精品解析：湖北省武汉市南湖中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试卷

九年级数学试卷 一、选填题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列正多边形中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的知识，要注意中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后重合．根据中心对称图形的概念结合选项的图形进行判断即可． 【详解】解：A．等边三角形不是中心对称图形，故本选项合题意； B．正方形是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．正六边形是中心对称图形，故本选项不合题意； D．正八边形是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选：A 2. 掷两个质地均匀的小正方体，小正方体的六个面上分别标有1到6的数字．下列事件是必然事件的是（ ） A. 向上两面的数字和为5 B. 向上两面的数字和大于1 C. 向上两面的数字和大于12 D. 向上两面的数字和为偶数 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了事件分类．熟练掌握必然事件，不可能事件，随机事件的概念是解题的关键．必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；不可能事件指在一定条件下一定不发生的事件． 分析各选项中两骰子点数和的可能情况，判断是否必然成立． 【详解】选项A：和为5的可能组合有（1,4）、（2,3）、（3,2）、（4,1），共4种，概率为，非必然事件． 选项B：两骰子最小点数为1，最小和为，因此和必定大于1，概率为1，是必然事件． 选项C：两骰子最大和为，无法超过12，概率为0，为不可能事件． 选项D：和为偶数的概率为，可能发生但不必然． 故选：B． 3. 已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 6 B. 4 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，直接应用即可求解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解此题的关键． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故选：C． 4. 已知的半径为，，为直线上一点，则直线与的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 相交或相切 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，垂线段最短，根据垂线段最短，圆心到直线的距离为，因此，直线与圆相交，熟练掌握直线与圆的位置关系是解此题的关键． 【详解】解：∵为直线上一点，， ∴圆心到直线的距离为（垂线段最短）， ∵ 的半径为， ∴ ， ∴直线与相交， 故选：A． 5. 如图，将绕点顺时针旋转得到，若、、三点共线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，由旋转的性质可得，，，再由等边对等角并结合三角形内角和定理即可得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由旋转的性质可得：，，， ∴， ∴， 故选：B． 6. 抛物线是由抛物线平移后得到的，下列平移方法正确的是（ ）． A. 向左平移1个单位，再向上平移4个单位 B. 向左平移1个单位，再向下平移4个单位 C. 向右平移1个单位，再向上平移4个单位 D. 向右平移1个单位，再向下平移4个单位 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图像的几何变换，熟练掌握函数图像平移的规则“左加右减，上加下减”，解答本题的关键在于将二次函数图像平移转化为顶点的平移即可求解，还要注意区分是哪个抛物线由哪个抛物线平移得到． 【详解】解：∵二次函数图像平移实质上是将二次函数的顶点进行平移后得到， ∴配成顶点式： ，顶点坐标为， 的顶点坐标为； 再根据平移的规则“左加右减，上加下减”； ∴将抛物线，向左平移1个单位，再向上平移4个单位即可得到抛物线． 故选：A． 7. 某商场开展购物抽奖促销活动，抽奖盒中装有三个小球，它们分别标有10元、20元、30元，一次性随机摸出两个小球，摸出的两球上金额的和不少于40元的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查概率计算，需先列出所有可能摸出两球的组合，再找出金额和不少于40元的组合数，最后计算概率，熟练掌握概率公式是解此题的关键． 【详解】解：∵抽奖盒中有三个小球，分别标有10元、20元、30元，一次性随机摸出两个小球，所有可能组合为：，和为30元；，和为40元；，和为50元； ∴总结果数为3，其中，和不少于40元的组合有和，共2种， ∴概率为， 故选：D． 8. 在二次函数中，若函数值，则结合函数图象判断的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数一元二次方程，二次函数与不等式，解题的关键是正确画出函数的图像． 先把解析式配成顶点式，再令，求出x值，画出函数的图像，最后根据图像的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为，对称轴为直线， 令，解得：或， 函数图像如下所示： 由图像可知：函数，若函数值，则的取值范围是， 故选：C． 9. 如图，四边形内接于，弧的长度是弧的两倍，弧的长度是弧的两倍，，，则的半径长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、解直角三角形、勾股定理、直角三角形的性质，连接、、、，由题意可得，，求出，结合圆周角定理可得，连接，延长交于，连接，作于，求出，由直角三角形的性质可得，由勾股定理可得，求出，则，由圆周角定理可得，，解直角三角形得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图：连接、、、， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 连接，延长交于，连接，作于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴的半径为， 故选：D． 10. 如图1，在矩形中，点以速度从点出发沿匀速运动，同时点从点出发，速度为，依次沿，两边匀速运动，点运动到点时，、两点同时停止运动．连接，设点运动的时间为，的面积为，关于的部分函数图象如图2所示，其中是曲线的最高点，为线段．则点的纵坐标是（ ） A. B. C. D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数综合，由矩形的性质可得，由函数图象可得，为线段，且面积逐渐减小，故当时，点运动到点处，结合题意求出，，当时，，，则，表示出，再由二次函数的性质即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， 由函数图象可得，为线段，且面积逐渐减小， 故当时，点运动到点处， ∴， ∵由图象可得，当点运动到点处时，的面积为，点以速度从点出发沿匀速运动， ∴，， ∴，， ∵点以速度从点出发沿匀速运动，点从点出发，速度为， ∴当时，，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值为， ∴是曲线的最高点，则点的纵坐标是， 故选：C． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点Q的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【详解】解：点关于原点对称的点Q的坐标为． 故答案为：． 12. 小红和小明在操场做游戏，他们先在地上画了半径分别是2m和3m的同心圆，然后每人蒙上眼在一定距离外向圈内掷小石子，掷中阴影部分小红胜，否则小明胜，未掷入圈内不算或掷中两圆的边界线重掷，如果你是裁判，你认为游戏公平吗？_____．（填“公平”或“不公平”） 【答案】不公平 【解析】 【分析】比较圆环的面积与半径是2m的圆的面积即可求解． 【详解】解：∵内圆的面积为：（m2），外圆的面积为（m2）， ∴小明胜的概率为， ∵环形的面积为：（m2）， ∴小红胜的概率为， ∵＜， ∴这个游戏不公平， 故答案为：不公平． 【点睛】本题考查的是圆的面积大小与概率计算的综合，理解几何概率，圆环面积的计算，及比较大小是解题的关键． 13. 我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．你来解决这道古算题，设宽为x步，可得方程____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 先求出矩形的长为步，再列方程，即可解答． 【详解】解：设宽为x步，则矩形的长为步，由题意列方程得 ． 故答案为：． 14. 如图1是某款“不倒翁”，其上方为圆锥，下方为球的一部分，图2是其轴截面图，为圆心，，是的切线，切点为，．若该圆半径是，的长为，则此“不倒翁”上方圆锥的表面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质、垂径定理、勾股定理、圆锥表面积公式，连接，，，连接交于点，由切线的性质可得，由垂径定理可得，，由题意可得，由勾股定理可得，，从而得出，最后由圆锥的表面积公式计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，，，连接交于点， 由切线的性质可得：， 由垂径定理可得：，， 由题意可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴此“不倒翁”上方圆锥的表面积为， 故答案为：． 15. 在如图网格中，每个小正方形的边长都是1，点在格点上，将绕点（图中未画出）顺时针旋转一定角度后得到，点，，均在格点上，则的长为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，设与相交于，连接、、，根据旋转的性质并结合网格特征可证明，得出，则点在的垂直平分线上，由网格特征知：点在、的垂直平分线上，则点为旋转中心，证明，根据相似三角形的性质可求出，最后在中，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：设与相交于，连接、、， ∵旋转， ∴， ∴，， 由网格特征知：， ∴， ∴， ∴点在的垂直平分线上， 由网格特征知：点在、的垂直平分线上， ∴点为旋转中心，即和O重合， 由网格特征知：， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 故答案为：． 16. 二次函数的部分，对应值如表， … 1 3 5 … … … 若，下列五个结论：①该二次函数图象的对称轴为；②；③；④；⑤当时，关于的方程的正数根有两个．其中正确的是___________（填写序号）． 【答案】①⑤ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，由和时值均为，可得对称轴为；由对称轴公式和点坐标求系数关系，再计算和判别式，分析根的正负，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：由表可得，和时，故对称轴为，①正确． ∵对称轴， ∴． 由时，得，代入，得． 为时值，计算得． 由，得． 结论②：，由，，故，②错误． 结论③：，当时，但不一定满足，故③错误． 结论④：，，故，④错误． 结论⑤：方程，判别式，根为． 当时，，故两根均正，⑤正确． 故答案为：①⑤． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 若关于的一元二次方程有一个根是，求的值及方程的另一个根． 【答案】，方程的另一个根为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，以及解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键．将代入方程，求出，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有一个根是， ，即， 解得：， 方程为， ， 或， 解得：，， 方程的另一个根是． 18. 如图，在中，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，连接． （1）求证：为等边三角形； （2）若，直接写出的面积_______． 【答案】（1） 由旋转得，，， ， 为等边三角形， ， 旋转角为， ， 为等边三角形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由旋转的性质可得，，再结合得出为等边三角形，由等边三角形的性质可得，结合旋转的性质得出，即可得出结果； （2）求出，由直角三角形的性质可得，由勾股定理得出，结合等边三角形的性质可得，作于，则，求出，再由三角形的面积公式计算即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵在中，，， ∴， ∴， ∴， 由（1）可得：为等边三角形， ∴， 如图，作于， ， 则， ∴， ∴． 19. 在物理课上，同学们学习了“电学”知识之后，便可以设计一些简单电路图． （1）电路图①中，随机闭合开关，，中的两个，直接写出有灯泡发亮的概率______． （2）电路图②由两个开关组，一个开关组包括开关，，，另一个开关组包括开关，，，在两个开关组中各闭合一个开关，请你用树状图或列表法求小灯泡发亮的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）随机闭合开关，，中的两个，共有三种情况，其中有灯泡发亮的情况有两种，再由概率公式计算即可得出结果； （2）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：电路图①中，随机闭合开关，，中的两个，共有，，三种情况，其中有灯泡发亮的情况有，，共两种， ∴有灯泡发亮的概率为； 【小问2详解】 解：画出树状图如下： 由树状图可知，两个开关组中各闭合一个开关的结果有9种，它们出现的可能性相等，其中小灯泡发亮的结果有3种，分别为，，． 小灯泡发亮的概率． 20. 如图，半径为1的等圆和相交于点，经过的圆心，连接、． （1）求的度数； （2）求两圆重合部分（即阴影部分）的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆的半径相等，证明出与均为等边三角形，即可求解； （2）连接，过作于，根据等腰三角形的性质，得到，，利用含30度角的直角三角形，求出，，从而求出，再利用扇形面积公式，求出，从而得到，即可得到阴影部分的面积． 【小问1详解】 解：如图，连接， 点都在上， ， 又都在上 ， 即与均为等边三角形， ； 【小问2详解】 解：如图，连接，过作于， 半径为1的等圆和， ， ， ， 由（1）可知，， ， 在中，， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆的基本概念，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，扇形面积公式等，掌握扇形面积公式是解题关键． 21. 如图，在的网格中，点，在格点上，经过，两点的圆与横网格线交于点，连接，仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题，每个问题的画线不得超过六条． （1）在图1中，将绕点顺时针旋转至，连接，再作弧的中点； （2）在图2中，点为圆心，在优弧上找点，使；再作弧弧． 【答案】（1） 解：如图所示： ， （2） 解：如图，点、即为所求： ， 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质作图线段，取格点、，连接交圆于点，由网格特点可得，，由旋转的性质可得，连接，则由直角三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，再由圆周角定理可得，即可得出结果，点即为所求； （2）取格点，连接，连接并延长交圆于点，连接并延长交圆于点，连接交直径于点，连接并延长交圆于点，即点、即为所求． 【小问1详解】 解：根据旋转的性质作图线段，取格点、，连接交圆于点，点即为所求， 由网格特点可得：，， 由旋转的性质可得， 连接，则由直角三角形的性质可得， ∵， ∴由等腰三角形的性质可得：， ∴由圆周角定理可得：， ∴点为弧的中点； 【小问2详解】 解：取格点，连接，连接并延长交圆于点，连接并延长交圆于点，连接交直径于点，连接并延长交圆于点，即点、即为所求， 由勾股定理可得：，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由圆周角定理可得；，即， 由垂径定理可得：， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 22. 某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动． 研究背景 羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直． 收集数据 某次羽毛球飞行的高度（单位：）与距发球点的水平距离（单位：）的对应值如表（不考虑空气阻力）． 水平距离 0 2 3 5 6 … 高度 1.1 2.3 2.6 2.6 2.3 … 探索发现 数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现羽毛球飞行路线是抛物线的一部分． 建立模型 （1）直接写出与的函数解析式________；（不要求写自变量取值范围） （2）羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到？请说明理由． （3）保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，改变发球方式，使其解析式变为，发球点与球网的水平距离是．若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过，且球的落地点与球网的水平距离小于．求的取值范围． 【答案】（1） （2） 能，理由：， ， 当时，有最大值，最大值为2.7， ， 能达到， 羽毛球在此次飞行过程中，高度能达到； （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． （1）将，分别代入计算即可得出结果； （2）由二次函数的性质可得当时，有最大值，最大值为2.7，结合题意分析即可得出结果； （3）由题意可得，故解析式为，当时，，解得；由发球点与球网的水平距离是，球的落地点与球网的水平距离小于，得出当时，，解得，即可得出结果． 【小问1详解】 解：将，分别代入可得， 解得：， ∴与的函数解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变， ， 解析式为， 当时，， 解得； 发球点与球网的水平距离是，球的落地点与球网的水平距离小于， 当时，， 解得， ∴的取值范围为． 23. 问题背景 （1）如图1，在四边形中，，，求证：平分； 迁移应用 （2）如图2，在等腰中，，，点是上一点，连接，过作，将直线绕点顺时针旋转，与交于点，取中点，连接，，，求证：； 拓展创新 （3）如图3，在等腰中，，，点，，是三边上的点，若是等边三角形，，，直接写出的长________． 【答案】 （1）证明：如图：过作于，过作交延长线于， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又，， ∴平分； （2）证明：如图：连接并延长与交于点，过作于，过作于， 由旋转的性质可得， ，且为中点， ， ∴， ， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ， 平分， ， 垂直平分， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）过作于，过作交延长线于，先证明，再证明， 得出，再结合，，即可得证； （2）连接并延长与交于点，过作于，过作于，由旋转的性质可得，由直角三角形的性质可得，由等边对等角可得，结合三角形外角的定义及性质可得，证明，得出，从而可得平分，再证明垂直平分，得出，即可得证； （3）在上取点，使得，则，由三角形外角的定义及性质可得，作于点，则，求出，延长至点，连接，使得，则，由等边三角形的性质可得，，证明，得出，，作于，则，，结合勾股定理求出，作于，则，，求出，由等腰三角形的性质并结合三角形内角和定理可得，证明，作于，由角平分线的性质定理可得设，则，求出，得出，即，即可得出结果． 【详解】（1） 略 （2） 略 （3）如图，当点P在边上靠近点K时，点Q，G不在边，上，不满足题干要求的条件，故舍去； 如图，当点P在边上靠近点E时，满足题干要求的条件，在上取点，使得 ， 则， ∴， 作于点，则， ∴， 延长至点，连接，使得， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 作于，则，， ∴， ∴， 作于，则，， ∴， ∵等腰中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 作于， ∴ 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，，，，，，过作轴平行线与过、、三点的抛物线交于点． （1）如图1，当时，直接写出抛物线解析式为________； （2）如图1，在（1）的条件下，为右侧抛物线上一点，过作于，过作交直线于，若，求点横坐标； （3）如图2，当时，点、都在抛物线上，线段的对称中心点恰好在线段上，连接交于，直线交于，求的最大值． 【答案】（1） （2）或 （3）4 【解析】 【分析】（1）当时，，，再利用待定系数法计算即可得出结果； （2）求出直线的解析式为，设，则，，表示出，，再结合得出，即或，分别计算即可得出结果； （3）求出抛物线解析式为，设，，，直线，联立与二次函数解析式得，整理得，则，，由对称的性质可得，即，从而可得，进而得出，，求出直线的解析式为，当时，，同理可得，表示出，即可得出结果． 【小问1详解】 解：当时，，， 设抛物线的解析式为， 将，，代入解析式可得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵为右侧抛物线上一点，过作于，过作交直线于， ∴设，则，， ，， ， ， 即或， 解得，或，， ， ∴或， 点横坐标为或2； 【小问3详解】 解：∵抛物线经过点，，， ∴设抛物线的解析式为， 将代入解析式可得， 解得：， ∴抛物线解析式为， 设，，，直线， 联立与二次函数解析式得， 整理得， ，， 关于点对称，则， 即， ，即， ，， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 同理可得：， ，， ， 当且仅当时，， 的最大值为4． 【点睛】本题考查了求二次函数的解析式，求一次函数的解析式，二次函数综合—线段问题，轴对称的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试卷 一、选填题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列正多边形中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 掷两个质地均匀的小正方体，小正方体的六个面上分别标有1到6的数字．下列事件是必然事件的是（ ） A. 向上两面的数字和为5 B. 向上两面的数字和大于1 C. 向上两面的数字和大于12 D. 向上两面的数字和为偶数 3. 已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 6 B. 4 C. 2 D. 4. 已知的半径为，，为直线上一点，则直线与的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 相交或相切 5. 如图，将绕点顺时针旋转得到，若、、三点共线，则（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线是由抛物线平移后得到的，下列平移方法正确的是（ ）． A. 向左平移1个单位，再向上平移4个单位 B. 向左平移1个单位，再向下平移4个单位 C. 向右平移1个单位，再向上平移4个单位 D. 向右平移1个单位，再向下平移4个单位 7. 某商场开展购物抽奖促销活动，抽奖盒中装有三个小球，它们分别标有10元、20元、30元，一次性随机摸出两个小球，摸出的两球上金额的和不少于40元的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 在二次函数中，若函数值，则结合函数图象判断的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 2 9. 如图，四边形内接于，弧的长度是弧的两倍，弧的长度是弧的两倍，，，则的半径长是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在矩形中，点以速度从点出发沿匀速运动，同时点从点出发，速度为，依次沿，两边匀速运动，点运动到点时，、两点同时停止运动．连接，设点运动的时间为，的面积为，关于的部分函数图象如图2所示，其中是曲线的最高点，为线段．则点的纵坐标是（ ） A. B. C. D. 11 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点Q的坐标为__________． 12. 小红和小明在操场做游戏，他们先在地上画了半径分别是2m和3m的同心圆，然后每人蒙上眼在一定距离外向圈内掷小石子，掷中阴影部分小红胜，否则小明胜，未掷入圈内不算或掷中两圆的边界线重掷，如果你是裁判，你认为游戏公平吗？_____．（填“公平”或“不公平”） 13. 我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．你来解决这道古算题，设宽为x步，可得方程____． 14. 如图1是某款“不倒翁”，其上方为圆锥，下方为球的一部分，图2是其轴截面图，为圆心，，是的切线，切点为，．若该圆半径是，的长为，则此“不倒翁”上方圆锥的表面积为___________． 15. 在如图网格中，每个小正方形的边长都是1，点在格点上，将绕点（图中未画出）顺时针旋转一定角度后得到，点，，均在格点上，则的长为___________． 16. 二次函数的部分，对应值如表， … 1 3 5 … … … 若，下列五个结论：①该二次函数图象的对称轴为；②；③；④；⑤当时，关于的方程的正数根有两个．其中正确的是___________（填写序号）． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 若关于的一元二次方程有一个根是，求的值及方程的另一个根． 18. 如图，在中，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，连接． （1）求证：为等边三角形； （2）若，直接写出的面积_______． 19. 在物理课上，同学们学习了“电学”知识之后，便可以设计一些简单电路图． （1）电路图①中，随机闭合开关，，中的两个，直接写出有灯泡发亮的概率______． （2）电路图②由两个开关组，一个开关组包括开关，，，另一个开关组包括开关，，，在两个开关组中各闭合一个开关，请你用树状图或列表法求小灯泡发亮的概率． 20. 如图，半径为1的等圆和相交于点，经过的圆心，连接、． （1）求的度数； （2）求两圆重合部分（即阴影部分）的面积． 21. 如图，在的网格中，点，在格点上，经过，两点的圆与横网格线交于点，连接，仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题，每个问题的画线不得超过六条． （1）在图1中，将绕点顺时针旋转至，连接，再作弧的中点； （2）在图2中，点为圆心，在优弧上找点，使；再作弧弧． 22. 某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动． 研究背景 羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直． 收集数据 某次羽毛球飞行的高度（单位：）与距发球点的水平距离（单位：）的对应值如表（不考虑空气阻力）． 水平距离 0 2 3 5 6 … 高度 1.1 2.3 2.6 2.6 2.3 … 探索发现 数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现羽毛球飞行路线是抛物线的一部分． 建立模型 （1）直接写出与的函数解析式________；（不要求写自变量取值范围） （2）羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到？请说明理由． （3）保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，改变发球方式，使其解析式变为，发球点与球网的水平距离是．若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过，且球的落地点与球网的水平距离小于．求的取值范围． 23. 问题背景 （1）如图1，在四边形中，，，求证：平分； 迁移应用 （2）如图2，在等腰中，，，点是上一点，连接，过作，将直线绕点顺时针旋转，与交于点，取中点，连接，，，求证：； 拓展创新 （3）如图3，在等腰中，，，点，，是三边上的点，若是等边三角形，，，直接写出的长________． 24. 在平面直角坐标系中，，，，，，过作轴平行线与过、、三点的抛物线交于点． （1）如图1，当时，直接写出抛物线解析式为________； （2）如图1，在（1）的条件下，为右侧抛物线上一点，过作于，过作交直线于，若，求点横坐标； （3）如图2，当时，点、都在抛物线上，线段的对称中心点恰好在线段上，连接交于，直线交于，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $