精品解析：山东省济南宝华中学2025-2026学年九年级上学期12月数学月考试题

宝华中学2025年“扬华杯”九年级素养大赛（2025.12） 数学试题 （第Ⅰ卷） 一、选择题（共10题，每题4分，总共40分） 1. 如图是物理中经常使用的U型磁铁示意图，其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：物理中经常使用的U型磁铁其左视图是B ． 2. 已知为锐角，且，则 （　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值解答． 【详解】∵为锐角，且， ∴． 故选A． 【点睛】此题考查的是特殊角的三角函数值，属较简单题目． 3. 如图，已知△ADE与△ABC的相似比为1：2，则△ADE与△ABC的面积比为（ ）． A. 1：2 B. 1：4 C. 2：1 D. 4：1 【答案】B 【解析】 【详解】因为△ADE与△ABC的相似比为1：2，所以两个三角形的底边之比为1:2，高的比值也为1:2，根据三角形面积公式：底乘高除以2，可知面积比为1:4 4. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】计算一元二次方程根的判别式，即可求解，本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是：掌握根的判别式与一元二次方程的根的关系． 【详解】解：由，，，， ， 所以方程有两个不相等的实数根，选项符合题意， 故选：． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 矩形的对角线互相垂直平分 B. 菱形的对角线相等 C. 正方形的对角线平分一组对角 D. 平行四边形的对角线互相垂直 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形，菱形，正方形，平行四边形的性质，根据矩形，菱形，正方形，平行四边形的性质逐一进行判断即可． 【详解】解：A、菱形的对角线互相垂直平分，原说法错误，不符合题意； B、矩形的对角线相等，原说法错误，不符合题意； C、正方形的对角线平分一组对角，原说法正确，符合题意； D、菱形的对角线互相垂直，原说法错误，不符合题意； 故选C． 6. 如图，在的正方形网格中的顶点都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，结合图形构造直角三角形是解题的关键．过点作的垂线，垂足为，设小正方形的边长为1，则，，利用勾股定理求出的长，再利用正弦的定义即可求出的值． 【详解】解：如图，过点作的垂线，垂足为， 设小正方形的边长为1，则，， ， 在中，， ． 故选：D． 7. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的开口向上 B. 对称轴是直线 C. 抛物线的顶点坐标是 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据题目中的函数解析式，可以写出该函数图象的开口方向、对称轴、增减性和顶点坐标，从而可以判断哪个选项是符合题意的． 【详解】解：∵，且， ∴该函数的图象开口向下，故选项A不符合题意， 对称轴是直线，故选项B不符合题意； 顶点坐标是，故选项C符合题意； 当时，y随x的增大而减小，故选项D不符合题意． 故选：C． 8. 如图，为上三点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，由圆周角定理求出，由等腰三角形的性质得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 9. 一次函数的图象与反比例函数的图象在同一坐标系中大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象、反比例函数图象与比例系数的关系．熟练掌握一次函数图象、反比例函数图象与比例系数的关系是解题的关键． 根据一次函数图象、反比例函数图象与比例系数的关系进行判断作答即可． 【详解】解：由图象可知，A中一次函数图象，反比例函数图象，故符合要求； B中一次函数图象不正确，反比例函数图象，故不符合要求； C中一次函数图象不正确，反比例函数图象，故不符合要求； D中一次函数图象不正确，反比例函数图象，故不符合要求； 故选：A． 10. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，，连接，则的最小值是（ ） A. 6 B. 8 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，过点P作垂足为H，过点Q作垂足为，先求出A，C，B的坐标，得到为等腰直角三角形，求出，得到，利用垂线段最短可知，的最小值为，进而得出结果． 【详解】解：如图，连接，过点P作，垂足为H，过点Q作，垂足为， 令，即， 解得：或， ，， 当时，， ，， ， ， .， 即， 根据垂线段最短可知，的最小值为的长度， ， ， ， 即的最小值为6． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数中的线段最值问题，等腰直角三角形的判定与性质，特殊三角函数的应用，垂线段最短等知识，解题的关键得到的最小值为的长度． 二、填空题（共5题，每题4分，总共20分） 11. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式求值，根据已知比例关系，设，，再代入所求表达式求解． 【详解】解：， 设，， ， 故答案为：． 12. 一个不透明口袋中有红色、黄色、蓝色玻璃球共个，小明通过大量摸球实验后，发现摸到红球的频率为，则估计红球的个数约为______个． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，根据部分的具体数目总体数目相应频率直接计算即可求解，理解实验次数较大时，事件发生的频率即为事件发生的概率是解题的关键． 【详解】解：估计红球的个数约为个， 故答案为：． 13. 如图，在中，点是边上一点，连接．已知，，，，那么线段的长度是________． 【答案】 【解析】 【分析】证明，根据相似比即可求解； 【详解】，，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是证明三角形相似． 14. 如图，已知四边形是平行四边形，，、两点的坐标分别为：，，、两点在反比例函数的图象上，则的值等于_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查由反比例函数图象与性质求，涉及点的平移求坐标、两点之间距离公式等知识，求出值是解决问题的关键． 设，先由点的平移得到，再由点在反比例函数图象上，得到，化简得，然后由勾股定理得到，进而，再由两点间距离公式得到，化简解方程得到，代入即可得到答案． 【详解】解：设， 在平行四边形中，点平移到点与点平移到点的平移过程相同， ，， ， 点在反比例函数的图象上， ， 则， 在中，，则由勾股定理得， ， ， 则， 即， 将代入得， ，即， 解得， ， ， 则， 故答案为：． 15. 如图，已知四边形是菱形，，对角线，相交于点，过点作交的延长线于点，为的中点，连接交于点，连接交于点，连接．则下列结论：①四边形为平行四边形；②；③；④．其中正确的有______．（填序号） 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】由菱形的性质得出，，进而可求出，由含直角三角形的性质得出，结合已知条件即可判定①；根据相似三角形的判定和性质即可判定②；证明是等边三角形，由等边三角形的性质进一步证明，由相似三角形的性质进而可判定③；过点作于点，通过解直角三角形求出，，再求出，最后再根据正切的定义求解即可判定④． 【详解】解：四边形是菱形，， ，， ， ，即， ， ， 为的中点， ， ， 又， 四边形为平行四边形，故①正确； ， ， ，故②正确； 四边形是菱形，， ，， 是等边三角形， ， 又，， ，， 又， ， ， ， ， ， ， ，故③正确； 如下图，过点作于点， 设菱形的边长为，则， ， ， ，， ， ，故④正确； 故答案为：①②③④． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，解直角三角形的相关计算，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，掌握这些知识是解题的关键． （第Ⅱ卷） 三、解答题（共10题，总分90分） 16. 计算：． 【答案】 1 【解析】 【分析】本题主要考查实数的运算能力，熟练掌握实数的运算法则是关键．根据实数的运算法则结合二次根式、负整数指数幂、零指数幂、特殊三角函数值计算可得． 【详解】解：原式 ． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． （1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用配方法求解即可． 【小问1详解】 解： ，； 【小问2详解】 解： ，． 18. 如图，在菱形中，E，F分别是边上的点，且，连接交于点G．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，掌握菱形的性质成为解题的关键． 根据菱形的性质可得，进而得到，再通过证明即可得到结论． 【详解】略 19. 图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是热水器的侧面示意图．已知屋面的倾斜角，真空管与水平线的夹角，真空管的长度为2.5米，安装热水器的铁架竖直管的长度为0.6米．（参考数据：，，，，，） （1）求水平横管到水平线的距离（结果精确到0.1米）； （2）求水平横管的长度（结果精确到0.1米）． 【答案】（1）水平横管到水平线的距离约为1.6米 （2）水平横管的长度约为0.5米 【解析】 【分析】本题主要考查了利用三角函数解直角三角形， （1）作于F，在中，即可得； （2）根据矩形判定和性质求出，再在Rt中，根据在中，求出，可求出的长度，在Rt中，根据可求出的长度，从而可求出与的长度差． 【小问1详解】 解：过作于， 在中，， 米，， 米． 答：水平横管到水平线的距离约为1.6米； 【小问2详解】 ， 四边形为矩形， ，米， 米， 米， 在中，， 米， 又在中，， 米，， 米． 米． 米， 答：水平横管的长度约为0.5米． 20. 如图，为的直径，是上两点，延长至C，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）的半径为 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键； （1）连接，由圆周角定理得出，证出，由切线的判定可得出结论； （2）证明，由相似三角形的性质得出，由比例线段求出和的长，可求出的长，则可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴的半径为． 21. 在4月23日世界读书日来临之际，为了解某校九年级（1）班同学们的阅读爱好，要求所有同学从4类书籍中（A：文学类；B：科幻类；C：军事类；D：其他类），选择一类自己最喜欢的书籍进行统计．根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息回答问题： （1）九年级（1）班的学生总数为 ； （2）补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，A的扇形圆心角度数为 ，m的值为 ； （4）如果选择C类书籍的同学中有2名女同学，其余为男同学，现要在选择C类书籍的同学中选取两名同学去参加读书交流活动，恰好是一男一女同学去参加读书交流活动的概率为 ． 【答案】（1）40人 （2） 补全的条形统计图如下： （3）；40 （4） 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，画树状图或列表的方法求概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． （1）根据类的人数与占比即可求得总人数； （2）根据（1）所求即可求得类的人数，再补全统计图即可； （3）的扇形圆心角度数占的即可，根据的人数与总人数即可求解； （4）用画树状图的方法求概率即可求解． 【小问1详解】 解：九年级（1）班的学生总数为（人）； 【小问2详解】 解：由（1）得C类的人数（人）； 【小问3详解】 解：的扇形圆心角度数为：， ， ∴； 【小问4详解】 解：画树状图： 共有12种等可能性结果，其中一男一女的机会有8种， ∴． 22. 疫情期间要建一个隔离区，隔离区的一边靠墙（墙AB长为4.4m），另外三边用围栏围成，围栏总长10m，求隔离区CD边和DE边的长分别是多少？如果设边CD的长为xm． （1）填空：隔离区DE边的长为___________m（用含x的代数式表示）； （2）如果隔离区面积为，请你列出方程，求出隔离区CD边和DE边的长； （3）请求出此隔离区的最大面积． 【答案】（1） （2）3m，4m （3） 【解析】 【分析】（1）设边，根据围栏总长为 可以得出的长； （2）根据矩形的面积＝12列出一元二次方程，并确定x的取值范围，解方程即可； （3）根据矩形的面积公式列出函数解析式，并根据函数的性质求最值． 【小问1详解】 设，则 ， 故答案是：； 【小问2详解】 根据题意可得： ， 解得：，． 因为，所以，故． 所以，则 答：边和边的长分别为，． 【小问3详解】 设：面积为S；则 ∵ ∴解得： ∵当时，S随x的增大而减少， ∴当时面积最大，最大面积为：．（也可以） 答：最大面积为． 【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程的应用，关键是根据等量关系写出函数解析式和一元二次方程． 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．（，，为常数） （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）连接，求面积； （3）点是平面内任意一点，若以、、、为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标． 【答案】（1）反比例函数的解析式为；一次函数的解析式为； （2） （3），，． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求一次函数、反比例函数的解析式，平行四边形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把代入，求出，再求出，然后把和都代入，求出，即可作答． （2）设一次函数与x轴交点为点，根据一次函数解析式得出点C，再利用，即可求解． （3）根据平行四边形的对角线互相平分，则进行分类讨论，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，将点的坐标代入， 得：， 反比例函数的解析式为； ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点， ∴把代入反比例函数， 得：， ∴， 则将和分别代入， 得， 解得， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，连接，设一次函数与x轴交点为点， 把代入，得， ， ， ． 【小问3详解】 解：①以为对角线时：， ∴中点的坐标为． 平行四边形对角线互相平分， ，即为的中点． ∵， 点坐标为． ②当为对角线时， ∴中点的坐标为． 平行四边形对角线互相平分， ，即为的中点． ∵， 点坐标为， ③以为对角线时， ∴中点的坐标为． 平行四边形对角线互相平分， ，即为的中点． ∵， ∴点坐标为． 满足条件的点有三个，坐标分别是，，． 24. 如图①，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上的点，于点，轴于点，交线段于点． （1）求抛物线的解析式； （2）当的周长最大时，求点的坐标； （3）如图②，点是抛物线上一动点，当时，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出，由，，得到，则，，证明，得到，，则，，即可推出当最大时，的周长最大；求出直线解析式为，设，则，则，则当时，有最大值，即此时的周长最大，此时； （3）时，分两种情况：当点在下方时，当点在上方时，根据二次函数的图像与性质，解直角三角形等知识求解即可． 【小问1详解】 解：把、代入中得， 解得， 抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：在中，当时，， ， ， ， ， ， ，， ，轴， ， 又， ， ，， ，， 的周长为， 当最大时，的周长最大， 设直线解析式为， ， ， 直线解析式为， 设，则， ， ， 当时，有最大值，即此时的周长最大，此时； 【小问3详解】 解：时，分两种情况： 当点在下方时，轴，如图②，过点作轴交于点， 设，则， ，， ， ，即， ， 解得， ； 当点在上方时，如图③，设直线交轴于点， ， ，， ， ，则， 即， 解得， ， 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为， 联立， 解得（舍去）或， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解直角三角形，待定系数法求函数解析式，一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定等等，数量掌握二次函数的相关知识是解题的关键． 25. 有共同顶点的与中，，，且，连接BD，CE，线段BD，CE相交于点H． （1）如图①，当时，的值是___________，的度数是___________； （2）如图②，当时，求的值和的度数，并说明理由； （3）如果，，当点H与的顶点重合时，请直接写出的值． 【答案】（1）1；60° （2） ；， 理由：∵，，且，， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵，，即， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）的值为或或． 【解析】 【分析】（1）证明和都是等边三角形，推出，利用证明，利用全等三角形的性质即可求解； （2）证明和都是等腰直角三角形，推出，，，得到，证明，求解即可； （3）由，设，则，分①当H与顶点D重合，②当H与顶点E重合，③当H与顶点E重合时，三种情况讨论，画出图形，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，且，， ∴和都是等边三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：1，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）知， ∵， ∴设，则， ①当H与顶点D重合时，如图， 在中，， ∴， ∴； ②当H与顶点E重合时，如图， 在中，， 在中，， ∴， ∴； ③当H与顶点E重合时，如图， ∵，， ∴， ∴， 综上，的值为或或． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，勾股定理等，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宝华中学2025年“扬华杯”九年级素养大赛（2025.12） 数学试题 （第Ⅰ卷） 一、选择题（共10题，每题4分，总共40分） 1. 如图是物理中经常使用的U型磁铁示意图，其左视图是（ ） A. B. C. D. 2. 已知为锐角，且，则 （　　） A. B. C. D. 3. 如图，已知△ADE与△ABC的相似比为1：2，则△ADE与△ABC的面积比为（ ）． A. 1：2 B. 1：4 C. 2：1 D. 4：1 4. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5. 下列说法正确的是（ ） A. 矩形的对角线互相垂直平分 B. 菱形的对角线相等 C. 正方形的对角线平分一组对角 D. 平行四边形的对角线互相垂直 6. 如图，在的正方形网格中的顶点都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的开口向上 B. 对称轴是直线 C. 抛物线的顶点坐标是 D. 当时，y随x的增大而增大 8. 如图，为上三点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 一次函数的图象与反比例函数的图象在同一坐标系中大致图象是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，，连接，则的最小值是（ ） A. 6 B. 8 C. D. 二、填空题（共5题，每题4分，总共20分） 11. 若，则______． 12. 一个不透明口袋中有红色、黄色、蓝色玻璃球共个，小明通过大量摸球实验后，发现摸到红球的频率为，则估计红球的个数约为______个． 13. 如图，在中，点是边上一点，连接．已知，，，，那么线段的长度是________． 14. 如图，已知四边形是平行四边形，，、两点的坐标分别为：，，、两点在反比例函数的图象上，则的值等于_____． 15. 如图，已知四边形是菱形，，对角线，相交于点，过点作交的延长线于点，为的中点，连接交于点，连接交于点，连接．则下列结论：①四边形为平行四边形；②；③；④．其中正确的有______．（填序号） （第Ⅱ卷） 三、解答题（共10题，总分90分） 16. 计算：． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，在菱形中，E，F分别是边上的点，且，连接交于点G．求证：． 19. 图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是热水器的侧面示意图．已知屋面的倾斜角，真空管与水平线的夹角，真空管的长度为2.5米，安装热水器的铁架竖直管的长度为0.6米．（参考数据：，，，，，） （1）求水平横管到水平线的距离（结果精确到0.1米）； （2）求水平横管的长度（结果精确到0.1米）． 20. 如图，为的直径，是上两点，延长至C，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 21. 在4月23日世界读书日来临之际，为了解某校九年级（1）班同学们的阅读爱好，要求所有同学从4类书籍中（A：文学类；B：科幻类；C：军事类；D：其他类），选择一类自己最喜欢的书籍进行统计．根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息回答问题： （1）九年级（1）班的学生总数为 ； （2）补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，A的扇形圆心角度数为 ，m的值为 ； （4）如果选择C类书籍的同学中有2名女同学，其余为男同学，现要在选择C类书籍的同学中选取两名同学去参加读书交流活动，恰好是一男一女同学去参加读书交流活动的概率为 ． 22. 疫情期间要建一个隔离区，隔离区的一边靠墙（墙AB长为4.4m），另外三边用围栏围成，围栏总长10m，求隔离区CD边和DE边的长分别是多少？如果设边CD的长为xm． （1）填空：隔离区DE边的长为___________m（用含x的代数式表示）； （2）如果隔离区面积为，请你列出方程，求出隔离区CD边和DE边的长； （3）请求出此隔离区的最大面积． 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．（，，为常数） （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）连接，求面积； （3）点是平面内任意一点，若以、、、为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标． 24. 如图①，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上的点，于点，轴于点，交线段于点． （1）求抛物线的解析式； （2）当的周长最大时，求点的坐标； （3）如图②，点是抛物线上一动点，当时，求点的坐标． 25. 有共同顶点的与中，，，且，连接BD，CE，线段BD，CE相交于点H． （1）如图①，当时，的值是___________，的度数是___________； （2）如图②，当时，求的值和的度数，并说明理由； （3）如果，，当点H与的顶点重合时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $