第02讲 解一元一次方程（寒假预习讲义）七年级数学新教材华东师大版

第02讲 解一元一次方程 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：等式的性质 性质1：等式两边加同一个数（或式子)结果仍得等式. 性质1：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式. 知识点2：一元一次方程的解法 （1）合并同类项 把若干能合并的式子的系数相加，字母和字母的指数不变，起到化简的作用。 （2）移项 把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。（依据：等式的性质1） （3）去括号 括号前负号时，去掉括号时里面各项应变号。 （4）去分母 在方程的两边都乘以各自分母的最小公倍数。去分母时不要漏乘不含分母的项。当分母中含有小数时，先将小数化成整数。 知识点3：一元一次方程的同解方程 如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程，解决此类问题，通常是解其中一个方程，得到该方程解代入另一个方程求解字母的值。 【题型1 等式的基本性质】 例1．已知，则下列等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 变式1． 若等式成立，则下列等式变形不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 变式2． 下列结论错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 变式3． 下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【题型2合并同类型与移项】 例2．方程移项后正确的是（   ） A． B． C． D． 变式1． 解方程：，则 ． 变式2． ，则 ． 变式3． 解方程： (1) (2) 【题型3 解一元一次方程——去括号】 例3．解方程：． 变式1． 方程去括号变形正确的是（   ） A． B． C． D． 变式2． 解方程：． 变式3． 解方程； (1) (2) 【题型4 解一元一次方程——去分母（整数）】 例4．将方程去分母，应在方程的两边同乘（   ） A．4 B．6 C．12 D．10 变式1． 下面方程的解法对吗？若不对，请改正． 解方程： 解：去分母，得 去括号，得 移项，得 则，解得． 变式2． 依据下列解方程的过程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号内填写变形依据． 解：原方程可变形为 去分母，得（①） 去括号，得 （②），得（③） 合并同类项，得（④） 系数化为1，得． 变式3． 解方程： (1) (2) 【题型5 解一元一次方程——去分母（小数）】 例5．解方程：． 变式1． 解下列一元一次方程： (1)； (2)． 变式2． 解下列方程： (1) (2) 变式3． 解方程：． 【题型6 一元一次方程的错解复原问题】 例6．小明在解方程：去分母时，方程右边的没有乘，因而得到方程的解为，求方程正确解． 变式1． 小军同学在解关于x的方程去分母时，方程右边的没有乘2，因而求得方程的解为3，则m的值和方程的正确解为（    ） A．2，2 B．2，3 C．3，2 D．3，3 变式2． 小亮在解方程时，由于粗心，错把看成了，结果解得，则此方程正确的解为 ． 变式3． 花花同学完成了一道解一元一次方程的作业题，解答过程如下： 解方程：． 解：．…① ．…② ．…③ ．…④ ．…⑤ (1)上面的解题过程从第______步开始出现错误（填入序号），错误的原因是________________________． (2)请完整地写出正确的解答过程． (3)请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程时还需要注意的事项给其他同学提出建议． 【题型7 利用一元一次方程同解问题求解】 例7．若关于的一元一次方程的解与方程的解相同，则的值为（） A． B．9 C．1 D． 变式1． 已知关于的方程与方程的解相同，求的值． 变式2． 若关于的方程和的解相同，求和的值． 变式3． 若关于 的方程 与 有相同的解，则 的值为 （   ） A． B． C． D． 【题型8 一元一次方程整数解问题】 例8．若关于x的方程的解均为正整数，则整数a的值是 ． 变式1． 若关于的方程的解为大于4的整数 ，求整数的值 变式2． 已知关于的方程的解为正整数，则满足条件的整数的值为 ． 变式3． 已知关于的方程的解是非正整数，则符合条件的所有整数的和是（   ） A．14 B．45 C． D． 一、单选题 1．若，根据等式的性质，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 2．小娜同学在解方程时，将常数项移项时忘记改变符号，得出，则原方程正确的解是（    ） A． B． C． D． 3．解方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 4．规定：用表示大于的最小整数，例如，，等；用表示小于的最大整数，例如，，，如果整数满足关系式：，则（    ） A．7 B． C． D． 5．解方程的步骤中，去分母后的方程为（    ） A． B． C． D． 6．若与互为相反数，则m的值为（   ） A．6 B． C．4 D． 7．若，则x的值是（   ） A． B．2或 C．2 D．0或2 8．已知代数式与代数式互为相反数，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 二、填空题 9．若，则a的值为 ． 10．已知关于x的方程的解为正整数，且当时，恰好使取得最小值，则满足条件的整数a的值为 ． 11．当 时，式子与的值相等． 12．请你帮助小明写一个满足下列条件的方程：①含未知数项的系数为负数；②方程左边只有两项且右边等于3；③方程的解为．你写的方程是： ． 13．对于两个非零常数，规定一种新的运算：，例如：，若，则的值为 ． 三、解答题 14．解方程 (1) (2) 15．定义：如果关于x的一元一次方程的解满足，我们就称这个方程为“梅合方程”．例如：方程的解为满足，方程为“梅合方程”． (1)若关于x的一元一次方程的解为，问：该方程是“梅合方程”吗？ (2)若关于x的一元一次方程是“梅合方程”，求a的值． 16．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 解一元一次方程 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：等式的性质 性质1：等式两边加同一个数（或式子)结果仍得等式. 性质1：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式. 知识点2：一元一次方程的解法 （1）合并同类项 把若干能合并的式子的系数相加，字母和字母的指数不变，起到化简的作用。 （2）移项 把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。（依据：等式的性质1） （3）去括号 括号前负号时，去掉括号时里面各项应变号。 （4）去分母 在方程的两边都乘以各自分母的最小公倍数。去分母时不要漏乘不含分母的项。当分母中含有小数时，先将小数化成整数。 知识点3：一元一次方程的同解方程 如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程，解决此类问题，通常是解其中一个方程，得到该方程解代入另一个方程求解字母的值。 【题型1 等式的基本性质】 例1．已知，则下列等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质：等式两边同时加上（或减去）同一个数或整式，等式仍成立，等式两边同时乘以同一个数（或除以同一个不为0的数），等式仍成立，逐项进行判断即可．熟练掌握等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：A、根据等式的基本性质1，在等式的两边同时加上2，等式仍然成立，即，故本选项不符合题意； B、根据等式的基本性质2，在等式的两边同时除以3，等式仍然成立，即，故本选项不符合题意； C、根据等式的基本性质2，在等式的两边同时乘以9，等式仍然成立，即，故本选项不符合题意； D、根据等式的基本性质2，在等式的两边同时除以一个不等于0的数，等式仍然成立，而c可能为0，因此不一定成立． 故选：D 变式1． 若等式成立，则下列等式变形不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等式的基本性质，等式的基本性质1是等式的两边都加上（或减去）同一个整式，所得的结果仍是等式；等式的基本性质2是等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得的结果仍是等式. 根据等式的性质逐项分析即可. 【详解】解：A. 若等式成立，则 ，故不符合题意；    B. 若等式成立，则 ，故不符合题意；       C. 若等式成立，则 ，故不符合题意；      D. 若等式成立，当时，则不一定成立，故符合题意；   故选D 变式2． 下列结论错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查等式的基本性质，解题的关键点在于严格依据等式的基本性质进行判断， 等式两边同时乘（或除以）同一个不为的整式，等式仍然成立；等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立；根据性质逐项判断即可． 【详解】选项A、若，则（等式性质：两边同减同一数，等式仍成立），选项A结论正确，不符合题意； 选项B、若，则，（等式性质：两边同乘同一个非零数，等式仍成立），选项B结论正确，不符合题意； 选项C、若，，则（等式性质：两边同除同一非零数，等式仍成立），选项C结论正确，不符合题意； 选项D、若，时，则不一定成立，选项D结论错误，符合题意． 变式3． 下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查等式的性质和绝对值的性质．根据等式的性质即可依次判断． 【详解】解：A、∵，但与不一定相等，如时，，但此选项错误，不符合题意； B、∵，∴两边同乘得，此选项正确，符合题意； C、∵，∴，但与不一定相等，如时，，但，此选项错误，不符合题意； D、若，需要满足，才能推出，此选项错误，不符合题意； 故选：B． 【题型2合并同类型与移项】 例2．方程移项后正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据解一元一次方程的移项的步骤求解即可． 本题主要考查了解一元一次方程，熟知移项的步骤是解题的关键． 【详解】解：， 移项，得 ． 故选：C． 变式1． 解方程：，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了解一元一次方程，将方程中的m项移到左边，合并同类项后求解． 【详解】解：， 移项得， 即， 解得． 故答案为0． 变式2． ，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了解一元一次方程，通过移项和系数化为1求解一元一次方程． 【详解】解：， 两边同时加上2，得； 两边同时乘以， 得． 故答案为1． 变式3． 解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）按移项，合并同类项进行求解即可； （2）按去括号，移项，合并同类项进行求解即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【题型3 解一元一次方程——去括号】 例3．解方程：． 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．方程去括号，移项合并，把系数化为1，即可求出解． 【详解】解：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：． 变式1． 方程去括号变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次方程，根据去括号法则可得结果．熟练掌握去括号法则是解题的关键． 【详解】解：， 去括号得， 故选：B． 变式2． 解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解法（去括号、合并同类项、移项）．熟练掌握解一元一次方程的方法及注意事项是解题的关键；去括号时要注意符号变化． 先去掉方程中的括号（注意符号），再合并同类项简化方程，接着移项将常数项移到等号右侧，最后将未知数的系数化为1，得到方程的解． 【详解】解： 变式3． 解方程； (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解答的关键． （1）根据移项、合并同类项、系数化为1的求解步骤解答即可； （2）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1的求解步骤解答即可． 【详解】（1）解：移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得； （2）解：去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得． 【题型4 解一元一次方程——去分母（整数）】 例4．将方程去分母，应在方程的两边同乘（   ） A．4 B．6 C．12 D．10 【答案】C 【分析】找出方程中分母的最小公倍数即可得解． 本题考查解含有分母的一元一次方程的解题步骤问题，关键会找公分母，会求各分母的最小公倍数，会利用等式性质将分母化去． 【详解】∵分母4和6的最小公倍数为12， ∴应在方程两边同乘以12． 故选：C 变式1． 下面方程的解法对吗？若不对，请改正． 解方程： 解：去分母，得 去括号，得 移项，得 则，解得． 【答案】不对，正确解答过程见解析 【分析】本题考查解一元一次方程，原解法在多个环节出现计算疏漏，导致结果错误．正确解法应严格按照步骤执行，避免跳步导致错误．本题需要正确去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1． 【详解】解：不对， 正确的解答过程如下： 去分母，得， 去括号，得， 合并同类项，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 变式2． 依据下列解方程的过程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号内填写变形依据． 解：原方程可变形为 去分母，得（①） 去括号，得 （②），得（③） 合并同类项，得（④） 系数化为1，得． 【答案】①等式的基本性质2；②移项；③等式的基本性质1；④合并同类项法则． 【分析】本题考查解一元一次方程的步骤及其理论依据．解方程的基本步骤包括：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．本题的每一步都有相应的数学依据，如等式性质、分数基本性质、去括号法则等． 【详解】解：原方程可变形为 去分母，得（等式的基本性质2） 去括号，得 （移项），得（等式的基本性质1） 合并同类项，得（合并同类项法则） 系数化为1，得． 故答案为：①等式的基本性质2；②移项；③等式的基本性质1；④合并同类项法则． 变式3． 解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解题步骤是解答本题的关键． （1）根据去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可． （2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【题型5 解一元一次方程——去分母（小数）】 例5．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法和步骤是解题关键．先把方程的小数系数化为整数，再去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1，即可解方程． 【详解】解：， 方程化为：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化1得：． 变式1． 解下列一元一次方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的方法：去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可； （2）先根据分数的基本性质将方程变形，然后再根据解一元一次方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可． 【详解】（1）解：， 去中括号，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 将系数化为1，得； （2）解：， 由分数的基本性质，得，即， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 将系数化为1，得． 变式2． 解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法步骤是解答的关键． （1）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、将系数化为1的步骤解方程即可； （2）根据分母化为整数、去分母、去括号、移项、合并同类项、将系数化为1的步骤解方程即可； 【详解】（1）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 将系数化为1，得； （2）， 分母化为整数，得， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 将系数化为1，得． 变式3． 解方程：． 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 方程整理后，去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】解： 整理得： 去分母得： 去括号得： 移项得 合并同类项得： 系数化为1得： 【题型6 一元一次方程的错解复原问题】 例6．小明在解方程：去分母时，方程右边的没有乘，因而得到方程的解为，求方程正确解． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解，解一元一次方程，先根据小明的解法求出的值，再根据正确的步骤解方程即可．解题的关键是掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为． 【详解】解：小明的做法：， ， ， ， ， ， ∵小明得到方程的解为， ∴， ∴， ∴原方程为， ， ， ， ， ， ∴方程正确解为． 变式1． 小军同学在解关于x的方程去分母时，方程右边的没有乘2，因而求得方程的解为3，则m的值和方程的正确解为（    ） A．2，2 B．2，3 C．3，2 D．3，3 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解及解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤． 根据错误去分母得到错误方程，代入求出m，再代入原方程求解正确解． 【详解】解：∵去分母时右边未乘2， ∴错误方程为：， 代入得：， 即， 解得：， 将代入原方程：， 去分母两边乘2：， 即， 解得：． 故选：C． 变式2． 小亮在解方程时，由于粗心，错把看成了，结果解得，则此方程正确的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的错解问题． 先将代入错误的方程得到，再解原方程即可． 【详解】解：∵小亮在解方程时，由于粗心，错把看成了，结果解得， ∴是方程的解， 即， ∴， 即原方程可化为， 解得：． 故答案为：． 变式3． 花花同学完成了一道解一元一次方程的作业题，解答过程如下： 解方程：． 解：．…① ．…② ．…③ ．…④ ．…⑤ (1)上面的解题过程从第______步开始出现错误（填入序号），错误的原因是________________________． (2)请完整地写出正确的解答过程． (3)请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程时还需要注意的事项给其他同学提出建议． 【答案】(1)②；去括号法则使用错误，在计算时，没有将因数与括号内的每一项都相乘； (2)见解析 (3)去分母时不要漏乘不含分母的项．（答案不唯一） 【分析】本题考查的是解一元一次方程，熟知解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． （1）根据解方程的一般步骤找出错误即可； （2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解一元一次方程即可； （3）结合平时的学习经验作答即可． 【详解】（1）解：分析题中解题过程可知，第②步出现错误，错误原因为去括号法则使用错误，在计算时，没有将因数与括号内的每一项都相乘． 故答案为：②；去括号法则使用错误，在计算时，没有将因数与括号内的每一项都相乘； （2）解：去分母得， ． 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，； （3）解：去分母时不要漏乘不含分母的项．（答案不唯一） 【题型7 利用一元一次方程同解问题求解】 例7．若关于的一元一次方程的解与方程的解相同，则的值为（） A． B．9 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的解，解一元一次方程，掌握相关知识是解决问题的关键．先解方程，求出，再代入方程，即可求出a的值． 【详解】解：∵解方程， 展开得：， 合并得：， 移项得：， ∴ ∵两个方程的解相同， ∴将代入， 即：， 计算得：， 即：， 移项得：， ∴ 故选：C． 变式1． 已知关于的方程与方程的解相同，求的值． 【答案】2 【分析】本题考查了同解方程，掌握同解方程的定义是关键．求出方程的解，代入方程即可求得的值． 【详解】解：， ， ， 因为关于的方程与方程的解相同， 所以把代入得， ， 解得， 的值为2． 变式2． 若关于的方程和的解相同，求和的值． 【答案】， 【分析】本题考查一元一次方程的解，解一元一次方程，绝对值和偶次方的非负性，熟练掌握以上知识点是关键． 解第二个方程，求出的值，代入第一个方程，得到相关等式，再根据绝对值和偶次方的非负性求解即可． 【详解】解： ， 把代入， 可得， ， 解得，． 变式3． 若关于 的方程 与 有相同的解，则 的值为 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程．结合两个方程有相同的解，先解第一个方程求出x，再代入第二个方程求解a，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ 解得， ∵关于 的方程 与 有相同的解， ∴把代入， 得， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A 【题型8 一元一次方程整数解问题】 例8．若关于x的方程的解均为正整数，则整数a的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，正确计算是解题的关键．分别求解两个方程，得到第一个方程的解为，第二个方程的解为，要求两者均为正整数，从而确定整数的值． 【详解】解：解方程，， 方程化为， 两边减去得， 两边乘以得， 两边乘以 得，即， 所以（）； 解方程，， 方程变为， 两边乘以得， 去括号得， 移项得，即， 所以 （）． ∵两个方程的解均为正整数， ∴和都为正整数． ∴为正整数，且是的正因数，即； 同时是的正因数，即或，但， 所以，故， 解得 ． 验证当时，第一个方程的解为，第二个方程的解为，均为正整数，满足条件． 故答案为 2． 变式1． 若关于的方程的解为大于4的整数 ，求整数的值 【答案】3或5 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，已知方程的解求参数，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 先解方程得到，再根据方程的解大于4且为整数即可求解． 【详解】解：， 解得， ∵都是整数， ∴为15的因数． ∴， 又∵， ∴=1或3， ∴或5． 变式2． 已知关于的方程的解为正整数，则满足条件的整数的值为 ． 【答案】2或6 【分析】本题主要考查了根据一元一次方程解的情况求参数，先解方程得到，再根据解为正整数，确定是5的正因数，从而求出整数 的值即可． 【详解】解：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：， ∵解为正整数， ∴为正整数， ∴是5的正因数，即或， 解得：或． 故答案为：2或6． 变式3． 已知关于的方程的解是非正整数，则符合条件的所有整数的和是（   ） A．14 B．45 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，熟练掌握解一元一次方程的方法，一元一次方程的解是解题的关键．根据解一元一次方程的方法求出，然后再根据方程的解为非正整数，可得，进而得出的值为，，分别求出的值求和即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 解得：． 要想使方程的解为非正整数，则整数满足：， 是负整数，且是5的约数， 的值为，， 当时，解得：， 当时，解得：， 符合条件的所有整数的和为：． 故选：D． 一、单选题 1．若，根据等式的性质，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等式的性质；根据等式的性质，等式两边同时进行相同的运算（加、减、乘、除），等式仍然成立.逐一验证各选项即可. 【详解】解：A、等式两边加n，得，故不一定成立，故选项A错误，不符合题意； B、等式两边除以2，得，故选项B正确，符合题意； C、等式两边减5，得，故选项C错误，不符合题意； D、等式两边乘，得，故选项D错误，不符合题意； 故选：B． 2．小娜同学在解方程时，将常数项移项时忘记改变符号，得出，则原方程正确的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解的应用，能求出的值是解此题的关键．把代入方程求出的值，确定出正确的方程，求出解即可 【详解】解：∵小娜移项时忘记改变符号，得出错误方程：，并解得， ∴代入错误方程：，即，解得， 将代入原方程：， 移项得：，即， ∴ 故原方程正确的解为 故选：A． 3．解方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查解一元一次方程，去分母时，需根据分母的最小公倍数乘以方程两边.分母2和3的最小公倍数是6，两边同时乘以6，去分母得到正确方程. 【详解】解：∵方程两边同时乘以6（2和3的最小公倍数）， ∴左边：， 右边：， ∴去分母后得：. 故选：A． 4．规定：用表示大于的最小整数，例如，，等；用表示小于的最大整数，例如，，，如果整数满足关系式：，则（    ） A．7 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了新定义，解一元一次方程，解题的关键是正确理解新定义． 根据定义，对于整数x，表示大于的最小整数，由于是整数，因此；表示小于的最大整数，由于是整数，因此，然后代入方程求解即可． 【详解】解：∵ x是整数， ∴，， 代入方程：， ， ， 解得， 故选：A． 5．解方程的步骤中，去分母后的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解法—去分母，关键是分母的最小公倍数，注意不要漏乘项． 根据一元一次方程的解法，两边同乘以6，去分母即可求解． 【详解】解：方程， 两边同乘以6得：． 故选：D． 6．若与互为相反数，则m的值为（   ） A．6 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查相反数，解一元一次方程，理解题意，正确列式求解是关键． 利用相反数的定义，即两数之和为零，建立方程求解． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 7．若，则x的值是（   ） A． B．2或 C．2 D．0或2 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的定义，根据绝对值的定义，表示x到原点的距离为2，因此x可以是2或． 【详解】解：∵， ∴或． 故选：B． 8．已知代数式与代数式互为相反数，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的概念和解一元一次方程，关键是根据定义建立方程． 根据互为相反数的定义，两个代数式的和为零，列出方程，进而求解即可． 【详解】∵代数式与代数式互为相反数， ∴ ∴． 故选：A． 二、填空题 9．若，则a的值为 ． 【答案】9或 【分析】本题考查绝对值，一元一次方程，掌握知识点是解题的关键． 根据绝对值的定义，将方程转化为两个一元一次方程求解即可． 【详解】解：由，得 或， 解得 或． 故答案为：9或． 10．已知关于x的方程的解为正整数，且当时，恰好使取得最小值，则满足条件的整数a的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程求解，绝对值的性质等，掌握分情况讨论是解题的关键． 先根据方程求解出，根据方程的解为正整数确定可能的取值，由于为整数，可得出或，将代入，即可求解． 【详解】解： ， ， 方程的解为正整数， 且为的正整数倍， 且为整数， 当时：（舍去）， 当时：， 当时：（舍去）， 当时：， 当时：（舍去）， 当时：，则，随着的减小，会增大，且为整数时，不是的倍数（舍去）； 即：或， 当时，， 当时，， 故答案为：． 11．当 时，式子与的值相等． 【答案】5 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步骤是解答本题的关键．通过解方程来求x的值． 【详解】由题意得． 两边同时乘以6消去分母，得． 展开得． 移项得，即． 故答案为：5． 12．请你帮助小明写一个满足下列条件的方程：①含未知数项的系数为负数；②方程左边只有两项且右边等于3；③方程的解为．你写的方程是： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了方程的解的定义，方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值．根据方程的解的定义，构造一个一元一次方程，使未知数项的系数为负数，左边只有两项且右边为3，并满足解为． 【详解】设方程为，其中， 将代入，得， 取， 则， 故方程为， 满足所有条件． 故答案为：（答案不唯一）． 13．对于两个非零常数，规定一种新的运算：，例如：，若，则的值为 ． 【答案】-2 【分析】本题考查新定义运算与一元一次方程的求解，解题的关键是根据新运算规则将式子转化为常规方程． 先根据新运算的定义，将转化，再结合已知建立方程求解的值即可． 【详解】解：由新运算规则，，因此， 给定，即， 解方程：， 移项得， 即， 两边同除以，得． 故答案为：． 三、解答题 14．解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先移项，再合并同类项，最后未知数系数化1； （2）去分母、去括号、移项、合并同类项，最后未知数系数化1． 【详解】（1）解：， 移项，得， 合并，得， 系数化为1，得； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 即， 移项，得， 合并，得， 系数化为1，得． 15．定义：如果关于x的一元一次方程的解满足，我们就称这个方程为“梅合方程”．例如：方程的解为满足，方程为“梅合方程”． (1)若关于x的一元一次方程的解为，问：该方程是“梅合方程”吗？ (2)若关于x的一元一次方程是“梅合方程”，求a的值． 【答案】(1)是 (2) 【分析】本题考查对新定义“梅合方程”的理解与应用．首先需要明确“梅合方程”的定义：若一元一次方程的解满足，则该方程称为“梅合方程”．解题的关键是根据定义判断或构造满足条件的方程，并结合方程的解进行计算． （1）已知方程和解，需结合“梅合方程”的定义验证是否满足； （2）给出“梅合方程”的条件，要求参数的值，需结合解的定义建立等式求解． 【详解】（1）解：关于x的一元一次方程的解为， ，解得， 方程为：，对比标准形式， ，， ，而方程的解，两者相等， 该方程是“梅合方程”； （2）解：方程为：，对比标准形式， ，， 关于x的一元一次方程是“梅合方程”， ， 将代入，可得， 解得：． ． 16．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查一元一次方程的解法，涉及移项、合并同类项、去括号、去分母、系数化为1等基本代数运算． （1）直接进行移项合并即可； （2）先去括号，再移项与系数化为1即可； （3）含分数项，需去分母或通分处理； （4）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可． 【详解】（1）解： 移项得：， 合并同类项得：； （2）解： 去括号得：， 合并常数项得：， 移项得：， 系数化为1得：； （3）解： 去分母得：， 合并同类项得：， 移项得：， 系数化为1得：； （4）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $