精品解析：广东省佛山市南海区南海实验中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025-2026学年上学期初三第三次调研数学试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 圭表是古代汉族科学家发明的度量日影长度以定节令的一种天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成．当太阳照着表的时候，圭上出现了表的影子，根据影子的方向和长度，就能读出时间，则表在圭面上形成的投影是（ ） A. 中心投影 B. 平行投影 C. 既是平行投影又是中心投影 D. 不能确定 2. 已知与成反比例函数，且经过点和点，则点的坐标可能是（　　） A. B. C. D. 3. 一张标准对数视力表由一些形状相同但大小不一定相同的符号“E”组成的，我们可以借助平面直角坐标系中的位似变换来对符号“E”进行放大或缩小．如图，两个符号“E”在第一象限，且关于原点O位似．若点，点，点，则点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 广东省沿海为台风高发地区，为了提前做好防灾措施，气象部门统计了过去18年8月到10月的台风记录，其中有7年出现4次台风，有5年出现3次台风，有4年出现2次台风，有2年出现1次台风．请根据以上数据，估计明年8月到10月台风发生次数为2次的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在修建送水站时，施工部门沿某一斜坡铺设送水管道，于点，米，米，则斜坡的坡度为（ ） A. B. C. D. 6. 将一个圆盘分为圆心角相等的8个扇形，各扇形涂有各种颜色，如图．任意转动转盘，停止后指针落在每个扇形内的可能性大小都一样（当指针落在扇形边界时，统计在逆时针方向相邻的扇形内）．则指针落在红色区域的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形面积为，小正方形面积为1，则（ ） A. B. C. 4 D. 8. 今年的3月3日是第12个“世界野生动植物日”，今年我国的主题为“加大物种保护投入力度，共建地球生命共同体”．这些年对野生动物的关注和保护，使得云南某地的野生绿孔雀的数量增多，2023年年初统计该地野生绿孔雀大约有120只，2025年年初统计该地野生绿孔雀大约有180只，设这两年该地野生绿孔雀数量的年平均增长率大约为x，则可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（    ） A. B. C. D. 10. 如图1是一款儿童攀爬架，图2是其侧面示意图，连接，测量得，，且点到地面的距离是点到地面距离的2倍，米，则的长为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 已知，则___________． 12. 请写出一个y关于x的反比例函数，使函数图象位于第二、四象限：______． 13. 高速公路上行驶的汽车急刹车时的滑行距离与时间的函数关系式为，遇到紧急情况时，司机急刹车，则汽车最多要滑行 _____，才能停下来． 14. 如图所示，某种品牌小轿车左右两个参照点A和F的距离为米，这两个参照点到地面的距离米，若驾驶员的眼睛点P到地面的距离米，则驾驶员的视野盲区的长度为__________米． 15. 我们知道圆内任意直径即可将圆面积二等分．受此启发，如图，正方形的边长为9，点M在上，且．过点M作直线与交于点N，作直线分别与交于点P，Q．若将正方形的面积四等分，则的长度是________． 三、解答题（一）：本大题共3题，每小题8分，共24分． 16. 解方程：． 17. 在闯关大挑战游戏中，小明同学还剩最后两道单选题未作答，两题均有四个选项，全部答对就能闯关成功．小明同学只能排除第一题的一个错误选项，第二题完全不会，他还有两次“求助”机会（使用一次“求助”可去掉一个错误选项）． （1）若小明同学将两次“求助”机会均放在第一题，则第一题答对的概率是 ，闯关成功的概率是 ； （2）若小明同学将两次“求助”机会均放在第二题，请用列表或画树状图的方法求小明同学闯关成功的概率． 18. 如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作于点，过点作交的延长线于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长度． 四、解答题（二）本大题共3题，每题9分，共27分． 19. 如图是某高铁二等座小桌板，它的设计需兼顾空间利用、结构稳定与乘客安全．图2是小桌板展开后的侧面示意图，其中，靠背垂直于水平面，小桌板与水平面平行，支架连接靠背和小桌板为杯托底面圆的直径，测得，，，（，，） （1）如图2，求点到靠背的距离；（精确到） （2）如图3，靠背绕点旋转至与小桌板支架重合，已知托杯凹陷深度为，一个高为圆柱形水杯（恰好放进杯托，空隙忽略不计），是否能竖直放在杯托处？（精确到） 20. 新定义：若一个点的横坐标与纵坐标之和为6，那么称这个点为“和六点”．已知反比例函数的图象经过点，二次函数的图象经过该反比例函数图象上的所有“和六点”． （1）求二次函数的解析式 （2）已知二次函数与反比例函数的图象交于第一象限的两点，（点的横坐标小于点的横坐标）两点，为抛物线对称轴上一动点．若是以为顶点的等腰三角形，求点的坐标． 21. 某购物商场的地面停车场为矩形，其面积为，共设计了如图所示的56个停车位，每个停车位的尺寸都一样，且长比宽多，通车道的宽度都相等． （1）求停车位的宽． （2）该商场停车场原收费8元/小时，日均运营成本200元，高峰时段（12小时）车位全满，平峰时段（12小时）使用率．现计划调整收费：每小时上涨a元，高峰时段使用率不受影响，但平峰时段使用率会降低（因涨价导致部分车主选择其他停车场），若调整后日均利润为9208元，求a的值． 22. 如图，点O是边长为12的正方形对角线的交点，点E是线段上一动点且，把线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，，，其中与交于点G，与交于点H． （1）若时， ______； （2）探究与的关系，并说明理由； （3）连接，设，的面积为S，求S与x的函数关系式，并求出S的最大值． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，直线经过点，与轴交于点，点为中点，反比例函数刚好经过点．将直线绕点沿顺时针方向旋转得直线，直线与轴交于点． （1）点的坐标为_____，并求证． （2）如图2，点为射线上一动点，当取最小值时，求的面积； （3）将沿射线方向进行平移，得到且刚好落在轴上，已知点为反比例函数上一点，点为轴上一点，若以，，，为顶点的四边形为平行四边形，求解所有满足条件的点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期初三第三次调研数学试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 圭表是古代汉族科学家发明的度量日影长度以定节令的一种天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成．当太阳照着表的时候，圭上出现了表的影子，根据影子的方向和长度，就能读出时间，则表在圭面上形成的投影是（ ） A. 中心投影 B. 平行投影 C. 既是平行投影又是中心投影 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心投影和平行投影的定义，熟记相关定义是解本题的关键． 根据中心投影的定义：把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影；平行投影的定义：光源是以平行的方式照射到物体上的投影，据此解答即可． 【详解】解：太阳光下表的影子为平行投影． 故选B． 2. 已知与成反比例函数，且经过点和点，则点的坐标可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，关键掌握图象上的点的横纵坐标的积是定值，即． 根据题意设出反比例函数解析式，再利用待定系数法把点代入求出的值，进而得到与的函数关系式，根据图象上的点的横纵坐标的积是定值，即进行计算即可． 【详解】解：与成反比例， 设， 把点代入得，， 反比例函数解析式为； ， 故点的坐标可能是， 故选：． 3. 一张标准对数视力表由一些形状相同但大小不一定相同的符号“E”组成的，我们可以借助平面直角坐标系中的位似变换来对符号“E”进行放大或缩小．如图，两个符号“E”在第一象限，且关于原点O位似．若点，点，点，则点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．利用以原点为位似中心的对应点的坐标特征得到相似比为，然后把C点的横纵坐标都乘以得到其对应点D的坐标． 【详解】解：∵两个符号“E”在第一象限，且关于原点O位似， 而点，点， ∴相似比为， ∴点的对应点D的坐标是，即． 故选：C． 4. 广东省沿海为台风高发地区，为了提前做好防灾措施，气象部门统计了过去18年8月到10月的台风记录，其中有7年出现4次台风，有5年出现3次台风，有4年出现2次台风，有2年出现1次台风．请根据以上数据，估计明年8月到10月台风发生次数为2次的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了根据频率估计概率，用出现2次台风的年数除以总年数即可． 【详解】∵ 出现2次台风的年数为4年，总年数为18年， ∴估计明年8月到10月台风发生次数为2次的概率为． 故选：D． 5. 如图，在修建送水站时，施工部门沿某一斜坡铺设送水管道，于点，米，米，则斜坡的坡度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，理解坡度的概念是解题的关键． 先由勾股定理求解，再由坡度的定义即为坡角的正切值求解即可． 【详解】解：∵于点，米，米， ∴ ∴， ∴斜坡的坡度为， 故选：A． 6. 将一个圆盘分为圆心角相等的8个扇形，各扇形涂有各种颜色，如图．任意转动转盘，停止后指针落在每个扇形内的可能性大小都一样（当指针落在扇形边界时，统计在逆时针方向相邻的扇形内）．则指针落在红色区域的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率；此题将概率的求解设置于几何图象或游戏中，考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性． 首先确定在图中红色区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向红色区域的概率． 【详解】解：圆被等分成8份，其中红色部分占3份， 落在红色区域的概率． 故选：B． 7. 我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形面积为，小正方形面积为1，则（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，求正弦值，解直角三角形，解题关键是明确题意，求出三角形的各边的长． 根据题意和题目中的数据，可以求出直角三角形各边的长，然后即可计算出的值． 【详解】解：设大正方形的边长为，直角三角形的短直角边为，长直角边为， 由题意可得：，，， 解得：，，， ， 故选：A． 8. 今年的3月3日是第12个“世界野生动植物日”，今年我国的主题为“加大物种保护投入力度，共建地球生命共同体”．这些年对野生动物的关注和保护，使得云南某地的野生绿孔雀的数量增多，2023年年初统计该地野生绿孔雀大约有120只，2025年年初统计该地野生绿孔雀大约有180只，设这两年该地野生绿孔雀数量的年平均增长率大约为x，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了增长率问题． 根据2023年年初统计该地野生绿孔雀大约有120只，2025年年初统计该地野生绿孔雀大约有180只列方程即可． 【详解】解：∵设这两年该地野生绿孔雀数量的年平均增长率大约为x， ∴2024年初数量为， ∴2025年初数量为． 又∵2025年初统计为180只， ∴． 故选：C． 9. 抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数图象与二次函数图象，应该识记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 可先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与一次函数的图象相比较看是否一致．逐一排除． 【详解】解：A、B、由二次函数的图象可知，可得，此时直线经过一，三，四象限，但考虑，因此抛物线和直线均经过点，因此A错误，B正确； C、二次函数的图象可知，对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，，此时直线经过一、二、四象限，故C错误； D、二次函数的图象可知，对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，，此时直线经过一、二、四象限，故D错误； 故选：B． 10. 如图1是一款儿童攀爬架，图2是其侧面示意图，连接，测量得，，且点到地面的距离是点到地面距离的2倍，米，则的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设于点F，于点G，过点D作于点E，可得四边形是矩形，得，可得，证明，，证明，得，得，得，即得， 【详解】解：如图，设于点F，于点G，过点D作于点E， 则， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的长为． 故选：A． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定和性质、矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．正确作出辅助线构造直角三角形和全等三角形是解题关键． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式求值，掌握运用设参数的方法解比例关系问题是解题的关键． 由已知比例关系，可设参数表示a和b，再代入所求式子计算． 【详解】解：设，则，（）， ∴． 故答案为． 12. 请写出一个y关于x的反比例函数，使函数图象位于第二、四象限：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据反比例函数图象位于二、四象限，可确定，从而选择恰当的值代入写出即可． 【详解】∵函数图象位于二、四象限， ∴， ∴可选取，那么反比例函数为， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查反比例函数图象性质，理解反比例函数图象与比例系数之间的关系是解题关键． 13. 高速公路上行驶的汽车急刹车时的滑行距离与时间的函数关系式为，遇到紧急情况时，司机急刹车，则汽车最多要滑行 _____，才能停下来． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，此题实际是求从开始刹车到停止所走的路程，即的最大值．把抛物线解析式化成顶点式后，即可解答． 【详解】解：依题意，该函数关系式化简为， 当时，汽车停下来，滑行了， 故滑行的时间为3秒，最大的滑行距离， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，即考查二次函数的最值问题，解答关键是弄懂题意，熟练对函数式变形，从而取得最值． 14. 如图所示，某种品牌小轿车左右两个参照点A和F的距离为米，这两个参照点到地面的距离米，若驾驶员的眼睛点P到地面的距离米，则驾驶员的视野盲区的长度为__________米． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查视点、视角和盲区，相似三角形的判定和性质，解题的关键是证明，推出，由此求解即可． 【详解】解：设与交于， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：9． 15. 我们知道圆内任意直径即可将圆面积二等分．受此启发，如图，正方形的边长为9，点M在上，且．过点M作直线与交于点N，作直线分别与交于点P，Q．若将正方形的面积四等分，则的长度是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，矩形的性质与判定，连接交于O，由正方形的性质和题意可得一定都经过点O，证明，则由三角形面积计算公式可得，同理可得；过点P作于H，可证明四边形是矩形，据此求出的长，则可利用勾股定理求出的长． 【详解】解：如图所示，连接交于O， 由正方形的性质可得，只有经过正方形的中心的直线才会平分正方形面积， 因此当将正方形的面积四等分时，一定都经过点O， ∵， ∴，即， 由正方形的性质可得，点O到正方形四条边的距离相等， ∴由三角形面积计算公式可得，同理可得， ∵正方形的边长为9，， ∴， 如图所示，过点P作于H， 由正方形的性质可得， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3题，每小题8分，共24分． 16. 解方程：． 【答案】 ， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练运用合适的方法求解是解题的关键． 利用配方法求解即可． 【详解】解： ∴ 17. 在闯关大挑战游戏中，小明同学还剩最后两道单选题未作答，两题均有四个选项，全部答对就能闯关成功．小明同学只能排除第一题的一个错误选项，第二题完全不会，他还有两次“求助”机会（使用一次“求助”可去掉一个错误选项）． （1）若小明同学将两次“求助”机会均放在第一题，则第一题答对的概率是 ，闯关成功的概率是 ； （2）若小明同学将两次“求助”机会均放在第二题，请用列表或画树状图的方法求小明同学闯关成功的概率． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法求概率，解题的关键是画出相应的表格，求出相应的概率． （1）根据题意即可得出第一题答对的概率，然后再用列表法求出闯关成功的概率； （2）根据“求助”的意义可排除第二题的两个错误选项，然后再用列表法求出闯关成功的概率． 【小问1详解】 解：∵小明同学只能排除第一题的一个错误选项，且小明同学将两次“求助”机会均放在第一题， 又∵每使用一次“求助”可去掉一个错误选项， ∴在两次“求助”后，第一题剩下的选项即为正确选项， ∴第一题答对的概率是， 列表如下： 第一题 第二题 √ √ （√，√） × （√，×） × （√，×） × （√，×） 共有种等可能结果，其中闯关成功的只有种结果， ∴闯关成功的概率为， 故答案为：；； 【小问2详解】 两次“求助”都用在第二题，可排除两个错误选项，列表如下： 列表如下： 第一题 第二题 √ × × √ （√，√） （×，√） （×，√） × （√，×） （×，×） （×，×） 共有种等可能结果，其中闯关成功的只有种结果， ∴小明同学闯关成功的概率为． 18. 如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作于点，过点作交的延长线于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长度． 【答案】（1） 证明：（1）∵四边形是菱形， ∴， 又∵，， ∴，， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质得到，由，得出，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）由菱形的性质得，由勾股定理求出，，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， 在中， ， 在中， ， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定，菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识；根据菱形的性质得到，由垂直的定义得出直角是解题的关键． 四、解答题（二）本大题共3题，每题9分，共27分． 19. 如图是某高铁二等座小桌板，它的设计需兼顾空间利用、结构稳定与乘客安全．图2是小桌板展开后的侧面示意图，其中，靠背垂直于水平面，小桌板与水平面平行，支架连接靠背和小桌板为杯托底面圆的直径，测得，，，（，，） （1）如图2，求点到靠背的距离；（精确到） （2）如图3，靠背绕点旋转至与小桌板支架重合，已知托杯凹陷深度为，一个高为圆柱形水杯（恰好放进杯托，空隙忽略不计），是否能竖直放在杯托处？（精确到） 【答案】（1）约为 （2）能 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，把所求线段或角，整理到合适的直角三角形中求解，是解决本题的关键． （1）延长交于点，则，根据的长和的正弦值，解直角三角形即可得的长，即为点到靠背的距离； （2）延长交于点，解直角三角形求得的长度，加上的长度，再和杯子的高度比较即可判断水杯能否放在杯托处． 【小问1详解】 解：延长交于点，如图所示： 靠背垂直于水平面，小桌板与水平面平行， ， 在中，，则， ， 则点到靠背的距离约为； 【小问2详解】 解：一个高为的圆柱形水杯能竖直放在杯托处． 理由如下： 延长交于点，如图所示： 则， ， ， ， 在中，， 则， ， ， ， ∴一个高为的圆柱形水杯能竖直放在杯托处． 20. 新定义：若一个点的横坐标与纵坐标之和为6，那么称这个点为“和六点”．已知反比例函数的图象经过点，二次函数的图象经过该反比例函数图象上的所有“和六点”． （1）求二次函数的解析式 （2）已知二次函数与反比例函数的图象交于第一象限的两点，（点的横坐标小于点的横坐标）两点，为抛物线对称轴上一动点．若是以为顶点的等腰三角形，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与反比例函数综合，两点间距离公式，等腰三角形的定义，正确理解题意求出反比例函数上的“和六点”的坐标是解题的关键． （1）先利用待定系数法求出反比例函数解析式为，设反比例函数上的“和六点”为，根据“和六点”的定义建立方程求出反比例函数上的“和六点”坐标，进而利用待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）先求出对称轴，再设出点P坐标，根据，利用两点间距离公式建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象经过点， ． 反比例函数的解析式为． 设反比例函数上的“和六点”为． ． 解得， 经检验，都是原方程的解， 反比例函数图象上的“和六点”的坐标为． 二次函数的图象经过点，． ，解得， 二次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：由（1）可知，抛物线解析式为． 抛物线对称轴为直线． 点在抛物线的对称轴上， ∴可设． 联立得， 解得， 二次函数与反比例函数的图象交于，（点的横坐标小于点的横坐标）两点， ． 是以为顶点的等腰三角形， ． ， ， ． 解得． 点的坐标为． 21. 某购物商场的地面停车场为矩形，其面积为，共设计了如图所示的56个停车位，每个停车位的尺寸都一样，且长比宽多，通车道的宽度都相等． （1）求停车位的宽． （2）该商场停车场原收费8元/小时，日均运营成本200元，高峰时段（12小时）车位全满，平峰时段（12小时）使用率．现计划调整收费：每小时上涨a元，高峰时段使用率不受影响，但平峰时段使用率会降低（因涨价导致部分车主选择其他停车场），若调整后日均利润为9208元，求a的值． 【答案】（1）停车位的宽为 （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及矩形面积公式和利润的计算．分析边长的组成关系，根据价格调整后的使用率变化建立等量关系是解题关键． （1）用表示停车位的长和宽，再表示出停车场长和宽，根据矩形的面积公式列方程求解即可． （2）根据题意表示出停车场每日高峰时段和平峰时段的收费之和，减去成本即为利润，据此建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：设停车位的宽为，则停车位的长为，通车道宽为，停车场的长为，宽为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 答：停车位的宽为． 【小问2详解】 解：价格上涨后，停车场收费， 高峰时段收费为元， 平峰时段收费为元， ， 解得，， 当，，停车场使用率不可能为负值，故舍去， ． 答：的值为2． 22. 如图，点O是边长为12的正方形对角线的交点，点E是线段上一动点且，把线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，，，其中与交于点G，与交于点H． （1）若时， ______； （2）探究与的关系，并说明理由； （3）连接，设，的面积为S，求S与x的函数关系式，并求出S的最大值． 【答案】（1） （2） 解：，，理由如下： 如图，作交于， ， ∵四边形为正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， 由旋转的性质可得：，， ∴，即， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （3），S的最大值为 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质可得，，，，从而得出，结合题意求出，求出，即可得解； （2）作交于，由正方形的性质可得，，，证明为等腰直角三角形，得出，，由旋转的性质可得，，证明，得出，从而推出，即，证明，由相似三角形的性质求解即可； （3）作交于，作于，于，由正方形的性质可得，，，，求出，证明四边形为矩形，得出，求出，得出，由（2）可得：，，从而可得，，证明为等腰直角三角形，得出，由得出关于的解析式，再由二次函数的性质即可得解． 【小问1详解】 解：∵点O是边长为12的正方形对角线的交点， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，作交于，作于，于， ， ∵点O是边长为12的正方形对角线的交点， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（2）可得：，， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，S的值最大，为． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、旋转的性质、二次函数的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，直线经过点，与轴交于点，点为中点，反比例函数刚好经过点．将直线绕点沿顺时针方向旋转得直线，直线与轴交于点． （1）点的坐标为_____，并求证． （2）如图2，点为射线上一动点，当取最小值时，求的面积； （3）将沿射线方向进行平移，得到且刚好落在轴上，已知点为反比例函数上一点，点为轴上一点，若以，，，为顶点的四边形为平行四边形，求解所有满足条件的点的坐标． 【答案】（1），证明如下： ∵直线经过点，与轴交于点，点为中点， ∴点的坐标为，即； 过点作于，如图所示： ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵将直线绕点沿顺时针方向旋转得直线，直线与轴交于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） （3）点的坐标为或或． 【解析】 【分析】（1）利用中点坐标公式可得点的坐标；过点作于，通过，可得，，结合，可得，接着证明，即可得证； （2）在的上方作射线交于，使，过点作于，连接，过点作于，则，，，那么当三点共线时，最短，最小值为的长，接着证明，所以当点与重合时，取得最小值，此时与重合，点与点重合，最后通过求得答案； （3）利用待定系数法可得直线的解析式为，进而可得，利用平移的性质可得：，设，分三种情况：当、为平行四边形的对角线时，则、的中点重合，当、为平行四边形的对角线时，则、的中点重合，当、为平行四边形的对角线时，则、的中点重合，根据平行四边形的对角线互相平分，分别利用中点坐标公式列方程组求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，在的上方作射线交于，使，过点作于，连接，过点作于， 则， ∴， ∵， ∴当三点共线时，最短，最小值为的长， 由（1）可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴当点与重合时，取得最小值，此时与重合，点与点重合， 如图所示：过点作于， ∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：设直线的解析式为，代入，， ， 解得， ∴直线的解析式为， 令，得， ∴， ∵将沿射线方向进行平移，得到， ∴平移方式为向左平移个单位，再向下平移个单位， 由（2）可知，，， ∴， ∵， ∴，即 如图， 设，又， 当、为平行四边形的对角线时，则、的中点重合， ∴， 解得， ∴； 当、为平行四边形的对角线时，则、的中点重合， ∴， 解得， ∴； 当、为平行四边形的对角线时，则、的中点重合， ∴， 解得， ∴； 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题是考查三角形全等的判定与性质，解直角三角形，利用“两点之间线段最短”和“垂线段最短”求最小值，三角形面积，平行四边形的性质，中点坐标公式等，运用分类讨论思想和方程思想是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $