辽宁省鞍山市2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试卷

2025—2026 学年度第一学期期末质量检测 九年级数学试卷 (本试卷共23道题 满分为120分 考试时间120分钟) 考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效 第一部分 选择题 (共30分) 一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的) 1.下图由两个半圆组成的图形，是中心对称图形的是( ) 2.下列一元二次方程，有两个相等实数根的是 ( ) 3.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻 R(单位：Ω)是反比例函数关系，如图所示，则电流I与电阻R的函数关系是( ) 4.如图，体育课上，小丽的铅球成绩是5.8米，小丽投掷的铅球落地点是( ) A. A 点 B. B点 C. C点 D. D 点 5.抛物线 的图象如图所示，则a，b，c的值分别满足 ( ) A. a<0, b<0, c<0 B. a>0、b>0, c>0 C. a<0, b>0, c<0 D. a<0, b>0, c>0 6.某公司在2025年末公示年度报告，第一、二季度利润保持平稳，均为40万元，从第三季度开始收益逐渐提升，到第四季度利润达 90 万元，如果设第三、第四两季度利润平均增长率为x，根据题意，可列方程为( ) B.40(1+2x)=90 D. 40(1+x)=90 7.二次函数 图象的性质，下列叙述正确的是 ( ) A.抛物线与x轴没有交点 B.抛物线有最低点 C. 当x>1时，y随x增大而减小 D.当x>1时，y随x增大而增大 8.如图，要测量残缺圆形工件的半径，在工件上任取两点A，B，连接AB，作AB 的垂直平分线CD 交AB于点 D,交AB于点 C,测出.AB=40cm,CD=10cm,则圆形工件的半径为( ) A.50cm B.35cm C. 25cm D. 20cm 9、如图，利用一面墙，用40米长的篱笆围成一块矩形场地，如果墙长为25米，那么围成矩形场地的最大面积是( ) 10.如图，△ABC的周长是40，以B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，BC边于点 M，N，分别以M，N为圆心大于 长为半径画弧，两弧交于点 D，作射线 BD；再以C为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，BC边于点P，Q，分别以P，Q为圆心，大于 PQ长为半径画弧，两弧交于点E，作射线CE交BD于点 G，过点 G作GF⊥BC于点F, 若BF=9, CF=5, 则AB, AC的长度分别是( ) A. 15, 11 B. 14, 12 C. 14, 11 D.13, 12 第二部分 非选择题(共90分) 二、填空题(本题共5小题，每小题3分，共15分) 11.二次函数 经过(-2, 3),(6, 3) 两点, 则一元二次方程 的两个根是 . 12.一个扇形的弧长是20πcm，面积是： ，则扇形的圆心角度数是 . 13.已知a，b是一元二次方程 的两个根，若以a，b为两条直角边作直角三角形，则斜边c的值是 . 14. 如图, ⊙O中, 则∠ODC的度数是 . 15.如图，平面直角坐标系中，点A 的坐标是 (5，5)，点B的坐标是 (3,0),连结AB,将线段AB绕点 B 逆时针旋转 点A 的对应点为C，连结AC并延长交x轴于点 D，则点 D 的坐标是 . 三、解答题(本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程) 16.(本小题满分10分)解方程： (2)x(2x-5)=4x-10. 17.(本小题满分8分)如图，平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别是点A(-6,6),点B(-4,2),点C(-2,2); (1) 将 绕点 O 顺时针旋转 得到 ，在坐标系中画出图形，并分别写出对应点 坐标； (2)以原点O为位似中心，在点O的异侧，画 使它 的相似比为 18.(本小题满分8分)如图，平面直角坐标系中，矩形OBAC的顶点O与原点重合，边OB，OC 在坐标轴上，且点 A 的坐标是(2，3)，反比例函数 经过AB边的中点D, 与AC边交于点E, 连结OE, EB; (1)求出函数 的解析式； (2) 证明:OE=EB. 19.(本小题满分8分)如图，四边形ABCD 是平行四边形，⊙O是 的外接圆，连结BO并延长交⊙O 于点E，连结CE并延长交AD边于点 F，已知AB=AC; (1) 求证: AD 是⊙O的切线: (2) 若AB=6,AD=4,求⊙O的半径. 20.(本小题满分8分)学习了相似的相关数学知识以后，老师布置了课后作业：查阅历史上相似学的典型应用.鞍鞍阅读了《周髀算经》，在这部中国最早的“测天量地”著作里，鞍鞍发现相似学大量用于测量，下面是鞍鞍关于“陈子模型”的学习笔记，请将表格补充完整，写出计算过程与结论： 测量目标 知道太阳的高低和大小 测量方法 使用圭表，利用影长测量人与太阳的距离：利用竹竿测量太阳直径. 测量一 图形 测量过程 已知：圭表高8尺，从太阳正下方无影之点直上到太阳的距离(BC)为80000里,圭表距太阳正下方的距离(AB)为60000 里.步骤：在观测点 A.当圭表(DE)上的影长(AE)为6尺时，计算观测人与太阳的距离.即AC 的长(点C为太阳中心点). 计算过程及结论： 图形 测量过程 测量二 已知：与上述测量同时同地，利用竹空(古代望远设备).竹空筒长 (H到 PQ 的距离)与竹空直径(PQ) 的长度之比为80:1. 步骤：观测人让太阳(MN)的边缘恰好充满竹管的圆孔时可计算太阳的直径. 计算过程及结论： 学科网（北京）股份有限公司 21. (本小题满分8分)如图1，某农业种植户维修蔬菜大棚，准备在已有大棚的另一侧增加一个与原有大棚形状相同的育苗矮棚，经测试，原大棚立柱(OB)高为3米，以OB所在的直线为y轴，以水平地面为x轴建议如图所示坐标系(如图2)，大棚靠近立柱一侧由三角形(△ABC)支架固定，另一侧由立柱(FG)固定，已知，AB=1m，BC=1m，FG=1m，OG=6m，棚顶主体结构符合某二次函数抛物线，且C是最高点： (1)请求出该抛物线解析式，并注明取值范围； (2)如图2，新修建的育苗棚在靠近立柱的一侧同样由三角形支架(△ADE)固定，且△ADE≌△ABC，外侧固定的立柱MN=1m，若棚顶是点 E为最高点且形状相同的抛物线，种植户在立柱OB的左侧平整出宽4m的土地是否够用？通过计算说明. 22. (本小题满分12分)如图， △ABC是等腰直角三角形，且∠BAC=90°， BC=2，点D是AB边上动点，连结CD，将△CAD绕点C顺时针旋转90°得△CEF， (1)如图1，延长EF交BA延长线于点G，连结CG，求证： CB=CG； (2)如图2，连结AF， BE， 若AF//BE，求AD的值； (3)如图3，若AF与CG交于点N， BE与CD交于点 M，连结AM，设AD=m，试求出四边形AMCN面积(用含m的式子表示). 22题图1 22题图2 22题图3 学科网（北京）股份有限公司 23.(本小题满分13 分)如图1，二次函数 与 y轴交于点A，二次函数 经过点A： (1)求函数y₂的解析式； (2) 直线.y=mn与函数. 有三个交点，求出m的取值范围； (3)如图2，将函数y₁向右平移8个单位得到函数y₃，且函数y₃与函数y₂交于B， C两点，直线.x=2m+1与y=m 交于点 M;y=m1 ①若直线.x=2m+1与y₂，y₃的交点的最大值与最小值均不随m 的变化而变化， 求m 的取值范围； ②若点M位于 B，C两点之间的封闭曲线内，求m的取值范围. 23题图1 23题图2 2025——2026 学年度第一学期期末质量检测 九年级数学参考答案及评分标准 一、选择题：（每题 3 分，共 30 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D B D A C C B A 二、填空题：（每题 3 分，共 15 分） 11. －2 ，6 12. 150 ° 13. 14. 15 ° 15. （- ，0） 三、解答题：（本题共 75 分） 16. 解方程：（每题5 分，共 10 分） 解： ∵a=1 ，b ∴ x x ··········································（5 分） (2) x(2x－5) －2(2x－5)=0 (2x－5)(x－2)=0 2x－5=0 或 x－2=0 x1= x2=2 ··················································· （5 分） 17.（本题 8 分） y A A1 B1 ( B C )C1 ( x ) ( O )B2 C2 A2 解：（1）如图△A1B1 C1 即为所求. ················································ （2 分） A1（6，6） B1（2，4） C1（2，2） ……… ……… （5 分） (2)如图△A2B2 C2 即为所求. ………………………………………………（8 分） 18.（本题 8 分） 解： ∵矩形 OCAB 的顶点A（2 ，3） ∴OB=2，AB=3 ∵点 D 是 AB 边中点 ∴D（2，） ·······································································（2 分）把 D（2，）代入y = 得： = 解得：k=3 ·············································································（3 分） ∴函数解析式为y = ····························································（4 分） (2)∵点 E 在AC 边上∴E 点纵坐标为 3 把y=3 代入y = 得：x=1 ∴E（1，3） ··········································································（5 分） ∴CE=1 ∵AC=2 ∴AE=AC－CE=1 ∴AE=CE ··············································································（6 分） ∵矩形 OCAB 中，OC=AB，∠OCA=∠CAB=90 ° ∴△OCE≌△BAE（SAS） ························································（7 分） ∴OE=EB ··············································································（8 分） 19.（本题 8 分） （1）证明：连接 AO 并延长交 BC 于点 P，连接 AE ∵AB=AC ∴AB (一) = AC (一) ∴∠ABC=∠AEB ·····················································（1 分） ∵BE 是⊙O 直径 ∴∠BAE=90° ( B · · )A ( P O )∴∠ABE+∠AEB=90° · ( F ) ( E )∵OB=OA · · ( C )∴∠OAB=∠ABE · · · D ∴∠ABC+∠OAB=90° ∴∠APB=90°··························································（2 分） ∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AD∥BC ∴∠PAD=∠APB=90°···············································（3 分） ∴PA⊥AD ∵PA过圆心 ∴AD 是⊙O 的切线 ··················································（4 分） （2） ∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴BC=AD=4 ∵AP⊥BC，AP 过圆心 ∴BP=BC=2 ·································································（5 分） ∴AP=√AB2 BP2 = √62 22 = 4√2 ································（6 分）设⊙O 的半径 r ，在 Rt△BOP 中 ∵BP2+OP2=BO2 ∴(4√2 r)2 + 4 = r2 解得 r= ····································································（7 分） ∴⊙O 的半径为 . ······················································（8 分） 20. （本题 8 分） 解：测量一结论：人与太阳的距离约为 10 万里. ························（1 分） 在 Rt△ABC 中，AC=√AB2 + BC2 = √82 + 62 = 10万里 ∴AC=10 万里 即：人与太阳中心的距离约为 10 万里. ···················（4 分）测量二结论：太阳的直径约为 1250 里. ·····························（5 分） 由测量一可知，人与太阳中心的距离为 10 万里 ∵PQ∥MN ∴△HPQ一△HMN ················································（6 分） ∴ = ∴MN=0.125 万里 即：太阳的直径约为 1250 里. ·······························（8 分） 21. （本题 8 分） 解：（1） ∵抛物线的顶点 C（1，3） ∴设抛物线解析式为 y= a(x 1)2 + 3 ····························（1 分）把 F（6，1）代入解析式得：a= ∴ y= 2 + 3 ············································（2 分）即该抛物线的解析式为 y= (x 1)2 + 3 (1≤x≤6) ·（3 分） (2) ∵△ADE≌△BAC ∴AE=BC=1，AD=AB=1 ∵OA=OBAB=31=2 ∴E（1 ，2） ···························································（4 分） ∵形状相同且 E 为顶点 ∴设新棚顶的抛物线解析式为 y= (x + 1)2 + 2 ·······（5 分） ∵MN=1 解得：x1 = 1 (舍 ） x2 = 1 则 M ···············································（6 分） ····························································（7 分） ∴种植户平整出宽 4 米的土地不够用. ·······················（8 分） 22. （本题 12 分） 解： （1）由旋转得：AC=CE， ∠E=∠BAC=90°,∠ACE=90° ∵∠CAG=180°-∠BAC=90° ∴∠CAG=∠ACE=∠E=90° ∴四边形 ACEG 是正方形 ··········································（1 分） ∴∠AGE=90° ∵在 Rt△ABC 中， ∠BAC=90°, AB=AC ∴∠ABC=∠ACB=45° ∴∠ABC=∠BGC ∴CB=CG ······························································（3 分） （2） ∵在 Rt△ABC 中， ∠BAC=90° ∴AB2 + AC2 = BC2 ∵AB=AC，BC=2 ∴AB=AC=√2 ·························································（4 分） ∵四边形 ACEG 是正方形 ∴AG=EG=AC=√2 ∴BG=AB+AG=2√2 ∵AF∥BE ∴△AFG一△BEG ∴ = = ··························································（6 分） ∴AD=EF ··························································（7 分） （3） 由 CB=CG ， ∠ABC=∠GCE， ∠BCD=∠GCF △BCD≌△GCF ∴FG=BD=m ∵四边形ACEG 是正方形 ∴AC∥EG ∴△ACN一△GFN ························································（8 分） ∵△ACN 与△ACG 是同高 （9 分） 同理∴△ACN一△GFN ·············································（10 分） SΔACM SΔACD ·······································（11 分） ∵SΔACG + SΔACD = SΔCDG = × (√2 + m) × √2 = (√2 + m) ∴S四边形AMCN （12 分） 23. （本题 13 分） 解：（1）令y1 中x=0，则 y1 = 1 ∴A（0 ，1） （1 分） 把 A（0 ，1）代入y2 = a(x 4)2 3得： 16a-3=1 解得a = ···································································（3 分） ∴y2 = (x 4)2 3 ····················································（4 分） = x2 2x + 1 ······················································（4 分） （2） ∵y1 = x2 2x + 1 = (x + 3)2 + 4 ∴抛物线y1 的顶点为（-3，4） ∵y2 = (x 4)2 3 ∴抛物线y2 的顶点为（4，-3） 当直线y = m经过两顶点时，与函数y1 ，y2有两个交点. 在此之间时，有三个交点. ∴m的取值范围是-3＜m＜4 ………………………………………（6 分） （3）①由平移得：y3 = (x + 3 8)2 + 4 = (x 5)2 + 4 ·····························（7 分） 由y2=y3 得 (x 5)2 + 4 = x2 2x + 1 解得 x1=8，x2= ∴点 C(8 ，1) ，B( ， ) 当y3 = 3时 2 + 4 = 3 解得：x 5 x（舍） ····················（8 分） 则当√21 + 5 ≤ 2m + 1 ≤ 8时，直线x = 2m + 1与y2 ，y3 的交点的最大值与最小值均不随m的变化而变化 ∴ m的取值范围是（9 分） ②∵M（2m+1 ，m） ∴点 M 在直线x = 2y + 1上 ···········································（10 分）由{y 解得：x （11 分）当{y 3 时 解得x ，不在 B ，C 两点之间，不合题意 ∴m的取值范围是（13 分） 学科网（北京）股份有限公司 $