第04讲 一元一次方程的应用（寒假预习讲义）七年级数学新教材华东师大版

第04讲 一元一次方程的应用 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：列一元一次方程解应用题的步骤 审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系. 设：设未知数（一般求什么，就设什么为x）. 找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系. 列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程. 解：解所列出的方程，求出未知数的值. 答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 知识点2：用一元一次方程解决实际问题的常见类型 1. 行程问题：路程=速度×时间 2. 顺水逆水问题：顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速-水速 3. 和差倍分问题：增长量=原有量×增长率 4. 利润问题：商品利润=商品售价-商品进价 5. 工程问题：工作量=工作效率×工作时间，各部分劳动量之和=总量 6. 银行存贷款问题：本息和=本金+利息，利息=本金×利率×期数 7. 数字问题：多位数的表示方法：例如： 【题型1 一元一次方程的应用之古代问题】 例1．我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长x尺，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 变式1． 《九章算术》中记载了这样一个数学问题，其大意为：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发，问乙出发几日后甲乙相逢？设乙出发x日后甲乙相逢，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 变式2． 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，若每3人共乘一车，则最终剩余2辆车；若每2人共乘车，则最终剩余9个人无车可乘，问：共有多少人？多少辆车？设有x辆车，列方程为（ ） A． B． C． D． 变式3． 列方程解应用题． 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数几何？”意思是现有几个人共买一件物品，每人出8钱．多出3钱；每人出7钱，差4钱．问人数是多少？ 【题型2一元一次方程的应用之销售问题】 例2．春节将至，中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》发布官方吉祥物形象“巳升升”，祝福全球华人在新的一年如意康宁，好事连连．“巳升升”吉祥物摆件也随之热销，某超市用18000元从厂家购进了300个“巳升升”摆件，并以每个80元的价格销售，销售了一部分后正值元旦促销，该超市将剩下的“巳升升”摆件在原售价的基础上打8折继续销售，并且全部售完．已知这批“巳升升”摆件获得的总利润是2800元． (1)求每个“巳升升”摆件的进价是多少元? (2)请你算一算打8折前共售出多少个“巳升升”摆件? 变式1． 寒假快来了，小飞同学打算买一把元的羽毛球拍．但是，他不想用爸妈的钱，打算利用春节前的消费热情，自己赚取．他瞄准小朋友节前买玩具的需求，用元从批发市场购进甲、乙两种玩具，共件．其中甲玩具的进价是元件，乙玩具的进价是元件． (1)小飞购进甲、乙两种玩具各多少件？ (2)小飞计划将甲玩具元件卖出，乙玩具元件卖出，若甲、乙两种玩具都顺利卖完，小飞赚的钱够买那把羽毛球拍吗 变式2． 某商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价50元，售价80元，乙种商品每件进价40元，售价60元． (1)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价用去2100元，求购进甲种商品多少件？ (2)在“元旦”期间，该商场对甲、乙两种商品进行如表的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额不超过380元 所有商品不优惠 打折前一次性购物总金额超过380元，但不超过500元 所有商品售价打九折 打折前一次性购物总金额超过500元 所有商品售价打八折 按上述优惠条件，若小明这天只购买了甲种商品，实际付款432元，求小明这天在该商场购买甲商品多少件？ 变式3． 一商店在某一时间以每件m元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利，另一件亏损，若卖出这两件衣服商店共亏损10元，则m的值为（    ） A．80 B．100 C．120 D．200 【题型3 一元一次方程的应用之方案问题】 例3．某食品加工厂计划到草莓种植基地购买一批草莓，种植基地对购买量在1200千克（含1200千克）以上的有两种销售方案，方案一：每千克25元，由基地送货上门；方案二：每千克22元，由食品加工厂自己运回，已知该食品加工厂租车从基地到工厂的运输费为4200元． (1)食品加工厂购买多少千克草莓时，选择两种购买方案所需的费用相同？ (2)如果食品加工厂计划购买2500千克草莓，选择哪种方案省钱？为什么？ 变式1． 运动会期间，各班都如火如荼地准备着入场式，七年级8班计划购买若干裙子和帽子作为演出服装，经调查发现网上某店铺每条裙子卖90元，每顶帽子卖12元，给出的优惠方案如下：方案一，以原价购买，购买一条裙子赠送两顶帽子；方案二，总价打8折．若该班级计划购买条裙子和顶帽子（）． (1)请用含、的代数式分别表示出两种方案的实际费用； (2)当，时，哪种方案更便宜呢？请通过计算说明； (3)当时，两种方案的费用相同，请求出此时的值． 变式2． 某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一种型号的电脑报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠．甲，乙两商场的优惠条件如下表所示： 商场 优惠条件 甲商场 第一台按原价收费，其余的每台优惠 乙商场 每台优惠 设学校购买台电脑，选择甲商场时，所需费用为元，选择乙商场时，所需费用为元． (1)请分别求出，与x之间的关系式． (2)求当该学校购买多少台电脑时，选择甲商场和乙商场所需的费用相同． 变式3． 英才学校组织七、八年级老师到某地参加培训会，需要租用大巴车接送老师往返学校和参会地，现租赁公司有25座和45座两种型号的大巴车可供选择．已知25座大巴车每辆每天的租金比45座大巴车的租金便宜400元，学校第一天租用2辆45座和5辆25座大巴车，共付租金5000元． (1)学校租用25座和45座大巴车每辆每天的租金各是多少元？ (2)因为第二天培训的内容主要针对七年级的老师，所以八年级的老师不用参加，因此要重新确定租车方案．现有如下两种选择： 方案一：全部租用25座的大巴车，则有一辆车空出15个座位； 方案二：全部租用45座的大巴车，刚好坐满且比只租用25座的大巴车少租3辆． 请分别计算两种方案所需要的租金，并说明哪种方案更省钱． 【题型4 一元一次方程的应用之配套问题】 例4．在手工制作课上，老师组织七年级班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒七年级班共有学生人，其中男生人数比女生人数少人，并且每名学生每小时剪筒身个或剪筒底个． (1)七年级班有男生、女生各多少人？ (2)要求一个筒身配两个筒底，那么如何进行人员调配，才能使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套？ 变式1． 同安珠光青瓷作为古代海上丝绸之路的重要商品，以其独特的工艺和精美的图案赢得了广泛的赞誉．某瓷器厂一车间有14名工人，每名工人每天可以加工10只茶壶或30只茶杯，1只茶壶需要配4只茶杯．为使每天加工的茶壶和茶杯刚好配套，该车间应安排多少名工人加工茶壶．若设该车间应安排x名工人加工茶壶，则所列方程正确的是（） A． B． C． D． 变式2． 为迎接六一儿童节，某工厂要制作一批礼盒，每个礼盒由2个A盲盒和3个B盲盒组成．已知工厂有17名技术工人，平均每人每天可加工A盲盒24个或B盲盒15个，应如何分配工人才能使每天生产的A盲盒和B盲盒配套；设生产A盲盒工人x名，则以下列出的方程中正确的是（　　） A． B． C． D． 变式3． 某车间加工生产一种创意式三角桌，已知该车间有85名工人，平均每人每天可以加工桌面8个或桌腿10条，又知1个桌面和3条桌腿配为一套，该车间应如何安排工人使每天加工的桌面与桌腿刚好配套？ 【题型5 一元一次方程的应用之工程问题】 例5．某工厂计划生产一批零件，如果每天生产20个，则比计划晚一天完成；如果每天生产25个，则比计划早一天完成．求计划生产的天数． 变式1． 某工厂计划生产一批零件，如果每天生产个，则比计划晚一天完成；如果每天生产个，则比计划早一天完成．设计划生产个零件，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 变式2． 为更好地完成某市民健身步道改造任务，甲乙两个施工队合作施工．已知甲单独施工9天可以完成，乙单独施工6天可以完成．现在甲先单独施工1天，再由甲、乙合作施工2天，余下的工作由乙单独完成，那么乙队还需要施工多少天才可以完成任务？ 变式3． 在繁忙的都市生活中，地铁作为城市交通的重要组成部分，承载着无数人的日常出行需求．某线路地铁进行修建，修建后产生的建筑垃圾需要清理．现计划租用甲、乙两车队清理建筑垃圾，已知甲车队单独运完需要9天，乙车队单独运完需要12天．乙车队先运了5天，然后甲、乙两车队共同合作运完剩下的垃圾．（列方程解决下列问题） (1)甲、乙两车队共同合作了多少天？ (2)已知甲车队每天的租金比乙车队多80元，运完垃圾后需支付甲、乙两车队租金共5740元，求乙车队每天的租金． 【题型6 一元一次方程的应用之行程问题】 例6．甲、乙两人相距，相向而行，甲从地出发，每分钟走，乙从地出发，每分钟走，如果甲先走，求甲出发后多久与乙相遇．设甲出发后与乙相遇，根据题意，所列方程是 ． 变式1． 在环形自行车赛场内，甲、乙、丙三人骑自行车进行训练，他们的速度是：甲每分钟圈，乙每分钟圈，丙每分钟圈，他们同时出发，起点如下图所示（甲、乙、丙分别从点、点、点出发），沿环形赛场顺时针运动，则出发后第 分钟甲、丙第一次相遇；出发后第 分钟三人第一次相遇． 变式2． 甲、乙两车从相距78千米的两地同时相向出发，甲车的速度为每小时60千米，乙车的速度比甲车每小时慢20千米，甲在中途爆胎，原地停留了0.2小时修车，乙车速度不变．问两车发车多久后相遇？ 变式3． 已知、、三点在同一直线上，某人乘船由地顺流而下到地，然后又逆流而上到地，共乘船3小时，已知船在静水中的速度是7千米/小时，水流速度是1千米/小时，若、两地距离为2千米，则、两地之间的距离是 千米． 【题型7 一元一次方程的应用之数字问题】 例7．如图，在九宫格中，每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等，则字母t表示的数应该是 ． 变式1． 一个两位数，个位数字与十位数字的和是9，如果将个位数字与十位数字对调后所得的新数比原数小9，则原来的两位数为 ． 变式2. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“快乐数”．例如：四位数，∵，∴是“快乐数”；又如：四位数，∵，∴不是“快乐数”．若一个“快乐数”为，则m的值为 ． 变式3. 小明同学喜欢玩“数字游戏”，他将1，3，5，7…，这个奇数按照下表进行排列，每行7个数，若在下表中，移动带阴影的框，框中的4个数的和可以是（   ）． A． B． C． D． 【题型8 一元一次方程的应用之比赛问题】 例8．某校七年级学生进行数学知识竞赛，共有20道题，答对一题得5分，答错或不答扣2分．小明最终得分是72分，问他答对了几道题？ 变式1． 中国航天实现历史性高质量跨越式发展，太空水稻有望实现优质增产，太空黄瓜、太空番茄等蔬菜备受好评，某校为激发学生对航空航天的兴趣，举行了航空航天知识竞赛，此次知识竞赛共20道题，答对一题得5分，答错或不答一题扣2分，萌萌同学在此次知识竞赛中的得分是72分，求她答对了多少道题？ 变式2. 预备年级组织数学计算知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录的是名参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 听听 欢欢 乐乐 (1)由表格知，答对一题得________分，答错一题扣________分． (2)乐乐得了分，他答对了几道题？（请用方程作答） (3)小华说他得了分，你认为可能吗？为什么？ 变式3. 某次考试有道选择题，每做对一题得分，不做或做错一题扣分，小李共得分，那么他不做或做错的题目是（    ） A．道 B．道 C．道 D．道 【题型9 一元一次方程的应用之几何问题】 例9．如图，小明从一张正方形纸片上剪去一个宽为的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么原来正方形纸片的面积是 ． 变式1． 将边长为的正方形卡片和边长为的正方形卡片按如图方式叠放在一起，重叠部分为长方形．若整个图形的外围周长恰好等于重叠部分周长的3倍，则重叠部分的周长为（    ） A． B． C． D． 变式2. 两个圆柱体容器如图所示，它们的底面直径分别为和，左侧容器的高为，先在左侧容器中倒满水，然后将其倒入空置的右侧容器中，倒完以后（不存在倒水漏洒的情况），此时右侧容器中的水面离右侧容器底部有多高？（请你通过方程思想解决这个问题） 变式3. 长方形的周长为18厘米，长比宽多1厘米，则长方形的面积为 平方厘米． 【题型10 一元一次方程的应用之电费和水费问题】 例10．为鼓励节约能源，某电力公司特别出台了新的用电收费标准： 每户每月用电量 不超过200度 超过200度（超出部分的收费） 收费标准 每度元 每度元 (1)小林家4月份用电160度，则小林家4月份应付的电费为多少元？ (2)小林家6月份用电度，请你用x表示小林家6月份应付的电费； (3)小林家11月份交付电费156元，请利用方程的知识，求出小林家11月份的用电量． 变式1． 下表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 a 0.50 超过17吨但不超过30吨的部分 b 0.50 超过30吨的部分 3.00 0.50 （说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用量；②水费＝自来水费用＋污水处理费） 已知小王家2024年7月用水16吨，交水费32元；8月份用水28吨，交水费67元． (1)求a，b的值． (2)如果小王家9月份上交水费115元，则小王家这个月用水多少吨？ (3)小王家10月份忘记去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水52吨（其中10月份用水超过30吨），一共交水费132.59元（其中包含10月份的滞纳金，即10月份水费的），求小王家11月份用水多少吨．（滞纳金：因未能按期缴纳水费，逾期要缴纳的“罚款金额”） 变式2. 某市为鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费： 若每月用水不超过8吨，则按每吨1.5元收费； 若每月用水超过8吨不超过20吨，则超过8吨的部分按每吨元收费； 若每月用水超过20吨，则超过20吨的部分按每吨4元收费． 某户居民今年5月用水14吨，缴纳了30元水费． (1)求的值； (2)若某月某户居民用水15吨，则应缴水费______元；若某月某户缴纳水费60元，则当月用水______吨； (3)小明家7、8两个月一共用水30吨，两次一共缴纳水费67元，其中7月份用水量多于8月份，试求8月份小明家用水多少吨？ 变式3. 某市居民的燃气收费，按户为基础、年为周期进行阶梯收费，具体如表所示．请根据表中信息解答下列问题： 阶梯 年用气量x（） 收费单价 第一阶梯 的部分 元/ 第二阶梯 的部分 3.15元/ 第三阶梯 以上的部分 3.63元/ 备注：若家庭人口不超过四人，按照上表进行收费；若超过四人，每增加一人，第一、二阶梯年用气量的上限分别增加、． (1)一户3人家庭，若年用气量为，则该年此户需缴纳燃气费用为_________元；若年用气量为，则该年此户需缴纳燃气费用为_________元； (2)一户不超过4人的家庭，年用气量x超过了，设该年此户需缴纳燃气费用为y元，请用含x的代数式表示y； (3)甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5人，2025年甲乙两户缴纳的燃气费用均为3951元．请判断甲乙两户年用气量分别达到哪个阶梯？并求出2025年甲乙两户年用气量分别是多少立方米（结果精确到 ）？ 一、单选题 1．一项工程，甲单独做要天完成，乙单独做要天完成，现由甲先做天，剩下的由甲、乙合作完成，则还需要几天完成这项工程（   ） A．天 B．天 C．天 D．天 2．某校组织师生研学，若租用49座客车若干辆，刚好坐满；若租用54座客车，可比49座客车少租两辆且空余17个座位．若设租用的49座客车有辆，则可列方程（   ） A． B． C． D． 3．龟和鹤都是长寿的动物，龟和鹤在一起的寓意是龟鹤齐龄、龟鹤延年．如图，王爷爷和李奶奶正在讨论一幅龟鹤延年的画，你能帮忙算一下龟、鹤各多少只吗？ 嘉嘉：设龟有只，则可列方程． 琪琪：设龟的腿有条，则可列方程． 关于嘉嘉和琪琪的做法，你认为（　　） A．只有嘉嘉正确 B．只有琪琪正确 C．嘉嘉和琪琪都错误 D．嘉嘉和琪琪都正确 4．若的补角是的余角的三倍，则是（   ） A． B． C． D． 5．某个体商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，售价都是135元，若按成本计，其中一件盈利，另一件亏本，在这次买卖中他（ ） A．不赚不赔 B．赔18元 C．赚18元 D．赚9元 6．小刘在某月的日历上圈出相邻的三个日期，并求出它们的和是21，则三个日期在日历中的排布不可能的是（   ） A． B． C． D． 7．为了鼓励学生参加体育锻炼活动，班主任王老师将班级同学进行分组（组数固定）．若每组6人，则多余4人；若每组7人，则还缺3人．设班级同学被分成了x组，则可列方程（    ） A． B． C． D． 8．中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长尺；若将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子短尺，问绳索、竿子各有多长？甲、乙两人所列方程如下，下列选项判断正确的是（    ） 甲：设竿子长为尺，根据题意可列方程为； 乙：设绳索长为尺，根据题意可列方程为 A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲、乙都错 D．甲、乙都对 二、填空题 9．某地对居民用电的收费标准为：如果每月用电量不超过100度，那么每度按元收费，如果超过100度，超出部分按每度元收费，已知该户居民这个月缴纳电费元，若设该户居民一个月用电x度，则可列方程为 ． 10．某超市推出如下优惠方案：（1）一次性购物不超过100元，不享受优惠；（2）一次性购物超过100元但不超过300元，一律9折；（3）一次性购物超过300元，一律8折．一人两次购物分别付款80元、252元，如果他将这两次所购商品一次性购买，那么应付款 元． 11．某校在七年级11个班中开展篮球单循环比赛，比赛规则规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场得3分，负一场扣1分．若某班在全部比赛中得了14分，那么该班胜了 场． 12．学校组织学生乘坐大巴去参观博物馆，若每辆大巴坐25名学生，则有15名学生没有座位；若每辆大巴坐30名学生，则恰好空出1辆大巴．学校一共有 名学生． 13．甲、乙两车分别在相距240千米的A、B两地，甲车速度为120千米/小时，乙车速度为80千米/小时，两车同时出发相向而行，当两车相距20千米时，两车行驶的时间为 三、解答题 14．如图，表中给出的是某月的月历，选取“凹”形框中的五个数（如阴影部分所示）．若将“凹”形框上下左右移动，按同样的方式框住另外的五个数． (1)若“凹”形框框住的上行的两个数之和比下行的三个数之和小，求“凹”形框框住的五个数； (2)“凹”形框框住的五个数的和能否为？若能，求出其中的最小数；若不能，说明理由． 15．在购买足球赛门票时，设购买门票张数为（张），现有两种购买方案： 方案一：若单位赞助广告费元，则该单位购买门票价格为元每张（总费用广告赞助费门票费）． 方案二：若购买的门票数不超过张，每张元，若所购门票超过张，则超出部分按八折计算． 解答下列问题： (1)方案一中，用含的代数式来表示总费用为 方案二中，当购买的门票数不超过张时，用含的代数式来表示总费用为 当所购门票数超过张时，用含的代数式来表示总费用为 ； (2)甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买本次足球赛门票，合计张（甲乙两单位购买数量均大于100张），花去的总费用计58000元，求甲、乙两单位各购买门票多少张？ 16．为解决农民看病难问题，某县全面开始实行新型农村合作医疗，对住院农民的医疗费实行分段报销制．下面是某县级医疗机构住院病人累计分段报销表： 医疗费 报销比例 元以下含元 元不含至元部分 元不含至元部分 元不含至元部分 元以上部分 例：某住院病人花去医疗费元，报销金额为元 (1)农民刘老汉在月份因病住院花去医疗费元，他可以报销多少元； (2)刘老汉在月份旧病复发再次住院，这次报销医疗费元，刘老汉这次住院花去医疗费多少？ 17．小敏和小强假期到某工厂参加社会实践，该工厂用白板纸做包装盒，设计每张白板纸做盒身2个或者盒盖3个，且一个盒身和两个盒盖恰好做成一个包装盒．为了充分利用材料，要求做成的盒身和盒盖正好配套． (1)现有14张白板纸，最多可做几个包装盒？（列一元一次方程解答） (2)现有27张白板纸，最多可做几个包装盒？ 为了解决问题（2），小敏和小强分别设计了自己的解决方案． 小敏：把这些白板纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒盖． 小强：先把一张白板纸适当套裁出一个盒身和一个盒盖；余下白板纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒盖． 请探究：小敏和小强设计的方案是否可行？若可行，求出最多可做包装盒的个数；若不行，请说明理由． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 一元一次方程的应用 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：列一元一次方程解应用题的步骤 审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系. 设：设未知数（一般求什么，就设什么为x）. 找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系. 列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程. 解：解所列出的方程，求出未知数的值. 答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 知识点2：用一元一次方程解决实际问题的常见类型 1. 行程问题：路程=速度×时间 2. 顺水逆水问题：顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速-水速 3. 和差倍分问题：增长量=原有量×增长率 4. 利润问题：商品利润=商品售价-商品进价 5. 工程问题：工作量=工作效率×工作时间，各部分劳动量之和=总量 6. 银行存贷款问题：本息和=本金+利息，利息=本金×利率×期数 7. 数字问题：多位数的表示方法：例如： 【题型1 一元一次方程的应用之古代问题】 例1．我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长x尺，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，设木长x尺，根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”列出一元一次方程即可，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：根据题意得，， 故选：C． 变式1． 《九章算术》中记载了这样一个数学问题，其大意为：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发，问乙出发几日后甲乙相逢？设乙出发x日后甲乙相逢，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据实际情况，列一元一次方程，设全程为1，则甲的速度为，乙的速度为． 乙先出发2日，甲出发后相遇时，乙行走日，甲行走日． 相遇时两人行走距离之和等于全程，列出方程即可． 【详解】解：设全程为1，则甲的速度为，乙的速度为，由题意，甲行走距离为 ，乙行走距离为 ， ∴ ， 故选C． 变式2． 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，若每3人共乘一车，则最终剩余2辆车；若每2人共乘车，则最终剩余9个人无车可乘，问：共有多少人？多少辆车？设有x辆车，列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意找准等量关系列方程即可． 本题考查了古籍中的一元一次方程，熟练掌握列方程的基本要领是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故选：B． 变式3． 列方程解应用题． 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数几何？”意思是现有几个人共买一件物品，每人出8钱．多出3钱；每人出7钱，差4钱．问人数是多少？ 【答案】有7人 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用．设有人，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设有人，根据题意得： ， 解得：． 答：人数是7人． 【题型2一元一次方程的应用之销售问题】 例2．春节将至，中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》发布官方吉祥物形象“巳升升”，祝福全球华人在新的一年如意康宁，好事连连．“巳升升”吉祥物摆件也随之热销，某超市用18000元从厂家购进了300个“巳升升”摆件，并以每个80元的价格销售，销售了一部分后正值元旦促销，该超市将剩下的“巳升升”摆件在原售价的基础上打8折继续销售，并且全部售完．已知这批“巳升升”摆件获得的总利润是2800元． (1)求每个“巳升升”摆件的进价是多少元? (2)请你算一算打8折前共售出多少个“巳升升”摆件? 【答案】(1)60元 (2)100个 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用． （1）利用“每个进价数量总进价”即可求得结果； （2）设打8折前共售出x个“巳升升”摆件，则打8折后共售出个“巳升升”摆件，根据已知条件列出方程并求解x的值即可． 【详解】（1）解：∵某超市用18000元从厂家购进了300个“巳升升”摆件， ∴每个“巳升升”摆件的进价是（元）， 即每个“巳升升”摆件的进价是60元． （2）解：设打8折前共售出x个“巳升升”摆件，则打8折后共售出个“巳升升”摆件， 根据题意得：， 解得，              ∴打8折前共售出100个“巳升升”摆件． 变式1． 寒假快来了，小飞同学打算买一把元的羽毛球拍．但是，他不想用爸妈的钱，打算利用春节前的消费热情，自己赚取．他瞄准小朋友节前买玩具的需求，用元从批发市场购进甲、乙两种玩具，共件．其中甲玩具的进价是元件，乙玩具的进价是元件． (1)小飞购进甲、乙两种玩具各多少件？ (2)小飞计划将甲玩具元件卖出，乙玩具元件卖出，若甲、乙两种玩具都顺利卖完，小飞赚的钱够买那把羽毛球拍吗 【答案】(1)购进甲种玩具件，购进乙种玩具件 (2)够 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的混合运算的应用，理解题意，正确列出方程是关键； （1）设购进甲种玩具件，则购进乙种玩具件，根据等量关系：用元从批发市场购进甲、乙两种玩具，列出一元一次方程并求解即可； （2）计算卖出甲、乙两种玩具的总利润，并与100元比较即可． 【详解】（1）解：设购进甲种玩具件，则购进乙种玩具件， 由题意得，， 解得：， ， 答：购进甲种玩具件，购进乙种玩具件； （2）解：元， ， 答：小飞赚的钱够买那把羽毛球拍． 变式2． 某商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价50元，售价80元，乙种商品每件进价40元，售价60元． (1)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价用去2100元，求购进甲种商品多少件？ (2)在“元旦”期间，该商场对甲、乙两种商品进行如表的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额不超过380元 所有商品不优惠 打折前一次性购物总金额超过380元，但不超过500元 所有商品售价打九折 打折前一次性购物总金额超过500元 所有商品售价打八折 按上述优惠条件，若小明这天只购买了甲种商品，实际付款432元，求小明这天在该商场购买甲商品多少件？ 【答案】(1)10件 (2)6件 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． （1）设购进甲种商品件，则购进乙种商品件，根据“总进价用去2100元”列出一元一次方程，解方程即可得出结果； （2）由题意可得小明这天购物金额超过了元，分两种情况：当打折前小明购物总金额超过380元，但不超过500元时；当打折前小明购物总金额超过500元时，分别列出一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：设购进甲种商品件，则购进乙种商品件， 由题意可得：， 解得：， ∴购进甲种商品件； （2）解：小明这天在该商场购买甲商品件， ， ∴打折前的购物总金额超过了380元， 当打折前小明购物总金额超过380元，但不超过500元时，由题意可得：， 解得：，此时购物总金额为元，满足，故符合题意； 当打折前小明购物总金额超过500元时，， 解得：（为整数，故不符合题意）， 综上所述，小明这天在该商场购买甲商品件． 变式3． 一商店在某一时间以每件m元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利，另一件亏损，若卖出这两件衣服商店共亏损10元，则m的值为（    ） A．80 B．100 C．120 D．200 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次方程的运用，理解题目中的数量关系列方程求解，掌握一元一次方程的运用是解题的关键． 设盈利的衣服的进价为元，亏损的衣服的进价为元，分别表示出两件衣服的进价，根据亏损列式求解即可． 【详解】解：设盈利的衣服的进价为元，亏损的衣服的进价为元， ∴盈利的情况是：，亏损的情况是：， ∴，， ∵卖出两件衣服商店共亏损了元， ∴， 解得． 故选：C． 【题型3 一元一次方程的应用之方案问题】 例3．某食品加工厂计划到草莓种植基地购买一批草莓，种植基地对购买量在1200千克（含1200千克）以上的有两种销售方案，方案一：每千克25元，由基地送货上门；方案二：每千克22元，由食品加工厂自己运回，已知该食品加工厂租车从基地到工厂的运输费为4200元． (1)食品加工厂购买多少千克草莓时，选择两种购买方案所需的费用相同？ (2)如果食品加工厂计划购买2500千克草莓，选择哪种方案省钱？为什么？ 【答案】(1)食品加工厂购买1400千克草莓时，选择两种购买方案所需的费用相同 (2)方案二省钱，理由见解析 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意得到等量关系是解题的关键． （1）设食品加工厂购买千克草莓，选择两种购买方案所需的费用相同，再根据题意列出一元一次方程并正确解出即为本题答案； （2）分别列式求出两种方案分别多少钱，再比较大小即可得到本题答案． 【详解】（1）解：设食品加工厂购买千克草莓，选择两种购买方案所需的费用相同， 方案一：费用为， 方案二：费用为 则由题意得：， 解得：， 答：食品加工厂购买1400千克草莓时，选择两种购买方案所需的费用相同． （2）解：食品加工厂计划购买2500千克草莓， ∴方案一：（元）， 方案二：（元）， ∵， ∴方案二更省钱． 变式1． 运动会期间，各班都如火如荼地准备着入场式，七年级8班计划购买若干裙子和帽子作为演出服装，经调查发现网上某店铺每条裙子卖90元，每顶帽子卖12元，给出的优惠方案如下：方案一，以原价购买，购买一条裙子赠送两顶帽子；方案二，总价打8折．若该班级计划购买条裙子和顶帽子（）． (1)请用含、的代数式分别表示出两种方案的实际费用； (2)当，时，哪种方案更便宜呢？请通过计算说明； (3)当时，两种方案的费用相同，请求出此时的值． 【答案】(1)方案一：（元），方案二：（元） (2)方案二便宜 (3)时，两种方案的费用相同 【分析】本题考查列代数式、代数式求值、整式的加减应用，理解题意，正确列出代数式是解答的关键． （1）根据两种优惠方案结合实际费用等于数量×单价列出代数式即可； （2）将a、b值分别代入（1）中代数式中求解，进而比较大小做出判断即可； （3）将a代入（1）中得到关于b的代数式，得到关于b的方程，解方程求出结论． 【详解】（1）解：根据题意得： 方案一：（元）， 方案二：（元）； （2）解：当，时， 方案一：（元）， 方案二：（元）， ， 方案二便宜； （3）解：当时，方案一：（元），方案二：（元）， ∵当时，两种方案的费用相同， ∴， 解得：， 时，两种方案的费用相同. 变式2． 某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一种型号的电脑报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠．甲，乙两商场的优惠条件如下表所示： 商场 优惠条件 甲商场 第一台按原价收费，其余的每台优惠 乙商场 每台优惠 设学校购买台电脑，选择甲商场时，所需费用为元，选择乙商场时，所需费用为元． (1)请分别求出，与x之间的关系式． (2)求当该学校购买多少台电脑时，选择甲商场和乙商场所需的费用相同． 【答案】(1)，(为正整数)； (2)5台 【分析】本题考查了一次函数的实际应用问题以及不等式与方程的解法．解题的关键是理解题意， 根据题意求得函数解析式，然后利用函数的性质求解． （1）根据题意列出算式即可； （2）根据（1）的结论列方程解答即可． 【详解】（1）由题意可得，， (为大于1的整数)； （2）由，得，解得 ∴当该学校购买5台电脑时，选择甲商场和乙商场所需的费用相同． 变式3． 英才学校组织七、八年级老师到某地参加培训会，需要租用大巴车接送老师往返学校和参会地，现租赁公司有25座和45座两种型号的大巴车可供选择．已知25座大巴车每辆每天的租金比45座大巴车的租金便宜400元，学校第一天租用2辆45座和5辆25座大巴车，共付租金5000元． (1)学校租用25座和45座大巴车每辆每天的租金各是多少元？ (2)因为第二天培训的内容主要针对七年级的老师，所以八年级的老师不用参加，因此要重新确定租车方案．现有如下两种选择： 方案一：全部租用25座的大巴车，则有一辆车空出15个座位； 方案二：全部租用45座的大巴车，刚好坐满且比只租用25座的大巴车少租3辆． 请分别计算两种方案所需要的租金，并说明哪种方案更省钱． 【答案】(1)学校租用25座大巴车每辆每天的租金是600元，租用45座大巴车每辆每天的租金是1000元 (2)方案一，二所需要的租金分别是元元，选择方案二更省钱 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，根据25座大巴车每辆每天的租金比45座大巴车的租金便宜400元，学校第一天租用2辆45座和5辆25座大巴车，共付租金5000元，列方程，解得，故，即可作答． （2）理解题意，分别算出方案一和方案二所需要的租金，再进行比较大小，即可作答． 【详解】（1）解：设学校租用25座大巴车每辆每天的租金是元， 则学校租用45座大巴车每辆每天的租金是元， 根据题意得， 解得， ∴（元）． 答：学校租用25座大巴车每辆每天的租金是600元，租用45座大巴车每辆每天的租金是1000元； （2）解：由（1）得学校租用25座大巴车每辆每天的租金是600元，租用45座大巴车每辆每天的租金是1000元； 依题意，设全部租用45座的大巴车需要租用辆， 则全部租用25座的大巴车需要租用辆， 根据题意得， 解得， ∴（元）； （元）． 方案一，二所需要的租金分别是元元， ∵， ∴选择方案二更省钱． 【题型4 一元一次方程的应用之配套问题】 例4．在手工制作课上，老师组织七年级班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒七年级班共有学生人，其中男生人数比女生人数少人，并且每名学生每小时剪筒身个或剪筒底个． (1)七年级班有男生、女生各多少人？ (2)要求一个筒身配两个筒底，那么如何进行人员调配，才能使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套？ 【答案】(1)男生人，女生人 (2)人剪筒身，人剪筒底，剪出的筒身与筒底刚好配套 【分析】（）设七年级班有男生人，则女生有人，根据题意列出方程即可求解； （）设安排人剪筒身，则安排人剪筒底，根据题意列出方程即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键 【详解】（1）解：设七年级班有男生人，则女生有人， 由题意得，， 解得， ， 答：七年级班有男生人，女生人； （2）解：设安排人剪筒身，则安排人剪筒底， 由题意得，， 解得， ， 答：人剪筒身，人剪筒底，剪出的筒身与筒底刚好配套． 变式1． 同安珠光青瓷作为古代海上丝绸之路的重要商品，以其独特的工艺和精美的图案赢得了广泛的赞誉．某瓷器厂一车间有14名工人，每名工人每天可以加工10只茶壶或30只茶杯，1只茶壶需要配4只茶杯．为使每天加工的茶壶和茶杯刚好配套，该车间应安排多少名工人加工茶壶．若设该车间应安排x名工人加工茶壶，则所列方程正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设该车间应安排x名工人加工茶壶，则安排名工人加工茶杯，利用加工的茶杯总数是加工的茶壶总数的4倍，列出关于x的一元一次方程即可． 【详解】解：设加工茶壶的工人数为x，则加工茶杯的工人数为， ∵茶壶总数为，茶杯总数为， 又∵1只茶壶配4只茶杯， ∴茶杯数量茶壶数量， 即， ∴方程应为， 故选：C． 变式2． 为迎接六一儿童节，某工厂要制作一批礼盒，每个礼盒由2个A盲盒和3个B盲盒组成．已知工厂有17名技术工人，平均每人每天可加工A盲盒24个或B盲盒15个，应如何分配工人才能使每天生产的A盲盒和B盲盒配套；设生产A盲盒工人x名，则以下列出的方程中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，理解题意是解决本题的关键． 根据题意可知分配名工人生产B盲盒，根据每个礼盒由2个A盲盒和3个B盲盒组成且每人每天可加工A盲盒24个或B盲盒15个，即可列出关于x的一元一次方程． 【详解】解：∵生产A盲盒工人x名， 则分配名工人生产B盲盒， ∵每个礼盒由2个A盲盒和3个B盲盒组成且每人每天可加工A盲盒24个或B盲盒15个， ∴， 故选D． 变式3． 某车间加工生产一种创意式三角桌，已知该车间有85名工人，平均每人每天可以加工桌面8个或桌腿10条，又知1个桌面和3条桌腿配为一套，该车间应如何安排工人使每天加工的桌面与桌腿刚好配套？ 【答案】应安排25人生产桌面，安排60人生产桌腿才能使每天生产的桌面与桌腿刚好配套 【分析】本题考查了一元一次方程的应用. 设安排人生产桌面，则安排人生产桌腿，根据题意列方程求解即可. 【详解】解：设安排人生产桌面，则安排人生产桌腿， 根据题意，得， 解得， 则． 答：应安排25人生产桌面，安排60人生产桌腿才能使每天生产的桌面与桌腿刚好配套． 【题型5 一元一次方程的应用之工程问题】 例5．某工厂计划生产一批零件，如果每天生产20个，则比计划晚一天完成；如果每天生产25个，则比计划早一天完成．求计划生产的天数． 【答案】9天 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意；设计划生产的天数为x天，然后根据题意可得，进而求解即可． 【详解】解：设计划生产的天数为x天． 根据题意，得：， 解得：； 答：计划生产的天数为9天． 变式1． 某工厂计划生产一批零件，如果每天生产个，则比计划晚一天完成；如果每天生产个，则比计划早一天完成．设计划生产个零件，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的工程应用问题，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．根据原计划天数每天生产个的天数 每天生产个的天数，列出方程即可． 【详解】解：∵若每天生产个，计划生产个零件的实际天数为：， 若每天生产个，计划生产个零件的实际天数为：， 又∵原计划天数每天生产个的天数 每天生产个的天数， ∴． 故选：B． 变式2． 为更好地完成某市民健身步道改造任务，甲乙两个施工队合作施工．已知甲单独施工9天可以完成，乙单独施工6天可以完成．现在甲先单独施工1天，再由甲、乙合作施工2天，余下的工作由乙单独完成，那么乙队还需要施工多少天才可以完成任务？ 【答案】 2 【分析】本题主要考查一元一次方程的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． 设乙队还需要施工天才可以完成任务，由此列方程求解即可． 【详解】解：设乙队还需要施工天才可以完成任务， ∴， 解得，， ∴乙队还需要施工天才可以完成任务． 变式3． 在繁忙的都市生活中，地铁作为城市交通的重要组成部分，承载着无数人的日常出行需求．某线路地铁进行修建，修建后产生的建筑垃圾需要清理．现计划租用甲、乙两车队清理建筑垃圾，已知甲车队单独运完需要9天，乙车队单独运完需要12天．乙车队先运了5天，然后甲、乙两车队共同合作运完剩下的垃圾．（列方程解决下列问题） (1)甲、乙两车队共同合作了多少天？ (2)已知甲车队每天的租金比乙车队多80元，运完垃圾后需支付甲、乙两车队租金共5740元，求乙车队每天的租金． 【答案】(1)甲、乙两车队共同合作了3天 (2)乙车队每天的租金是500元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，根据题意找出等量关系并列出方程是解题关键； （1）根据题意首先可以得知甲车效率为每天运送，乙车效率为每天运送，据此设甲、乙两车合作还需要天运完垃圾，然后进一步列出方程求解即可； （2）设乙车每天租金为y元，则甲车每天租金为元，据此根据“共需支付租金5740元”列出方程求解即可.； 【详解】（1）解：设甲、乙两车队共同合作了天， 由题意可得：， 解得：． 答：甲、乙两车队共同合作了3天． （2）解：设乙车队每天的租金是元，则甲车队每天的租金是元，由题意可得： ， 解得：． 答：乙车队每天的租金是500元． 【题型6 一元一次方程的应用之行程问题】 例6．甲、乙两人相距，相向而行，甲从地出发，每分钟走，乙从地出发，每分钟走，如果甲先走，求甲出发后多久与乙相遇．设甲出发后与乙相遇，根据题意，所列方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意找准等量关系，列出一元一次方程．设甲出发后与乙相遇，则甲行走的路程为，乙行走的路程为，根据甲、乙两人相距，列出方程即可． 【详解】解：设甲出发后与乙相遇，则甲行走的路程为，乙行走的路程为， 根据题意得， 故答案为：． 变式1． 在环形自行车赛场内，甲、乙、丙三人骑自行车进行训练，他们的速度是：甲每分钟圈，乙每分钟圈，丙每分钟圈，他们同时出发，起点如下图所示（甲、乙、丙分别从点、点、点出发），沿环形赛场顺时针运动，则出发后第 分钟甲、丙第一次相遇；出发后第 分钟三人第一次相遇． 【答案】 1 7 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有一定难度，关键是读懂题意，先找出甲乙第一次相遇的时间． 正确设未知数，根据图中所示的甲乙丙的位置及所行驶的方向，然后列方程求出相遇时间，进而分析求解即可得出答案． 【详解】解：①设出发后第x分钟甲、丙第一次相遇, 则，解得， 即出发后第1分钟甲、丙第一次相遇， ②设出发后第y分钟乙、丙第一次相遇， 则，解得， 即出发后第3分钟乙、丙第一次相遇； ③设出发后第z分钟甲、乙第一次相遇， 则，解得， 即出发后第7分钟甲、乙第一次相遇； ∵（分钟），（分钟）， ∴甲、丙第一次相遇后每隔6分钟相遇一次，乙、丙第一次相遇后每隔4分钟相遇一次， ∴出发后第7分钟，甲、丙再次相遇，此时甲、乙第一次相遇，即此时三人第一次相遇， 故答案为：1；7． 变式2． 甲、乙两车从相距78千米的两地同时相向出发，甲车的速度为每小时60千米，乙车的速度比甲车每小时慢20千米，甲在中途爆胎，原地停留了0.2小时修车，乙车速度不变．问两车发车多久后相遇？ 【答案】0.9小时 【分析】此题考查了一元一次方程的应用．设两车发车小时后相遇，根据两车路程之和为78千米列方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设两车发车小时后相遇， 则 解得， 答：两车发车小时后相遇． 变式3． 已知、、三点在同一直线上，某人乘船由地顺流而下到地，然后又逆流而上到地，共乘船3小时，已知船在静水中的速度是7千米/小时，水流速度是1千米/小时，若、两地距离为2千米，则、两地之间的距离是 千米． 【答案】或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想解决问题是关键．由题意可知，船顺流速度为千米/小时，逆流速度为千米/小时，设、两地之间的距离为千米，分两种情况讨论：当在线段上时和当在线段的反向延长线上时，根据顺流速度和逆流速度列出方程求解． 【详解】解：由题意可得，船顺流速度为千米/小时，逆流速度为千米/小时， 设 、两地之间的距离为千米， 情况一：当在线段上时， 有， 两边同乘得：， 即， ， 解得； 情况二：当在线段的反向延长线上时， 有， 两边同乘得：， 即， ， 解得； 综上可知，、两地之间的距离为或千米， 故答案为：或． 【题型7 一元一次方程的应用之数字问题】 例7．如图，在九宫格中，每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等，则字母t表示的数应该是 ． 【答案】30 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键． 设第二行第二列的数为，第三行第二列的数为，根据第二列和第三行的和相等，得，求出；再根据从右上到左下的对角线和第三列的和相等，得，求出． 【详解】解：设第二行第二列的数为，第三行第二列的数为， 由第二列和第三行的和相等，得，化简得， 所以， 由从右上到左下的对角线和第三列的和相等， 设第一行第三列的数为，则， 化简得， 代入，得， 即， 所以， 故答案为：30． 变式1． 一个两位数，个位数字与十位数字的和是9，如果将个位数字与十位数字对调后所得的新数比原数小9，则原来的两位数为 ． 【答案】54 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意；设十位数字为，则个位数字为，表示原数和新数，根据新数比原数小9列方程求解即可． 【详解】解：设十位数字为，则个位数字为；由题意得： ， 解得：， ∴个位数字为，故原数为54； 故答案为54． 变式2. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“快乐数”．例如：四位数，∵，∴是“快乐数”；又如：四位数，∵，∴不是“快乐数”．若一个“快乐数”为，则m的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了数字问题（一元一次方程的应用），新定义下的实数运算等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据“快乐数”的定义，对于四位数，有，，，代入条件建立方程求解． 【详解】解：由题意，得， 即， 整理得， 解得：． 经检验，数字1、5、3、8互不相等且均不为0，符合条件． 故答案为：3． 变式3. 小明同学喜欢玩“数字游戏”，他将1，3，5，7…，这个奇数按照下表进行排列，每行7个数，若在下表中，移动带阴影的框，框中的4个数的和可以是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列代数式，数字问题(一元一次方程的应用)，数字类规律探索等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先用字母表示出来，根据和为偶数，可以先排除A；再根据和等于剩下3个数，分别得到关于x的方程求解，再结合表中数，作出判断． 【详解】解：设阴影的框第一行左起第1个为，则第2个为， 第二行第1个为，第2个为， 则它们的和为， 是奇数，是偶数，故A不符合； ， 解得：，图中每个数是奇数，是偶数，不是奇数，故B不符合； ， 解得：，也不可能，处于最后一列，如图，故C不符合； ， 解得：，这个可能，如图，故D符合， 故选：D． 【题型8 一元一次方程的应用之比赛问题】 例8．某校七年级学生进行数学知识竞赛，共有20道题，答对一题得5分，答错或不答扣2分．小明最终得分是72分，问他答对了几道题？ 【答案】小明答对了16道题 【分析】本题考查一元一次方程解应用题，读懂题意，由等量关系准确列出方程求解是解决问题的关键． 设小明答对了道题，则答错或不答道题，由等量关系列出一元一次方程求解即可得到答案． 【详解】解：设小明答对了道题，则答错或不答道题， 根据题意得， 去括号得， 合并同类项得， 移项得， 解得， 答：小明答对了16道题． 变式1． 中国航天实现历史性高质量跨越式发展，太空水稻有望实现优质增产，太空黄瓜、太空番茄等蔬菜备受好评，某校为激发学生对航空航天的兴趣，举行了航空航天知识竞赛，此次知识竞赛共20道题，答对一题得5分，答错或不答一题扣2分，萌萌同学在此次知识竞赛中的得分是72分，求她答对了多少道题？ 【答案】她答对了16道题 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设她答对了道题，则答错或不答道题，通过设未知数列方程求解即可． 【详解】解：设她答对了道题，则答错或不答道题， 根据题意得：， ， ， ， ， 答：她答对了16道题． 变式2. 预备年级组织数学计算知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录的是名参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 听听 欢欢 乐乐 (1)由表格知，答对一题得________分，答错一题扣________分． (2)乐乐得了分，他答对了几道题？（请用方程作答） (3)小华说他得了分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】(1) (2)16道题 (3)不可能，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用、有理数的运算，熟练掌握“得分规则（答对得分答错扣分总得分）”并建立方程是解题的关键． （1）通过听听全对的得分求答对一题的分数，再结合欢欢的得分算答错一题的扣分． （2）设乐乐答对题数为未知数，根据“答对得分答错扣分总得分”列方程求解． （3）假设小华得分分，设答对题数为未知数，列方程后判断解是否为整数且符合题数范围． 【详解】（1）解：∵听听答对题得分， ∴答对一题得分：分， 设答错一题扣分，欢欢答对题、答错题得分， 则， 解得， 故答案为：，； （2）解：设乐乐答对题，则答错题， 根据题意得， 解得， ∴他答对了道题； （3）解：小华不可能得分，理由如下： 假设小华得分，设他答对题，则答错题， 列方程：， ， ， ， ∵不是整数，不符合题数为整数的实际情况， ∴小华不可能得分． 变式3. 某次考试有道选择题，每做对一题得分，不做或做错一题扣分，小李共得分，那么他不做或做错的题目是（    ） A．道 B．道 C．道 D．道 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设做对题数为，则不做或做错题数为，根据题意得，即可求解． 【详解】解：设做对题数为，则不做或做错题数为， 根据题意得， 解得 不做或做错题数为（道） 故选：B． 【题型9 一元一次方程的应用之几何问题】 例9．如图，小明从一张正方形纸片上剪去一个宽为的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么原来正方形纸片的面积是 ． 【答案】36 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． 设原来正方形纸片的边长为，根据题意列出方程，求出的值即可解答． 【详解】解：设原来正方形纸片的边长为， 由题意得，， 解得， ∴原来正方形纸片的边长为， ∴原来正方形纸片的面积是． 故答案为：36． 变式1． 将边长为的正方形卡片和边长为的正方形卡片按如图方式叠放在一起，重叠部分为长方形．若整个图形的外围周长恰好等于重叠部分周长的3倍，则重叠部分的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的周长，一元一次方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键． 先计算出两个正方形的总周长，设重叠部分的周长为，则整个图形的外围周长为，再根据整个图形的外围周长恰好等于重叠部分周长的3倍即可列方程求解． 【详解】解：由题意得，边长为的正方形周长：； 边长为的正方形周长：， ∴两个正方形周长和为：， 设重叠部分的周长为，则整个图形的外围周长为：， ∵整个图形的外围周长恰好等于重叠部分周长的3倍， ∴ ， 解得：． 故选：C． 变式2. 两个圆柱体容器如图所示，它们的底面直径分别为和，左侧容器的高为，先在左侧容器中倒满水，然后将其倒入空置的右侧容器中，倒完以后（不存在倒水漏洒的情况），此时右侧容器中的水面离右侧容器底部有多高？（请你通过方程思想解决这个问题） 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，圆柱的体积，找到等量关系是解题的关键．根据水的体积不变，可得小圆柱体的体积等于大圆柱体的底面积乘以此时大圆柱中水的高度，列出方程，即可得出答案． 【详解】解：设此时右侧容器中的水面离右侧容器底部． 解得， 答：此时右侧容器中的水面离右侧容器底部． 变式3. 长方形的周长为18厘米，长比宽多1厘米，则长方形的面积为 平方厘米． 【答案】 20 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意得到等量关系列出方程是解题的关键． 设长方形的宽为x厘米，再根据长方形的周长公式和长比宽多1厘米的条件，列出方程求解长和宽，再计算面积即可解答． 【详解】解：设长方形的宽为x厘米，则长为厘米， 依题意得，， 解得， ∴长方形的宽为4厘米，长为5厘米， ∴长方形的面积为（平方厘米）． 故答案为：20． 【题型10 一元一次方程的应用之电费和水费问题】 例10．为鼓励节约能源，某电力公司特别出台了新的用电收费标准： 每户每月用电量 不超过200度 超过200度（超出部分的收费） 收费标准 每度元 每度元 (1)小林家4月份用电160度，则小林家4月份应付的电费为多少元？ (2)小林家6月份用电度，请你用x表示小林家6月份应付的电费； (3)小林家11月份交付电费156元，请利用方程的知识，求出小林家11月份的用电量． 【答案】(1)元 (2) (3)270度 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，进行列式计算，即可作答． （2）理解题意，当时，结合用电收费标准方式进行列式化简，即可作答． （3）先整理得，设11月份用电量为x度，且，依题意，得，再进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，（元）， ∴小林家4月份应付的电费为元； （2）解：当时，则电费为（元）； （3）解：依题意，， 设11月份用电量为x度，且； 由（2）得当时，则电费为元， 依题意，得， 解得． 变式1． 下表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 a 0.50 超过17吨但不超过30吨的部分 b 0.50 超过30吨的部分 3.00 0.50 （说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用量；②水费＝自来水费用＋污水处理费） 已知小王家2024年7月用水16吨，交水费32元；8月份用水28吨，交水费67元． (1)求a，b的值． (2)如果小王家9月份上交水费115元，则小王家这个月用水多少吨？ (3)小王家10月份忘记去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水52吨（其中10月份用水超过30吨），一共交水费132.59元（其中包含10月份的滞纳金，即10月份水费的），求小王家11月份用水多少吨．（滞纳金：因未能按期缴纳水费，逾期要缴纳的“罚款金额”） 【答案】(1)， (2)42吨 (3)13吨 【分析】本题考查一元一次方程的应用——水费问题，正确列出方程是解题的关键． （1）根据7月用水16吨，交水费32元，可得，根据8月费用水28吨，交水费67元，可得，解方程即可； （2）先判断9月份用水量超过了30吨，设为x吨，根据计费规则列方程，解方程即可； （3）设小王家11月份用水y吨，则10月份用水吨，分和两种情况，分别列方程即可求解． 【详解】（1）解：7月用水16吨，交水费32元， ， 解得； 8月份用水28吨，交水费67元， ， 解得； （2）解：当用水量为30吨时，水费为：（元）， 9月份上交水费115元，， 9月份用水量超过30吨，设为x吨， 则， 解得， 即小王家9月用水42吨； （3）解：设小王家11月份用水y吨，则10月份用水吨， 当时，， 解得， 当时， ， 解得 (不符合题意 舍去)． 综上可得，小王家11月份用水13吨． 变式2. 某市为鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费： 若每月用水不超过8吨，则按每吨1.5元收费； 若每月用水超过8吨不超过20吨，则超过8吨的部分按每吨元收费； 若每月用水超过20吨，则超过20吨的部分按每吨4元收费． 某户居民今年5月用水14吨，缴纳了30元水费． (1)求的值； (2)若某月某户居民用水15吨，则应缴水费______元；若某月某户缴纳水费60元，则当月用水______吨； (3)小明家7、8两个月一共用水30吨，两次一共缴纳水费67元，其中7月份用水量多于8月份，试求8月份小明家用水多少吨？ 【答案】(1) (2)33，23 (3)9吨 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，正确的列出方程是解题的关键： （1）根据收费方式结合某户居民今年5月用水14吨，缴纳了30元水费，列出方程进行求解即可； （2）根据收费规则，列出算式进行计算即可； （3）设月份用水吨，则月用水吨，分3种情况进行讨论，列出方程进行求解即可； 【详解】（1）解：由题意，， 解得； （2）（元）； 用水20吨需交费用为， ，（吨）； 故答案为：33，23； （3）设月份用水吨，则月用水吨， ∵7月份用水量多于8月份，则， 当时，月份用水超过吨，由题意，得， 解得（不符合题意，舍去）； 当时，月份用水超过吨，由题意，得， 解得； 当，，由题意，得，此方程无解； 综上：月份用水吨． 变式3. 某市居民的燃气收费，按户为基础、年为周期进行阶梯收费，具体如表所示．请根据表中信息解答下列问题： 阶梯 年用气量x（） 收费单价 第一阶梯 的部分 元/ 第二阶梯 的部分 3.15元/ 第三阶梯 以上的部分 3.63元/ 备注：若家庭人口不超过四人，按照上表进行收费；若超过四人，每增加一人，第一、二阶梯年用气量的上限分别增加、． (1)一户3人家庭，若年用气量为，则该年此户需缴纳燃气费用为_________元；若年用气量为，则该年此户需缴纳燃气费用为_________元； (2)一户不超过4人的家庭，年用气量x超过了，设该年此户需缴纳燃气费用为y元，请用含x的代数式表示y； (3)甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5人，2025年甲乙两户缴纳的燃气费用均为3951元．请判断甲乙两户年用气量分别达到哪个阶梯？并求出2025年甲乙两户年用气量分别是多少立方米（结果精确到 ）？ 【答案】(1) 267，1698 (2) (3) 甲户该年的用气量达到了第三阶梯，用气量为，乙户该年的用气量达到第二阶梯，用气量为 【分析】本题主要考查代数式的运用，理解数量关系正确列式计算即可求解． （1）根据题意，结合表格分别按照不同阶梯的计费方式，列式求解即可； （2）根据阶梯收费方式列出数量关系即可； （3）根据题意，当甲户用气量为时，得到，结合（2）的计算即可求出甲户的情况；根据乙户的人口得到阶梯收费的计算方法，当乙用户用气量达到时，得到，由此得到乙户在第二阶梯，根据其收费方式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴按第一阶梯收费，需缴纳燃气费用为（元）， ∵， ∴按第二阶梯收费，需缴纳燃气费用为（元）， 故答案为： （2）解：一户不超过4人的家庭，年用气量x超过了，设该年此户需缴纳燃气费用为y元， ∴按照第三阶梯收费， ∴ ， ∴该年此户需缴纳燃气费用为元； （3）解：甲户家庭人口为3人， ∴收费方式将按照表格提供的阶段收费方法计算， 当甲户用气量为时，， ∴甲户用气量达到第三阶梯， ∴结合（2）得，， 解得，， ∴甲户该年的用气量达到了第三阶梯，用气量为， 乙户家庭人口为5人， ∴收费方式为：超过四人，每增加一人，第一、二阶梯年用气量的上限分别增加、， ∴该户第一阶梯为：，元， 第二阶梯为：，元， 第三阶梯为：以上的部分，元， ∴当乙户用气量达到时，， ∴乙户用气量达到第二阶梯， ∴设乙户用气量为， ∴， 解得，， ∴乙户该年的用气量达到第二阶梯，用气量为． 一、单选题 1．一项工程，甲单独做要天完成，乙单独做要天完成，现由甲先做天，剩下的由甲、乙合作完成，则还需要几天完成这项工程（   ） A．天 B．天 C．天 D．天 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意并正确找出等量关系．设还需要天完成这项工程，将工作总量视为单位“”，列方程求解即可． 【详解】解：设还需要天完成这项工程， 根据题意可得 解得， 即还需要天完成， 故选：A． 2．某校组织师生研学，若租用49座客车若干辆，刚好坐满；若租用54座客车，可比49座客车少租两辆且空余17个座位．若设租用的49座客车有辆，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设租用的49座客车有辆，根据所有49座客车刚好坐满可得师生总人数为人，根据54座客车比49座客车少租两辆且空余17个座位可得师生总人数为人，据此列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：D． 3．龟和鹤都是长寿的动物，龟和鹤在一起的寓意是龟鹤齐龄、龟鹤延年．如图，王爷爷和李奶奶正在讨论一幅龟鹤延年的画，你能帮忙算一下龟、鹤各多少只吗？ 嘉嘉：设龟有只，则可列方程． 琪琪：设龟的腿有条，则可列方程． 关于嘉嘉和琪琪的做法，你认为（　　） A．只有嘉嘉正确 B．只有琪琪正确 C．嘉嘉和琪琪都错误 D．嘉嘉和琪琪都正确 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据嘉嘉的做法及琪琪的做法，设未知数列出一元一次方程即可求解，理清题意，根据等量关系列出方程是解题的关键． 【详解】解：嘉嘉的做法是： 设龟有只，则鹤有只， 根据题意得：， 嘉嘉的做法是正确的， 琪琪的做法是： 设龟的腿有条，则鹤的腿有条， 根据题意得：， 琪琪的做法是正确的， 综上，嘉嘉和琪琪都正确， 故选：D． 4．若的补角是的余角的三倍，则是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角的补角和余角，利用补角和余角的关系直接列方程计算即可求解． 【详解】解∵ 的补角为，余角为，且补角是余角的三倍， ∴， 解得． 故选：B． 5．某个体商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，售价都是135元，若按成本计，其中一件盈利，另一件亏本，在这次买卖中他（ ） A．不赚不赔 B．赔18元 C．赚18元 D．赚9元 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设盈利的上衣的进价为x元，亏损的上衣的进价为y元，根据利润销售收入成本，即可得出一元一次方程，解之即可得出两件上衣的进价，再利用总利润两件上衣的总售价两件上衣的总进价即可求出结论． 【详解】解：设在这次买卖中盈利的上衣的进价是x元， 根据题意得， 解得：， 设亏本的上衣的进价为y元， 则可列方程：， 解得：， 则（元）， ∴两件相比则一共赔了18元． 故选：B． 6．小刘在某月的日历上圈出相邻的三个日期，并求出它们的和是21，则三个日期在日历中的排布不可能的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用，日历中的每个数都是整数且上下相邻是，左右相邻相差是．根据题意可列方程求解． 【详解】解：A、设最小的数是，则，，故本选项不符合题意； B、设最小的数是，则，，故本选项不符合题意； C、设最小的数是，则，，故本选项不符合题意； D、设最小的数是，则，，本选项符合题意． 故选：D 7．为了鼓励学生参加体育锻炼活动，班主任王老师将班级同学进行分组（组数固定）．若每组6人，则多余4人；若每组7人，则还缺3人．设班级同学被分成了x组，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，掌握学生总数不变这一等量关系是解题的关键． 设班级同学被分成了x组，根据每组6人多4人，则学生总数为；根据每组7人缺3人，则学生总数为，再根据学生总数不变列出方程即可． 【详解】解：设班级同学被分成了x组， ∵每组6人，多余4人； ∴总人数； ∵每组7人，还缺3人， ∴总人数； ∴． 故选A． 8．中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长尺；若将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子短尺，问绳索、竿子各有多长？甲、乙两人所列方程如下，下列选项判断正确的是（    ） 甲：设竿子长为尺，根据题意可列方程为； 乙：设绳索长为尺，根据题意可列方程为 A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲、乙都错 D．甲、乙都对 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解决本题的关键是根据竿子与绳索的长度之间的关系找相等关系列方程． 【详解】解：设竿子长为尺，则绳索长为尺，对折后绳索长为尺， 根据对折后比竿子短尺， 可得：， 故甲正确； 设绳索长为尺，则竿子长为尺，对折后绳索长为尺， 根据对折后比竿子短尺， 可得：， 故乙正确. 甲、乙都对． 故选：D． 二、填空题 9．某地对居民用电的收费标准为：如果每月用电量不超过100度，那么每度按元收费，如果超过100度，超出部分按每度元收费，已知该户居民这个月缴纳电费元，若设该户居民一个月用电x度，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据收费标准，用电量超过100度时，电费由两部分组成：前100度按每度元收费，超出部分按每度元收费，已知总电费为77.4元，据此列方程． 【详解】解：依题意，（元）， ∵， ∴用电量x超过度， 因此，总电费为前度的电费加上超出部分的电费，即， 故答案为：． 10．某超市推出如下优惠方案：（1）一次性购物不超过100元，不享受优惠；（2）一次性购物超过100元但不超过300元，一律9折；（3）一次性购物超过300元，一律8折．一人两次购物分别付款80元、252元，如果他将这两次所购商品一次性购买，那么应付款 元． 【答案】288元或316元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确建立方程是解题关键．设第二次购物实际消费金额为元，先根据优惠方案可得第一次购物实际消费金额与付款金额相同，即为80元；或，再分两种情况：①，②，分别建立方程，解方程求出的值，然后根据优惠方案列式计算即可得． 【详解】解：设第二次购物实际消费金额为元， ∵（元），（元），（元），且，， ∴第一次购物实际消费金额与付款金额相同，即为80元；或， ①当时， 则，解得，符合题设， ∴， ∴如果他将这两次所购商品一次性购买，那么应付款（元）； ②当时， 则，解得，符合题设， ∴， ∴如果他将这两次所购商品一次性购买，那么应付款（元）； 综上，应付款288元或316元， 故答案为：288元或316元． 11．某校在七年级11个班中开展篮球单循环比赛，比赛规则规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场得3分，负一场扣1分．若某班在全部比赛中得了14分，那么该班胜了 场． 【答案】 6 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，每个班进行10场比赛，设胜场数为x，则负场数为，根据得分规则列出方程并求解即可． 【详解】解：设该班胜了x场，则负了场，由题意得 ， 解得． 故答案为：． 12．学校组织学生乘坐大巴去参观博物馆，若每辆大巴坐25名学生，则有15名学生没有座位；若每辆大巴坐30名学生，则恰好空出1辆大巴．学校一共有 名学生． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用． 设学生有x名，根据“若每辆大巴坐25名学生，则有15名学生没有座位；若每辆大巴坐30名学生，则恰好空出1辆大巴”列方程求解即可． 【详解】解：设学生有x名，由题意得 ， 解得：． 故答案为：． 13．甲、乙两车分别在相距240千米的A、B两地，甲车速度为120千米/小时，乙车速度为80千米/小时，两车同时出发相向而行，当两车相距20千米时，两车行驶的时间为 【答案】或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找准等量关系，列出方程是解题的关键．根据甲车行驶的路程乙车行驶的路程或甲车行驶的路程乙车行驶的路程列式计算即可． 【详解】解：设t小时两车相距20千米，根据题意得 或， 解得：或． 故答案为或． 三、解答题 14．如图，表中给出的是某月的月历，选取“凹”形框中的五个数（如阴影部分所示）．若将“凹”形框上下左右移动，按同样的方式框住另外的五个数． (1)若“凹”形框框住的上行的两个数之和比下行的三个数之和小，求“凹”形框框住的五个数； (2)“凹”形框框住的五个数的和能否为？若能，求出其中的最小数；若不能，说明理由． 【答案】(1)“凹”形框框住的五个数分别为13，15，20，21，22 (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，涉及列代数式、整式的加减、找规律，正确表示“凹”形框中每个数据是解题的关键． （1）设“凹”形框左上角的数为x，根据“凹”形框数据规律用x表示出各数，根据题意列方程求解即可； （2）用（1）中的规律，让5个数的和等于67，然后解方程，看x是否正整数，再结合日历结构即可得出结论． 【详解】（1）解：设“凹”形框左上角的数为x，则右上角的数为，下行从左到右依次为，，， 根据题意，得， 解得，符合实际， 则“凹”形框框住的五个数分别为13，15，20，21，22； （2）解：“凹”形框框住的五个数的和不能为，理由如下： 假设“凹”形框框住的五个数的和能为， 由（1）得 解得，不是正整数，不符合题意， 故“凹”形框框住的五个数的和不能为． 15．在购买足球赛门票时，设购买门票张数为（张），现有两种购买方案： 方案一：若单位赞助广告费元，则该单位购买门票价格为元每张（总费用广告赞助费门票费）． 方案二：若购买的门票数不超过张，每张元，若所购门票超过张，则超出部分按八折计算． 解答下列问题： (1)方案一中，用含的代数式来表示总费用为 方案二中，当购买的门票数不超过张时，用含的代数式来表示总费用为 当所购门票数超过张时，用含的代数式来表示总费用为 ； (2)甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买本次足球赛门票，合计张（甲乙两单位购买数量均大于100张），花去的总费用计58000元，求甲、乙两单位各购买门票多少张？ 【答案】(1)，， (2)甲单位购买了门票500张，乙单位购买了门票200张 【分析】（1）根据题意可直接写出表达式， （2）设乙单位购买门票张，然后分别根据甲乙不同方案构造等量关系，列方程求解． 本题主要考查了一元一次方程的应用，正确列出总费用的等量关系式是解题关键． 【详解】（1）由题意可知：， 由题意可知：不超过100张时：， 超过100张时：． 故答案为：，，． （2）设乙单位购买了门票张，则甲单位购买了门票张， 故甲单位购买了门票500张，乙单位购买了门票200张． 16．为解决农民看病难问题，某县全面开始实行新型农村合作医疗，对住院农民的医疗费实行分段报销制．下面是某县级医疗机构住院病人累计分段报销表： 医疗费 报销比例 元以下含元 元不含至元部分 元不含至元部分 元不含至元部分 元以上部分 例：某住院病人花去医疗费元，报销金额为元 (1)农民刘老汉在月份因病住院花去医疗费元，他可以报销多少元； (2)刘老汉在月份旧病复发再次住院，这次报销医疗费元，刘老汉这次住院花去医疗费多少？ 【答案】(1)元 (2)元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意列式求解即可． （2）先确定刘老汉这次住院花去医疗费所在范围，再设刘老汉这次住院花去医疗费元（），根据题意列式求解即可． 【详解】（1）解：报销数额为（元）， （2）解：根据题意可得元以下含元报销金额为：； 元部分的报销金额为：； 元部分的报销金额为：； 元部分的报销金额为：； ∵， 设刘老汉这次住院花去医疗费元（）， 则根据题意，得， 解得：， ∴刘老汉这次住院花去医疗费元． 17．小敏和小强假期到某工厂参加社会实践，该工厂用白板纸做包装盒，设计每张白板纸做盒身2个或者盒盖3个，且一个盒身和两个盒盖恰好做成一个包装盒．为了充分利用材料，要求做成的盒身和盒盖正好配套． (1)现有14张白板纸，最多可做几个包装盒？（列一元一次方程解答） (2)现有27张白板纸，最多可做几个包装盒？ 为了解决问题（2），小敏和小强分别设计了自己的解决方案． 小敏：把这些白板纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒盖． 小强：先把一张白板纸适当套裁出一个盒身和一个盒盖；余下白板纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒盖． 请探究：小敏和小强设计的方案是否可行？若可行，求出最多可做包装盒的个数；若不行，请说明理由． 【答案】(1)12个 (2)小敏方案不行，理由见解析；小强的方案可行，最多可做23个包装盒 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，正确寻找等量关系是解本题的关键． （1）设张白板纸做盒身，则有张做盒盖，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果： （2）对于小敏，设张做盒身，根据题意列出方程，求出方程的解得到的 值；对于小强，设余下的白板纸张 做盒身，根据题意列出方程，求出方程的解得到的值，检验即可； 【详解】（1）解：设x张白板纸做盒身，则有张做盒盖， 根据题意，得， 解得， 所以． 答：最多可做12个包装盒． （2）解：小敏方案不行，设x张做盒身， 根据题意，得， 解得，不符合题意； 小强的方案可行，设余下的白板纸y张做盒身， 根据题意，得， 解得， 所以， 所以最多可做23个包装盒． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $