精品解析：上海华东师范大学附属进华中学2026-2027学年八年级上学期 数学期中考试卷

进华中学2026学年第一学期八年级数学学科期中考试卷 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A选项：，错误． B选项：，正确． C选项：，错误． D选项：，错误． 2. 若一个正数的两个不相等的平方根分别是和，则这个正数是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题利用正数的两个平方根互为相反数的性质列方程求解，再计算得到这个正数即可． 【详解】解：∵一个正数的两个不相等的平方根互为相反数， ∴， 整理得， 解得， 将代入得， ∵， ∴这个正数是． 3. 下列式子不是的有理化因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查有理化因式的概念，关键是通过相乘验证是否消除根式．注意选项C的乘积仍保留根式结构． 有理化因式需满足与给定式子相乘后结果不含根式．通过计算各选项与 的乘积，判断是否含根式． 【详解】∵ 有理化因式应使乘积不含根式， A．，不含根式； B．，不含根式； C．，仍含根式； D．，不含根式． ∴ 选项C不是有理化因式． 故选：C． 4. 下列关于的方程有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，通过计算判别式或简化方程，判断每个方程是否有实数根．二次方程有实数根当且仅当判别式． 【详解】解：A、，，此方程无实数根，不符合题意； B、，，此方程无实数根，不符合题意； C、，简化得 ，矛盾，无解，即此方程无实数根，不符合题意； D、，，此方程有实数根， 故此方程有实数根，符合题意． 故选：D． 5. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（整式方程、一个未知数、未知数最高次数为2）逐一判断选项． 【详解】解：选项A：方程为整式方程，仅含未知数，且的最高次数为2，符合一元二次方程的定义，是一元二次方程； 选项B：方程中含分式，分母含未知数，不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程； 选项C：方程含两个未知数和，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程； 选项D：方程化简后为，是一元一次方程，最高次数为1，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程． 故选：A． 6. 设，，，…，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先对进行通分、配方变形，化简得到裂项形式，再利用裂项相消法对式子求和，算出最终结果． 【详解】解：，， ， ， ． 二、填空题（本大题共10题，每题3分，满分30分） 7. ______ 【答案】 【解析】 【分析】依据算术平方根的定义计算，明确表示的算术平方根，避免与平方根的概念混淆． 【详解】解：，且为非负数， 的算术平方根为， 即． 8. 若的小数部分是，则________． 【答案】 ## 【解析】 【分析】先估算的取值范围，确定的整数部分，据此得到小数部分，再代入计算即可． 【详解】解：，，且， ， 不等式两边同乘，不等号方向改变，可得：， 不等式两边同时加，可得：， 的整数部分为， 任意实数的小数部分等于该数减去其整数部分， ， ． 9. 用科学记数法表示为________ 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的形式为，其中，为整数，依据科学记数法的定义，确定满足范围的值与对应整数，保留原数的负号完成表示． 【详解】解： 原数的科学记数法表示为． 10. 比较大小：________． 【答案】 【解析】 【详解】∵，， ∴． 11. 实数、、在一条没有标明原点的数轴上对应的点、、的位置如图所示，则可化简为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】考查二次根式的性质（、）、数轴上数的大小关系．关键是根据数轴判断符号，正确化简绝对值和二次根式，易错点是忽略根号下表达式的非负性及绝对值符号的处理． 由数轴得，．则，，两者相加得． 【详解】由数轴可知，且． ，． ，根号有意义，，． 因此，原式化简为． 故答案为：． 12. 若，则化简________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数、二次根式的运算和二次根式的性质，熟练掌握二次根式的乘除法和是解题的关键． 【详解】， ， 故答案为：． 13. 如果最简二次根式与是同类二次根式，那么______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查的是同类二次根式的含义，根据同类二次根式的定义，被开方数必须相同，把化为最简二次根式后，因此令 等于 化简后的被开方数即可求解． 【详解】解：∵， 与是同类二次根式， ∴，解得． 故答案为 3． 14. 不等式的解集是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题通过解一元一次不等式考查二次根式的乘法公式，核心是利用平方差公式进行分母有理化． 【详解】解：原不等式为，即， ∵， ∴． 故不等式的解集为． 故答案为：． 15. 如果是方程的一个根，那么代数式的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程根的定义得到，再整体代入计算即可． 【详解】解：是方程的一个根， ， 整理得： ． 16. 如图，四边形中，，的平分线交于点，点是边的中点，已知，，则与的比值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定、二次根式的分母有理化，熟练掌握等腰三角形的判定是解题关键．先根据平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，则可得，再根据等腰三角形的判定可得，然后根据线段和差求出，，根据二次根式的分母有理化方法求解即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、简答题（每题5分，6题共30分） 17. 计算 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质计算即可． 【详解】解： ． 18. 用配方法解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了运用配方法解一元二次方程，先把二次项系数化1，得，再把常数项移到等号的右边，即，再配方，最后开方，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 则， ∴ ∴． 19. 用因式分解法解方程： 【答案】 ， 【解析】 【分析】用十字相乘法分解因式求方程的解． 【详解】解：， 分解因式可得：， ，， 当时， 可得：， 当时， 可得：， 方程的解为，． 20. 用合适的方法解方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法． 利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解： 原方程的解是． 21. 已知，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则是解答的关键． 先根据二次根式的运算法则化简原式，再代值求解即可． 【详解】解：原式 ， 把，代入，得 原式 ． 22. 当实数满足什么条件时，关于的方程有两个实数根？ 【答案】 当且时，方程有两个实数根 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：关于的方程有两个实数根， 关于的方程一定是一元二次方程， ， 解得：， 整理方程， 可得：， ， 整理可得：， 解得：， 当且时，方程有两个实数根． 四、解答题（23题10分，24题12分，共22分） 23. 定义：两根都为整数的一元二次方程称为“友好方程”，代数式的值为该“友好方程”的“超强代码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“友好方程”，其“超强代码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“最佳搭子方程”． （1）“友好方程”的“超强代码”是______； （2）关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“友好方程”，请求出该方程的“超强代码”； （3）若关于x的一元二次方程是（m，n均为整数，且）的“最佳搭子方程”，且的一个根是的一个根的2倍，求m和n的值． 【答案】（1） （2）或 （3），或， 【解析】 【分析】（1）根据“超强代码”的定义求解即可； （2）根据“友好方程”的根为整数，得判别式为完全平方数，结合m的范围求出m，再计算“超强代码”； （3）先求出两个方程的“超强代码”，根据“最佳搭子方程”的定义得到关于m、n的等式，因式分解得到两个方程的整数根，再根据的一个根是的一个根的2倍讨论求解即可． 【小问1详解】 解：在方程中，， ∴； 【小问2详解】 解：由题意得， ， ∵关于x的一元二次方程是“友好方程”， ∴原方程的两个根均为整数， ∴必须是完全平方数， ∴必须是完全平方数， ∵， ∴， ∴或， 解得或， 当时，， ∴该方程的“超强代码”； 当时，， ∴该方程的“超强代码” 综上所述，该方程的“超强代码”为或； 【小问3详解】 解：由题意得，方程的“超强代码”为 ， 方程的“超强代码”为 ； ∵关于x的一元二次方程是（m，n均为整数，且）的“最佳搭子方程”， ∴ ∵， ∴， 解得或； ∵， ∴， 解得或， ∵的一个根是的一个根的2倍，且m、n都是整数， ∴只能有或这两种情况， 当时，则，不符合题意； 当时，则， ∴， ∴， ∴， 解得或， 当时，， 当时，； 综上所述，，或，． 24. （1）通过剪裁、拼接两个面积为1的正方形，可得到一个面积2的正方形．如图1，已知小正方形的边长为1，若点与数轴上表示1的点重合，将正方形绕着点旋转，点落在数轴上，与点重合，则表示的数为_____； （2）下面我们来了解如何得到边长为的正方形，如图2，将五个面积为1的正方形，按图示虚线剪裁，拼接成右侧的图形．我们可以用已经学过的几何知识判断出四边形是正方形．已知直角与中，三点在同一条直线上，求证：且； （3）下面介绍如何获得边长为的正方形．利用面积为2的正方形以及一个面积为1的正方形剪裁、拼接．如图3，将面积为1的正方形与面积为2的正方形排列在一起．在上取点，使得，连接、．将绕着点逆时针旋转，得到，再将以类似方式旋转至的位置，四边形即边长为的正方形． 请参考这一方法，仅利用面积为1的正方形（不限数量），以及上面小题（1）、（2）中已经获得的面积为2或5的正方形，尝试获得边长为的正方形，利用刻度尺画出图形．（图上适当标注数据，不需要写作图过程） 【答案】（1）或 （2）证明：在与中， ， ， ， ， ， ． （3）解：如图所示，四边形即为所求， 将面积为1的正方形与面积为5的正方形排列在一起．在上取点，使得，连接、．将绕着点逆时针旋转，得到，再将以类似方式旋转至的位置，四边形即边长为的正方形． 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与全等三角形的应用，熟练掌握勾股定理与全等三角形是解题关键． （1）先由勾股定理得正方形边长，再结合点A表示的数，推出表示的数． （2）通过证明，利用全等三角形的对应边相等、对应角相等，推导得出结论． （3）利用勾股定理，结合面积为5、1的正方形，构造直角三角形得到斜边，再拼成正方形． 【详解】（1）解：由题可知， 点与数轴上表示1的点重合，将正方形绕着点旋转，点落在数轴上，与点重合， 若在A的左侧，则表示的数为， 若在A的右侧，则表示的数为， 表示的数为或． 故答案为：或． （2）略 （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 进华中学2026学年第一学期八年级数学学科期中考试卷 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 若一个正数的两个不相等的平方根分别是和，则这个正数是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 3. 下列式子不是的有理化因式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列关于的方程有实数根的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 6. 设，，，…，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10题，每题3分，满分30分） 7. ______ 8. 若的小数部分是，则________． 9. 用科学记数法表示为________ 10. 比较大小：________． 11. 实数、、在一条没有标明原点的数轴上对应的点、、的位置如图所示，则可化简为_____． 12. 若，则化简________． 13. 如果最简二次根式与是同类二次根式，那么______． 14. 不等式的解集是_____． 15. 如果是方程的一个根，那么代数式的值是_______． 16. 如图，四边形中，，的平分线交于点，点是边的中点，已知，，则与的比值为_____． 三、简答题（每题5分，6题共30分） 17. 计算 18. 用配方法解方程：． 19. 用因式分解法解方程： 20. 用合适的方法解方程： 21. 已知，求的值． 22. 当实数满足什么条件时，关于的方程有两个实数根？ 四、解答题（23题10分，24题12分，共22分） 23. 定义：两根都为整数的一元二次方程称为“友好方程”，代数式的值为该“友好方程”的“超强代码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“友好方程”，其“超强代码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“最佳搭子方程”． （1）“友好方程”的“超强代码”是______； （2）关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“友好方程”，请求出该方程的“超强代码”； （3）若关于x的一元二次方程是（m，n均为整数，且）的“最佳搭子方程”，且的一个根是的一个根的2倍，求m和n的值． 24. （1）通过剪裁、拼接两个面积为1的正方形，可得到一个面积2的正方形．如图1，已知小正方形的边长为1，若点与数轴上表示1的点重合，将正方形绕着点旋转，点落在数轴上，与点重合，则表示的数为_____； （2）下面我们来了解如何得到边长为的正方形，如图2，将五个面积为1的正方形，按图示虚线剪裁，拼接成右侧的图形．我们可以用已经学过的几何知识判断出四边形是正方形．已知直角与中，三点在同一条直线上，求证：且； （3）下面介绍如何获得边长为的正方形．利用面积为2的正方形以及一个面积为1的正方形剪裁、拼接．如图3，将面积为1的正方形与面积为2的正方形排列在一起．在上取点，使得，连接、．将绕着点逆时针旋转，得到，再将以类似方式旋转至的位置，四边形即边长为的正方形． 请参考这一方法，仅利用面积为1的正方形（不限数量），以及上面小题（1）、（2）中已经获得的面积为2或5的正方形，尝试获得边长为的正方形，利用刻度尺画出图形．（图上适当标注数据，不需要写作图过程） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $