精品解析：辽宁省阜新市实验中学2025-2026学年八年级上学期期末数学试卷

2025-2026学年度（上）期末教学质量检测 八年级数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 时间共120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各组线段中，能作为直角三角形三边的是（ ） A. 3，4，6 B. 5，12，15 C. 9，12，15 D. 7，23，24 2. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. x轴正半轴 B. x轴负半轴 C. y轴正半轴 D. y轴负半轴 3. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知一组数据：3，4，5，6，7．若再添加一个数据5，得到一组新数据．与原数据相比，发生变化的统计量是（　　） A. 平均数 B. 中位数 C. 极差 D. 方差 5. 一次函数的图象经过原点，则k的值为　 　 A. 2 B. C. 2或 D. 3 6. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 同位角相等 B. 如果，，那么 C. 全等三角形的对应角相等 D. 等腰三角形的两个底角相等 7. 初一年级外出研学，活动结束之际某个班准备拍照留念，若每排站10人，剩下6人；若每排站12人，最后一排比其他各排空出两个位置．设拍照场地安排有x排，师生共有y人，可列方程组（ ） A. B. C. D. 8. 在同一坐标系中，一次函数和的图像可能是（ ） A. B. C. D. 9. 一副三角板如图摆放，，，，若点E恰好在上，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 在如图所示的方格纸上（小正方形的边长均为1），都是斜边在x轴上的等腰直角三角形，且它们的斜边长分别为2，4，6，…．若的顶点坐标分别为，则依图中所示规律，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 12. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离是_____________． 13. 已知的方差为5，则的方差为_____ 14. 如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为___________．（杯壁厚度不计） 15. 如图，已知在△ABC中，，，，点E为AB的中点，D为BC边上的一动点，把△ACD沿AD折叠，点C落在点F处，当△AEF为直角三角形时，CD的长为__________． 三、解答题（共75分） 16. 计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． （1）直接写出点关于轴对称的点坐标； （2）在图中画出关于轴对称的图形； （3）在轴上找一点，使最小，则点的坐标为____． 18. 全民健身手牵手，社区运动心连心．为提升社区居民的幸福感，某小区准备将一块四边形平地进行改建，如图所示，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板．经测量，米，米，米，米． （1）连接，求的长度． （2）已知购买运动型塑胶地板的价格为每平方米元，求购买运动型塑胶地板的总费用． 19. 近年来，人工智能浪潮席卷全球，我国抓住这一机遇迎潮而上，成果丰硕．为了提升学生的信息素养，某校特组织七、八年级全体学生开展“灵动数据·智汇AI”信息技术知识竞赛，为了解竞赛成绩，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩x进行整理，共分成A，B，C，D四个等级，成绩在90以上（含90分）为优秀． 【信息整理】 信息1： 等级 A B C D 成绩 信息2： 信息3：七年级B、C两组同学的成绩分别为：94，94，93，92，92，89，89，88，85； 八年级C组同学的成绩分别为：89，89，88，88，88，88，88，87，86． 【数据分析】七、八年级抽取学生的竞赛成绩统计表如下： 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 88 a 95 m% 八年级 88 88 b 35% （1）填空：______，______，______； （2）根据成绩统计表中的数据，你认为在此次竞赛中哪个年级的学生对当前信息技术的了解情况更好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）若该校七年级学生有520人，八年级学生有500人，请估计该校七、八年级成绩为A级的学生共有多少人． 20. “谷子冬播夏收”是近年来农业种植的新技术之一，该技术打破了以往谷子在晚春进行播种的传统，在冬天或者早春进行播种，播种时铺上全生物降解渗水地膜，能最大限度地保证土壤中的水分不被蒸发，达到“秋雨冬储春夏用”的效果．年某农科所种植谷子亩进行“冬播夏收”技术与传统技术对比试验，共收获谷子千克，经过对比发现，采用“冬播夏收”技术种植的谷子，平均每亩产量比采用传统技术种植的谷子多，现已知传统技术种植的谷子平均每亩产量为千克，请问该农科所采用传统技术和“冬播夏收”技术各种植谷子多少亩？ 21. 如图，在三角形中，分别是边上的点，连接．点在线段上，连接．已知，． （1）求证：； （2）若，平分，，求的度数． 22. 提出问题：数学课上，老师给出一个问题，让同学们探究．在中，过点作，将线段绕点旋转，使点落在点处．请解答下列问题： （1）如图①，当时，求证：； 分析问题：某同学在思考这道题时，认真观察，分析条件，通过证明三角形全等，最终证出了结论： 推理证明：根据该同学的思路或其他方法，写出图①的证明过程； 探究问题： （2）如图②，当时，请直接写出线段，，有怎样的数量关系； 如图③，当时，请判断线段，，有怎样的数量关系，并说明理由； 拓展思考： （3）在（1）（2）的条件下，，则_____． 23. 【模型建立】 美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，过等腰的直角顶点作直线，过点作于点，过点作于点，研究图形，不难发现：．我们将这个模型称为“K形图”．接下来我们利用这个模型来解决以下问题： 【模型运用】 （1）如图1，在上述模型中，若，，则的面积为______； 【模型拓展】 （2）在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点、点， ①如图2，过点作，且，连接．求点的坐标； ②如图3，点的坐标为，点在线段上，点为轴上一动点，当为等腰直角三角形时，试求出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度（上）期末教学质量检测 八年级数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 时间共120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各组线段中，能作为直角三角形三边的是（ ） A. 3，4，6 B. 5，12，15 C. 9，12，15 D. 7，23，24 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的运用．运用勾股定理逆定理计算，满足两短边的平方和等于长边的平方即可． 【详解】解：A、，故3，4，6不能作为直角三角形三边，该选项不符合题意； B、，故5，12，15不能作为直角三角形三边，该选项不符合题意； C、，故9，12，15能作为直角三角形三边，该选项符合题意； D、，故7，23，24不能作为直角三角形三边，该选项不符合题意； 故选：C． 2. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. x轴正半轴 B. x轴负半轴 C. y轴正半轴 D. y轴负半轴 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的位置判断，熟练掌握点的坐标特征是解题的关键． 根据平面直角坐标系中点的特征，横坐标为0的点在y轴上，纵坐标的符号决定所在半轴，据此解答即可． 【详解】解：点的横坐标为，则该点在y轴上， 由于纵坐标，则该点在y轴负半轴上， 故选：D． 3. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，解题的关键是依据最简二次根式的条件（被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式）逐一判断选项． 根据最简二次根式的定义，分析各选项的被开方数是否含分母、是否有能开尽方的因数或因式，进而确定符合条件的选项． 【详解】解：A、的被开方数不含分母，也无开得尽方的因数，此选项符合题意； B、的被开方数含分母，不是最简二次根式，此选项不符合题意； C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，此选项不符合题意； D、，被开方数是能开得尽方的数，不是最简二次根式，此选项不符合题意． 故选：A． 4. 已知一组数据：3，4，5，6，7．若再添加一个数据5，得到一组新数据．与原数据相比，发生变化的统计量是（　　） A. 平均数 B. 中位数 C. 极差 D. 方差 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平均数、中位数、极差、方差． 比较原数据和新数据的平均数、中位数、极差、方差，判断是否发生变化． 【详解】解：原数据：3，4，5，6，7， 平均数， 中位数， 极差， 方差； 新数据：3，4，5，5，6，7， 平均数， 中位数， 极差， 方差； 可知平均数、中位数、极差均不变，方差发生变化． 故选：D． 5. 一次函数的图象经过原点，则k的值为　 　 A. 2 B. C. 2或 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】把原点坐标代入解析式得到关于k的方程，然后解方程求出k，再利用一次函数的定义确定满足条件的k的值． 【详解】把（0，0）代入y=（k+2）x+k2-4得k2-4=0，解得k=±2， 而k+2≠0， 所以k=2． 故选A． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数图象上点的坐标满足其解析式，于是解决此类问题时把已知点的坐标代入解析式求解．注意一次项系数不为零． 6. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 同位角相等 B. 如果，，那么 C. 全等三角形的对应角相等 D. 等腰三角形的两个底角相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识是判断命题真假，同位角、全等三角形的性质、根据等角对等边证明等腰三角形，解题关键是熟练掌握相关知识． 先分别写出各命题的逆命题，再分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案． 【详解】解：选项，逆命题为“如果两个角相等，那么它们是同位角”，该命题假，因为相等的角不一定是同位角，不符合题意，选项错误； 选项，逆命题为“如果，那么且”，该命题假，因为时和可能同负，不符合题意，选项错误； 选项，逆命题为“如果两个三角形的对应角相等，那么它们全等”，该命题假，因为对应角相等的三角形不一定全等，不符合题意，选项错误； 选项，命题“如果一个三角形有两个角相等，那么它是等腰三角形”，该命题真，因为等角对等边，符合题意，选项正确． 故选：． 7. 初一年级外出研学，活动结束之际某个班准备拍照留念，若每排站10人，剩下6人；若每排站12人，最后一排比其他各排空出两个位置．设拍照场地安排有x排，师生共有y人，可列方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键在于正确理解题意建立方程组． 根据题意，每排10人时多6人，得；若每排站12人，最后一排比其他各排空出两个位子，即得，进而建立方程组即可解题． 【详解】解：∵ 每排站10人，剩下6人， ∴ ； ∵ 每排站12人，最后一排空出两个位子， ∴ ； 故方程组为． 故选：B． 8. 在同一坐标系中，一次函数和的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，熟练掌握图像性质中系数大小与图像的关系是解题的关键． 分别根据分析各选项的图像一次函数和的系数，若存在矛盾，则不符合题意，据此即可解答。 【详解】解：A.由得，而由得，存在矛盾，不符合题意； B. 由得，而由得，即，存在矛盾，不符合题意； C.由得，而由得，即，不存在矛盾，符合题意； D. 由得，而由得，即，存在矛盾，不符合题意. 故选C. 9. 一副三角板如图摆放，，，，若点E恰好在上，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键．根据平行线的性质可得的度数，再由三角形外角的性质可得答案啊． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 10. 在如图所示的方格纸上（小正方形的边长均为1），都是斜边在x轴上的等腰直角三角形，且它们的斜边长分别为2，4，6，…．若的顶点坐标分别为，则依图中所示规律，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查坐标规律的探索，掌握通过分析已知点的坐标，总结出不同类别偶数对应的坐标规律，再结合所求点的序号判断其坐标是解题的关键． 先找出点的坐标变化规律，再根据规律判断的坐标． 【详解】解：由题意，得，观察点的坐标变化发现当n为偶数，且n不是4的倍数，即n为2，6，10，…时，的坐标为；当n为偶数，且n是4的倍数，即n为4，8，12，…时，的坐标为． ， 点的坐标为． 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 12. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离是_____________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了已知两点坐标求两点距离和二次根式，掌握已知两点坐标求两点距离的公式是解题的关键． 根据已知在平面内有两点，其两点间的距离公式为：，解答即可． 【详解】解：根据题意得：， 则在平面直角坐标系中，点到原点的距离是2， 故答案为2． 13. 已知的方差为5，则的方差为_____ 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查方差，当数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减这个数，方差不变，即数据的波动情况不变；当数据都乘以一个数（或除以一个数）时，平均数也乘以或除以这个数，方差变为这个数的平方倍． 先设这组数据的平均数为，方差，则另一组新数据的平均数为，方差为，代入公式计算即可． 【详解】解：设这组数据的平均数为， 则， ， 则另一组新数据的平均数为， ， ∴另一组数据的方差为 ， 故答案为：20． 14. 如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为___________．（杯壁厚度不计） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平面展开—最短路径问题、轴对称的性质、勾股定理，化为最简二次根式等知识点．将杯子半侧面展开，作A关于的对称点，再根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：如图：将杯子半侧面展开，作A关于的对称点，连接，当点、F、B在同一条直线上，则为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离，即的长度， 由题意可得：，，， ∴， ∵． ∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为． 故答案为：． 15. 如图，已知在△ABC中，，，，点E为AB的中点，D为BC边上的一动点，把△ACD沿AD折叠，点C落在点F处，当△AEF为直角三角形时，CD的长为__________． 【答案】2或 【解析】 【分析】本题以三角形为基础，考查内容包含中点的用法，可立刻推边等；动点图形翻折问题，可得到角等以及边等，解答本题需以题目要求直角三角形为前提，采取分类讨论方法，通过构造辅助线、假设未知数并结合勾股定理求解． 【详解】（1）当∠AFE=90°时 作EM⊥BC垂足为M.，作AN⊥ME于N，如下图所示： ∵∠C=∠EMB=90° ∴EM∥AC ∴∠C=∠CMN=∠N=90° ∴四边形ACMN是矩形 ∵AC=CM=2 ∴四边形ACMN是正方形 在RT△ABC中，∵AC=2,BC=4 ∴AB= ，AE= 在RT△AFE中，∵AE= ，AF=AC=2 ∴FE=1 设CD=FD=x，在RT△EDM中，∵DE=1+x，EM=1，DM=2-x ∴ ∴CD= （2）当∠AFE=90°时，如下图所示 ∵∠AFD=90° ∴F,E,D三点共线 在RT△AFE中，∵AE= ，AF=AC=2 ∴EF=1 又∵DE=1 ∴EF=ED 又∵EA=EB，∠AEF=∠BED 所以△AFE△BDE(SAS) ∴∠BDE=∠AFE=90° 故四边形AFCD是矩形 又∵AF=AC 所以四边形AFCD是正方形 ∴CD=AC=2 【点睛】本题主要考查动点翻折问题，需要着重注意分类讨论，思考要全面，求解过程尝试利用割补法将图形补成常见模型以便求解． 三、解答题（共75分） 16. 计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、零指数幂、负整数指数幂及解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，并注意代入消元法和加减消元法的应用． （1）根据二次根式的运算法则，先计算乘除，再计算加减即可； （2）先根据零指数幂，负整数指数幂和绝对值的意义计算，然后化简二次根式后合并即可； （3）先根据加减消元法将第一个方程第二个方程求出的值，再将的值代入第一个方程求解的值即可； （4）先将第二个方程去分母化简得到第三个方程，再运用加减消元法将第三个方程第一个方程求出的值，最后将的值代入第一个方程求解的值即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： 由①②得： ， ， ， 将代入①中：，即， 综上，该方程组的解为； 【小问4详解】 解： 先将②进行去分母得：， ， ， ③， 由③①得： ， ， ， ， 将代入①中：，即， 综上，该方程组的解为． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． （1）直接写出点关于轴对称的点坐标； （2）在图中画出关于轴对称的图形； （3）在轴上找一点，使最小，则点的坐标为____． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称、轴对称最短路径问题等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据关于轴对称点的横坐标互为相反数、纵坐标不变即可解答； （2）先根据轴对称的性质确定的对应点，然后顺次连接即可完成作图； （3）如图：连接交x轴于点P，则点P即为所求，再直接写出点P的坐标即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴点关于轴对称的点坐标为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：如图：即为所求； 【小问3详解】 解：如图：连接交x轴于点P，连接， 由轴对称的性质可得，则， 故当三点共线时，有最小值，即此时有最小值， 故即为所求． 故答案为：． 18. 全民健身手牵手，社区运动心连心．为提升社区居民的幸福感，某小区准备将一块四边形平地进行改建，如图所示，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板．经测量，米，米，米，米． （1）连接，求的长度． （2）已知购买运动型塑胶地板的价格为每平方米元，求购买运动型塑胶地板的总费用． 【答案】（1）15米 （2）购买运动型塑胶地板的总费用为22800元 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键； （1）由勾股定理即可求出的长度； （2）先由勾股定理的逆定理，得出为直角三角形，再根据结合三角形的面积公式求出四边形的面积，然后由运动型塑胶地板单价即可得出结果． 【小问1详解】 解：米，米， 米； 答：的长度为米； 【小问2详解】 解：，， ， 为直角三角形，， （米）， 购买运动型塑胶地板的费用为：（元）， 答：购买运动型塑胶地板的总费用为22800元． 19. 近年来，人工智能浪潮席卷全球，我国抓住这一机遇迎潮而上，成果丰硕．为了提升学生的信息素养，某校特组织七、八年级全体学生开展“灵动数据·智汇AI”信息技术知识竞赛，为了解竞赛成绩，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩x进行整理，共分成A，B，C，D四个等级，成绩在90以上（含90分）为优秀． 【信息整理】 信息1： 等级 A B C D 成绩 信息2： 信息3：七年级B、C两组同学的成绩分别为：94，94，93，92，92，89，89，88，85； 八年级C组同学的成绩分别为：89，89，88，88，88，88，88，87，86． 【数据分析】七、八年级抽取学生的竞赛成绩统计表如下： 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 88 a 95 m% 八年级 88 88 b 35% （1）填空：______，______，______； （2）根据成绩统计表中的数据，你认为在此次竞赛中哪个年级的学生对当前信息技术的了解情况更好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）若该校七年级学生有520人，八年级学生有500人，请估计该校七、八年级成绩为A级的学生共有多少人． 【答案】（1）88.5，88， （2）七年级学生对当前信息技术的了解情况更好，理由见解析； （3）178 【解析】 【分析】本题考查众数、中位数、用样本估计及总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据题意和统计图中的信息，可以分别计算出a、b、m的值； （2）根据表格中的数据，可以解答本题； （3）根据表格中的数据，可以计算出这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数． 【小问1详解】 解：∵A，B两组人数共有人， ∴七年级抽取20名学生的竞赛成绩中位数为C组按从大到小的倒数第2和第3个数据(即88与89)的平均数， 由条形统计图可得：， 由八年级C组同学的分数可知：88出现的次数最多，出现5次，所占的百分比为， ∴， ， 故答案为：88.5，88，； 【小问2详解】 解：七年级学生对当前信息技术的了解情况更好， 理由：由表格可知，在平均分相同时，七年学生的竞赛成绩中的中位数、众数、优秀率均高于八年级学生； 【小问3详解】 解：由题意可得， (人)， 答：七年级和八年级参加此次知识竞赛的学生成绩为A级的共有178人． 20. “谷子冬播夏收”是近年来农业种植的新技术之一，该技术打破了以往谷子在晚春进行播种的传统，在冬天或者早春进行播种，播种时铺上全生物降解渗水地膜，能最大限度地保证土壤中的水分不被蒸发，达到“秋雨冬储春夏用”的效果．年某农科所种植谷子亩进行“冬播夏收”技术与传统技术对比试验，共收获谷子千克，经过对比发现，采用“冬播夏收”技术种植的谷子，平均每亩产量比采用传统技术种植的谷子多，现已知传统技术种植的谷子平均每亩产量为千克，请问该农科所采用传统技术和“冬播夏收”技术各种植谷子多少亩？ 【答案】采用传统技术种植谷子亩，“冬播夏收”技术种植谷子亩 【解析】 【分析】根据题意设该农科所采用传统技术种植谷子亩，“冬播夏收”技术种植谷子亩，根据种植亩数，产量列方程组求解即可． 【详解】解：设该农科所采用传统技术种植谷子亩，“冬播夏收”技术种植谷子亩， 由题意得：， 解得：， ∴该农科所采用传统技术种植谷子亩，“冬播夏收”技术种植谷子亩． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组与实际问题的运用，理解题意中的数量关系列方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 21. 如图，在三角形中，分别是边上的点，连接．点在线段上，连接．已知，． （1）求证：； （2）若，平分，，求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（）由补角性质得，即得，进而即可求证； （）由根据平行线的性质得到，再结合题中的条件得到，然后根据平分和平行线的性质得到，进而得到，最后根据邻补角的性质即可求解； 本题考查了平行线的判定和性质，补角性质，角平分线的定义等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 22. 提出问题：数学课上，老师给出一个问题，让同学们探究．在中，过点作，将线段绕点旋转，使点落在点处．请解答下列问题： （1）如图①，当时，求证：； 分析问题：某同学在思考这道题时，认真观察，分析条件，通过证明三角形全等，最终证出了结论： 推理证明：根据该同学的思路或其他方法，写出图①的证明过程； 探究问题： （2）如图②，当时，请直接写出线段，，有怎样的数量关系； 如图③，当时，请判断线段，，有怎样的数量关系，并说明理由； 拓展思考： （3）在（1）（2）的条件下，，则_____． 【答案】 （1）证明过程见解析； （2），理由见解析；，理由见解析； （3） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，旋转的性质，平行线的性质． （1）通过证明三角形全等，将线段、转化到上，从而证明． （2）类比（1）的思路，通过分析图形中线段的位置关系和三角形全等情况，得出线段之间的数量关系． （3）结合（1）（2）的结论，代入已知数据计算的长度． 【详解】（1）证明：由旋转的性质得． ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即． （2）解：图②，由旋转的性质得． ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴； 图③，由旋转的性质得． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； （3）当是图①的情况时，由（1）知， 又由全等知， ∵， ∴． 当是图③的情况时，由（2）知，， ∴． 综上，． 故答案为：． 23. 【模型建立】 美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，过等腰的直角顶点作直线，过点作于点，过点作于点，研究图形，不难发现：．我们将这个模型称为“K形图”．接下来我们利用这个模型来解决以下问题： 【模型运用】 （1）如图1，在上述模型中，若，，则的面积为______； 【模型拓展】 （2）在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点、点， ①如图2，过点作，且，连接．求点的坐标； ②如图3，点的坐标为，点在线段上，点为轴上一动点，当为等腰直角三角形时，试求出点的坐标． 【答案】（1）50；（2）①点的坐标为；②的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据得到，，再利用计算即可； （2）①由题意可知，是等腰直角三角形，且，过点B作轴于．先求出点A、点C的坐标，再证明，得到，，即可求出点B的坐标； ②由题意设点P的坐标为，设点Q的坐标为．再根据为等腰直角三角形分情况讨论，构造“K形图”求解即可． 【详解】解：（1），，， ，， ， ， 故答案为：50； （2）①由题意可知，是等腰直角三角形，且； 如图，过点作轴于． 当时，则， 点的坐标为，即： 当时，则， 解得， 点的坐标为，即， ， ，， ， 在和中， ， ，， ， 点的坐标为； ②由题意设点的坐标为，设点的坐标为． 分以下三种情况讨论： 情况1．如图，当，时， 过点作轴，过点作轴交于，过点作轴交于，则， 则点的坐标为，点的坐标为， ， ， ，， ， 解得，， 此时点的坐标为； 情况2．如图，当，时，过点作轴于点，过点作轴于点，则， 则点的坐标为，点的坐标为， 由“K形图”可得 ，， ，， 解得， 此时点的坐标为， 情况3．如图5，当，时，过点作轴于点，过点作于点，则， 则点的坐标为，点的坐标为， 由“K形图”可得 ，， ，， 解得，， 此时点的坐标为． 综上所述，的坐标为或． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质和判定，坐标与图形性质等知识；解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形，结合坐标与图形性质解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $