精品解析：江苏省南通市田家炳中学2025-2026学年九年级上学期第二次月考数学试卷

南通市田家炳初级中学初三年级集中作业2（数学） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 若且，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 用三个相同的正方体搭成如图所示的立体图形，则该立体图形的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线，直线、与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若，，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4. 如图，小丽从点A出发，沿坡度的坡向上走了110米到点B，则她升高（ ）米． A. B. C. D. 5. 图形中，每个小网格均为正方形网格，带阴影部分的三角形中与如图△A1B1C1相似的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系内，过A作，，，，若反比例函数（）的图象经过点A，则k的值是（ ） A. 16 B. 9 C. 12 D. 7 7. 如图，在中，．阅读以下作图步骤： ①分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点； ②作直线，交于点，交于点，连接． 根据以上作图，下列结论不一定正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，直线与x轴，y轴分别相交于A，B两点，C为OB上一点，且∠1=∠2，则△ABC的面积为： A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 下表记录了二次函数中两个变量与的组对应值， 根据表中信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，内接于，为的直径，交于点E，若，，则（ ） A. 2 B. 6 C. 3 D. 5 二、填空题（本大题共6小题，第11-12小题每题3分，第13-16小题每题4分，共22分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 若反比例函数的图像有一支位于第三象限，则a的取值范围是________． 12. 如图，中，若，，，则________． 13. 为测量某地温度变化情况，记录了一段时间的温度．一段时间内，温度y（单位：）与时间t（单位：h）的函数关系满足，当时，该地区的最高温度是________． 14. 某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架放在离树适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架上的点E处，然后沿着直线后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量，，观测者目高的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知于点D，于点F，于点B，米，米，米，米，则这棵树的高度（的长）是______米． 15. 如图，赵爽弦图是中国古代数学的重要发现，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．已知小正方形的面积为4，连结．若平分，则大正方形的面积为________． 16. 如图，四边形是菱形，E是边延长线上一点，，连接，若，，则长为________；平分交于点F，则F到的距离为________． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：tan60°﹣2cos30°+sin45°； （2）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC=，解这个直角三角形． 18. 平面直角坐标系中，，，． （1）以点为位似中心，在网格图中画出，使它与的相似比为，并写出点的对应点的坐标______； （2）画出绕点逆时针旋转后的图形； （3）在（2）的条件下，求点经过的路径长． 19. 如图，E是正方形的边上的点，过点E作交于点F． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 20. 如图，某地政府为解决当地农户网络销售农特产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道．无人机从点A的正上方点C，沿正东方向以的速度飞行15s到达点D，测得A的俯角为60°，然后以同样的速度沿正东方向又飞行50s到达点E，测得点B的俯角为37°． （1）求无人机的高度（结果保留根号）； （2）求的长度（结果精确到1m）．（参考数据：，，，） 21. 如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象分别交于C，D两点，点， （1）反比例函数的解析式及求点D的坐标； （2）观察图像，不等式的解集为________； 22. 如图，为的直径，C为上一点，点D为的中点，连接，过点D作，交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）延长交的延长线于点F，若，，求的半径和的长． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 如何确定防守方案？ 素材1 鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），足球的飞行轨迹可看成抛物线．攻球员位于O，守门员位于点A，OA的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，已知，． 素材2 通过鹰眼系统监测，足球飞行的水平速度为15m/s．水平距离s（水平距离=水平速度×时间）与离地高度h的鹰眼数据如表．守门员的最大防守高度为．守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功． s/m … 9 12 15 18 21 … h/m … 4.2 4.8 5 4.8 4.2 问题解决 任务1 （1）确定运动轨迹 求h关于s的函数表达式． 任务2 （2）探究防守方案 若守门员选择原地接球，能否防守成功？若防守成功，请求出守门员接住球时，球的高度；若防守不成功，请通过计算说明理由． 24. 定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”． 【理解】 （1）如图1，若四边形是以为“相似对角线”的四边形，，，，求出的长度． （2）如图2，在四边形中，，，对角线平分，．请问是四边形的“相似对角线”吗？请说明理由； 【运用】 （3）如图3，已知是四边形的“相似对角线”，．连接，若的面积为，求的长 25. 在菱形中，，点在边上，将沿折叠到． （1）【尝试】 如图1，过点的直线，交于点，交的延长线于点，． 显然，是________三角形（按边分类），若,则________（用含的代数式表示）； （2）【探究】 在（1）的条件下，①求证：；②当，时，求的长； （3）【拓展】 如图2，若，点在的延长线上，，的延长线交于点，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南通市田家炳初级中学初三年级集中作业2（数学） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 若且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等式和分式的基本性质，熟知等式的性质是解题的关键．由已知方程，通过代数变形直接求解的值． 【详解】解：∵， ∴（两边同除以，）， ∴． 故选：B． 2. 用三个相同的正方体搭成如图所示的立体图形，则该立体图形的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图的相关知识直接找出主视图即可． 【详解】主视图即从图中箭头方向看，得出答案为A， 故答案选：A． 【点睛】此题考查立体图形的三视图，理解定义是关键． 3. 如图，直线，直线、与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若，，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由平行截线求相关线段的长或比值，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据由平行截线的性质，列出比例式，再代入已知线段的长即可求解． 【详解】解：∵，直线、与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：A． 4. 如图，小丽从点A出发，沿坡度的坡向上走了110米到点B，则她升高（ ）米． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了锐角三角函数解直角三角形，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数． 利用正弦函数进行求解即可． 【详解】解：根据正弦函数得，升高的高度为， 故选：D． 5. 图形中，每个小网格均为正方形网格，带阴影部分的三角形中与如图△A1B1C1相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：因为△A1B1C1中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B，且满足两边成比例夹角相等． 故选B． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，灵活运用夹角相等且两边对应成比例判定三角形相似和掌握数形结合的思想成为解答本题的关键． 6. 如图，在平面直角坐标系内，过A作，，，，若反比例函数（）的图象经过点A，则k的值是（ ） A. 16 B. 9 C. 12 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，反比例函数的性质等知识，由解直角三角形求出，根据勾股定理求出，证明是等腰直角三角形，得到点，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：在中，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴点， 把代入，得： ， 故选：A． 7. 如图，在中，．阅读以下作图步骤： ①分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点； ②作直线，交于点，交于点，连接． 根据以上作图，下列结论不一定正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作图—作垂线、线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质，由作图可得垂直平分，从而得出，，，即可判断A；推出，得出为的中点，，从而可以判断B，再由相似三角形的性质即可判断D，利用含角的直角三角形的性质可以判断C，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由作图可得：垂直平分， ，，，故A正确，不符合题意； ， ， ∴， 为的中点， ，， ，，故B、D正确，不符合题意； 当时，，故C不一定正确，符合题意； 故选：C． 8. 如图，直线与x轴，y轴分别相交于A，B两点，C为OB上一点，且∠1=∠2，则△ABC的面积为： A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】∵直线y=-2x+4与x轴，y轴分别相交于A，B两点 ∴OA=2，OB=4 又∵∠1=∠2 ∴∠BAO=∠OCA ∴△OAC∽△OAB 则OC：OA=OA：OB=1：2 ∴OC=1，BC=3， ∴S△ABC=0.5 ×2×3=3 故选C 9. 下表记录了二次函数中两个变量与的组对应值， 根据表中信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 先由表格中和时值相等，可知对称轴为，结合对称轴公式得出，再结合时，可求出二次函数解析式，根据二次函数的解析式可得其顶点及与轴的交点，从而得到答案． 【详解】解：∵点和关于对称轴对称， ∴对称轴， ∴， ∴， ∴化简为． 根据表中的信息得，当时，，抛物线经过点 得：， ， ∴，， ∴ ∵， ∴二次函数开口向上 当时， 当时，有最小值， 当时，， 当时，， ∵直线与该二次函数图象有两个公共点， ∴． 故选：B． 10. 如图，内接于，为的直径，交于点E，若，，则（ ） A. 2 B. 6 C. 3 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，连接，证明，，得到，求出，由可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：连接，如图： ∴，，， ∴，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，第11-12小题每题3分，第13-16小题每题4分，共22分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 若反比例函数的图像有一支位于第三象限，则a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握该知识点是关键．根据反比例函数的图象与性质解答即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象有一支位于第三象限， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 如图，中，若，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，由可得答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 为测量某地温度变化情况，记录了一段时间的温度．一段时间内，温度y（单位：）与时间t（单位：h）的函数关系满足，当时，该地区的最高温度是________． 【答案】37 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数图象与性质即可求解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：， ∴函数的对称轴为直线， ∵， ∴函数开口向下， 当时，在对称轴直线的左侧， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最大值， ∴， 故答案为：． 14. 某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架放在离树适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架上的点E处，然后沿着直线后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量，，观测者目高的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知于点D，于点F，于点B，米，米，米，米，则这棵树的高度（的长）是______米． 【答案】4.1 【解析】 【分析】过点作水平线交于点，交于点，根据镜面反射的性质求出，再根据对应边成比例解答即可． 【详解】过点作水平线交于点，交于点，如图， ∵是水平线，都是铅垂线． ∴米，米，米， ∴（米）， 又根据题意，得， ∴， ，即 ， 解得：米， ∴(米)． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，通过作辅助线构造相似三角形，并利用相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键． 15. 如图，赵爽弦图是中国古代数学的重要发现，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．已知小正方形的面积为4，连结．若平分，则大正方形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，由小正方形的面积为，得到，设，由解直角三角形得到，求得，再得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴, ∴， 小正方形的面积为， ， 设， 平分， ， ， ∴,即， 解得：， ， ， 大正方形的面积， 故答案为：． 16. 如图，四边形是菱形，E是边延长线上一点，，连接，若，，则长为________；平分交于点F，则F到的距离为________． 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出，从而可得，再根据菱形的面积公式求出，然后根据勾股定理求出、，即可求出，证明四边形是矩形，得到可得出的长，再证明，根据面积比等于相似比的平方，可求得． 【详解】解：连接，交于点，过点作于点，如图： ∵四边形是菱形，，， ∴，，，， 在中，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 延长交的延长线于点，过点作于点， 作于点，如图： ∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴，，共线， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 设，则， ∴， 解得：， ∴， 即点到的距离为， 故答案为：3，． 【点睛】本题考查了用勾股定理解三角形，根据矩形的性质与判定求线段长，利用菱形的性质求线段长，相似三角形的判定与性质综合等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：tan60°﹣2cos30°+sin45°； （2）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC=，解这个直角三角形． 【答案】（1）1；（2）∠B＝60°，AC＝3，AB＝2 【解析】 【分析】（1）将特殊角的三角函数值代入，再根据实数的混合运算法则计算即可； （2）根据直角三角形的边角关系求出∠B，AC、AB即可． 【详解】解：（1）tan60°﹣2cos30°+sin45° ＝﹣2×， ＝﹣+1 ＝1； （2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝， ∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°，AB＝2BC＝2， ∵tanA＝， ∴＝， ∴AC＝3， ∴∠B＝60°，AC＝3，AB＝2． 【点睛】本题考查了解直角三角形，特殊角三角函数值，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的关键． 18. 平面直角坐标系中，，，． （1）以点为位似中心，在网格图中画出，使它与的相似比为，并写出点的对应点的坐标______； （2）画出绕点逆时针旋转后的图形； （3）在（2）的条件下，求点经过的路径长． 【答案】（1） 解：已知，，，在网格图中画出，使它与的相似比为，作图如下， ∴即为所求图形， ∴； （2） 解：绕点逆时针旋转后的图形， ∴即为所求图形； （3）点经过的路径长为 【解析】 【分析】本题主要考查位似，旋转，弧长的计算，掌握位似的定义及作图，旋转的性质，弧长公式的计算方法即可求解． （1）根据位似的性质作图，根据坐标与图示即可求解； （2）根据旋转的性质作图即可； （3）运用网格与勾股定理先求出的值，再运用弧长公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据图示，， ∴， ∴点经过的路径长为． 19. 如图，E是正方形的边上的点，过点E作交于点F． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）； 【解析】 【分析】（1）根据正方形得到，从而得到，结合可得，即可得到，即可得到证明； （2）根据可得，结合，与正方形性质即可得到答案； 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵四边形是正方形，，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形性质与判定及正方形的性质，解题的关键是根据正方形得到角相等，边相等，结合同角余角相等得到等角． 20. 如图，某地政府为解决当地农户网络销售农特产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道．无人机从点A的正上方点C，沿正东方向以的速度飞行15s到达点D，测得A的俯角为60°，然后以同样的速度沿正东方向又飞行50s到达点E，测得点B的俯角为37°． （1）求无人机的高度（结果保留根号）； （2）求的长度（结果精确到1m）．（参考数据：，，，） 【答案】（1）无人机的高度AC=；（2）AB的长度为243m． 【解析】 【分析】（1）在Rt△CDA中，利用正切函数即可求解； （2）先证明四边形ABFC为矩形，在Rt△BFE中，求得EFm，即可求解． 【详解】（1）根据题意得：CD=8(m)， 在Rt△CDA中，∠ACD=90°，∠ADC=60°， ∴， ∴AC=120(m)， 答：无人机的高度AC=； （2）根据题意得：DE=8(m)， 则CE= DE+CD=520(m)， 过点B作BF⊥CE于点F， 则四边形ABFC为矩形， ∴AB=FC，BF=AC=， 在Rt△BFE中，∠BFE=90°，∠BEF=37°， ∴， ∴EF=(m)， ∴AB=FC=CE-EF=520-276.8243(m)， 答：AB的长度为243m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质．注意能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意数形结合思想的应用． 21. 如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象分别交于C，D两点，点， （1）反比例函数的解析式及求点D的坐标； （2）观察图像，不等式的解集为________； 【答案】（1），； （2）或． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求反比例函数解析式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）先求出点的坐标，代入即可求出，可得反比例函数解析式，联立，求解即可得出点的坐标； （2）由图象即可得出答案． 【小问1详解】 解：把点代入，得：， ∴点， 把点代入，得：， ∴反比例函数的解析式为：， 联立， 解得：， ∴点； 【小问2详解】 解：由图象可得，不等式的解集为或， 故答案为：或． 22. 如图，为的直径，C为上一点，点D为的中点，连接，过点D作，交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）延长交的延长线于点F，若，，求的半径和的长． 【答案】（1） 证明：连接，如图： ∵点D为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）的半径为，． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，圆周角定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）连接，由圆周角定理得到，进而得到，证明，即可得出结论； （2）由解直角三角形得到，由勾股定理得到，即的半径为，证明，得到，即，求出，即可得出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图： 在中，， ∵， ∴， ∴，即的半径为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 如何确定防守方案？ 素材1 鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），足球的飞行轨迹可看成抛物线．攻球员位于O，守门员位于点A，OA的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，已知，． 素材2 通过鹰眼系统监测，足球飞行的水平速度为15m/s．水平距离s（水平距离=水平速度×时间）与离地高度h的鹰眼数据如表．守门员的最大防守高度为．守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功． s/m … 9 12 15 18 21 … h/m … 4.2 4.8 5 4.8 4.2 问题解决 任务1 （1）确定运动轨迹 求h关于s的函数表达式． 任务2 （2）探究防守方案 若守门员选择原地接球，能否防守成功？若防守成功，请求出守门员接住球时，球的高度；若防守不成功，请通过计算说明理由． 【答案】（1）； （2）不成功，理由如下： 当时，， ∴若守门员选择原地接球，防守不成功． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解表格中的数据求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据题意把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （2）计算出当时的值即可得到答案． 【详解】解：（1）由表格可知，抛物线的顶点坐标为， 设h关于s的函数表达式为， 把点代入，得： ， 解得：， ∴； （2） 略 24. 定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”． 【理解】 （1）如图1，若四边形是以为“相似对角线”的四边形，，，，求出的长度． （2）如图2，在四边形中，，，对角线平分，．请问是四边形的“相似对角线”吗？请说明理由； 【运用】 （3）如图3，已知是四边形的“相似对角线”，．连接，若的面积为，求的长 【答案】（1）或； （2）是四边形的“相似对角线”， 理由如下： ，平分， ， ， ， ， ， ∴是四边形的“相似对角线”； （3）的长为 【解析】 【分析】（1）根据“相似对角线”的定义，分两种情况讨论，分别列式计算即可求解； （2）先说明，即可说明理由； （3）先判断出，得出，再求出，即可求得的值 【详解】解：（1）四边形是以为“相似对角线”的四边形， ∴或， ∵，，， 由勾股定理得，， 当时， ∴， ∴， ∴， 当时， ∴， ∴， ∴， 综上：或； （2）略． （3）如图3， ∵是四边形的“相似对角线”， ∴与相似． 又， ， ∴， ， 过点E作垂足为Q， 可得， ∵， ∴， ， ， ∴． 【点睛】本题是属于四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质、认识新定义、锐角三角函数等知识点，正确判定相似三角形是解答本题的关键． 25. 在菱形中，，点在边上，将沿折叠到． （1）【尝试】 如图1，过点的直线，交于点，交的延长线于点，． 显然，是________三角形（按边分类），若,则________（用含的代数式表示）； （2）【探究】 在（1）的条件下，①求证：；②当，时，求的长； （3）【拓展】 如图2，若，点在的延长线上，，的延长线交于点，求． 【答案】（1）等边； （2） ①由（1）可知是等边三角形， ∴， ∴， ∴． ② （3）7 【解析】 【分析】（1）根据折叠可得出，由即可得是等边三角形，根据，即可得； （2）①由是等边三角形，可得，从而，再由即可得证；②由可得，则有，设，，利用是等边三角形可表示出，，代入即可求解； （3）过点作于，由，可得，，可证明，则有，因为，，代入即可得，再利用即可求解． 【小问1详解】 解：∵将沿折叠到， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案：等边； 【小问2详解】 证明：① 略 ②解：由①可知， ∴，即， ∴， 由折叠可知， ∴， 设，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， 解得，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去． ∴的长为． 【小问3详解】 解：如图，过点作于， ∵， ∴， ∴，， 由折叠可知，，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $