精品解析：山东省济南山东大学实验学校2025-2026学年九年级上学期第二次质量监测数学试卷

九上数学第二次质量监测 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图所示的几何体是由4个完全相同的小正方体组成，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三视图，掌握几何体的三视图是解题的关键． 观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可． 【详解】解：从左边看去，左边是两个正方形，右边是一个正方形，选项A符合要求． 故选：A． 2. 如图，四边形是圆内接四边形，对角线经过圆心与相交于点，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理和圆内接四边形，根据圆周角定理和圆内接四边形的性质逐项判断即可，解题的关键是熟练掌握圆周角定理的应用． 【详解】、由同弧所对的圆周角相等可得，，此选项符合题意； 、∵四边形是圆内接四边形， ∴，此选项不符合题意； 、∵是直径， ∴，此选项不符合题意； 、连接， 由圆周角定理得，此选项不符合题意； 故选：． 3. 某旅游景点年月份共接待游客万人次，年月份共接待万人次，设每月旅游人数的平均增长率为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设每月旅游人数的平均增长率为，根据题意列出一元二次方程即可求解，根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】设每月旅游人数的平均增长率为，依题意得：， 故选：． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 四条边相等的四边形是正方形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的矩形是正方形 D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定，根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定逐项判断即可，掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：、四条边相等的四边形是菱形，不符合题意； 、对角线相等的平行四边形是矩形，不符合题意； 、对角线互相垂直的矩形是正方形，符合题意； 、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，不符合题意； 故选：． 5. 已知反比例函数的图象上两点，当时，有．则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据图象的增减性得到关于m的不等式，解不等式即可． 【详解】解：当时，有， ， ， 故选：B． 6. 如果关于的一元二次方程有两个不等实数根，那么实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围即可，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵方程有两个不等的实数根， ∴， 解得：， 故选：． 7. 把抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的几何变换；用到的知识点为：二次函数的平移不改变二次项的系数；得多新抛物线的顶点是解决本题的突破点． 首先得原抛物线的顶点及平移后抛物线的顶点，根据平移不改变抛物线的二次项系数可得新的抛物线解析式． 【详解】解：由题意得原抛物线的顶点为， 把抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位， ∴平移后抛物线的顶点为， ∴新抛物线解析式为， 故选：D． 8. 如图，在平面直角坐标系中，与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，点在轴上，点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，以点为坐标原点，原来的轴为轴建立新的平面直角坐标系，根据位似变换的性质求出点在新坐标系中的坐标，进而求出点的坐标，解题的关键是正确理解在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 【详解】以点为坐标原点，原来的轴为轴建立新的平面直角坐标系，则在新坐标系中，点的坐标为，点的坐标为 ， ∵与是以点为位似中心的位似图形，相似比为， ∴点在新坐标系中的坐标为 ，即 ， 则点在原坐标系中的坐标为， 故选：． 9. 如图，是的直径，点在上，直线与相切于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，连接，由切线的性质得到，求出，由等腰三角形的性质推出，由圆周角定理即可得到． 【详解】解：连接， ∵直线与相切于点A， ∴半径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 10. 如图，二次函数图象的一部分与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象给出下列结论： ； ； 关于的一元二次方程的两根分别为和； 若点，，均在二次函数图象上，则； （为任意实数）． 其中正确的结论个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与y轴的交点判断与的关系，然后根据抛物线对称性进行推理，进而对所得结论进行判断，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键． 【详解】∵抛物线的开口方向向上， ∴， ∵对称轴在轴右侧， ∴对称轴为， ∵， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴的负半轴上， ∴， ∴，故正确； ∵对称轴为， ∴， 由图象可知，当时，， ∴，故正确； ∵对称轴为，与轴的一个交点坐标为， ∴与轴的另一个交点坐标为， ∴关于的一元二次方程的两根分别为和，故正确； ∵点，，均在二次函数图象上，对称轴为， 当与时，的值相等， ∴时，随的增大而减小， ∵， ∴，故错误； ∵抛物线的开口方向向上， ∴， ∴当时，抛物线有最小值，即， ∴，故错误； 综上可知，正确，共个， 故选：． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算：cos245°＋ tan30°sin60°=____________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据特殊角的锐角三角函数值进行计算即可求解． 【详解】解：原式＝ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了特殊角的锐角三角函数值的混合运算，牢记特殊角的锐角三角函数值是解题的关键． 12. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，使斜边与地面保持平行，并且边与点在同一条直线上．已知纸板的两条直角边，测得边离地面的高度，，则树高______． 【答案】3.7 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，先证明，再根据对应边成比例即可求解． 【详解】解：由题意知， 又， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：3.7． 13. 如图，在中，，且，，是的平分线，与相交于点，，，垂足为点，交于点，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，灵活运用相关知识是解答本题的关键．先根据勾股定理，求出，然后证明，得到，设，再证明，得出，进一步推理得到，最后根据列方程并求解，即得答案． 【详解】， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， ，， ， ， ，， 是的平分线， ， ， ， ， ， 解得， ． 故答案为：． 14. 如图，在中，的垂直平分线交于点，垂足为点，连接，过点作，交的延长线于点，连接．若，，则四边形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的定义，勾股定理，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，根据垂直平分可得，，根据勾股定理求出，再证，推出，最后利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：中，， ， 由题意知 垂直平分， ，， 又， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形的面积， 故答案为：． 15. 如图，点在上，若圆的半径为4，，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接、，过点O作于点D，根据圆周角定理求出，证明为等边三角形，根据勾股定理求出，求出即可． 【详解】解：连接、，过点O作于点D，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是圆周角定理及扇形的面积公式，等边三角形的性质，勾股定理，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键． 16. 如图，正方形中，，点是对角线上一点，连接，过点作，交于点，连接，交于点，将沿翻折，得到，连接，交于点，若点是边的中点．以下结论： ①；②；③；④．正确的有______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据正方形的性质、勾股定理判断①；证明，推出，即可判断②；过点E作于点Q，于点P，证明，即可判断③；根据是等腰直角三角形，推出，根据折叠的性质可得，，用勾股定理解可判断④． 【详解】解：正方形中，，点是边的中点， ，， ，故①正确； 正方形中，， ，， ， ， ，故②错误； 如图，过点E作于点Q，于点P， 则， 四边形是矩形， 又平分， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，故③正确； 是等腰直角三角形， ， 由折叠的性质得，， ， ，故④正确； 综上可知，正确的有①③④， 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，折叠的性质等，有一定难度，解题的关键是通过添加辅助线构造全等三角形． 三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 17. 已知：内有一点 求作：等腰直角三角形，使它的直角顶点为，斜边落在边上． 【答案】 即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图——复杂作图，过点P作于点G，再以点G为圆心，长为半径画弧，交于点E，F，可得为线段的垂直平分线，进而可证为等腰直角三角形． 【详解】解：过点P作于点G， 再以点G为圆心，长为半径画弧，交于点E，F，连接，， 则，， 为线段的垂直平分线，， 为等腰直角三角形， 则即为所求． 四、解答题（本大题共9小题，共68分） 18. 计算： （1）解方程：； （2）已知关于的一元二次方程．求证：无论为何值，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】（1） （2） 证明：关于的一元二次方程， ， ， 无论为何值，该方程都有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，掌握十字相乘法解一元二次方程和根的判别式是解题的关键． （1）将方程左边进行因式分解，转化为两个一次式的乘积等于0的形式，再分别令每一个一次式等于0，即可求解． （2）先将各项系数表示出来，再求出根的判别式，和0作比较，即可求解． 【小问1详解】 解：， ， 解得． 【小问2详解】 略 19. 学校联欢会上有一个“转盘”游戏，用如图所示的两个均匀、可以自由转动的转盘做游戏．游戏规则如下：盘被分成面积相等的4个扇形，盘中小的扇形区域所占的圆心角是．分别任意旋转两个转盘，将盘转出的数字，与盘转出的数字相乘，如果乘积是4的倍数，则小红赢得游戏；如果乘积是6的倍数，则小明赢得游戏．这个游戏对双方公平吗？请说明你的理由． 【答案】 这个游戏对双方公平，理由如下： 将B转盘5分为相同的两部分： 列表如下： A转盘 B转盘 1 2 3 4 5 5 10 15 20 5 5 10 15 20 6 6 12 18 24 由表可知共12种可能的结果，乘积是4的倍数的结果有4种，乘积是6的倍数的结果有4种， 即小红赢得游戏的结果有4种，小明赢得游戏的结果有4种， ∴小红赢得游戏的概率，小明赢得游戏概率， ∴小红赢得游戏的概率小明赢得游戏的概率， ∴这个游戏对双方公平． 【解析】 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．列表得出共有12种等可能的结果，其中小红赢得游戏的结果有4种，小明赢得游戏的结果有4种，再由概率公式求出小红赢得游戏的概率小明赢得游戏的概率，即可得出结论． 【详解】解：略． 20. 随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中．如图所示，某同学站在广场的处遥控无人机，他抬头仰视无人机时仰角为，此时从无人机测得广场处的俯角为，若该同学眼睛到地面的距离，（点在同一平面内），求之间的距离．（结果精确到，参考数据：，，，，，） 【答案】之间的距离约为． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，过点作 ，垂足为，过 点作 ，垂足为，根据题意可得：，，，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图：过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由题意得：，， ，， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴之间的距离约为． 21. 城建部门计划修建一条喷泉步行通道．图1是项目俯视示意图．步行通道的一侧是一排垂直于路面的柱形喷水装置，另一侧是方形水池．图2是主视示意图．喷水装置的高度是2米，水流从喷头处喷出后呈抛物线路径落入水池内．当水流在与喷头水平距离为2米时达到最高点，此时距路面的最大高度为3.6米．为避免溅起的水雾影响通道上的行人，计划安装一个透明的倾斜防水罩．防水罩的一端固定在喷水装置上的点处，另一端与路面的垂直高度为1.8米，且与喷泉水流的水平距离为0.3米．点到水池外壁的水平距离米，求步行通道的宽．（结果精确到0.1米）参考数据：． 【答案】3.2 【解析】 【分析】本题核心是建立平面直角坐标系，利用抛物线顶点式（已知顶点坐标时优先选择）简化计算，再结合“高度对应纵坐标、水平距离对应横坐标差”的几何关系，逐步推导各关键点坐标，最终求得的长度．解题时需注意坐标的几何意义（水平距离对应轴变化，竖直高度对应轴变化），以及近似值的精度要求（精确到米）． 【详解】解：以路面上的点为原点，水平方向为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系．如图： 喷头在喷水装置顶端，高米，故点坐标为． 水流最高点距喷头水平距离米，高度米，故点坐标为． 设抛物线的顶点式为（顶点为． 将代入顶点式： 化简得：，移项得，解得． 因此，水流轨迹的抛物线解析式为： 防水罩另一端的高度米，且米（水平距离），说明点在抛物线上且纵坐标为． 令代入抛物线方程： 移项得：，两边除以得：． 开平方得：（因水流从左向右喷射，取右侧正根）． 因此，点的横坐标为： 米是水平距离，说明在左侧米处，故的横坐标为： 垂直路面，与在同一竖直线上，故点坐标为． 已知米，且在左侧（水池外壁在左侧），故的横坐标为： 代入计算： 则（精确到 0.1 米）． 因此，步行通道的宽米． 【点睛】本题属于抛物线的实际应用问题，需通过建立平面直角坐标系，利用抛物线顶点式确定水流轨迹的函数表达式，再结合防水罩与水流的几何关系（高度、水平距离），逐步推导各关键点坐标，最终计算步行通道宽度．解题关键步骤为：① 建立坐标系并求抛物线解析式；② 求水流在高度米处的横坐标；③ 结合水平距离确定点、、的坐标；④ 计算的长度． 22. 在中，分别为边上的点，与相交于点． （1）若； ①_____； ②，则_____； （2）若，，_____． 【答案】（1）①，② （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）①连接，先证，相似比为，得到，即，再证，相似比为，即可求解；②根据，，求得，则，再根据，即可求解． （2）先证，相似比为，得到，即，再证，得到，即可求解． 【小问1详解】 解：①如图，连接， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； ②， ， ， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：，， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，与轴交于点，连接． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）直接写出时，的取值范围； （3）若在第一象限内存在一点，使得以为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了待定系数法求函数解析式，根据图象写出不等式的解集，求出两个函数解析式是解题的关键． （1）根据待定系数法，可得反比例函数解析式，根据图象上的点满足函数解析式，可得A点坐标，再根据待定系数法，可得一次函数的解析式； （2）由（1）可得，，再结合函数图象即可得解； （3）连接，交于点M，首先利用平行四边形的性质求得中点M的坐标为，进而推导出P点坐标． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， ∴反比例函数的表达式为， ∵在反比例函数的图象上， ∴， 解得，（舍去）， ∴点A的坐标为， ∵点A，B在一次函数的图象上， 把点，分别代入，得： ， 解得， ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：由（1）可得，， 根据图象可知，时，的取值范围为或； 【小问3详解】 解：如图，连接，交于点M， ∵四边形是平行四边形， ∴点是线段、的中点， ∵，， ∴， ∴点P的坐标为． 24. 如图，在菱形中，，点是边的中点．点是边上一动点（不与点重合），延长交射线的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）当点在什么位置时，四边形是矩形？请证明你的结论． 【答案】（1） 证明：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2） 当时，四边形是矩形，证明如下： 由（1）知， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴ ，， ∵菱形，E为中点， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴平行四边形为矩形． 【解析】 【分析】本题主要考查矩形判定、菱形的性质，掌握矩形、菱形的边、角、对角线所具有的性质是解题的关键． （1）由菱形的性质可知，可证得，结合E为的中点，可利用证得结论； （2）证明时，四边形是矩形（根据对角线相等的平行四边形是矩形）即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：略． 25. “元宵节”吃元宵是中国传统习俗，在“元宵节”来临前，某超市购进一批某品牌的元宵，每盒进价是元．根据销售经验，当每盒售价定为元时，日销售量为盒．每盒售价每提高元，日销售量就会减少盒．设每盒售价为元，日销售量为盒． （1）求出关于的函数关系式； （2）按照有关管理部门规定，利润率不得高于，当每盒售价定为多少元时，日销售利润（元）最大？最大利润是多少？ （3）在日销售利润不低于元的前提下，该超市当日购进这批元宵的进货总成本最低为多少元？ 【答案】（1）； （2）当每盒售价定为元时，日销售利润最大，最大利润是元； （3）该超市购进这批元宵的进货总成本最低为元． 【解析】 【分析】 本题考查了二次函数的实际应用，一次函数的实际应用，解一元二次方程，根据题意列出函数关系式，再根据二次函数以及一次函数的性质求最值是解题的关键． （）根据销售量等于原来的销售量减去减少的销售量列式求解即可； （）根据题意表示出日销售利润，再由利润率不得高于，则有，解得，然后利用二次函数的性质求解即可； （）先根据日销售利润不低于元求出售价的范围，设该超市购进这批元宵的进货总成本为元，根据题意用表示出，再根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得； 【小问2详解】 解：根据题意，得， ∵利润率不得高于， ∴，解得：， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 答：当每盒售价定为元时，日销售利润最大，最大利润是元； 【小问3详解】 解：根据题意，得， 解得：，， ∵， ∴当时，日销售利润不低于元， 设该超市购进这批元宵的进货总成本为元， 则， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，有最小值，最小值为， 答：该超市购进这批元宵的日进货总成本最低为元． 26. 在中（如图1），，，，动点以的速度从点向点运动；同时，动点从点出发，以的速度向点运动，动点从点出发，以的速度向点运动，当其中一个点运动停止时，其他点的运动也停止，运动时间为．连接． （1）为何值时，？ （2）当时，求值； （3）如图2，沿折叠得到，是否存在某一时刻，使四边形为菱形？若存在求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或3 （3） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出，用t的代数式表示出线段的长度，利用平行线的判定与性质列出比例求解即可； （2）如图：过点Q作于点E，，得到，再利用相似三角形的判定与性质得到，再利用三角形的面积公式得到关于t的方程求解即可； （3）如图：过点R作于点F，过点A作于点H，利用菱形的性质和等腰三角形的性质得到，利用相似三角形的判定与性质得到关于t的比例式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，，， ∵，，， ∴ ， ∴， ∴，，， 当时，， ∴，解得：， ∴当t为时，． 【小问2详解】 解：由题意得：，， ∴， 当时，则 ， ∵， ∴， 如图：过点Q作于点E， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：或3， ∴当或3时，； 【小问3详解】 解：沿折叠得到，是否存在某一时刻，使四边形为菱形，理由如下： 如图：过点R作于点F，过点A作于点H， 由题意得：，， ∴， ∵沿折叠得到， ∴， 若四边形为菱形，只需， ∴， ∴， ∴，即，解得： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即，解得：． ∴沿折叠得到，四边形为菱形时的t的值． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，添加三角形的高线、构造相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九上数学第二次质量监测 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图所示的几何体是由4个完全相同的小正方体组成，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，四边形是圆内接四边形，对角线经过圆心与相交于点，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 某旅游景点年月份共接待游客万人次，年月份共接待万人次，设每月旅游人数的平均增长率为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 四条边相等的四边形是正方形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的矩形是正方形 D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 5. 已知反比例函数的图象上两点，当时，有．则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如果关于的一元二次方程有两个不等实数根，那么实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 把抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，点在轴上，点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的直径，点在上，直线与相切于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数图象的一部分与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象给出下列结论： ； ； 关于的一元二次方程的两根分别为和； 若点，，均在二次函数图象上，则； （为任意实数）． 其中正确的结论个数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算：cos245°＋ tan30°sin60°=____________． 12. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，使斜边与地面保持平行，并且边与点在同一条直线上．已知纸板的两条直角边，测得边离地面的高度，，则树高______． 13. 如图，在中，，且，，是的平分线，与相交于点，，，垂足为点，交于点，则的长为______． 14. 如图，在中，的垂直平分线交于点，垂足为点，连接，过点作，交的延长线于点，连接．若，，则四边形的面积为______． 15. 如图，点在上，若圆的半径为4，，则图中阴影部分的面积为______． 16. 如图，正方形中，，点是对角线上一点，连接，过点作，交于点，连接，交于点，将沿翻折，得到，连接，交于点，若点是边的中点．以下结论： ①；②；③；④．正确的有______． 三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 17. 已知：内有一点 求作：等腰直角三角形，使它的直角顶点为，斜边落在边上． 四、解答题（本大题共9小题，共68分） 18. 计算： （1）解方程：； （2）已知关于的一元二次方程．求证：无论为何值，该方程都有两个不相等的实数根． 19. 学校联欢会上有一个“转盘”游戏，用如图所示的两个均匀、可以自由转动的转盘做游戏．游戏规则如下：盘被分成面积相等的4个扇形，盘中小的扇形区域所占的圆心角是．分别任意旋转两个转盘，将盘转出的数字，与盘转出的数字相乘，如果乘积是4的倍数，则小红赢得游戏；如果乘积是6的倍数，则小明赢得游戏．这个游戏对双方公平吗？请说明你的理由． 20. 随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中．如图所示，某同学站在广场的处遥控无人机，他抬头仰视无人机时仰角为，此时从无人机测得广场处的俯角为，若该同学眼睛到地面的距离，（点在同一平面内），求之间的距离．（结果精确到，参考数据：，，，，，） 21. 城建部门计划修建一条喷泉步行通道．图1是项目俯视示意图．步行通道的一侧是一排垂直于路面的柱形喷水装置，另一侧是方形水池．图2是主视示意图．喷水装置的高度是2米，水流从喷头处喷出后呈抛物线路径落入水池内．当水流在与喷头水平距离为2米时达到最高点，此时距路面的最大高度为3.6米．为避免溅起的水雾影响通道上的行人，计划安装一个透明的倾斜防水罩．防水罩的一端固定在喷水装置上的点处，另一端与路面的垂直高度为1.8米，且与喷泉水流的水平距离为0.3米．点到水池外壁的水平距离米，求步行通道的宽．（结果精确到0.1米）参考数据：． 22. 在中，分别为边上的点，与相交于点． （1）若； ①_____； ②，则_____； （2）若，，_____． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，与轴交于点，连接． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）直接写出时，的取值范围； （3）若在第一象限内存在一点，使得以为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点的坐标． 24. 如图，在菱形中，，点是边的中点．点是边上一动点（不与点重合），延长交射线的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）当点在什么位置时，四边形是矩形？请证明你的结论． 25. “元宵节”吃元宵是中国传统习俗，在“元宵节”来临前，某超市购进一批某品牌的元宵，每盒进价是元．根据销售经验，当每盒售价定为元时，日销售量为盒．每盒售价每提高元，日销售量就会减少盒．设每盒售价为元，日销售量为盒． （1）求出关于的函数关系式； （2）按照有关管理部门规定，利润率不得高于，当每盒售价定为多少元时，日销售利润（元）最大？最大利润是多少？ （3）在日销售利润不低于元的前提下，该超市当日购进这批元宵的进货总成本最低为多少元？ 26. 在中（如图1），，，，动点以的速度从点向点运动；同时，动点从点出发，以的速度向点运动，动点从点出发，以的速度向点运动，当其中一个点运动停止时，其他点的运动也停止，运动时间为．连接． （1）为何值时，？ （2）当时，求值； （3）如图2，沿折叠得到，是否存在某一时刻，使四边形为菱形？若存在求出值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $