专题04 平面直角坐标系（寒假复习讲义）八年级数学新教材浙教版

专题04 平面直角坐标系 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ：平面直角坐标系 1.平面直角坐标系的定义：在平面内画两条互相垂直，并且有公共原点O的数轴，其中一条水平数轴叫做x轴（又叫横轴），另一条叫做y轴（又叫纵轴），画成与x轴垂直。平面直角坐标系简称直角坐标系，坐标系所在的平面叫做坐标平面； 2.坐标的定义： 如图，对于平面内任意一点M,分别过该点作x轴、y轴的垂线，在各自数轴上表示的数分别为a、b，则a叫做点M的横坐标，b叫做点M的纵坐标，有序数对（a，b）叫做点M的坐标。 3.象限：如下图，整个平面直角坐标系被x轴和y 轴分成四个象限，象限以数轴为界，x轴、y 轴上的点不属于任何象限，四个象限中点的坐标的符号特征分别如下表： 4.坐标轴上的线段长 （1）x轴上点的坐标表达式（x，0）；y轴上点的坐标表达式（0，y） （2）坐标平面内两点间（如图A(x1，y1)，B(x2，y2)）的距离公式为： 如图①，若点A、B在同一水平线上，则AB=|x1-x2|； 如图②，若点A、B在同一竖直线上，则AB=|y1-y2|； 如图③，对于任意位置的点A和点B，则。 A B A B A B 图 ① 图 ② 图 ③ 知识点2：坐标系内的图形变换 5.坐标平面内点的轴对称规律： 在直角坐标系中： 点（a，b）关于x轴的对称的点的坐标为（a，﹣b）； 点（a，b）关于y轴的对称的点的坐标为（﹣a，b）； 点（a，b）关于原点对称的点的坐标，即为点（a，b）先关于x轴对称，再关于y轴对称，为（﹣a，﹣b） ； 6.坐标平面内点的平移规律： 在直角坐标系中： 点（a，b）向右平移m个单位得（a+m，b）； 点（a，b）向左平移m个单位得（a－m，b）； 点（a，b）向上平移m个单位得（a，b+m）； 点（a，b）向下平移m个单位得（a，b－m）； 7.坐标平面内图形怎么变换，则图形上的各点也是按照同样的方法变换，所以，做一个几何图形的轴对称图形或者平移后的图形，首先把图形各个顶点的对应点做出来，再依次连线即可。 8.在平面直角坐标系中，几何图形的已知条件可以转化成代数与代数关系；同样的，坐标系上点的坐标值，或代数式，可以转化成几何图形的已知条件，从而达到数形结合的效果。因此通过几何图形的性质，将数值和代数式通过数量关系建立等式或不等式，即可解决更多的数学问题。具体如下： 9.坐标系内点的旋转特征 （1）旋转180°。如下图①所示，当图形（以线段AB为例）旋转180°，即构成了“X”型的全等直角三角形模型，可以据此求出旋转后点B’的坐标。 （2）旋转90°。如下图②所示，当图形（以线段AB为例）旋转90°，即构成了“K”型的全等直角三角形模型，可以据此求出旋转后点B’的坐标。 图① 图② 10.坐标系中的规律题 （1）几种常见的规律题 规律方式 图例 主要特征 周期延展 1.横坐标或者纵坐标按照周期往复，比如此图中纵坐标保持：0,1,0,2...... 2.另一个坐标逐渐有规律的增大。 正负往复延展 1.其中一个坐标不断在正数和负数之间往复，比如这里的纵坐标； 2.横坐标或纵坐标都保持有规律的增大。 几何式延展 、 1.按照几何图形的形状进行排布； 2.在关键点（端点、折角或者坐标上的点）上的横纵坐标存在规律。 螺旋式展开 1.每个相同拐点处相邻点的横纵坐标分别保持某种规律，比如左图图二中的P4、P8和P12； 2.点的位置分布保持某种周期。 （2）求解的基本步骤 ①先确定基本的规律类型，确定是否有周期、是否有正负往复。 ②如果存在周期往复，先求出要求的点在周期的具体位置；如果存在正负区别的，同时确定最终结果的正负。 ③如果横坐标和纵坐标的规律是分别的，就分别确定规律。 ④如果横纵坐标的规律是相关的，先找到关键拐点的位置，再推算。比如先找到上述中提到的拐点的坐标，再往前或往后数一定的数量来确定要求的点的坐标。 【考点1 坐标系、坐标点及象限】 例1．如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，已知点A的坐标为． (1)若以正方形的边长为单位长度，请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系． (2)分别写出点B和点C的坐标和象限． (3)求△ABC的面积． 变式1.（25-26八年级上·安徽六安·月考）若点在第二象限，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 变式2.（25-26七年级上·山东东营·月考）第四象限内的点满足，，则点的坐标是 ． 【考点2 根据题意求坐标点】 例2.（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）已知点是平面直角坐标系中的点． (1)若点A在x轴上，求a的值； (2)若点A在第三象限，且到两坐标轴的距离和为9，请确定点A的坐标． 变式1.（24-25七年级下·全国·周测）五子棋深受广大小朋友的喜爱．如图所示的是小明和小亮的部分对弈图．若棋子A的坐标为，棋子B的坐标为，则棋子C的坐标为（    ） A． B． C． D． 变式2.（25-26八年级上·山东淄博·月考）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较小值称为点P的“短距”；较大值称为点P的“长距”；当点Q到x轴、y轴的距离相等时，则称点Q为“完美点”． (1)点到x轴的距离为　　，到y轴的距离为　　，点A的“短距”为　　． (2)若点是“完美点”，求a的值． (3)若点的长距为5，且点C在第三象限内，点D的坐标为，试说明：点D是“完美点”． 例3．（25-26八年级上·江苏连云港·月考）线段平行于轴，点的坐标为，且，点的坐标为 ． 变式1.（25-26八年级上·江苏无锡·月考）已知点，若点的坐标为，且直线轴，则点的坐标为 ． 变式2.（25-26七年级上·山东济宁·月考）在平面直角坐标系中，有，，三点． (1)当点在轴上时，则的值为______； (2)当轴时，求，两点间的距离； (3)在（1）、（2）的条件下，若点是轴上一点，且，求点的坐标． 【考点3 用方位和距离表示物体的位置】 例4.（25-26八年级上·江苏徐州·月考）如图，雷达探测器在一次探测中发现五个目标．若目标A，B的位置分别记为，则目标的位置记为 ． 变式1.（24-25七年级上·浙江湖州·期中）如图，以点A为圆心的圆上有B、C两点． （1）用数对表示A和B的位置：A( ， )，B( ， )； （2）C点在A点的( )偏( )( )度方向，距离A点( )． 变式2.（2025八年级上·全国·专题练习）在我国新疆西北部有一座全球最大的八卦城——特克斯县．以八卦文化广场为中心，按照八卦具体方位和角度向外延伸出八条主街，如图，是以八卦文化广场为点O绘制的简易地图，若点A的位置用表示，点B的位置用表示，则点C的位置可以表示为 ． 【考点4 坐标点及图形在坐标轴中的平移】 例5.（24-25八年级上·江苏盐城·月考）三角形和三角形在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)分别写出下列各点的坐标：_____，_____． (2)三角形是由三角形经过怎样的平移得到？ (3)若点是三角形内部一点，则三角形内部的对应点的坐标是_____． 变式1.（25-26八年级上·江苏苏州·月考）在平面直角坐标系中有点，现将点向上平移个单位长度得到点，则点的坐标是 ． 变式2.（24-25七年级下·河南信阳·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知三角形的顶点坐标分别为，，，将三角形先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形． (1)画出三角形，并写出点，，的坐标； (2)求三角形的面积； (3)若点是三角形内部的一点，经过平移后对应点的坐标为，求和的值． 【考点5 坐标点及图形在坐标轴中的对称】 例6.（25-26八年级上·河南省直辖县级单位·月考）如图所示，在直角坐标系中，，，． (1)在图中作出关于轴的轴对称图形： (2)写出中点的坐标． (3)在轴上作出点，使最小． 变式1.（2019·江苏南京·一模）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是 ． 变式2.（25-26八年级上·安徽滁州·月考）若和两点关于轴对称，则的值是 ． 变式3.（25-26八年级上·天津·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出与关于轴对称的； (2)写出点的坐标； (3)为轴上一点，使的周长最小，在图中作出点．（保留作图痕迹） 【考点6 根据几何性质求坐标点】 例7.（25-26八年级上·河南许昌·期中）已知，是等腰直角三角形，，A点在x轴负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方． (1)如图1所示，若A的坐标是，点B的坐标是，求点C的坐标； (2)如图2，过点C作轴于D，请直接写出线段之间等量关系． 变式1.（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，在中，，，点C的坐标为，点B的坐标为，则A点的坐标是 ． 变式2.（25-26八年级上·江西抚州·月考）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形是长方形，点A，C的坐标分别为，，点D是的中点，点P在上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为 ． 【考点7 坐标点及图形在坐标轴中的旋转】 例8.（2025·山东青岛·三模）如图，的顶点坐标分别为、、，如果将绕点B按顺时针方向旋转，得到，将向下平移2个单位，得，那么点C的对应点的坐标是（　　） A． B． C． D． 变式1.（25-26九年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，将点绕点O顺时针旋转，得到的对应点的坐标为 ． 变式2.（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，将绕点旋转得到，若点的坐标为，则点A的坐标为 ．    【考点8 坐标系中的规律题】 例9.（25-26七年级上·山东济宁·月考）如图，在单位长度为1的方格纸上，，，，……，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，……的等腰直角三角形．若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为 ． 变式1.（25-26八年级上·广西百色·期中）如图，已知点的坐标是，线段从原点出发后，在第一象限内按如下有规律的方式前行：，，，，，；则点的坐标是 ． 变式2.（24-25七年级下·贵州·月考）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，，…，根据这个规律，第2027个点的坐标为 ． 1．（24-25七年级下·陕西商洛·期末）在平面直角坐标系中，下列各点位于第四象限的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·周测）如图所示的是一所学校的平面示意图，小方格都是边长为1个单位长度的正方形．若用，分别表示教学楼、体育馆的位置，则图书馆的位置表示为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·全国·期末）若点在平面直角坐标系的x轴上，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·云南怒江·月考）在平面直角坐标系中，若点关于y轴对称的点是，则的值为（   ） A． B．9 C． D．1 5．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）已知直线轴，且，则的长为(        ) A．4 B．5 C．9 D．15 6．（25-26八年级上·安徽淮北·月考）如图，在平面直角坐标系中，点，，，且，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·江苏南京·月考）已知点P的坐标为，若点在y轴上，则 ． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）将点先向左平移3个单位长度，之后又向下平移4个单位长度得到点，则 ， ． 9．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）点，之间的距离为 ． 10．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，，过点B作直线轴，点P是直线l上的一个动点，以为边作等腰，(点A，P，Q呈逆时针排列)，当点P在直线l上运动时，点Q也随之运动．点Q在运动的过程中，的最小值为 ． 11．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作出关于x轴对称的． (2)点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______． (3)若点与点关于轴对称，若，则点的坐标为______． 12．（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． (1)点的“长距”是______； (2)若点是“完美点”，求a的值； (3)若点的长距为7，且点C在第二象限内，点D的坐标为，试说明：点D是“完美点”． 13．（25-26八年级上·江苏徐州·月考）建立模型： (1)如图1，已知在中，，，顶点在直线上．过点作于点，过点作于点．求证：． (2)模型应用：（问题解决） 如图2，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，以为腰在第二象限作等腰直角三角形，．求点坐标． (3)类比探究： 如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标，点坐标为，过点作轴的垂线，点是直线上一个动点，点是直线上的一个动点，若是以点为直角顶点为等腰直角三角形，请直接写出点与点的坐标． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 平面直角坐标系 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ：平面直角坐标系 1.平面直角坐标系的定义：在平面内画两条互相垂直，并且有公共原点O的数轴，其中一条水平数轴叫做x轴（又叫横轴），另一条叫做y轴（又叫纵轴），画成与x轴垂直。平面直角坐标系简称直角坐标系，坐标系所在的平面叫做坐标平面； 2.坐标的定义： 如图，对于平面内任意一点M,分别过该点作x轴、y轴的垂线，在各自数轴上表示的数分别为a、b，则a叫做点M的横坐标，b叫做点M的纵坐标，有序数对（a，b）叫做点M的坐标。 3.象限：如下图，整个平面直角坐标系被x轴和y 轴分成四个象限，象限以数轴为界，x轴、y 轴上的点不属于任何象限，四个象限中点的坐标的符号特征分别如下表： 4.坐标轴上的线段长 （1）x轴上点的坐标表达式（x，0）；y轴上点的坐标表达式（0，y） （2）坐标平面内两点间（如图A(x1，y1)，B(x2，y2)）的距离公式为： 如图①，若点A、B在同一水平线上，则AB=|x1-x2|； 如图②，若点A、B在同一竖直线上，则AB=|y1-y2|； 如图③，对于任意位置的点A和点B，则。 A B A B A B 图 ① 图 ② 图 ③ 知识点2：坐标系内的图形变换 5.坐标平面内点的轴对称规律： 在直角坐标系中： 点（a，b）关于x轴的对称的点的坐标为（a，﹣b）； 点（a，b）关于y轴的对称的点的坐标为（﹣a，b）； 点（a，b）关于原点对称的点的坐标，即为点（a，b）先关于x轴对称，再关于y轴对称，为（﹣a，﹣b） ； 6.坐标平面内点的平移规律： 在直角坐标系中： 点（a，b）向右平移m个单位得（a+m，b）； 点（a，b）向左平移m个单位得（a－m，b）； 点（a，b）向上平移m个单位得（a，b+m）； 点（a，b）向下平移m个单位得（a，b－m）； 7.坐标平面内图形怎么变换，则图形上的各点也是按照同样的方法变换，所以，做一个几何图形的轴对称图形或者平移后的图形，首先把图形各个顶点的对应点做出来，再依次连线即可。 8.在平面直角坐标系中，几何图形的已知条件可以转化成代数与代数关系；同样的，坐标系上点的坐标值，或代数式，可以转化成几何图形的已知条件，从而达到数形结合的效果。因此通过几何图形的性质，将数值和代数式通过数量关系建立等式或不等式，即可解决更多的数学问题。具体如下： 9.坐标系内点的旋转特征 （1）旋转180°。如下图①所示，当图形（以线段AB为例）旋转180°，即构成了“X”型的全等直角三角形模型，可以据此求出旋转后点B’的坐标。 （2）旋转90°。如下图②所示，当图形（以线段AB为例）旋转90°，即构成了“K”型的全等直角三角形模型，可以据此求出旋转后点B’的坐标。 图① 图② 10.坐标系中的规律题 （1）几种常见的规律题 规律方式 图例 主要特征 周期延展 1.横坐标或者纵坐标按照周期往复，比如此图中纵坐标保持：0,1,0,2...... 2.另一个坐标逐渐有规律的增大。 正负往复延展 1.其中一个坐标不断在正数和负数之间往复，比如这里的纵坐标； 2.横坐标或纵坐标都保持有规律的增大。 几何式延展 、 1.按照几何图形的形状进行排布； 2.在关键点（端点、折角或者坐标上的点）上的横纵坐标存在规律。 螺旋式展开 1.每个相同拐点处相邻点的横纵坐标分别保持某种规律，比如左图图二中的P4、P8和P12； 2.点的位置分布保持某种周期。 （2）求解的基本步骤 ①先确定基本的规律类型，确定是否有周期、是否有正负往复。 ②如果存在周期往复，先求出要求的点在周期的具体位置；如果存在正负区别的，同时确定最终结果的正负。 ③如果横坐标和纵坐标的规律是分别的，就分别确定规律。 ④如果横纵坐标的规律是相关的，先找到关键拐点的位置，再推算。比如先找到上述中提到的拐点的坐标，再往前或往后数一定的数量来确定要求的点的坐标。 【考点1 坐标系、坐标点及象限】 例1．如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，已知点A的坐标为． (1)若以正方形的边长为单位长度，请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系． (2)分别写出点B和点C的坐标和象限． (3)求△ABC的面积． 【答案】(1)见解析 (2)点B（0,0），不在任意象限；点C（﹣2，﹣2），在第三象限。 (3)如图所示作△ABC的外接长方形，△ABC的面积=长方形面积减去周边三个小三角形的面积 【详解】（1）解：作出平面直角坐标系如图所示． x y O 1 （2）如上图所示，点B（0,0），不在任意象限；点C（﹣2，﹣2），在第三象限。 （3）如图所示，S△ABC=2×4－1×4÷2－1×2÷2－2×2÷2=8－2－1－2=3. 变式1.（25-26八年级上·安徽六安·月考）若点在第二象限，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】点在第二象限， 横坐标， ， 选项中只有，符合题意． 故选：． 变式2.（25-26七年级上·山东东营·月考）第四象限内的点满足，，则点的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：， ； ， ； 点在第四象限， ，， ，，即点的坐标为． 故答案为：． 【考点2 根据题意求坐标点】 例2.（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）已知点是平面直角坐标系中的点． (1)若点A在x轴上，求a的值； (2)若点A在第三象限，且到两坐标轴的距离和为9，请确定点A的坐标． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵点在x轴上， ∴， 解得； （2）∵点在第三象限， ∴点到x轴距离为，点到y轴距离为， ∵点到两坐标轴的距离和为9， ∴， ∴， ∴， ∴点A的坐标为． 变式1.（24-25七年级下·全国·周测）五子棋深受广大小朋友的喜爱．如图所示的是小明和小亮的部分对弈图．若棋子A的坐标为，棋子B的坐标为，则棋子C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，根据已知可建立平面直角坐标系， 所以点C的坐标是（-1，4）， 故选：C． 变式2.（25-26八年级上·山东淄博·月考）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较小值称为点P的“短距”；较大值称为点P的“长距”；当点Q到x轴、y轴的距离相等时，则称点Q为“完美点”． (1)点到x轴的距离为　　，到y轴的距离为　　，点A的“短距”为　　． (2)若点是“完美点”，求a的值． (3)若点的长距为5，且点C在第三象限内，点D的坐标为，试说明：点D是“完美点”． 【答案】(1)2，3，2 (2)或 (3)见解析 【详解】（1）解：点到x轴的距离为2，到y轴的距离为3． ∵点P到x轴、y轴的距离的较小值称为点P的“短距”， 又∵，， ∴点的“短距”为2， 故答案为：2，3，2； （2）解：由条件可知， ∴或， 解得或． （3）解：点的长距为5，且点在第三象限内， ， 解得：， ， 点的坐标为， 点到轴、轴的距离都是8， 是“完美点”． 例3．（25-26八年级上·江苏连云港·月考）线段平行于轴，点的坐标为，且，点的坐标为 ． 【答案】或 【详解】点的坐标为，线段平行于轴，因此点的横坐标与点相同，为；设点N的纵坐标为，则，解得或，故点N的坐标为或． 故答案为或． 变式1.（25-26八年级上·江苏无锡·月考）已知点，若点的坐标为，且直线轴，则点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：直线轴， 点和点的横坐标相等， ，， ，解得， ， 点的坐标为． 故答案为：． 变式2.（25-26七年级上·山东济宁·月考）在平面直角坐标系中，有，，三点． (1)当点在轴上时，则的值为______； (2)当轴时，求，两点间的距离； (3)在（1）、（2）的条件下，若点是轴上一点，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：∵点在轴上，且， ∴， 解得：， 故答案为：； （2）∵轴，且，， ∴， 解得：， ∴，， ∴， 即，两点间的距离为； （3）设点， ∵，， ∴，，， ∵， ∴，即， ∴或， 解得或， ∴点的坐标为或． 【考点3 用方位和距离表示物体的位置】 例4.（25-26八年级上·江苏徐州·月考）如图，雷达探测器在一次探测中发现五个目标．若目标A，B的位置分别记为，则目标的位置记为 ． 【答案】 【详解】解： A，B的位置分别记为， 坐标中第一个数为所在的圈数，第二个数为从逆时针旋转的度数， 由图可知，在第三个圈，从位置逆时针旋转的位置上， 目标的位置记为． 故答案为：． 变式1.（24-25七年级上·浙江湖州·期中）如图，以点A为圆心的圆上有B、C两点． （1）用数对表示A和B的位置：A( ， )，B( ， )； （2）C点在A点的( )偏( )( )度方向，距离A点( )． 【答案】 0 4 4 南 西 12 【详解】解：（1）观察图形，得，， 故答案为：； （2）观察图形，C点在A点的南偏西45度方向， 结合一个格子长度为，C点与A点相隔三个格子， ∴， ∴C点距离A点， 故答案为：南，西，45，12． 变式2.（2025八年级上·全国·专题练习）在我国新疆西北部有一座全球最大的八卦城——特克斯县．以八卦文化广场为中心，按照八卦具体方位和角度向外延伸出八条主街，如图，是以八卦文化广场为点O绘制的简易地图，若点A的位置用表示，点B的位置用表示，则点C的位置可以表示为 ． 【答案】 【详解】解：如图，点A，B的位置分别表示为，， ∴点C的位置可以表示为， 故答案为：． 【考点4 坐标点及图形在坐标轴中的平移】 例5.（24-25八年级上·江苏盐城·月考）三角形和三角形在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)分别写出下列各点的坐标：_____，_____． (2)三角形是由三角形经过怎样的平移得到？ (3)若点是三角形内部一点，则三角形内部的对应点的坐标是_____． 【答案】(1)，； (2)先向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到 (3) 【详解】（1）解：由图可得：，； （2）根据图可知：先向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到； （3）∵先向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到， 则先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到， ∴内部的对应点的坐标是． 变式1.（25-26八年级上·江苏苏州·月考）在平面直角坐标系中有点，现将点向上平移个单位长度得到点，则点的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：∵将点向上平移个单位长度得到点， ∴点的坐标是，即， 故答案为：． 变式2.（24-25七年级下·河南信阳·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知三角形的顶点坐标分别为，，，将三角形先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形． (1)画出三角形，并写出点，，的坐标； (2)求三角形的面积； (3)若点是三角形内部的一点，经过平移后对应点的坐标为，求和的值． 【答案】(1)作图见解析；，， (2) (3)；5 【详解】（1）解：为所求作的三角形．    ，，． （2）解：． （3）解：∵点是内部的一点，经过平移后对应点的坐标是为， ∴， 解得：． 【考点5 坐标点及图形在坐标轴中的对称】 例6.（25-26八年级上·河南省直辖县级单位·月考）如图所示，在直角坐标系中，，，． (1)在图中作出关于轴的轴对称图形： (2)写出中点的坐标． (3)在轴上作出点，使最小． 【答案】(1)画图见解析 (2)，， (3)画图见解析 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：由图形可得： ，，． （3）解：如图，连接交轴于，连接，则即为所求． 变式1.（2019·江苏南京·一模）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：点关于轴对称， 横坐标取相反数为，纵坐标不变为， 因此对称点的坐标为． 故答案为：． 变式2.（25-26八年级上·安徽滁州·月考）若和两点关于轴对称，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：和关于y轴对称， ∴，且． 解得． ∴． 故答案为：． 变式3.（25-26八年级上·天津·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出与关于轴对称的； (2)写出点的坐标； (3)为轴上一点，使的周长最小，在图中作出点．（保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【详解】（1）解：如图，为所求作图形． （2）解：根据图形可知，点． （3）解：如图，点P即为所求． 根据对称性可知，， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， ∵为定值， ∴此时的周长最小． 【考点6 根据几何性质求坐标点】 例7.（25-26八年级上·河南许昌·期中）已知，是等腰直角三角形，，A点在x轴负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方． (1)如图1所示，若A的坐标是，点B的坐标是，求点C的坐标； (2)如图2，过点C作轴于D，请直接写出线段之间等量关系． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解：过点作轴于点D， 的坐标是，点的坐标是， ，， 轴， ， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ， ， 在和中， ∴， ，， ， ； （2）解：，理由如下： 轴， ，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ， ， 在和中， ∴， ，， ， ． 变式1.（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，在中，，，点C的坐标为，点B的坐标为，则A点的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， 点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， 轴，轴， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的坐标为， ，轴， ． 故答案为． 变式2.（25-26八年级上·江西抚州·月考）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形是长方形，点A，C的坐标分别为，，点D是的中点，点P在上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为 ． 【答案】或或 【详解】解：①以O为圆心，以5为半径画弧交BC于P点，此时，如图， 在中，，， ∴， ∴P的坐标是； ②以D为圆心，以5为半径画弧交于和点，此时，如图，过作于N，过作于M， 由作图可知四边形和四边形为长方形， ∴，，，， 在中，设，则，，， ∴， 解得， 则的坐标是； 设，则，，， 在中，， 解得， ，， 即的坐标是； ③假设，则由点向OD边作垂线，交点为，如图， 则有， ， 此时的为等边三角形， ∴，，， 代入， 得， ∴排除此种可能． 综上所述，点P的坐标为或或． 故答案为：或或． 【考点7 坐标点及图形在坐标轴中的旋转】 例8.（2025·山东青岛·三模）如图，的顶点坐标分别为、、，如果将绕点B按顺时针方向旋转，得到，将向下平移2个单位，得，那么点C的对应点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图， 由题意，， 点C绕点B顺时针旋转得到，再向下平移2个单位得到， 故选：C． 变式1.（25-26九年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，将点绕点O顺时针旋转，得到的对应点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：如图：轴于B，轴于C，则， ∵绕原点O顺时针旋转得到可看作是绕原点O顺时针旋转得到， ∴，， ∴点的坐标为． 变式2.（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，将绕点旋转得到，若点的坐标为，则点A的坐标为 ．    【答案】 【详解】解：如图：分别过点和点作y轴的垂线，垂足分别为D、E，    ∵，， ∴，，即， 由旋转可知，， ∵轴，轴， ， 在和中， ， ， ， ∴ ∴点A的坐标为． 故答案为：． 【考点8 坐标系中的规律题】 例9.（25-26七年级上·山东济宁·月考）如图，在单位长度为1的方格纸上，，，，……，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，……的等腰直角三角形．若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：∵，，， ∴可得（，且为整数）， ∵， ∴，即， 故答案为：． 变式1.（25-26八年级上·广西百色·期中）如图，已知点的坐标是，线段从原点出发后，在第一象限内按如下有规律的方式前行：，，，，，；则点的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：由图可知：，，，，，，…， 由此发现： 的横坐标为：，纵坐标为：； 的横坐标为：，纵坐标为：； 的横坐标为：，纵坐标为：； …… ∴当点的下标为偶数时，横坐标为点的下标乘以，纵坐标为点的下标， ∴点的坐标是． 故答案为：． 变式2.（24-25七年级下·贵州·月考）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，，…，根据这个规律，第2027个点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：由图形可得，第个点的坐标为，第个点的坐标为，第个点的坐标为，…， 故第个点的横坐标为，纵坐标为（为正整数）， ∵， ∴第个点的横坐标为，纵坐标为， ∴第个点的坐标为， ∵第个点向上移动一个单位是第2026个点，再向右移动一个单位是第2027个点， ∴第2026个点的坐标为，第2027个点的坐标为， 故答案为：． 1．（24-25七年级下·陕西商洛·期末）在平面直角坐标系中，下列各点位于第四象限的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：第四象限的点需满足且． 选项A：，，在第二象限； 选项B：，，在第三象限； 选项C：，，在第一象限； 选项D：，，在第四象限； 故选：D． 2．（24-25七年级下·全国·周测）如图所示的是一所学校的平面示意图，小方格都是边长为1个单位长度的正方形．若用，分别表示教学楼、体育馆的位置，则图书馆的位置表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图所示：图书馆位置的坐标是． 故选：B． 3．（25-26八年级上·全国·期末）若点在平面直角坐标系的x轴上，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵点P在x轴上， ∴纵坐标， 解得， ∴横坐标， ∴点P的坐标为， 故选C． 4．（25-26八年级上·云南怒江·月考）在平面直角坐标系中，若点关于y轴对称的点是，则的值为（   ） A． B．9 C． D．1 【答案】D 【详解】解：∵点关于轴对称的点是， ∴由对称性质，横坐标互为相反数，纵坐标不变， ∴且， ∴，， ∴． 故选：D． 5．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）已知直线轴，且，则的长为(        ) A．4 B．5 C．9 D．15 【答案】B 【详解】解：轴， 点与点的横坐标相等， 即， ， ． 此时点的纵坐标为，点的纵坐标为， 的长度为． 故选：B． 6．（25-26八年级上·安徽淮北·月考）如图，在平面直角坐标系中，点，，，且，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过A点作轴，交y轴于D点，过B点作轴于G点，的延长线与的延长线相交于E点，过C点作轴于H点，的延长线与的延长线相交于F点， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，，， ∴，， ∴，， ∵C点在第四象限， ∴C点的坐标为． 故选：B． 7．（25-26八年级上·江苏南京·月考）已知点P的坐标为，若点在y轴上，则 ． 【答案】 【详解】解：点在轴上， 则横坐标， 解得， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）将点先向左平移3个单位长度，之后又向下平移4个单位长度得到点，则 ， ． 【答案】 6 2 【详解】解：点M向左平移3个单位后，坐标为，即； 再向下平移4个单位，坐标为，即， 此点与点相同，因此， 解得， 故答案为：，． 9．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）点，之间的距离为 ． 【答案】8 【详解】解：∵点，的纵坐标均为0， ∴点，都在x轴上， ∴， 故答案为：8． 10．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，，过点B作直线轴，点P是直线l上的一个动点，以为边作等腰，(点A，P，Q呈逆时针排列)，当点P在直线l上运动时，点Q也随之运动．点Q在运动的过程中，的最小值为 ． 【答案】 【详解】如图，过点作轴于，过点作轴于， ， ， ， ， ， ， ∵ 轴， ， ， ∵， ， ∴点在直线上运动，原点到直线的距离为， 作点关于直线是对称点，连接，，， ， 在中，， ， 故答案为：． 11．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作出关于x轴对称的． (2)点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______． (3)若点与点关于轴对称，若，则点的坐标为______． 【答案】(1)见解析 (2)，，； (3)或 【详解】（1）解∶如图：即为所求； （2）解：由平面直角坐标系可知，，，， 故答案为：，，； （3）解：∵，点与点关于轴对称， ∴， 即 ∴或， ∴点P的坐标或． 故答案为：或． 12．（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． (1)点的“长距”是______； (2)若点是“完美点”，求a的值； (3)若点的长距为7，且点C在第二象限内，点D的坐标为，试说明：点D是“完美点”． 【答案】(1)3 (2)或 (3)见解析 【详解】（1）解：根据题意，得点到轴的距离为3，到轴的距离为2， 点的“长距”为3． 故答案为：3； （2）解：点是“完美点”， ， 或， 解得或； （3）解：点 的“长距”为7，且点在第二象限内，， ∴，且， 解得， ， 点的坐标为， 点到轴、轴的距离都是3， 是“完美点”． 13．（25-26八年级上·江苏徐州·月考）建立模型： (1)如图1，已知在中，，，顶点在直线上．过点作于点，过点作于点．求证：． (2)模型应用：（问题解决） 如图2，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，以为腰在第二象限作等腰直角三角形，．求点坐标． (3)类比探究： 如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标，点坐标为，过点作轴的垂线，点是直线上一个动点，点是直线上的一个动点，若是以点为直角顶点为等腰直角三角形，请直接写出点与点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)点的坐标为 (3)，或， 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴； （2）解：由题意可得：将代入，得， ∴点B的坐标为， 将代入，得， 解得， ∴点A的坐标为， ∴，， 如图2，过点C作轴于点D， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴点C的坐标为； （3）解：如图3，过点D作轴于点F，延长交于G，则， ∵点D在直线上， ∴设点， ∴，， ∵轴，， ∴， ∵点A坐标为， ∴， ∵是以点为直角顶点为等腰直角三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 解得或， ∴点D的坐标为或， 当时，，， ∴，， ∴， ∴， 当时，，， ∴，， ∴， ∴． 综上所述，点D与点P的坐标为，或，． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $