精品解析：四川省巴中市第三中学2025--2026学年上学期九年级12月月考数学试卷

初三12月月考试题数学 一、单选题（共10题，每题4分） 1. 下列四幅图形中，表示两棵小树在同一时刻同一地点阳光下的影子的图形可能是（ ） A. B. C. D.   2. 如图，在四边形中，，点在上，交于点，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 3 C. 5 D. 9 3. 如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果． 下面有三个推断： ①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616； ②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618； ③若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定是0.620． 其中合理的是（　　） A. ① B. ② C. ①② D. ①③ 4. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为（ ）． A. B. C. D. 5. 下列说法中不正确的是（ ） A. 四边相等的四边形是菱形 B. 对角线垂直的平行四边形是菱形 C. 菱形的对角线互相垂直且相等 D. 菱形的邻边相等 6. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的顶点坐标为 C. 抛物线的对称轴为直线 D. 当时，y随x的增大而增大 7. 如图，一块长方形绿地的长为100m，宽为50m，在绿地中开辟两条道路后剩余绿地面积为4704m²．则根据题意可列出方程( ) A. 5000-150x=4704 B. 5000-150x+x2=4704 C. 5000-150x-x2=4704 D. 5000-150x+ x2=4704 8. 为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理，她拿出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，标记好脚掌中心位置为B，测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是，镜面中心C距离旗杆底部D的距离为，如图所示．已知小丽同学的身高是，眼睛位置A距离小丽头顶的距离是，则旗杆的高度等于（　　） A. B. C. D. 9. 如图，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴，垂足为点C，D为AC的中点，若的面积为1，则k的值为（　 　） A. B. C. 3 D. 4 10. 如图，已知抛物线的对称轴为直线．给出下列结论： ①； ②； ③； ④． 其中，正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共5题，每题3分） 11. 如图，已知在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，，．若DE＝2，则BC的长是______． 12. 过原点的抛物线顶点为，它的完整解析式为______． 13. 将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是______. 14. 如图，在菱形中，，取大于的长为半径，分别以点，为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点（作图痕迹如图所示），连接，，则的度数为_________． 15. 一次函数的图像是一条直线，就像这条直线的‘倾斜密码’——它等于直线和轴正方向的夹角的正切值，简单记： （直线与轴正方向的夹角）． 如图1，我们已经知道夹角是，所以． 如图2，若我们先知道直线的表达式是；由可知． 现在，看到最右侧图像，图像中、、等等这种线段都平行于轴，、、等等这种线段都平行于轴，利用三角函数和斜率的关系，如果你尝试去求、、的长度，就能得到一个等式，即_______________________ 三、计算与解答（共9题，共95分） 16. 计算与化简 （1）计算： （2）解方程：． （3）先化简，再求值：，其中是方程的根． 17. 随着科技的进步，购物支付方式日益增多．为了解某社区居民支付的常用方式（A微信，B支付宝，C现金，D其他），某学习小组对红星社区部分居民进行问卷调查，根据调查结果，绘制成如下统计图． 根据统计图表中的信息，解答下列问题： （1）______，______，在扇形统计图中C种支付方式所对应的圆心角为______度； （2）本次调查中用现金支付方式的居民里有2名男性，其余都是女性，现从该种支付方式中随机选2名居民参加线上支付方式培训，求恰好都是女性的概率． 18. 如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且∠BEF＝90°，延长EF交BC的延长线于点G； (1)求证：△ABE∽△EGB； (2)若AB＝4，求CG的长. 19. 某产品每件的成本是120元，试销阶段，每件产品的销售价（元）与产品的日销售量（件）的关系如下表： /元 130 150 165 /件 70 50 35 （1）若日销售量（件）是每件产品的销售价（元）的一次函数，求与的函数关系式． （2）若每日获得的利润用（元）表示，求与之间的函数关系式． （3）当每件产品的销售价为多少元时，才能使每日获得最大利润？最大利润为多少？ 20. 如图，在中，D，E分别为的中点，，垂足为F，点G在的延长线上，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求和的长． 21. 天文学家运用三角函数解决了曾困扰古人数百年的难题．某天文研究小组探究用三角函数知识计算月球与地球之间距离的方法，通过查阅资料、实际观测、获得数据和计算数据，得出月球与地球之间的近似距离．具体研究方法与过程如下表： 问题 月球与地球之间的距离约为多少？ 工具 天文望远镜、天文经纬仪等 月球、地球的实物图与平面示意图 说明 为了便于观测月球，在地球上先确定两个观测点A，B，以线段作为基准线，再借助天文经纬仪从A，B两点同时观测月球P（将月球抽象为一个点），并测得和的度数．根据实际问题画出平面示意图（如上图），过点P作于点H，连接，． 数据 万千米，，． 根据以上信息，求月球与地球之间的近似距离．（结果精确到1万千米） （参考数据：，，，，，） 22. 如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y＝（m为常数且m≠0）的图象在第二象限交于点C，CD⊥x轴，垂足为D，若OB＝2OA＝3OD＝6． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求两个函数图象的另一个交点E的坐标； （3）请观察图象，直接写出不等式kx+b≥的解集． 23. 阅读材料： 材料1：若一元二次方程的两个根为，， 则， 材料2：已知实数，满足，，且，求的值． 解：由题知，是方程的两个不相等的实数根， 根据材料1得，， 所以． 根据上述材料解决以下问题： （1）材料理解： 一元二次方程的两个根为，，则______，______． （2）类比探究： 已知实数，满足，，且，求的值： （3）思维拓展： 已知实数、分别满足，，且．求的值． 24. 如图，抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）设点为抛物线上的一个动点，连接、，若是以为直角边的直角三角形，求此时点的坐标； （3）在抛物线上有另一个动点，点在第四象限，当点到的距离最大时，求出此时点的坐标及这个最大距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三12月月考试题数学 一、单选题（共10题，每题4分） 1. 下列四幅图形中，表示两棵小树在同一时刻同一地点阳光下的影子的图形可能是（ ） A. B. C. D.   【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行投影（太阳光下的影子），熟练掌握同一时刻、同一地点的太阳光可看作平行光和平行投影的特征是解题的关键． 根据平行投影的特征可得影子长度与物体高度成正比，方向相同即可判断． 【详解】解：A、影子方向相同，且影子与树的高度成正比，故选项符合题意； B、影子方向不相同，故选项不符合题意； C、影子方向不相同，故选项不符合题意； D、影子与树的高度不成正比，故选项不符合题意． 故选：A． 2. 如图，在四边形中，，点在上，交于点，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 3 C. 5 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．根据平行线分线段成比例即可解答． 【详解】解：∵在四边形中，，， ∴， ∴， 即， 解得， 故选：A． 3. 如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果． 下面有三个推断： ①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616； ②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618； ③若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定是0.620． 其中合理的是（　　） A. ① B. ② C. ①② D. ①③ 【答案】B 【解析】 【详解】①当频数增大时，频率逐渐稳定的值即为概率，500次的实验次数偏低，而频率稳定在了0.618，错误；②由图可知频数稳定在了0.618，所以估计频率为0.618，正确；③.这个实验是一个随机试验，当投掷次数为1000时，钉尖向上”的概率不一定是0.620.错误, 故选B. 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，能正确理解相关概念是解题的关键. 4. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点A作于点D，在中，利用勾股定理求得线段AC的长，再按照正弦函数的定义计算即可． 【详解】解：如图，过点A作于点D，则， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键． 5. 下列说法中不正确的是（ ） A. 四边相等的四边形是菱形 B. 对角线垂直的平行四边形是菱形 C. 菱形的对角线互相垂直且相等 D. 菱形的邻边相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的判定与性质即可得出结论. 【详解】解：A．四边相等的四边形是菱形；正确； B．对角线垂直的平行四边形是菱形；正确； C．菱形的对角线互相垂直且相等；不正确； D．菱形的邻边相等；正确； 故选C． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质以及平行四边形的性质；熟记菱形的性质和判定方法是解题的关键． 6. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的顶点坐标为 C. 抛物线的对称轴为直线 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数的图象与性质即可解答． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大， ∴A、C选项不符合题意，B选项符合题意； 因为当时，y随x的增大而减小，故D选项不符合题意． 故选：B． 7. 如图，一块长方形绿地的长为100m，宽为50m，在绿地中开辟两条道路后剩余绿地面积为4704m²．则根据题意可列出方程( ) A. 5000-150x=4704 B. 5000-150x+x2=4704 C. 5000-150x-x2=4704 D. 5000-150x+ x2=4704 【答案】B 【解析】 【分析】由在绿地中开辟两条道路后剩余绿地面积为4704 m²，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】设路宽为m，根据题意得： 50×100-50x-100x+x2=4704． 整理得： 5000-150x+x2=4704． 故答案为：B． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解体的关键是找到等量关系，正确列出一元二次方程． 8. 为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理，她拿出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，标记好脚掌中心位置为B，测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是，镜面中心C距离旗杆底部D的距离为，如图所示．已知小丽同学的身高是，眼睛位置A距离小丽头顶的距离是，则旗杆的高度等于（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题意先证明，得出，即，即可求出的长度．熟练掌握相似三角形的判定方法是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可得：，由镜面反射可知，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，解得：， 故选：B． 9. 如图，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴，垂足为点C，D为AC的中点，若的面积为1，则k的值为（　 　） A. B. C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先设出点A的坐标，进而表示出点D的坐标，利用△ADO的面积建立方程求出，即可得出结论． 【详解】点A的坐标为（m，2n）， ∴， ∵D为AC的中点， ∴D（m，n）， ∵AC⊥轴，△ADO的面积为1， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答． 10. 如图，已知抛物线的对称轴为直线．给出下列结论： ①； ②； ③； ④． 其中，正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据开口方向及抛物线与ｙ轴交点的位置即可判断①；根据抛物线与ｘ轴交点的个数即可判断②；根据对称轴为直线，即可判断③；根据抛物线的对称性，可知抛物线经过点（-1,0），即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下，则a＜0， ∵抛物线交于y轴的正半轴，则c＞0， ∴ac＜0，故①正确； ∵抛物线与ｘ轴有两个交点， ∴，故②正确； ∵抛物线的对称轴为直线，则，即2a=-b， ∴2a+b=0，故③错误； ∵抛物线经过点（3,0），且对称轴为直线， ∴抛物线经过点（-1,0），则，故④正确； ∴正确的有①②④，共3个， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）． 二、填空题（共5题，每题3分） 11. 如图，已知在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，，．若DE＝2，则BC的长是______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质可得，再根据DE=2，进而得到BC长． 【详解】解：根据题意， ∵， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∵DE＝2， ∴， ∴； 故答案为：6． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质进行计算． 12. 过原点的抛物线顶点为，它的完整解析式为______． 【答案】（或） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，已知抛物线顶点和过原点，可设顶点式方程，代入原点坐标求参数即可． 【详解】解：由抛物线顶点为，设解析式为． 由于抛物线过原点，代入得，即，解得 ． 因此抛物线的解析式为． 展开得． 故答案为：（或）． 13. 将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是______. 【答案】 【解析】 【分析】先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），再利用点平移的规律得到点（0，0）平移所得对应点的坐标为（1，2），然后根据顶点式写出新抛物线解析式． 【详解】解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），点（0，0）先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得对应点的坐标为（1，2），所以新抛物线的解析式为y=（x-1）2+2 故答案为y=（x-1）2+2． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 14. 如图，在菱形中，，取大于的长为半径，分别以点，为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点（作图痕迹如图所示），连接，，则的度数为_________． 【答案】45° 【解析】 【分析】根据题意知虚线为线段AB的垂直平分线，得AE=BE，得；结合°，，可计算的度数． 【详解】 ∵ ∴ ∴ 故答案为：45°． 【点睛】本题考查了菱形的性质，及垂直平分线的性质，熟知以上知识点是解题的关键． 15. 一次函数的图像是一条直线，就像这条直线的‘倾斜密码’——它等于直线和轴正方向的夹角的正切值，简单记： （直线与轴正方向的夹角）． 如图1，我们已经知道夹角是，所以． 如图2，若我们先知道直线的表达式是；由可知． 现在，看到最右侧图像，图像中、、等等这种线段都平行于轴，、、等等这种线段都平行于轴，利用三角函数和斜率的关系，如果你尝试去求、、的长度，就能得到一个等式，即_______________________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象的性质和三角函数的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键，过M点作轴交于点N，延长交于点H，由直线的值和三角函数的关系推出，，，，，，，，再利用等量代换即可得解． 【详解】解：过M点作轴交于点N，延长交于点H， ∵直线， ∴，， ∴， ∴， ∵直线， ∴， ∵图像中、、等等这种线段都平行于轴，、、等等这种线段都平行于轴， ∴，，，，四边形为矩形， ∴，，，，，， ∵根据已知斜率的定义可知， ∴，， ∴ ∵，，，， ∴，，，， ∴，，， ∴， 故答案为： 三、计算与解答（共9题，共95分） 16. 计算与化简 （1）计算： （2）解方程：． （3）先化简，再求值：，其中是方程的根． 【答案】（1） （2）， （3）， 【解析】 【分析】本题考查含特殊角的三角函数的混合运算、解一元二次方程、分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解答的关键． （1）直接代入特殊角的三角函数值求解即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可； （3）先利用分式的运算法则化简原式，再利用因式分解法解一元二次方程，结合分式有意义的条件求得，然后代入化简式子中求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 移项，得， 配方，得， 即， 开方，得， ∴，； 【小问3详解】 解： ， 解方程得，， ∵，， ∴， ∴原式． 17. 随着科技的进步，购物支付方式日益增多．为了解某社区居民支付的常用方式（A微信，B支付宝，C现金，D其他），某学习小组对红星社区部分居民进行问卷调查，根据调查结果，绘制成如下统计图． 根据统计图表中的信息，解答下列问题： （1）______，______，在扇形统计图中C种支付方式所对应的圆心角为______度； （2）本次调查中用现金支付方式的居民里有2名男性，其余都是女性，现从该种支付方式中随机选2名居民参加线上支付方式培训，求恰好都是女性的概率． 【答案】（1）20；18；36 （2）恰好都是女性的概率为． 【解析】 【分析】本题考查了统计图、列表法或树状图求概率，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据统计图中的信息，列式计算即可； （2）由题意得，用现金支付方式的居民里有名女性，根据题意列出表格，结合表格再利用概率公式即可求得答案． 【小问1详解】 解：由统计图可得，本次调查的总人数为：， ， ， 在扇形统计图中C种支付方式所对应的圆心角为． 故答案为：20；18；36． 【小问2详解】 由题意得，用现金支付方式的居民共有5人， 用现金支付方式的居民里有2名男性，其余都是女性， 用现金支付方式的居民里有名女性， 设男性为、，女性为、、，列表得： 由列表可知，共有20种等可能的结果，恰好选到都是女性的情况有6种， 恰好都是女性的概率． 答：恰好都是女性的概率为． 18. 如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且∠BEF＝90°，延长EF交BC的延长线于点G； (1)求证：△ABE∽△EGB； (2)若AB＝4，求CG的长. 【答案】(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，且∠BEG＝90°， ∴∠A＝∠BEG， ∵∠ABE+∠EBG＝90°，∠G+∠EBG＝90°， ∴∠ABE＝∠G， ∴△ABE∽△EGB； (2)CG=6. 【解析】 【分析】(1)由正方形的性质与已知得出∠A＝∠BEG，证出∠ABE＝∠G，即可得出结论； (2)由AB＝AD＝4，E为AD的中点，得出AE＝DE＝2，由勾股定理得出BE＝，由△ABE∽△EGB，得出，求得BG＝10，即可得出结果. 【详解】(1)略 (2)∵AB＝AD＝4，E为AD的中点， ∴AE＝DE＝2， 在Rt△ABE中，BE＝， 由(1)知，△ABE∽△EGB， ∴，即：， ∴BG＝10， ∴CG＝BG﹣BC＝10﹣4＝6. 【点睛】本题主要考查了四边形与相似三角形的综合运用，熟练掌握二者相关概念是解题关键 19. 某产品每件的成本是120元，试销阶段，每件产品的销售价（元）与产品的日销售量（件）的关系如下表： /元 130 150 165 /件 70 50 35 （1）若日销售量（件）是每件产品的销售价（元）的一次函数，求与的函数关系式． （2）若每日获得的利润用（元）表示，求与之间的函数关系式． （3）当每件产品的销售价为多少元时，才能使每日获得最大利润？最大利润为多少？ 【答案】（1） （2） （3）当每件产品的销售价为160元时，才能使每日获得最大利润，最大利润为1600元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意利用待定系数法即可得解； （2）利用每件的利润销量总利润，列出函数关系式即可； （3）根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式为， 则，解得 ∴与之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：由题意，得 ； 即与之间的函数关系式为； 【小问3详解】 解：， ∵，， ∴当时，P有最大值，最大值为1600， 答：当每件产品的销售价为160元时，才能使每日获得最大利润，最大利润为1600元 20. 如图，在中，D，E分别为的中点，，垂足为F，点G在的延长线上，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求和的长． 【答案】（1） 证明：∵D，E分别为的中点， ∴是的中位线， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，三角形中位线定理，勾股定理，解直角三角形，熟知相关知识是解题的关键． （1）由三角形中位线定理可得，即，则可证明四边形是平行四边形，再由，即可证明平行四边形是矩形； （2）求出，解得到，则；由线段中点的定义可得；过点A作于H，解得到，则，再利用勾股定即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴； ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴； ∵点D为的中点， ∴； 如图所示，过点A作于H， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理得． 21. 天文学家运用三角函数解决了曾困扰古人数百年的难题．某天文研究小组探究用三角函数知识计算月球与地球之间距离的方法，通过查阅资料、实际观测、获得数据和计算数据，得出月球与地球之间的近似距离．具体研究方法与过程如下表： 问题 月球与地球之间的距离约为多少？ 工具 天文望远镜、天文经纬仪等 月球、地球的实物图与平面示意图 说明 为了便于观测月球，在地球上先确定两个观测点A，B，以线段作为基准线，再借助天文经纬仪从A，B两点同时观测月球P（将月球抽象为一个点），并测得和的度数．根据实际问题画出平面示意图（如上图），过点P作于点H，连接，． 数据 万千米，，． 根据以上信息，求月球与地球之间的近似距离．（结果精确到1万千米） （参考数据：，，，，，） 【答案】月球与地球之间的近似距离万千米． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．设万千米．在和中，分别用表示和的长，再根据万千米，列式计算即可求解． 【详解】解：设万千米． 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵万千米， ∴， 整理得， 解得， ∴月球与地球之间的近似距离为38万千米． 22. 如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y＝（m为常数且m≠0）的图象在第二象限交于点C，CD⊥x轴，垂足为D，若OB＝2OA＝3OD＝6． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求两个函数图象的另一个交点E的坐标； （3）请观察图象，直接写出不等式kx+b≥的解集． 【答案】（1）y＝﹣2x+6，﹣；（2）（5，﹣4）；（3）x≤﹣2或0＜x≤5 【解析】 【分析】（1）先求出A、B、C坐标，再利用待定系数法确定函数解析式． （2）两个函数的解析式作为方程组，解方程组即可解决问题． （3）根据图象一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即可解决问题． 【详解】解：（1）∵OB＝2OA＝3OD＝6， ∴OB＝6，OA＝3，OD＝2， ∵CD⊥OA， ∴DC∥OB， ∴ ∴ ∴CD＝10， ∴点C坐标（﹣2，10）， ∵B（0，6），A（3，0）， ∴ 解得 ， ∴一次函数为y＝﹣2x+6． ∵反比例函数y＝经过点C（﹣2，10）， ∴m＝﹣20， ∴反比例函数解析式为y＝﹣． （2）由解得 或 ， ∴E的坐标为（5，﹣4）． （3）由图象可知kx+b≥的解集：x≤﹣2或0＜x≤5． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是学会利用待定系数法确定函数解析式，知道两个函数图象的交点坐标可以利用解方程组解决，学会利用图象确定自变量取值范围，属于中考常考题型． 23. 阅读材料： 材料1：若一元二次方程的两个根为，， 则， 材料2：已知实数，满足，，且，求的值． 解：由题知，是方程的两个不相等的实数根， 根据材料1得，， 所以． 根据上述材料解决以下问题： （1）材料理解： 一元二次方程的两个根为，，则______，______． （2）类比探究： 已知实数，满足，，且，求的值： （3）思维拓展： 已知实数、分别满足，，且．求的值． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值、一元二次方程根与系数的关系、代数式求值，解题的关键是根据题意建立合适的方程及分式的混合运算顺序和运算法则． （1）直接根据一元二次方程根与系数的关系可得答案； （2）由题意得出、可看作方程的两个不相等的实数根，据此知，，将其代入计算可得； （3）把变形为，据此可得实数和可看作方程的两个不相等的实数根，继而知，，进一步代入计算可得． 【小问1详解】 解：由题意可得：，； 故答案为：；； 【小问2详解】 解：，，且， 、可看作方程的两个不相等的实数根， ，， ； 【小问3详解】 解：把变形为，又， ∴实数和可看作方程的两个不相等的实数根， ，， ． 24. 如图，抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）设点为抛物线上的一个动点，连接、，若是以为直角边的直角三角形，求此时点的坐标； （3）在抛物线上有另一个动点，点在第四象限，当点到的距离最大时，求出此时点的坐标及这个最大距离． 【答案】（1） （2）点的坐标为或 （3）点到的最大距离为，此时 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设，表示出、、，再由勾股定理得出或，分情况计算即可得出答案； （3）如图，过Q作于H，轴交直线于N，先证明，可得，故当最大时，最大，设先求得直线的解析式为；设，则，，利用坐标与图形得到，利用二次函数的性质可求得时，有最大值，最大值为，进而可求解． 【小问1详解】 解：∵对称轴为直线，且抛物线经过，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：设， ∵对称轴为直线，且抛物线经过， ∴，又， ∴，，， ∵是以为直角边的直角三角形， ∴或， ∴或， 解得：，或，， ∴（不符合题意，舍去），或（不符合题意，舍去），； 综上所述，点的坐标为或； 【小问3详解】 解：如图，过Q作于H，轴交直线于N， ∵，， ∴，又， ∴，则， ∴，故当最大时，最大， 设直线的函数解析式为， 将，代入，得， 解得：， ∴直线的解析式为； 设，则，， ∴， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴的最大值为，， 即点到的最大距离为，此时． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质，勾股定理、等腰直角三角形的性质、解直角三角形等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $