专题02 特殊三角形（寒假复习讲义）八年级数学新教材浙教版

专题02 特殊三角形 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ：等腰三角形 1.如果把一个图形沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．这条直线叫做对称轴.对称轴垂直平分连结两个对称点的线段；由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形沿某一条直线折叠后能够互相重合，这样的图形改变叫做图形的轴对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形是全等图形.图形成轴对称是两个图形的位置关系. 2.有两边相等的三角形叫做等腰三角形。等腰三角形的性质定理： 性质定理1 等腰三角形的两个底角相等，简称等边对等角。 性质定理2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形三线合一． 3.在有等腰三角形的作图环境中，如果证明与角有关，要注意底边上的中线或者高线也是顶角的角平分线；如果要证明垂直，就可能需要通过证明底边上的中线，或者顶角的角平分线来证明这条线段与底边垂直；如果是证明线段长的相互关系，那么可以通过证明顶角的角平分线，底边上的高线来证明底边被均分。 4.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。简称等角对等边.等腰三角形判定的其他方法： ①定义法：有两条边长相等的三角形叫做等腰三角形； ②“三线合一”的逆应用： 当三角形一边上的高线和这边的中线重合时，可通过全等证边相等得等腰三角形； 当三角形一内角的平分线与这个角对边的高线重合时，可通过全等证边相等得等腰三角形； 5.有三条边相等的三角形叫做等边三角形。 （1）等边三角形是特殊的等腰三角形；等腰三角形的对称轴有1条或3条． （2）等边三角形三个角都等于60°，三边均存在“三线合一”． （3）等边三角形的判定定理 ①定义法：三个角都相等的三角形是等边三角形 ②有一个叫是60°的等腰三角形是等边三角形 ③底边与腰相等的等腰三角形是等边三角形 ④有两个角是60°的三角形是等边三角形 6.逆命题和逆定理 （1）互逆命题：如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。 （2）逆定理：如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理；这两个定理叫做互逆定理。 7.在题目未明确等腰三角形哪两边是腰时，要进行任意两边可能相等的分类讨论。尤其，在根据已知两点，找第三点与其组成等腰三角形的，就更要有分类讨论的意识。 （在直线a上找一点P使得△ABP是等腰三角形；AB可能是腰，也可能是底） 知识点2：直角三角形 8.有一个角是 直角 的三角形叫做直角三角形.直角三角形的性质： （1）直角三角形两锐角互余 （2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 （3）30°角所对的直角边等于斜边的一半 9.勾股定理 （1）直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方； 如图则有：在Rt△ABC中，a2+b2=c2. （2）如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形； 如图：若a2+b2=c2，则有△ABC为直角三角形，∠C=90° 10.常见的折叠问题 图例 折叠方式 长方形ABCD沿着对角线BD折叠。 长方形ABCD沿着EF折叠使得点A与点C重合 △ABC沿着AD折叠使得边AC与AB重合 △ABC沿着DE折叠使得点A与点B重合 关键结论 1.△ABF≌△EDF 2.AF+BF=AF+DF=AD 1.△ABE≌△AGF 2.BE=DF，AE=AF 3.AF+GF=AF+DF=AD 1.AD是∠CAB角平分线 2.DE+DB=DC+DB=CB 1.DE是AB的垂直平分线 2.CD+DB=CD+DA=CA 11.直角三角形的判定 （1）有一个角是直角的三角形是直角三角形； （2）有两个角互余的三角形是直角三角形； （3）一边上的中线等于这边长的一半的三角形可以证的是直角三角形； （4）三角形其中两边平方的和等于第三边的平方，这个三角形是直角三角形（第三边是它的斜边）。 12.使用HL证明两个直角三角形全等的一般格式： 例：如图，已知直角△ABC与直角△DEF中，∠C=∠E=90° AC=DE，AB=DF，求证：Rt△ABC≌Rt△DEF 证明：在Rt△ABC和Rt△DEF中 ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL） 知识点3：特殊三角形的综合性问题 13.“将军饮马”问题在作图时，一定要正确作已知点A关于“河”的对称点A’，正确步骤是作垂线并延长一倍。然后将该点与“河”对岸的另一个点B相连。 14.等边三角形中的全等模型 图形 条件 关键结论 1.等边三角形ABC 2.AD是BC边上的高线（或AD平分∠BAC，或AD是BC边上的中线） 1.AD既是△ABC中∠BAC的角平分线，也是BC边上的中线和高线； 2.△ABD≌△ACD 1.等边三角形ABC 2.点M和点N分别在边BC与AC上，且BM=CN 1.△ABM≌△BCN 2.∠AQN=60° 1.等边三角形ABC 2.BD=CF 3.∠EDF=60° 1.△BDE≌△CFD 2.BE+CF=BC 1.等边三角形ABC 2.∠APB=150° 3.以AP为边作等边三角形APQ（或将△ABP绕点A逆时针旋转60°） 1.△APQ是等边三角形（或△ABP≌△ACQ） 2.PA=PQ,PB=QC,PC=PC（即PA、PB与PC三边组成的三角形为△CPQ） 3.△CPQ是直角三角形，∠CQP=90°。 15.拼图法验证勾股定理的一般步骤 （1）拼出图形 直角梯形（3个直角三角形） （2）用两种方式表示图形面积 ， （3）根据面积相同得到等量关系 （4）恒等变形 （5）推导出勾股定理 16.认识含30°、45°角的直角三角形 ①如果直角三角形中有一个角是30°，那么30°所对的边是斜边的一半（如图，只要证明△BCD是等边三角形即可得证），即BC=AB. ②如果直角三角形中有一个角是45°，那么直角三角形是等腰直角三角形，且斜边中线将其分成了两个全等的小等腰直角三角形，且该直角三角形直角边与斜边比为1：. 【考点1 图形的对称】 例1．（25-26八年级上·吉林松原·月考）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所作图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． (1)在图①中，作一个，使是轴对称图形； (2)在图②中，作一个，使与成轴对称； (3)在图③中，作一个，使． 变式1.（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·月考）在下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 变式2.（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，在正方形网格纸中，每个小正方形的边长都是1，的三个顶点都在小正方形的顶点（网格的格点）处，直线与网格中竖直的线相重合，请利用网格完成以下问题： (1)在图中，直接画出关于直线对称的； (2)在的边上找一点，连接，使平分的面积； (3)仅用直尺在的边上找一点，使得点到，的距离相等，并求出该距离． 【考点2 等腰三角形的性质】 例2．（25-26八年级上·湖北黄石·期中）如图，在中，，于点D，，且的垂直平分线分别交，于O，M两点，连接并延长交于点E． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的度数． 变式1.（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，点D、E在的延长线上，点G是上一点，且，点F是上一点，且．若，则 ． 变式2.（25-26八年级上·湖北咸宁·期中）如图，在等腰中，，D为延长线上一点，，垂足为C，且，连接，若，则的面积为 ． 【考点3 等腰三角形的判定】 例3.（22-23八年级下·甘肃白银·期中）如图，在中，，点D、E、F分别在、、边上，且，． (1)求证：是等腰三角形． (2)当时，求． 变式1.（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G． (1)求证为等腰三角形； (2)若，G为中点，求的长． 变式2.（25-26八年级上·四川广元·期中）在等腰三角形中，，是的平分线，交于点E，，且点D在的延长线上，如图1． (1)求证：． (2)将题中换成的外角平分线，交直线于点E，其余条件均不变，试问和的相等关系还成立吗？请在备用图中补全图形并说明理由． 【考点4 等边三角形】 例4.（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，与都是等边三角形，若与相交于点，与相交于点，与相交于点． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证；是等边三角形． 变式1.（25-26八年级上·河南焦作·期中）如图，，，． (1)求证：． (2)若，求证是等边三角形． 变式2.（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知是等边三角形，点是的中点，，两边分别交直线、于点、． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当的两边分别交线段、延长线于点、时，作垂直于，求证： (3)如图3，当的两边分别交线段、延长线于点、时，，，求线段的长． 【考点5 等腰三角形分类讨论的问题】 例5.（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）在等腰三角形的周长为9，，则的长为 ． 变式1.（25-26八年级上·贵州遵义·月考）如果等腰三角形的一个角为，那么等腰三角形底角的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 变式2.（25-26八年级上·安徽亳州·月考）已知等腰三角形的两边长分别为和，则此三角形的周长为 ． 例6.（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，在中，，，点在边上，且，点在直线上，且，，则与的函数关系式为 ． 变式1.（25-26八年级上·山东德州·期中）如图，在的正方形网格中，A，B是两个格点，连接，在网格中找到一个格点C，使得是以为腰的等腰三角形，则满足条件的格点C有 个． 变式2.（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）如图，在中，，．已知的顶点是线段上一点，经过顶点与交于点，设与的夹角为． （1）若，则的度数为 ； （2）当是等腰三角形时，的度数为 ． 【考点6 直角三角形及性质】 例7.（25-26八年级上·上海浦东新·月考）如图，在中，斜边的垂直平分线分别交、于点、，，则的度数为 ． 变式1.（25-26八年级上·上海·月考）如图，已知，，点在边上，，，那么的度数是 ． 变式2.（25-26九年级上·江西吉安·月考）如图，中，，，，，线段的两个端点，分别在边，上滑动，且，若点，分别是，的中点，则的最小值为 ． 【考点7 勾股定理】 例8.（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）如图，在中，，，，点在上，延长到点，使，连接，若，则的长为 ． 变式1.（25-26八年级上·上海闵行·月考）如图，在中，，，那么 ． 变式2.（25-26八年级上·山东青岛·期中）如图，已知等腰中，， ，是边上一点，且 ， (1)求的长； (2)求中边上的高． 【考点8 折叠问题】 例9.（25-26八年级上·福建泉州·月考）如图，在长方形中，，将沿翻折，得到，其中，与相交于点，则为 变式1.（2025八年级上·吉林长春·专题练习）如图，长方形纸片ABCD，，将长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为，若，，则的长为 ． 变式2.（25-26八年级上·上海宝山·月考）如图，已知中，．现将进行折叠，使顶点重合．则线段 ． 【考点9 直角三角形的判定】 例10.（25-26八年级上·上海·月考）如图，在中， (1)当，，时，求的面积． (2)当，，时，求的面积． 变式1.（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，在直角三角形，． (1)求的长． (2)试判断的形状． (3)求出四边形的面积． 变式2.（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，在中，点在边上，，是的中点，是的中点． (1)求证：； (2)若点是边的中点，连接，当满足 时（添加一个条件），有线段，并说明理由． 【考点10 用“HL”判定全等三角形】 例11.（2025八年级上·安徽·专题练习）如图，于点，于点，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 变式1.（25-26八年级上·湖北随州·期中）如图，，是的中点，平分， (1)求证：平分． (2)求证： (3)线段、、之间，有怎样的数量关系？并证明． 变式2.（25-26八年级上·湖北荆州·期中）如图，是的中线，，垂足为，，交的延长线于点，是延长线上一点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【考点11 将军饮马】 例12.（25-26八年级上·山西忻州·期中）综合与实践 问题情境 如图1，在太空探索中，宇航员需要从空间站出发，先到陨石带边缘收集样本，再到能源站补充燃料，最后返回空间站．为了提高效率，宇航员需要设计一条最短路径． 问题解决 数学建模：如图2，若只需在能源站补充燃料，可作关于能源站直线的对称点，连接，与直线的交点即为最优燃料点，此时路径最短． 推理论证：如图3，在直线上另取任意一点，连接，，，只要说明即可． 证明：直线是点，的对称轴，点，在上，________，________，________． 在中，，________，即最小． (1)本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的，转化为在直线的两侧，从而利用“两点之间线段最短”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决．请补全上述推理论证； (2)请你根据以上材料内容，帮助宇航员在图1中画出最短路径； (3)如图4，在中，，．若点在上移动，点在上移动，如何确定的最小值？ 变式1.（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图，等腰的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点、．若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为 ． 变式2.（25-26八年级上·湖南湘西·开学考试）（综合与实践）【提出问题】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸上点C饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ (1)【数学理解】如图2，小亮作出了点B关于直线l的对称点，连接与直线l（即河岸）交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的． 他的思考过程如下，请你横线上填写理由、依据或内容． 如图3，在直线上任意找与点不重合的一点，连接，，． 在△中，（ ） 点与点关于直线对称，直线垂直平分 　　 ，（ ） ， ． (2)【解决问题】如图4，将军牵马从军营处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到点处，试分别在和上各找一点、，使得将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 【考点12 等边三角形情境下的全等三角形】 例13.（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，点是等边内一点，是外的一点，且有，，，连接，． (1)求证：是等边三角形； (2)时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 变式1.（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连接，以为圆心，长为半径画弧交于点，连接，如果，那么的长是（   ） A．4 B．5 C． D．6 变式2.（25-26八年级上·江苏扬州·月考）如图，在中，，，直线l经过的顶点B，在直线l上取点D，E，使．若，，则 ． 【考点13 勾股定理的证明、探究和图形面积关系的扩展】 例14.（25-26八年级上·浙江杭州·期中）《几何原本》卷2中的几何代数法是将代数定理通过图形实现证明．如图是勾股定理的推广．已知在钝角中，以其三边向外作正方形，若正方形的面积为36，J是边上靠近点B的三等分点，，记正方形的面积为，正方形的面积为，当的度数发生变化时，的值为 ． 变式1.（25-26八年级上·上海静安·期末）如图，以的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边，则图中阴影部分的面积为 ． 变式2.（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图①所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形． (1)把赵爽弦图里的4个全等的直角三角形适当拼合，可以得到如图②的图形，设直角三角形的直角边分别为、，斜边为，请利用这个图形验证勾股定理； (2)图①赵爽弦图中，若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图③所示的“数学风车”，则这个风车的外围（实线）周长为： （直接写出结果） 【考点14 含30°或45°的直角三角形的探究】 例15.（25-26八年级上·福建福州·月考）如图，在中，是边上的高，过点B作于点M，交于点E，连接，过点D作，交于点N，且．下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号为 ． 变式1.（20-21八年级上·甘肃天水·期末）如图，在中，D为上一点，，且，，则 ． 变式2.（25-26八年级上·贵州遵义·月考）如图，将斜边长相等的两块三角板按如图所示摆放，连接，，，，则 ． 【考点15 等腰三角形、直角三角形的存在性问题】 例16.（25-26八年级上·陕西汉中·月考）如图，在中，，动点从点出发沿到的方向以的速度向终点运动，同时，另一动点从点出发，沿到再到的方向以的速度向终点运动，设运动时间为． (1)的长为_____； (2)若点在边的垂直平分线上，求此时的值； (3)当点在边上运动时，是否存在某一时刻，使得是以为底的等腰三角形？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 变式1.（25-26八年级上·辽宁营口·月考）如图，在中，，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，P、Q两点同时出发，当点P运动到点B时两点停止运动，设运动时间为t秒．当点Q在边上运动时，当是以或为底边的等腰三角形时， ． 变式2.（25-26八年级上·浙江金华·月考）如图，在中，，，，点为边上的动点，点从点出发，沿边向点运动，当运动到点时停止，若设点运动的时间为秒．点运动的速度为每秒2个单位长度． (1)当时，______，______； (2)求当为何值时，是直角三角形？说明理由； (3)求当为何值时，是等腰三角形？说明理由． 1．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）在中，下列结论错误的是（    ） A．如果，那么是直角三角形 B．如果，那么是直角三角形 C．如果，，那么是等边三角形 D．如果，那么是等边三角形 2.（2025八年级上·全国·专题练习）小明画了一个如图所示的四边形，若，，连结，，则的长为（    ） A． B． C． D． 3.（25-26八年级上·全国·月考）中，的外角平分线，则是（   ） A．锐角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．不能确定 4.（25-26八年级上·河南郑州·期中）意大利著名画家达·芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设图1中空白部分的面积为，图2中空白部分的面积为，则下列对，所列等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 5.（25-26八年级上·河南濮阳·期中）如图，，点是内的一动点且，若点、分别是射线、上异于点的动点，则周长的最小值是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 6.（25-26八年级上·安徽淮北·月考）如图，在中，分别是边上的高，与交于点F，连接，过点E作，交于点G．若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 7.（25-26八年级上·山东济宁·月考）如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若，，则线段的长为 ． 8.（25-26八年级上·福建莆田·期中）如图，在中，D是边的中点，，，则 ． 9.（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，点C是平面内一点，连接，，，直线与直线相交于点D，如果是以为腰的等腰三角形，则的度数为 ． 10.（25-26八年级上·江苏南通·月考）如图，在四边形中，和都是直角，且．现将沿翻折，点E的对应点为，与边相交于D点，恰好是的角平分线，则 ，若，则的长为 ． 11.（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知：在中，，点，点分别在，上，连接，，交于点，，． (1)如图1，证明为等边三角形； (2)如图2，过点作于点，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作交延长线于点，若，，求的长． 12.（25-26八年级上·江苏常州·月考）如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒． (1) （用t的代数式表示）． (2)当点在边上运动时，出发 秒后，是等腰三角形． (3)当点在边上运动时，出发几秒后，是以或为底的等腰三角形？ 13.（25-26八年级上·宁夏吴忠·期中）在中，，，直线经过点，且于点，于点． (1)当直线绕着点旋转到如图所示的位置时，求证： ①； ② (2)当直线绕着点旋转到如图所示的位置时， ①在图中找出一对全等三角形，并加以证明； ②直接写出、、三边的数量关系． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 特殊三角形 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ：等腰三角形 1.如果把一个图形沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．这条直线叫做对称轴.对称轴垂直平分连结两个对称点的线段；由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形沿某一条直线折叠后能够互相重合，这样的图形改变叫做图形的轴对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形是全等图形.图形成轴对称是两个图形的位置关系. 2.有两边相等的三角形叫做等腰三角形。等腰三角形的性质定理： 性质定理1 等腰三角形的两个底角相等，简称等边对等角。 性质定理2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形三线合一． 3.在有等腰三角形的作图环境中，如果证明与角有关，要注意底边上的中线或者高线也是顶角的角平分线；如果要证明垂直，就可能需要通过证明底边上的中线，或者顶角的角平分线来证明这条线段与底边垂直；如果是证明线段长的相互关系，那么可以通过证明顶角的角平分线，底边上的高线来证明底边被均分。 4.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。简称等角对等边.等腰三角形判定的其他方法： ①定义法：有两条边长相等的三角形叫做等腰三角形； ②“三线合一”的逆应用： 当三角形一边上的高线和这边的中线重合时，可通过全等证边相等得等腰三角形； 当三角形一内角的平分线与这个角对边的高线重合时，可通过全等证边相等得等腰三角形； 5.有三条边相等的三角形叫做等边三角形。 （1）等边三角形是特殊的等腰三角形；等腰三角形的对称轴有1条或3条． （2）等边三角形三个角都等于60°，三边均存在“三线合一”． （3）等边三角形的判定定理 ①定义法：三个角都相等的三角形是等边三角形 ②有一个叫是60°的等腰三角形是等边三角形 ③底边与腰相等的等腰三角形是等边三角形 ④有两个角是60°的三角形是等边三角形 6.逆命题和逆定理 （1）互逆命题：如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。 （2）逆定理：如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理；这两个定理叫做互逆定理。 7.在题目未明确等腰三角形哪两边是腰时，要进行任意两边可能相等的分类讨论。尤其，在根据已知两点，找第三点与其组成等腰三角形的，就更要有分类讨论的意识。 （在直线a上找一点P使得△ABP是等腰三角形；AB可能是腰，也可能是底） 知识点2：直角三角形 8.有一个角是 直角 的三角形叫做直角三角形.直角三角形的性质： （1）直角三角形两锐角互余 （2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 （3）30°角所对的直角边等于斜边的一半 9.勾股定理 （1）直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方； 如图则有：在Rt△ABC中，a2+b2=c2. （2）如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形； 如图：若a2+b2=c2，则有△ABC为直角三角形，∠C=90° 10.常见的折叠问题 图例 折叠方式 长方形ABCD沿着对角线BD折叠。 长方形ABCD沿着EF折叠使得点A与点C重合 △ABC沿着AD折叠使得边AC与AB重合 △ABC沿着DE折叠使得点A与点B重合 关键结论 1.△ABF≌△EDF 2.AF+BF=AF+DF=AD 1.△ABE≌△AGF 2.BE=DF，AE=AF 3.AF+GF=AF+DF=AD 1.AD是∠CAB角平分线 2.DE+DB=DC+DB=CB 1.DE是AB的垂直平分线 2.CD+DB=CD+DA=CA 11.直角三角形的判定 （1）有一个角是直角的三角形是直角三角形； （2）有两个角互余的三角形是直角三角形； （3）一边上的中线等于这边长的一半的三角形可以证的是直角三角形； （4）三角形其中两边平方的和等于第三边的平方，这个三角形是直角三角形（第三边是它的斜边）。 12.使用HL证明两个直角三角形全等的一般格式： 例：如图，已知直角△ABC与直角△DEF中，∠C=∠E=90° AC=DE，AB=DF，求证：Rt△ABC≌Rt△DEF 证明：在Rt△ABC和Rt△DEF中 ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL） 知识点3：特殊三角形的综合性问题 13.“将军饮马”问题在作图时，一定要正确作已知点A关于“河”的对称点A’，正确步骤是作垂线并延长一倍。然后将该点与“河”对岸的另一个点B相连。 14.等边三角形中的全等模型 图形 条件 关键结论 1.等边三角形ABC 2.AD是BC边上的高线（或AD平分∠BAC，或AD是BC边上的中线） 1.AD既是△ABC中∠BAC的角平分线，也是BC边上的中线和高线； 2.△ABD≌△ACD 1.等边三角形ABC 2.点M和点N分别在边BC与AC上，且BM=CN 1.△ABM≌△BCN 2.∠AQN=60° 1.等边三角形ABC 2.BD=CF 3.∠EDF=60° 1.△BDE≌△CFD 2.BE+CF=BC 1.等边三角形ABC 2.∠APB=150° 3.以AP为边作等边三角形APQ（或将△ABP绕点A逆时针旋转60°） 1.△APQ是等边三角形（或△ABP≌△ACQ） 2.PA=PQ,PB=QC,PC=PC（即PA、PB与PC三边组成的三角形为△CPQ） 3.△CPQ是直角三角形，∠CQP=90°。 15.拼图法验证勾股定理的一般步骤 （1）拼出图形 直角梯形（3个直角三角形） （2）用两种方式表示图形面积 ， （3）根据面积相同得到等量关系 （4）恒等变形 （5）推导出勾股定理 16.认识含30°、45°角的直角三角形 ①如果直角三角形中有一个角是30°，那么30°所对的边是斜边的一半（如图，只要证明△BCD是等边三角形即可得证），即BC=AB. ②如果直角三角形中有一个角是45°，那么直角三角形是等腰直角三角形，且斜边中线将其分成了两个全等的小等腰直角三角形，且该直角三角形直角边与斜边比为1：. 【考点1 图形的对称】 例1．（25-26八年级上·吉林松原·月考）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所作图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． (1)在图①中，作一个，使是轴对称图形； (2)在图②中，作一个，使与成轴对称； (3)在图③中，作一个，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【详解】（1）解：如图①，即为所求； （2）解：如图②，即为所求； （3）解：如图③，即为所求． 变式1.（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·月考）在下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不符合题意； B、该图形是轴对称图形，不符合题意； C、该图形是轴对称图形，不符合题意； D、该图形不是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 变式2.（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，在正方形网格纸中，每个小正方形的边长都是1，的三个顶点都在小正方形的顶点（网格的格点）处，直线与网格中竖直的线相重合，请利用网格完成以下问题： (1)在图中，直接画出关于直线对称的； (2)在的边上找一点，连接，使平分的面积； (3)仅用直尺在的边上找一点，使得点到，的距离相等，并求出该距离． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析， 【详解】（1）解：如图1，则即为所求； （2）解：如图1，则即为所求； （3）解：如图2，作的角平分线，交于点E，则点E即为所求．过点作于点，作于点， 则， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即该距离为． 【考点2 等腰三角形的性质】 例2．（25-26八年级上·湖北黄石·期中）如图，在中，，于点D，，且的垂直平分线分别交，于O，M两点，连接并延长交于点E． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【详解】（1）证明：于点D， ； （2）垂直平分， ， 于点D， ， ； （3）解：设，则， ， ． ， ． 在中，有，即， 解得． ， 所以的度数为． 变式1.（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，点D、E在的延长线上，点G是上一点，且，点F是上一点，且．若，则 ． 【答案】/10度 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵中，，， ∴， ∴． 故答案为：． 变式2.（25-26八年级上·湖北咸宁·期中）如图，在等腰中，，D为延长线上一点，，垂足为C，且，连接，若，则的面积为 ． 【答案】 【详解】解：作于点，作于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的面积为； 故答案为：64． 【考点3 等腰三角形的判定】 例3.如图，在中，，点D、E、F分别在、、边上，且，． (1)求证：是等腰三角形． (2)当时，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）如图， ∵， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 变式1.（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G． (1)求证为等腰三角形； (2)若，G为中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵于点D， ∴和都是直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：如图，作，垂足为点H， ∵G为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 变式2.（25-26八年级上·四川广元·期中）在等腰三角形中，，是的平分线，交于点E，，且点D在的延长线上，如图1． (1)求证：． (2)将题中换成的外角平分线，交直线于点E，其余条件均不变，试问和的相等关系还成立吗？请在备用图中补全图形并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)成立，理由见解析 【详解】（1）证明：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴； （2）解：成立，证明如下： 如图2， ∵是的平分线， ﹒ ∵， ∴﹒ ∵， ∴， ∴﹒ ∵， ∴， ∴， 即﹒ ∴， ∴， ∴， ∴﹒ 【考点4 等边三角形】 例4.（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，与都是等边三角形，若与相交于点，与相交于点，与相交于点． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证；是等边三角形． 【答案】(1)见详解 (2) (3)见详解 【详解】（1）证明：与都是等边三角形， ， ， ， ； （2）由（1）知， ， ， ， ， （3）由（2）知，， 为等边三角形． 变式1.（25-26八年级上·河南焦作·期中）如图，，，． (1)求证：． (2)若，求证是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：在和中， ，    ． （2）解：在中， ， 又 ，， ，     ， 是等边三角形． 变式2.（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知是等边三角形，点是的中点，，两边分别交直线、于点、． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当的两边分别交线段、延长线于点、时，作垂直于，求证： (3)如图3，当的两边分别交线段、延长线于点、时，，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【详解】（1）证明：如图，取的中点，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∵点是的中点，点是的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， 在中， ， ∴， ∴； （2）解：如图，取的中点，连接， 同（1）可得是等边三角形， ∵ ∴ 同理可得， ∴， ∴ ∴ （3）解：如图，取的中点，连接， 同理可得， ∴， ∵，， 设，则，，， ∴ ∴ 解得： ∴ 【考点5 等腰三角形分类讨论的问题】 例5.（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）在等腰三角形的周长为9，，则的长为 ． 【答案】1或2.5 【详解】解：∵三角形中，，周长为9， ∴， 情况一：当为腰时，则， ∴． 此时三边长为4、4、1，满足三角形三边关系定理（任意两边之和大于第三边）． 情况二：当为底边时，则， 设， 则， 解得， 故． 此时三边长为4、2.5、2.5，满足三角形三边关系定理． 故的长为1或2.5． 故答案为：1或2.5． 变式1.（25-26八年级上·贵州遵义·月考）如果等腰三角形的一个角为，那么等腰三角形底角的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：根据三角形内角和为， ①若为顶角，则底角为； ②若为底角，则底角为． ∴底角为或， 故选：C． 变式2.（25-26八年级上·安徽亳州·月考）已知等腰三角形的两边长分别为和，则此三角形的周长为 ． 【答案】20 【详解】解：当腰长为时， 三边为、、，，不满足三角形三边关系，故舍去； 当腰长为时， 三边为、、，，，满足三角形三边关系，周长为； 故答案为：20． 例6.（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，在中，，，点在边上，且，点在直线上，且，，则与的函数关系式为 ． 【答案】或 【详解】解：当点在线段上时，如图所示， ，， ，， ， ， 即； 当点在线段的延长线上时，如图所示， ，， ，， ， ， 即； 综上，与的函数关系式为或． 变式1.（25-26八年级上·山东德州·期中）如图，在的正方形网格中，A，B是两个格点，连接，在网格中找到一个格点C，使得是以为腰的等腰三角形，则满足条件的格点C有 个． 【答案】5 【详解】解：如图，以为等腰其中的一条腰时，符合条件的C点有5个． 故答案为：5． 变式2.（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）如图，在中，，．已知的顶点是线段上一点，经过顶点与交于点，设与的夹角为． （1）若，则的度数为 ； （2）当是等腰三角形时，的度数为 ． 【答案】 或 【详解】解：（1）已知，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）分类讨论： 当时，如下图： ∵，， ∴， 又∵， ∴； 当时，如下图： ∵，， ∴， 又∵， ∴； 当时，此时点P与点B重合，点D与点A重合， ，题干要求，故该情况不存在； 故答案为：或． 【考点6 直角三角形及性质】 例7.（25-26八年级上·上海浦东新·月考）如图，在中，斜边的垂直平分线分别交、于点、，，则的度数为 ． 【答案】/36度 【详解】在中，斜边的垂直平分线分别交、于点、， ∴D是斜边的中点， ∴，，， 设， ∵， ∴． 在 中，， ∴ 即， ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 变式1.（25-26八年级上·上海·月考）如图，已知，，点在边上，，，那么的度数是 ． 【答案】/度 【详解】解：， ， ，． 如图，取的中点，连接， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ． 故答案为：． 变式2.（25-26九年级上·江西吉安·月考）如图，中，，，，，线段的两个端点，分别在边，上滑动，且，若点，分别是，的中点，则的最小值为 ． 【答案】2 【详解】解：如图所示，连接，，在中，，，，， 点为斜边中点， ， 在中，， 点为斜边中点， ，当、、三点在同一直线上时，取得最小值， 最小值为：． 故答案为：2． 【考点7 勾股定理】 例8.（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）如图，在中，，，，点在上，延长到点，使，连接，若，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，过点E作， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 变式1.（25-26八年级上·上海闵行·月考）如图，在中，，，那么 ． 【答案】10 【详解】解：取的中点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：10． 变式2.（25-26八年级上·山东青岛·期中）如图，已知等腰中，， ，是边上一点，且 ， (1)求的长； (2)求中边上的高． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：，，，， ， 是直角三角形，且， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：的长为； （2）解：由（1）可知，， 如图，过作于点， ，， ， 在中，由勾股定理得：， 即中边上的高是 【考点8 折叠问题】 例9.（25-26八年级上·福建泉州·月考）如图，在长方形中，，将沿翻折，得到，其中，与相交于点，则为 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可知：， 在长方形中，， ∴， ∴， 设，则有， ∴在中，由勾股定理可得：， 解得：， ∴； 故答案为． 变式1.（2025八年级上·吉林长春·专题练习）如图，长方形纸片ABCD，，将长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为，若，，则的长为 ． 【答案】/ 【详解】解：根据折叠的性质得到，， 四边形是长方形，，， ，， 在中，， ，解 得． 故答案为：． 变式2.（25-26八年级上·上海宝山·月考）如图，已知中，．现将进行折叠，使顶点重合．则线段 ． 【答案】 【详解】解：在中，， ∴ ∵将进行折叠，使顶点重合 ∴， 设，在中， ∴ 解得： 则 ∴在中， 故答案为：． 【考点9 直角三角形的判定】 例10.（25-26八年级上·上海·月考）如图，在中， (1)当，，时，求的面积． (2)当，，时，求的面积． 【答案】(1)30 (2)16 【详解】（1）解：（1）∵，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴. （2）解：∵，，， ∴， ∴不是直角三角形，如图， 过点A作于点D， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 变式1.如图，在直角三角形，． (1)求的长． (2)试判断的形状． (3)求出四边形的面积． 【答案】(1)5 (2)直角三角形 (3)36 【详解】（1）解：，，， ； （2）解：是直角三角形， ，， ，， ， 是直角三角形； （3）解：，，，，，， 四边形的面积的面积的面积 ， 四边形的面积为36． 变式2.（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，在中，点在边上，，是的中点，是的中点． (1)求证：； (2)若点是边的中点，连接，当满足 时（添加一个条件），有线段，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)，理由见解析． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵，是的中点， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴； （2）解：如图，连接， ∵，是的中点， ∴， ∴， ∵是的中点，是边的中点， ∴，， ∴当时，， 故答案为：． 【考点10 用“HL”判定全等三角形】 例11.（2025八年级上·安徽·专题练习）如图，于点，于点，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)12 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：在和中， ， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 变式1.（25-26八年级上·湖北随州·期中）如图，，是的中点，平分， (1)求证：平分． (2)求证： (3)线段、、之间，有怎样的数量关系？并证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，证明见解析 【详解】（1）证明：作于， ，，平分， ， 为中点， ， 又， ， 又，， 平分 （2）解：， 理由是：平分，平分， ，， ， ， ， ， 即； （3）解：， 理由是：，， ， 在和中 ， ， 同理， ， ． 变式2.（25-26八年级上·湖北荆州·期中）如图，是的中线，，垂足为，，交的延长线于点，是延长线上一点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：是的中线， ， ，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：， ， 在和中， ， ， ，                                                                ， ， ， ． 【考点11 将军饮马】 例12.（25-26八年级上·山西忻州·期中）综合与实践 问题情境 如图1，在太空探索中，宇航员需要从空间站出发，先到陨石带边缘收集样本，再到能源站补充燃料，最后返回空间站．为了提高效率，宇航员需要设计一条最短路径． 问题解决 数学建模：如图2，若只需在能源站补充燃料，可作关于能源站直线的对称点，连接，与直线的交点即为最优燃料点，此时路径最短． 推理论证：如图3，在直线上另取任意一点，连接，，，只要说明即可． 证明：直线是点，的对称轴，点，在上，________，________，________． 在中，，________，即最小． (1)本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的，转化为在直线的两侧，从而利用“两点之间线段最短”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决．请补全上述推理论证； (2)请你根据以上材料内容，帮助宇航员在图1中画出最短路径； (3)如图4，在中，，．若点在上移动，点在上移动，如何确定的最小值？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【详解】（1）解：∵直线是点B，的对称轴，点C，在l上， ∴，， ∴， ∵在中，，（三角形两边之和大于第三边） ∴， 故答案为：，，，； （2）解：如图，即为最短路径； （3）解：过点作的垂线，垂足为点，交于点，此时的最小值为的长， 变式1.（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图，等腰的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点、．若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为 ． 【答案】11 【详解】解：∵的周长为，为定值， ∴当的值最小时，的周长最小， 连接， ∵的垂直平分线为， ∴关于对称， ∴， ∴当三点共线时，， ∵等腰，点为底边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为； 故答案为：． 变式2.（25-26八年级上·湖南湘西·开学考试）（综合与实践）【提出问题】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸上点C饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ (1)【数学理解】如图2，小亮作出了点B关于直线l的对称点，连接与直线l（即河岸）交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的． 他的思考过程如下，请你横线上填写理由、依据或内容． 如图3，在直线上任意找与点不重合的一点，连接，，． 在△中，（ ） 点与点关于直线对称，直线垂直平分 　　 ，（ ） ， ． (2)【解决问题】如图4，将军牵马从军营处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到点处，试分别在和上各找一点、，使得将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 【答案】(1)三角形任意两边之和大于第三边；；线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 (2)见解析 【详解】（1）解：如图3，在直线上任意找与点不重合的一点，连接，，． 在中，（三角形任意两边之和大于第三边） 点与点关于直线对称， 直线垂直平分 ，（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等） ， ． 故答案为：三角形任意两边之和大于第三边；；线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； （2）解：如图所示，分别作点关于，的对称点、，连接分别交，于、，则路线，，即为所求． ，，则， 根据两点之间线段最短可得路线，，即为所求． 【考点12 等边三角形情境下的全等三角形】 例13.（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，点是等边内一点，是外的一点，且有，，，连接，． (1)求证：是等边三角形； (2)时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰直角三角形，理由见解析 (3)或或 【详解】（1）证明：， ， ， 是的等边三角形； （2）解：， ， 是等边三角形， ， ， 是直角三角形， ， ∴， ， ， ， 是等腰直角三角形； （3）解：若，则， 则，， ∴， ①当时，则， ∴， ∴； ②当时，则， ∴， ∴； ③当时，则， ∴， ． 综上：当为或或，是等腰三角形． 变式1.（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连接，以为圆心，长为半径画弧交于点，连接，如果，那么的长是（   ） A．4 B．5 C． D．6 【答案】A 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 变式2.（25-26八年级上·江苏扬州·月考）如图，在中，，，直线l经过的顶点B，在直线l上取点D，E，使．若，，则 ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【考点13 勾股定理的证明、探究和图形面积关系的扩展】 例14.（25-26八年级上·浙江杭州·期中）《几何原本》卷2中的几何代数法是将代数定理通过图形实现证明．如图是勾股定理的推广．已知在钝角中，以其三边向外作正方形，若正方形的面积为36，J是边上靠近点B的三等分点，，记正方形的面积为，正方形的面积为，当的度数发生变化时，的值为 ． 【答案】12 【详解】解：∵正方形的面积为36， ∴， 由题意得，，， ∵， ∴， ∵J是边上靠近点B的三等分点 ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 变式1.（25-26八年级上·上海静安·期末）如图，以的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【详解】解：∵以的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形， ∴，，， ∴，，，， ∵，，， ∴阴影部分的面积 ， ∵， ∴阴影部分的面积． 故答案为：． 变式2.（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图①所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形． (1)把赵爽弦图里的4个全等的直角三角形适当拼合，可以得到如图②的图形，设直角三角形的直角边分别为、，斜边为，请利用这个图形验证勾股定理； (2)图①赵爽弦图中，若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图③所示的“数学风车”，则这个风车的外围（实线）周长为： （直接写出结果） 【答案】(1)见解析 (2)76 【详解】（1）解：图形的总面积可以表示为，， ∴， 即． （2）解：如图2，由题意知，外延的4部分全等，且， ∴， ∴， ∴这个风车的外围周长是． 故答案为：76 【考点14 含30°或45°的直角三角形的探究】 例15.（25-26八年级上·福建福州·月考）如图，在中，是边上的高，过点B作于点M，交于点E，连接，过点D作，交于点N，且．下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号为 ． 【答案】①②④ 【详解】解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵是等腰直角三角形，∴，不能证明，故③不正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由②知，， ∴， ∴，故④正确； ∴正确的有①②④， 故答案为：①②④． 变式1.（20-21八年级上·甘肃天水·期末）如图，在中，D为上一点，，且，，则 ． 【答案】5 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴． 故答案为：5． 变式2.（25-26八年级上·贵州遵义·月考）如图，将斜边长相等的两块三角板按如图所示摆放，连接，，，，则 ． 【答案】/30度 【详解】解：如图，在上截取， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴，， 设， ∴，， ∴， 解得：， 即， ∵， ∴． 故答案为：． 【考点15 等腰三角形、直角三角形的存在性问题】 例16.（25-26八年级上·陕西汉中·月考）如图，在中，，动点从点出发沿到的方向以的速度向终点运动，同时，另一动点从点出发，沿到再到的方向以的速度向终点运动，设运动时间为． (1)的长为_____； (2)若点在边的垂直平分线上，求此时的值； (3)当点在边上运动时，是否存在某一时刻，使得是以为底的等腰三角形？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3 (2) (3) 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：3； （2）解：如图， 由题意知，， ∵点在边的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴，即，解得； （3）解：存在，，理由如下， 过点B作于点D，如图， 则，解得， ∵是以为底的等腰三角形， ∴， ∵点从点出发，沿到再到的方向以的速度向终点运动， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得（负值已舍）． 变式1.（25-26八年级上·辽宁营口·月考）如图，在中，，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，P、Q两点同时出发，当点P运动到点B时两点停止运动，设运动时间为t秒．当点Q在边上运动时，当是以或为底边的等腰三角形时， ． 【答案】11或12 【详解】解：设运动时间为t秒． 由题意可知，当点P运动到点B时两点停止运动，则， 当点Q在边上运动时，此时， ①当是以为底边的等腰三角形时：，如图所示， 则， ， ，． ， ， ， ， ； ②当是以为底边的等腰三角形时：，如图所示， 则， ． 故答案为：11或12． 变式2.（25-26八年级上·浙江金华·月考）如图，在中，，，，点为边上的动点，点从点出发，沿边向点运动，当运动到点时停止，若设点运动的时间为秒．点运动的速度为每秒2个单位长度． (1)当时，______，______； (2)求当为何值时，是直角三角形？说明理由； (3)求当为何值时，是等腰三角形？说明理由． 【答案】(1)4，6 (2)当为或5时，是直角三角形 (3)当为或3或时，是等腰三角形 【详解】（1）解：在中，，，， ， 当时，，， 故答案为：4，6； （2）解：∵， ∴分两种情况： 当时，， ， ， ， ； 当时，点与点A重合， ， ， 综上所述，当为或5时，是直角三角形； （3）解：分三种情况： 当时，， ； 当时，作于点H， 由（2）知， ， ， ； 当时，作于点H， 设， ， ， 在中， ， 解得：， ， ， 综上所述，当为或3或时，是等腰三角形． 1．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）在中，下列结论错误的是（    ） A．如果，那么是直角三角形 B．如果，那么是直角三角形 C．如果，，那么是等边三角形 D．如果，那么是等边三角形 【答案】D 【详解】解：A、，则：， ∴， ∴， ∴是直角三角形；结论正确，不符合题意； B、，则：， ∴是直角三角形；结论正确，不符合题意； C、，，则是等边三角形；结论正确，不符合题意； D、，则，故是等腰三角形，无法得到是等边三角形，结论错误，符合题意； 故选D． 2.（2025八年级上·全国·专题练习）小明画了一个如图所示的四边形，若，，连结，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在中，，，， ， ，， ． 故选：B． 3.（25-26八年级上·全国·月考）中，的外角平分线，则是（   ） A．锐角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．不能确定 【答案】C 【详解】解：如图： ∵ ， ∴ （同位角相等），（内错角相等）， ∵为的角平分线， ∴， ∴ =， ∴， 故是等腰三角形， 故选C． 4.（25-26八年级上·河南郑州·期中）意大利著名画家达·芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设图1中空白部分的面积为，图2中空白部分的面积为，则下列对，所列等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由勾股定理可得， 由题意，可得， ， 所以 故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意． 故选：A． 5.（25-26八年级上·河南濮阳·期中）如图，，点是内的一动点且，若点、分别是射线、上异于点的动点，则周长的最小值是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：分别作点关于的对称点，连接，则：，    ∵， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵的周长， ∴周长的最小值为的长，即为3； 故选B． 6.（25-26八年级上·安徽淮北·月考）如图，在中，分别是边上的高，与交于点F，连接，过点E作，交于点G．若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵分别是边上的高， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵ ∴． 在和中，， ∴， ∴，故选项A正确； 在和中，， ∴， ∴，故选项B，C正确； ∵， ∴． ∵G不一定是的中点， ∴，即，故选项D错误． 故选D． 7.（25-26八年级上·山东济宁·月考）如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若，，则线段的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，． ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴和为等腰三角形， ∴，． ∵，， ∴． 故答案为：． 8.（25-26八年级上·福建莆田·期中）如图，在中，D是边的中点，，，则 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，在上取一点E，连接，使得，连接， ∵，， ∴， ∴； ∵D是边的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 故答案为：． 9.（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，点C是平面内一点，连接，，，直线与直线相交于点D，如果是以为腰的等腰三角形，则的度数为 ． 【答案】或 【详解】解：直线与直线相交于点， 有以下两种情况： ①当点在线段上时，如图1所示： 设， 是以为腰的等腰三角形， ， ， ， ， 又， ， ， 在中，， ， 解得：， ， ②当点在的延长线上时，如图2所示： 设， 是以为腰的等腰三角形， ， ， ， ， ， 又， ， ， 在中，， ， 解得：， ， 综上所述：的度数为或. 故答案为：或. 10.（25-26八年级上·江苏南通·月考）如图，在四边形中，和都是直角，且．现将沿翻折，点E的对应点为，与边相交于D点，恰好是的角平分线，则 ，若，则的长为 ． 【答案】 2 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵将沿翻折，点E的对应点为， ∴，， ∴， ∴； 如图，延长和延长线相交于点， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：，． 11.（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知：在中，，点，点分别在，上，连接，，交于点，，． (1)如图1，证明为等边三角形； (2)如图2，过点作于点，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作交延长线于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：在上取一点，使， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 12.（25-26八年级上·江苏常州·月考）如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒． (1) （用t的代数式表示）． (2)当点在边上运动时，出发 秒后，是等腰三角形． (3)当点在边上运动时，出发几秒后，是以或为底的等腰三角形？ 【答案】(1) (2) (3)5.5秒或6秒 【详解】（1）解：由题意得，， ∴； 故答案为：； （2）解：当点在边上运动时，，其中， ∵是等腰三角形，， ∴，即， 解得， ∴出发秒后，是等腰三角形； 故答案为：； （3）解：①当是以为底的等腰三角形，则， ∴， ∵，   ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点运动的路程为， ∴点运动的时间为（秒）； ②当是以为底的等腰三角形，则， ∴， ∴点运动的路程为， ∴点运动的时间为（秒）； ∴综上所述，出发5.5秒或6秒后，是以或为底的等腰三角形． 13.（25-26八年级上·宁夏吴忠·期中）在中，，，直线经过点，且于点，于点． (1)当直线绕着点旋转到如图所示的位置时，求证： ①； ② (2)当直线绕着点旋转到如图所示的位置时， ①在图中找出一对全等三角形，并加以证明； ②直接写出、、三边的数量关系． 【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析 (2)①；②，证明见解析． 【详解】（1）①∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴； ②由（1）①已证：， ∴， ∴； （2）①，证明如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴； ②，证明如下： 由（2）①已证：， ∴， ∴． 42 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $