 【点睛】本题需识别出阴影部分的周长由三部分组成：大圆的圆弧、小圆的圆弧、大圆的一条半径。根据圆的周长公式分别求出两个圆弧的长度，最后将三部分长度相加即可。 题型八：圆的面积 【例8】公园圆形花坛周长31.4米，现要扩建，半径增加1米。扩建后面积增加多少？ 【答案】34.54平方米 【分析】根据题意，先根据圆的周长公式C＝2πr求出原来花坛的半径，再分别依据圆的面积公式S＝πr2，算出扩建前后的面积，最后用扩建后的面积减去原来的面积，得到增加的面积，据此解答。 【详解】求原来花坛的半径：r＝C÷（2π） r＝31.4÷（2×3.14） ＝31.4÷6.28 ＝5（米） 求原来花坛的面积： 原来面积：S1＝3.14×52＝3.14×25＝78.5（平方米） 求扩建后花坛的半径和面积：半径增加1米后，新半径r2＝5＋1＝6（米） 扩建后面积：S2＝3.14×62＝3.14×36＝113.04（平方米） 求面积增加的值： 增加的面积＝ S2－S1＝113.04－78.5＝34.54（平方米） 答：扩建后面积增加34.54平方米。 【练8】大圆与小圆直径的比是2∶1，小圆的面积是3.14平方分米，大圆面积是（    ）。 A．6.28平方分米 B．12.56平方分米 C．1.57平方分米 【答案】B 【分析】根据圆的直径d＝2r以及积的变化规律可知，大圆与小圆的半径比等于它们的直径比2∶1；根据圆的面积公式S＝πr2以及积的变化规律可知，大圆与小圆的面积比等于它们半径的平方比4∶1，即大圆的面积是小圆面积的4倍，用小圆的面积乘4，求出大圆的面积。 【详解】大圆与小圆的半径比＝大圆与小圆的直径比＝2∶1 大圆与小圆的面积比＝大圆与小圆半径的平方比＝22∶12＝4∶1 3.14×4＝12.56（平方分米） 大圆面积是12.56平方分米。 故答案为：B 题型九：圆的面积的应用 【例9】一个钟表的分针长10厘米，如果走一圈，分针扫过的面积是多少平方厘米？ 【答案】314平方厘米 【分析】钟表的分针走一圈，形成了一个圆，分针的长度就是圆的半径，根据圆面积＝，据此计算可得出答案。 【详解】根据题意得：分针走一圈形成得图形是圆，半径为分针长度10厘米，则分针走过得面积为： （平方厘米） 答：分针扫过的面积是314平方厘米。 【练9】日本富士山是世界最著名的火山之一，底座直径约40千米。富士山的占地面积约是多少平方千米？ 【答案】1256平方米 【分析】求富士山的占地面积，就是求直径是40千米圆的面积，根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，即可解答。 【详解】3.14×（40÷2）2 ＝3.14×202 ＝3.14×400 ＝1256（平方米） 答：富士山的占地面积约是1256平方米。 题型十：圆环的面积 【例10】如图，是一个环形玉佩，这个玉佩的外直径是6厘米，内直径是2厘米，则这个环形玉佩的面积是( )平方厘米。 【答案】25.12 【分析】求环形玉佩的面积，就是求圆环的面积，根据圆环的面积＝π×（大圆半径2－小圆半径2），代入数据，即可解答。 【详解】3.14×[（6÷2）2－（2÷2）2] ＝3.14×[32－12] ＝3.14×[9－1] ＝3.14×8 ＝25.12（平方厘米） 这个环形玉佩的面积是25.12平方厘米。 【练10】小区里有一个圆形鱼池，鱼池的周围铺有一条宽3米的环形道路。已知鱼池的直径是18米，环形道路的面积是( )平方米。 【答案】197.82 【分析】先根据公式：r＝d÷2，求出内圆的半径，再用内圆的半径加上环宽3米，求出外圆的半径，最后根据公式：S环＝π（R2－r2），代入数据计算，即可求出环形道路的面积，据此解答。 【详解】18÷2＝9（米） 9＋3＝12（米） 3.14×（122－92） ＝3.14×（144－81） ＝3.14×63 ＝197.82（平方米） 即环形道路的面积是197.82平方米。 题型十一：求最大面积 【例11】有两张长4cm、宽2cm的长方形纸片，把其中一张剪成一个最大的圆，另一张剪成一个最大的半圆，两个图形相比较，（    ）。 A．圆的面积大 B．半圆的面积大 C．一样大 D．无法确定 【答案】B 【分析】长方形内剪最大的圆，圆的直径等于长方形的宽；长方形内剪最大的半圆，半圆的半径等于长方形的长的一半和宽的较小者，根据圆的面积＝πr2，分别求出圆的面积和半圆的面积，再进行比较，即可选择。 【详解】3.14×（2÷2）2 ＝3.14×12 ＝3.14×1 ＝3.14（cm2） 4÷2＝2（cm） 3.14×22÷2 ＝3.14×4÷2 ＝12.56÷2 ＝6.28（cm2） 因为3.14 cm2＜6.28 cm2，所以两个图形相比较，半圆的面积大。 故答案为：B 【练11】从一个长14分米、宽4分米的长方形木板上锯下面积最大的圆，这样的圆最多有( )个，将圆全部锯掉后，剩下木板的面积是( )平方分米。 【答案】 3 18.32 【分析】在长方形中锯最大的圆，这个圆的直径等于长方形的宽。用长方形的长除以圆的直径，即14÷4＝3（个）……2（分米），长方形的长能容纳3个圆的直径，因为宽只能容纳1个圆的直径，所以总个数就是长能容纳的数量3个。根据公式：长方形的面积＝长×宽、圆的面积S＝π（d÷2）2，求出长方形的面积和最大圆的面积；最后用长方形的面积减去3个最大圆的面积，即可求出剩下木板的面积。 【详解】14×4－3.14×（4÷2）2×3 ＝14×4－3.14×22×3 ＝14×4－3.14×4×3 ＝56－37.68 ＝18.32（平方分米） 即从一个长14分米、宽4分米的长方形木板上锯下面积最大的圆，这样的圆最多有3个，将圆全部锯掉后，剩下木板的面积是18.32平方分米。 题型十二：含圆的组合图形的面积 【例12】求下面图形阴影部分的面积。 【答案】75.36平方米；3.87 【分析】第一个图形根据圆环的面积＝，代入相关数据计算即可； 第二个图形：用长方形的面积减去半圆的面积，由图可知，长方形的长等于宽的2倍，即3×2＝6（cm），宽是3cm，根据长方形的面积＝长×宽、半圆的面积＝，据此代入数据计算即可。 【详解】3.14×（－） ＝3.14×（49－25） ＝3.14×24 ＝75.36（平方米） 3×2×3－3.14×÷2 ＝6×3－3.14×÷2 ＝18－3.14×9÷2 ＝18－14.13 ＝3.87（） 【练12】求阴影部分面积。（单位：厘米） 【答案】39.25平方厘米；13.76平方厘米 【分析】通过观察可知，第一个图形阴影部分的面积等于半径是5厘米的圆面积减去2个直径是5厘米的圆面积，根据圆面积公式：S＝πr2，代入数据分别求出三个圆的面积，进而求出阴影部分的面积；第二个图形阴影部分的面积等于一个边长是8厘米的正方形面积减去半径是8厘米的圆面积的，根据正方形的面积＝边长×边长，以及圆面积公式和分数乘法的意义，代入数据分别求出两部分的面积，进而求出阴影部分的面积。 【详解】3.14×52－3.14×（5÷2）2×2 ＝3.14×52－3.14×2.52×2 ＝3.14×25－3.14×6.25×2 ＝78.5－39.25 ＝39.25（平方厘米） 第一个图形阴影部分的面积是39.25平方厘米。 8×8－3.14×82× ＝8×8－3.14×64× ＝64－50.24 ＝13.76（平方厘米） 第二个图形阴影部分的面积是13.76平方厘米。 题型十三：方中圆和圆中方的面积问题 【例13】如图大正方形的面积是64m2，小正方形的面积是( )m2。 【答案】32 【分析】从图中可知，圆的直径等于大正方形的边长；已知大正方形的面积是64m2，根据正方形的面积＝边长×边长，可确定大正方形的边长是8m，即圆的直径是8m。 如下图，把圆内的小正方形用对角线平均分成2个三角形，三角形的底等于圆的直径，三角形的高等于圆的半径；根据三角形的面积＝底×高÷2，求出一个三角形的面积，再乘2，即是小正方形的面积。 【详解】因为64＝8×8，那么大正方形的边长是8m，则圆的直径是8m。 圆的半径：8÷2＝4（m） 小正方形的面积：8×4÷2×2＝32（m2） 小正方形的面积是32m2。 【练13】如图，正方形的边长是4cm，阴影部分的面积是( )cm2。 【答案】3.44 【分析】阴影部分的面积等于正方形的面积减去圆的面积，利用正方形面积公式：S＝a2，圆的面积公式：S＝πr2计算即可。 【详解】4×4－3.14×（4÷2）2 ＝16－3.14×22 ＝16－3.14×4 ＝16－12.56 ＝3.44（平方厘米） 阴影部分的面积是3.44cm2。 题型十四：用转化法求圆的组合图形的周长与面积 【例14】求下面图形阴影部分的周长和面积。 【答案】周长是31.4厘米；面积是39.25平方厘米 【分析】计算阴影部分周长时，将其看作一个大半圆的弧长加上两个小半圆的弧长（两个小半圆可拼成一个整圆）；计算面积时，将其看作一个大半圆的面积。 用到圆的周长公式（）和面积公式。 【详解】周长：3.14×5×2÷2 ＝3.14×5 ＝15.7（厘米） 3.14×5＝15.7（厘米） 15.7＋15.7＝31.4（厘米） 面积：3.14×÷2 ＝3.14×25÷2 ＝78.5÷2 ＝39.25（平方厘米） 所以图形阴影部分的周长为31.4厘米，面积为39.25平方厘米。 【练14】如图是由两个相同的半圆叠拼而成的。已知三角形ABC是一个等腰直角三角形。。图中涂色部分的面积是 。（取3.14） 【答案】35.75 【分析】连接BD，可以得出月牙形状的图形有4个，每2个一组，可以得出2个月牙的面积＝直径是10dm的半圆的面积－三角形ABC面积的一半。则阴影部分的面积＝三角形的面积－2个月牙的面积。其中半圆的面积＝，三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算即可。 【详解】×3.14×（10÷2）2－×10×10÷2 ＝×3.14×52－×100÷2 ＝×3.14×25－×50 ＝39.25－25 ＝14.25（dm2） 10×10÷2－14.25 ＝100÷2－14.25 ＝50－14.25 ＝35.75（dm2） 则图中涂色部分的面积是35.75dm2。 题型十五：弧、圆心角、扇形的认识 【例15】如图涂色部分是扇形。( ) 【答案】√ 【分析】扇形指的是一条圆弧和经过这条圆弧两端的两条半径所围成的图形。据此解答即可。 【详解】由分析可知： 涂色部分是扇形。 故答案为：√ 【点睛】本题考查扇形的定义，明确扇形的定义是解题的关键。 【练15】扇形是由两条( )和一段( )围成的。 【答案】 半径 弧 【详解】扇形是由两条半径和一段弧围成的。 题型十六：画扇形 【例16】画一个圆，再在圆中画一个圆心角为90°的扇形。 【答案】见详解 【分析】根据圆的画法，先确定圆心，用圆规有针的一脚固定在圆心，然后以圆规两脚之间的距离为半径进行旋转一周，得到的图形就是我们要画的圆；圆心用字母“O”表示；半径用字母“r”表示，再用量角器量出90°，即可画出一个圆心角是90°的扇形。 【详解】根据分析，画图如下： （圆的大小不唯一） 【练16】先画一个直径是4厘米的半圆，然后在这个半圆中画一个最大的圆，并画出这个组合图形的对称轴。 【答案】见详解 【分析】先画一条4厘米长的线段，以线段的中点为圆心在上面画一个半径2厘米的半圆；在这个半圆中画一个最大的圆，则圆的直径等于半圆的半径，所以圆的半径为2÷2＝1厘米，过半圆的圆心在4厘米长的线段上作一条垂线段，这条垂线段就是圆的直径，以垂线段的中点作为圆的圆心，1厘米为半径画圆即可；整个组合图形是一个左右对称的图形，所以过半圆与圆的切点和半圆的圆心画出对称轴即可。 【详解】根据题意作图如下： 题型十七：扇形的周长和面积 【例17】如图中的正方形部分是一个水池，其余部分是草坪，已知正方形的面积是300m2。草坪的面积是（    ）m2。 A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】看图可知，正方形的边长＝圆的半径，根据正方形面积＝边长×边长，可知这个正方形的面积＝半径的平方，草坪的面积是圆面积的，根据圆的面积＝圆周率×半径的平方，圆的面积×＝草坪的面积，列式计算即可。 【详解】π×300×＝225π（平方米） 草坪的面积是225π平方米。 故答案为：B 【练17】如图中，阴影部分的面积为( )cm2。 【答案】18.24 【分析】阴影面积＝半圆面积−小空白面积，半圆面积＝，小空白面积＝三角形面积−扇形面积。三角形面积＝底×高÷2，扇形的圆心角度是45度，是整个半径为8厘米的圆的面积的，圆的面积＝，据此代入数值计算即可。 【详解】8×8÷2＝32（cm2） （cm2） 8÷2＝4（cm） （cm2） －（32－） ＝－32＋ ＝16π－32 ＝16×3.14－32 ＝18.24（cm2） 所以阴影部分的面积是18.24cm2 。 1．一个圆的周长是15.7厘米，那么半圆的周长是（    ）厘米。 A．7.85 B．12.85 C．10.35 D．7.5 【答案】B 【分析】已知一个圆的周长是15.7厘米，根据圆的周长公式C＝πd，可知d＝C÷π，由此求出圆的直径；再根据半圆的周长＝圆周长的一半＋直径，代入数据计算，求出半圆的周长。 【详解】15.7÷3.14＝5（厘米） 15.7÷2＋5 ＝7.85＋5 ＝12.58（厘米） 半圆的周长是12.58厘米。 故答案为：B 2．一辆玩具车，后轮直径是前轮直径的3倍，后轮转动5圈，前轮转动（    ）圈。 A．15 B．10 C．5 D．3 【答案】A 【分析】后轮直径是前轮的3倍，那么周长也是前轮的3倍。后轮转5圈的总路程等于前轮转动的总路程，因此前轮转动的圈数是后轮的3倍，5圈乘3，即15圈。 【详解】5×3＝15（圈） 一辆玩具车，后轮直径是前轮直径的3倍，后轮转动5圈，前轮转动15圈。 故答案为：A 3．下面图形的涂色部分是扇形有（    ）。 A．①②④⑤ B．②④⑤ C．②④ D．①③ 【答案】B 【分析】一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。据此判断。 【详解】根据扇形的定义可知，涂色部分是扇形有②④⑤。 故答案为：B 4．在一张长9厘米，宽7厘米的长方形纸上画一个圆，圆规两脚间的距离不能超过（    ）厘米。 A．5 B．7 C．3.5 D．9 【答案】C 【分析】圆规两脚间的距离就是圆的半径；长方形内画最大的圆，圆的直径等于长方形的宽，直径÷2＝半径，据此求出长方形纸内画最大的圆的半径，也就是圆规两脚间的距离不能超过的距离，据此解答。 【详解】7÷2＝3.5（厘米） 在一张长9厘米，宽7厘米的长方形纸上画一个圆，圆规两脚间的距离不能超过3.5厘米。 故答案为：C 5．在长4米的圆柱形钢柱上，用一根长31.4分米的铁丝正好沿钢柱绕了10圈，这根钢柱的底面积是（    ）平方分米。 A．6.28 B．3.14 C．1.57 D．0.785 【答案】D 【分析】用一根长31.4分米的铁丝正好沿钢柱绕了10圈，则一圈是31.4÷10＝3.14分米，也就是底面周长；代入圆的周长公式：C＝2πr，求出底面半径；最后将数据代入圆的面积公式：S＝πr2计算即可。 【详解】31.4÷10＝3.14（分米） 3.14÷3.14÷2 ＝1÷2 ＝0.5（分米） 3.14×0.52 ＝3.14×0.25 ＝0.785（平方分米） 这根钢柱的底面积是0.785平方分米。 故答案为：D 6．在一个正方形里面剪一个最大的圆，圆的周长是31.4厘米，这个正方形的面积是( )平方厘米，剩下部分的面积是( )平方厘米。 【答案】 100 21.5 【分析】根据题意，在一个正方形里面剪一个最大的圆，那么正方形的边长等于圆的直径； 已知圆的周长是31.4厘米，根据圆的周长公式C＝πd可知，d＝C÷π，由此求出圆的直径，也是正方形的边长； 根据正方形的面积公式S＝a2，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算，分别求出正方形、圆的面积，再用正方形的面积减去圆的面积，即是剩下部分的面积。 【详解】圆的直径：31.4÷3.14＝10（厘米） 圆的面积： 3.14×（10÷2）2 ＝3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（平方厘米） 正方形的面积： 10×10＝100（平方厘米） 剩下部分的面积： 100－78.5＝21.5（平方厘米） 这个正方形的面积是（100）平方厘米，剩下部分的面积是（21.5）平方厘米。 7．有大小两个圆，大圆直径是小圆半径的4倍，大圆周长是小圆周长的( )倍，大圆面积是小圆面积的( )倍。 【答案】 2 4 【分析】假设出小圆的半径，根据“”表示出大圆的周长，根据“”表示出小圆的周长，再求出大圆周长除以小圆周长的商；根据“”表示出大圆和小圆的面积，最后求出大圆面积除以小圆面积的商，据此解答。 【详解】假设小圆的半径为，则大圆的直径为。 大圆的周长： 小圆的周长： ÷＝2 大圆的面积： ＝ ＝ ＝ 小圆的面积： ÷＝4 所以，大圆周长是小圆周长的2倍，大圆面积是小圆面积的4倍。 8．画一个周长为12.56cm的圆，圆规两脚之间的距离是( )cm，该圆的面积是( )。 【答案】 2 12.56 【分析】求圆规两脚之间的距离，就是求圆的半径；根据圆的周长＝π×半径×2，半径＝周长÷π÷2，代入数据，求出半径的长；再根据圆的面积＝π×半径2，代入数据，即可解答。 【详解】12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（cm） 3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（cm2） 画一个周长为12.56cm的圆，圆规两脚之间的距离是2cm，该圆的面积是12.56。 9．公园里有一块绿化带，如图，正方形区域是一个水池，其余部分是草坪，已知正方形水池的面积是80m2，草坪的面积是( )m2。 【答案】188.4 【分析】根据正方形的面积＝边长×边长，圆的面积公式：S＝πr2。由图可知，正方形边长×边长等于圆的半径的平方，即r2＝80m2，草坪部分的面积等于圆的面积的，据此列式解答即可。 【详解】3.14×80× ＝251.2× ＝188.4（m2） 草坪的面积是188.4m2。 10．某餐厅有两种圆桌，小型圆桌桌面直径是1.2米，是大型圆桌桌面直径的。大型圆桌与小型圆桌桌面周长的比是( )，大型圆桌桌面的面积是( )平方米。 【答案】 5︰3 3.14 【分析】将大型圆桌桌面直径看作单位“1”，小型圆桌桌面直径÷对应分率＝大型圆桌桌面直径，根据直径比＝周长比，圆的面积＝πr2，求出大型圆桌桌面的面积即可。 【详解】1.2÷＝2（米） 2米︰1.2米＝20︰12＝5︰3 3.14×（2÷2）2 ＝3.14×1 ＝3.14（平方米） 【点睛】关键是掌握圆的周长和面积公式，理解比的意义。 11．求阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】17.12平方厘米 【分析】观察可知，阴影部分的面积＝半圆面积－直角三角形面积，已知半圆的直径是8厘米，直角三角形的两条直角边都等于半圆的半径，根据半径＝直径÷2，圆的面积公式，，代入数据计算即可。 【详解】（厘米） （平方厘米） 阴影部分的面积是17.12平方厘米。 12．求阴影部分的面积。          【答案】14.25m2；27.87cm2 【分析】第一个：阴影部分是一个半圆的面积减去一个三角形的面积，三角形的底是10m，高是圆的半径，即10÷2＝5m，根据圆的面积公式：S＝πr2，三角形的面积公式：底×高÷2，把数代入即可求解； 第二个：阴影部分面积是一个梯形的面积减去一个直径是6cm的半圆的面积，根据梯形面积公式：（上底＋下底）×高÷2，把数代入即可求解。 【详解】第一个：10÷2＝5（m） 3.14×52÷2－10×5÷2 ＝3.14×25÷2－25 ＝39.25－25 ＝14.25（m2） 第二个：6÷2＝3（cm） （5＋9）×6÷2－3.14×32÷2 ＝14×6÷2－3.14×9÷2 ＝42－14.13 ＝27.87（cm2） 13．晓晓家买了一个半径是1米，高是0.75米的圆形餐桌。有三款不同款式的桌布，哪一款桌布能将桌面全部包裹住？（先画示意图并标明相关数据；然后进行比较说明。） 长 宽 桌布A 2米 1米 桌布B 2.2米 2.2米 桌布C 1.8米 1.4米 【答案】图见详解；桌布B 【分析】画示意图，先画一个半径是1米的圆，再画一个能正好包裹住桌面的桌布，并标上圆的直径。 把圆的直径与三种桌布的长、宽进行比较，桌布的长、宽都要大于或等于圆的直径，才能将桌面包裹住。 【详解】如图： 圆形餐桌的直径是：1×2＝2（米） 桌布A：2＝2，1＜2，所以不能将桌面全部包裹住； 桌布B：2.2＞2，所以能将桌面全部包裹住； 桌布C：1.8＜2，1.4＜2，所以不能将桌面全部包裹住。 答：桌布B能将桌面全部包裹住。 14．洋洋用手机点了外卖后，接到了商家的电话（内容如图）。这样调换他是否吃亏？请用画图、列式计算等说明理由。 小朋友你好：很抱歉直径30厘米的榴莲披萨已卖完，现在为你调换成两个直径15厘米的榴莲披萨（厚度相同），可以吗？ 【答案】吃亏；理由见详解 【分析】厚度相同的情况下，比较调换前后的面积。根据圆的面积＝圆周率×半径的平方，分别计算出直径30厘米的披萨面积，两个直径15厘米的披萨面积和，比较即可。 【详解】 3.14×（30÷2）2 ＝3.14×152 ＝3.14×225 ＝706.5（平方厘米） 3.14×（15÷2）2×2 ＝3.14×7.52×2 ＝3.14×56.25×2 ＝176.625×2 ＝353.25（平方厘米） 353.25＜706.5 所以他吃亏。 答：这样调换他吃亏。 15．学校修建一个直径为20米的圆形花坛，并在花坛的四周修一条2米宽的彩砖小路。修建的彩砖小路占地多少平方米？ 【答案】138.16 平方米 【分析】由题意可知：彩砖小路的占地面积是内圆半径是20÷2＝10米，外圆半径是10＋2米的圆环的面积，代入数据计算即可。 【详解】3.14×（20÷2＋2）2－3.14×（20÷2）2 ＝3.14×122－3.14×102 ＝3.14×（144－100） ＝3.14×44 ＝138.16 （平方米） 答：修建的彩砖小路占地138.16平方米。 【点睛】本题主要考查圆环面积的实际应用，明确内、外圆的半径是解题的关键。 16．一辆自行车车轮的外直径是0.8米，它每分钟转100周。照这样的速度，这辆自行车1小时所行的路程是多少千米？ 【答案】15.072千米 【分析】根据圆的周长公式C＝πd先求出圆的周长：3.14×0.8＝2.512（米）；再乘一小时转的圈数（60×100）解答即可。 【详解】自行车车轮的周长：3.14×0.8＝2.512（米） 1小时所行的路程：60×100×2.512＝15072（米） 15072米＝15.072（千米） 答：这辆自行车1小时所行的路程是15.072千米 【点睛】本题考查了圆的周长的实际应用，关键是熟练掌握圆的周长的公式。 17．电动车轮胎的外直径是100厘米，如果在行驶中这辆电动车的轮胎平均每分钟转120圈，那么这辆电动车10分钟能否通过3600米长的大桥？ 【答案】能 【分析】用100×3.14求出电动车轮胎转动一周走过的路程，再乘120圈即可求出1分钟行驶的路程，再乘10即可求出10分钟走过的总路程，再与3600米比较即可。 【详解】100×3.14×120×10 ＝314×120×10 ＝376800（厘米）； 376800厘米＝3768米； 3768＞3600； 答：这辆电动车10分钟能通过3600米长的大桥。 【点睛】求出电动车轮胎1分钟行驶的路程是解答本题的关键。 18．一个圆形养鱼池的周长是50.24米，中间有一个圆形小岛，半径6米。这个养鱼池水域的面积是多少平方米？ 【答案】87.92平方米 【分析】圆形养鱼池的周长÷π÷2求出半径，养鱼池的水域面积是一个环形，根据环形面积＝外圆面积－内圆面积，据此列式解答。 【详解】50.24÷3.14÷2 ＝16÷2 ＝8（米） 3.14×82－3.14×62 ＝3.14×（64－36） ＝3.14×28 ＝87.92（平方米） 答：这个养鱼池水域的面积是87.92平方米。 【点睛】此题主要考查环形面积公式在实际生活中的应用，关键是熟记公式。 19．一条小路长50.24米，小芳骑自行车经过，车轮的半径是20厘米，从小路的这端到另一端，车轮要转多少圈？ 【答案】40圈 【详解】20厘米=0.2米 50.24÷（3.14×2×0.2）=40（圈） 20．我们把大树树干的横截面近似地看作一个圆，一棵大树树干的周长约是157厘米，求大树树干横截面的半径是多少厘米？ 【答案】25厘米 【详解】157÷3.14÷2=25（厘米） 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1单元 完美的图形——圆 单元知识清单讲义 一、圆的认识 1.圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，这个定点叫做圆心，定长叫做半径 2.圆的各部分名称： 圆心（）：圆中心的点，确定圆的位置 半径（r）：连接圆心和圆上任意一点的线段，决定圆的大小，同一个圆有无数条半径，且长度都相等 直径（d）：通过圆心并且两端都在圆上的线段，同一个圆有无数条直径，且长度都相等 3.半径与直径的关系：在同一个圆里，直径的长度是半径的2倍，即d=2r或r=d÷2 二、圆的特征 1.圆是轴对称图形，有无数条对称轴，每条直径所在的直线都是它的对称轴 2.在同一个圆或等圆中，半径都相等，直径都相等 3.圆的大小由半径（或直径）决定，位置由圆心决定 三、圆的画法 1.用圆规画圆的步骤： 定圆心：确定圆的位置 定半径：确定圆的大小 旋转一周：画出完整的圆 2.用绳子画圆的方法：固定绳子一端为圆心，拉直绳子旋转一周 四、圆周率 1.圆周率（π）的定义：任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，叫做圆周率 2.圆周率的特点： 是一个无限不循环小数 π≈3.14（通常取近似值3.14进行计算） 祖冲之是世界上第一个把圆周率精确到小数点后第七位的人 五、圆的周长 1.周长定义：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长（C） 2.周长计算公式： C=πd（已知直径求周长） C=2πr（已知半径求周长） 3.半圆的周长=圆周长的一半+直径，即C=πr+2r或C=πd÷2+d 六、圆的面积 1.面积定义：圆所占平面的大小叫做圆的面积（S） 2.面积计算公式：S=πr² 3.圆环的面积计算：圆环面积=外圆面积-内圆面积，即S=πR²-πr²=π(R²-r²)（R为外圆半径，r为内圆半径） 七、圆的实际应用 1.车轮做成圆形的原因：滚动平稳，摩擦力小 2.计算圆形物体的周长和面积在生活中的应用： 计算花坛、操场跑道的周长 计算圆形桌面、圆形铁片的面积 计算圆柱形容器的底面周长和底面积 八、注意事项 1.计算时π的取值要根据题目要求，未说明时通常取3.14 2.区分圆的周长和面积的概念及单位： 周长单位：厘米、分米、米等长度单位 面积单位：平方厘米、平方分米、平方米等面积单位 3.在解决实际问题时，要明确是求周长还是面积 题型一：圆的概念及特点 【例1】圆的要素中，( )确定圆的大小，( )确定圆的位置。 【练1】墨子在《墨经》中记载：“圆，一中同长也。”这里的“一中”指的是圆有一个( )，“同长”指的是圆的( )长度相等。 题型二：画圆 【例2】要在下边正方形内画一个最大的圆，怎样才能确定圆心和半径？写出你的想法，并画出这个圆。 【练2】用圆规画一个直径是4厘米的圆，并用字母，o、r、d标出它的圆心、半径和直径。 题型三：与圆相关的轴对称图形 【例3】用两个大小不同的圆组成图形，对称轴最多可以有（    ）条。 A．无数 B．2 C．1 【练3】长方形有( )条对称轴，等腰三角形有( )条对称轴，圆形有( )条对称轴。 题型四：圆的周长 【例4】如图，大圆半径是3厘米，三个小圆的直径之和等于大圆的直径，那么三个小圆的周长之和是( )厘米。 【练4】一根铁丝刚好可以围成一个边长是6.28cm的正方形。如果用这根铁丝围成一个圆，那么它的直径是（    ）cm。 A．2 B．4 C．6 D．8 题型五：半圆的周长 【例5】半圆的周长等于圆周长的一半，半圆的面积等于圆面积的一半。( ) 【练5】把一个直径2cm的圆形纸片剪成两个半圆后，每个半圆形纸片的周长是（    ）cm。 A．6.28 B．3.14 C．5.14 D．31.4 题型六：圆的周长的应用 【例6】一辆自行车轮胎的外半径是0.36米。如果每分钟转100周，通过一座1000米长的桥需要几分钟？（得数保留一位小数） 【练6】世界最大的“射电望远镜”建在我国贵州省（如图），它被誉为“中国天眼”。它就像一只巨大的碗，在碗口上走一圈大约需要走1570米，碗口半径大约是多少米？ 题型七：含圆的组合图形的周长 【例7】求阴影部分的周长。 【练7】求图中阴影部分的周长。 题型八：圆的面积 【例8】公园圆形花坛周长31.4米，现要扩建，半径增加1米。扩建后面积增加多少？ 【练8】大圆与小圆直径的比是2∶1，小圆的面积是3.14平方分米，大圆面积是（    ）。 A．6.28平方分米 B．12.56平方分米 C．1.57平方分米 题型九：圆的面积的应用 【例9】一个钟表的分针长10厘米，如果走一圈，分针扫过的面积是多少平方厘米？ 【练9】日本富士山是世界最著名的火山之一，底座直径约40千米。富士山的占地面积约是多少平方千米？ 题型十：圆环的面积 【例10】如图，是一个环形玉佩，这个玉佩的外直径是6厘米，内直径是2厘米，则这个环形玉佩的面积是( )平方厘米。 【练10】小区里有一个圆形鱼池，鱼池的周围铺有一条宽3米的环形道路。已知鱼池的直径是18米，环形道路的面积是( )平方米。 题型十一：求最大面积 【例11】有两张长4cm、宽2cm的长方形纸片，把其中一张剪成一个最大的圆，另一张剪成一个最大的半圆，两个图形相比较，（    ）。 A．圆的面积大 B．半圆的面积大 C．一样大 D．无法确定 【练11】从一个长14分米、宽4分米的长方形木板上锯下面积最大的圆，这样的圆最多有( )个，将圆全部锯掉后，剩下木板的面积是( )平方分米。 题型十二：含圆的组合图形的面积 【例12】求下面图形阴影部分的面积。 【练12】求阴影部分面积。（单位：厘米） 题型十三：方中圆和圆中方的面积问题 【例13】如图大正方形的面积是64m2，小正方形的面积是( )m2。 【练13】如图，正方形的边长是4cm，阴影部分的面积是( )cm2。 题型十四：用转化法求圆的组合图形的周长与面积 【例14】求下面图形阴影部分的周长和面积。 【练14】如图是由两个相同的半圆叠拼而成的。已知三角形ABC是一个等腰直角三角形。。图中涂色部分的面积是 。（取3.14） 题型十五：弧、圆心角、扇形的认识 【例15】如图涂色部分是扇形。( ) 【练15】扇形是由两条( )和一段( )围成的。 题型十六：画扇形 【例16】画一个圆，再在圆中画一个圆心角为90°的扇形。 【练16】先画一个直径是4厘米的半圆，然后在这个半圆中画一个最大的圆，并画出这个组合图形的对称轴。 题型十七：扇形的周长和面积 【例17】如图中的正方形部分是一个水池，其余部分是草坪，已知正方形的面积是300m2。草坪的面积是（    ）m2。 A． B． C． D．无法确定 【练17】如图中，阴影部分的面积为( )cm2。 1．一个圆的周长是15.7厘米，那么半圆的周长是（    ）厘米。 A．7.85 B．12.85 C．10.35 D．7.5 2．一辆玩具车，后轮直径是前轮直径的3倍，后轮转动5圈，前轮转动（    ）圈。 A．15 B．10 C．5 D．3 3．下面图形的涂色部分是扇形有（    ）。 A．①②④⑤ B．②④⑤ C．②④ D．①③ 4．在一张长9厘米，宽7厘米的长方形纸上画一个圆，圆规两脚间的距离不能超过（    ）厘米。 A．5 B．7 C．3.5 D．9 5．在长4米的圆柱形钢柱上，用一根长31.4分米的铁丝正好沿钢柱绕了10圈，这根钢柱的底面积是（    ）平方分米。 A．6.28 B．3.14 C．1.57 D．0.785 6．在一个正方形里面剪一个最大的圆，圆的周长是31.4厘米，这个正方形的面积是( )平方厘米，剩下部分的面积是( )平方厘米。 7．有大小两个圆，大圆直径是小圆半径的4倍，大圆周长是小圆周长的( )倍，大圆面积是小圆面积的( )倍。 8．画一个周长为12.56cm的圆，圆规两脚之间的距离是( )cm，该圆的面积是( )。 9．公园里有一块绿化带，如图，正方形区域是一个水池，其余部分是草坪，已知正方形水池的面积是80m2，草坪的面积是( )m2。 10．某餐厅有两种圆桌，小型圆桌桌面直径是1.2米，是大型圆桌桌面直径的。大型圆桌与小型圆桌桌面周长的比是( )，大型圆桌桌面的面积是( )平方米。 11．求阴影部分的面积。（单位：厘米） 12．求阴影部分的面积。          13．晓晓家买了一个半径是1米，高是0.75米的圆形餐桌。有三款不同款式的桌布，哪一款桌布能将桌面全部包裹住？（先画示意图并标明相关数据；然后进行比较说明。） 长 宽 桌布A 2米 1米 桌布B 2.2米 2.2米 桌布C 1.8米 1.4米 14．洋洋用手机点了外卖后，接到了商家的电话（内容如图）。这样调换他是否吃亏？请用画图、列式计算等说明理由。 小朋友你好：很抱歉直径30厘米的榴莲披萨已卖完，现在为你调换成两个直径15厘米的榴莲披萨（厚度相同），可以吗？ 15．学校修建一个直径为20米的圆形花坛，并在花坛的四周修一条2米宽的彩砖小路。修建的彩砖小路占地多少平方米？ 16．一辆自行车车轮的外直径是0.8米，它每分钟转100周。照这样的速度，这辆自行车1小时所行的路程是多少千米？ 17．电动车轮胎的外直径是100厘米，如果在行驶中这辆电动车的轮胎平均每分钟转120圈，那么这辆电动车10分钟能否通过3600米长的大桥？ 18．一个圆形养鱼池的周长是50.24米，中间有一个圆形小岛，半径6米。这个养鱼池水域的面积是多少平方米？ 19．一条小路长50.24米，小芳骑自行车经过，车轮的半径是20厘米，从小路的这端到另一端，车轮要转多少圈？ 20．我们把大树树干的横截面近似地看作一个圆，一棵大树树干的周长约是157厘米，求大树树干横截面的半径是多少厘米？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $