专题03 一元一次不等式（寒假复习讲义）八年级数学新教材浙教版

专题03 一元一次不等式 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ：不等式 1.不等式的解及其表示 （1）学会根据常见的语言描述，用正确的不等式符号列不等式。如： a大于b a＞b x不大于b x≤b x不超过b x≤b a小于b a＜b x不小于b x≥b x不低于b x≥b x不等于b x≠b x至/最少b x≥b x不足b x＜b x至/最多b x≤b x超过b x＞b （2）“￮”对应“＞”或“＜”符号，“•”则涵盖等于，因此对应“≥”或“≤”；在数轴上表示实数范围时，具体如下： 2.不等式的基本性质 ·不等式的基本性质1 a＜b，b＜c⇒a＜c（也叫不等式的传递性） ·不等式的基本性质2 不等式的两边都加上（或减去）同一个数，所得到的不等式仍成立 字母表达式：a＞b⇒a+c＞b+c，a-c＞b-c； a＜b⇒a+c＜b+c，a-c＜b-c ·不等式的基本性质3 不等式的两边都乘（或都除以）同一个正数，所得的不等式仍成立；不等式的两边都乘（或都除以）同一个负数，必须改变不等号的方向，所得的不等式成立。 字母表达式：a＞b，且c＞0⇒ac＞bc， ＞ ； a＞b，且c＜0⇒ac＜bc， ＜ 知识点2：一元一次不等式（组） 3.不等号的两边都是整式，而且只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次，这样的不等式叫做一元一次不等式. 4.解一元一次不等式的一般步骤和根据： 步骤 根据 1 去分母 不等式的基本性质3 2 去括号 单项式乘多项式法则 3 移项 不等式的基本性质2 4 合并同类项 合并同类项法则 5 两边同除以未知数的系数 不等式的基本性质3 注意：不等式的解法的第5步中，当除的数是一个负数时，不等式中的不等号必须改变方向，这是与解一元一次方程的不同之处。 5.一元一次不等式组解集遵循“同大取大；同小取小；大小小大取中间；大大小小则无解”，具体如下： 口诀 示例 合集 同大取大 x＞a，x＞b；且a＞b x＞a 同小取小 X＜a，x＜b；且a＞b x＜b 大小小大取中间 x＜a，x＞b；且a＞b b＜x＜a 大大小小则无解 x＞a，x＜b；且a＞b 无解 6.含字母参数的一元一次不等式（组）问题常见的考查方法 （1）已知不等式（组）的解求字母参数的值或取值范围， （2）根据不等式（组）的解满足的条件求解字母参数的取值范围， （3）已知方程的解所满足的条件，求方程中的字母参数的取值范围。 应对方式： ①将字母参数看作实数进行不等式的计算，用字母参数表示不等式的解； ②在做“两边同除以未知数的系数”时不知道系数正负的，要分类讨论； ③根据字母参数所表示的不等式的解，结合已知的不等式的解，求出字母参数； ④不等式组也用类似方式。 知识点3：一元一次不等式（组）的实际应用 7.不等式（组）的简单应用解题步骤： 步骤 要点 1 审 审题目中的已知量、未知量、待求量 2 设 一般是求谁设谁，或者谁小设谁 3 列 根据题目中的不等量关系列对应不等式（组） 4 解 解出不等式（组）的解集 5 答 8.方案与决策性问题的解决方法 ①根据题意求出未知数的解集，即取值范围； ②求出取值范围内未知数的所有解； ③求出每个解对应的方案，并求出每个方案下的成本（或利润、销售额等） ④比较每种方案下的成本（或利润、销售额等），选择最优方案。 【考点1 不等式的表示】 例1．（25-26七年级下·全国·课后作业）用不等式表示下列问题中的数量关系： (1)长为a、宽为的长方形的面积小于边长为的正方形的面积． (2)一辆40座（不含司机座位）的公交车内载有乘客x人，到某一站停车时下车2人，又上车a人，车内仍有空余座位． 变式1.假期里全家去旅游，路边的限速标志牌如图所示，爸爸开小型客车走中间车道，你给爸爸建议车速为 ． 变式2.（25-26七年级下·全国·课后作业）某种药品的说明书上贴有如图所示的标签．设一次服用药品的剂量为，请用不等式表示x的取值范围． 用法用量：口服，每次，一日次 规格：□□□□ 贮藏：□□□□ 【考点2 不等式的性质】 例2．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知，请用“>”或“<”填空： (1)________； (2)________； (3)________； (4)________． 变式1.（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，用“”或“”填空，并说明依据： (1)________； (2)________； (3)________； (4)________． 变式2.（25-26七年级上·湖北武汉·期中）若为有理数，则下列结论正确的有 ．（只需填写序号） ①如果，则； ②如果，则的相反数小于的相反数； ③如果，则； ④如果，，则． 【考点3 解一元一次不等式】 例3.解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来： (1)； (2)； (3) (4)． 变式1.（25-26八年级上·山东潍坊·月考）（1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． （2）解不等式，并把解集在数轴上表示出来，再求出这个不等式的最小整数解． 变式2.（25-26八年级上·浙江温州·期中）下面是某同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得         第一步 移项，得                第二步 合并同类项，得                第三步 x系数化为1，得               第四步 根据以上材料，解答下列问题： (1)在解答过程中，从第___________步开始出错． (2)写出原不等式的正确解法． 【考点4 解一元一次不等式组】 例4.（25-26八年级上·浙江温州·月考）解不等式组并把它的解集表示在数轴上． 变式1.解下列不等式组： (1) (2) (3) (4) 变式2.（1）求不等式组的整数解． （2）求满足不等式组的最大整数和最小整数． 变式3.（25-26八年级上·浙江·期中）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． (1)填空：________． (2)若，则的取值范围是________． (3)已知，求的取值范围． 【考点5 含字母参数的一元一次不等式（组）问题】 例5.（25-26八年级上·浙江杭州·期中）关于x的不等式组的解为，则a的取值范围为 ． 变式1.（25-26八年级上·浙江金华·期中）已知方程组的解满足为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)若不等式的解为，求整数的值． 变式2.（25-26八年级上·黑龙江大庆·月考）已知关于x的两个不等式：与． (1)若这两个不等式的解集完全相同，求m的值； (2)若不等式的所有解都能使不等式成立，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 例6.（25-26九年级上·浙江金华·自主招生）已知不等式组有且仅有一个整数根，则a的取值范围是 ． 变式1.（25-26八年级上·黑龙江大庆·期中）若不等式组的整数解共有三个，则的取值范围是 ． 变式2.（25-26七年级上·江苏苏州·月考）已知关于x的不等式有且只有4个负整数解，则a的取值范围是 ． 【考点6 一元一次不等式（组）的实际应用】 例7.（25-26七年级上·福建龙岩·月考）某餐厅打算在A、B两个平台根据点餐金额采用不同的优惠措施 在A平台实施方案如下： (1)小华某次点餐金额为70元，如果选择A平台，则他的实际付款金额是______元；如果选择B平台，则他的实际付款金额是______元． (2)若小华点餐金额为n元（），那么小华在A和B平台上的实际付款金额分别是多少？（用含n的代数式表示） (3)若小华在两个平台各点单一次，两次点餐金额共320元．其中A平台点餐金额比B平台点餐金额低，设在A平台的点餐金额是x元，求两次实际付款金额共多少？（用含x的代数式表示） 变式1.某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了元，购买乙种用了元，购买的甲种滑动变阻器的数量是乙种的倍，乙种滑动变阻器单价比甲种单价贵元． (1)求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元； (2)该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共个，总费用不超过元，那么该校最少购买多少个甲种滑动变阻器？ 变式2.（25-26八年级上·全国·期末）根据背景素材，探索解决问题：     如何安排工程队的施工任务 素材1 凤凰古城是湖南十大文化遗产之一．沱江作为古城的母亲河(如图)，不仅承载着丰富的历史文化底蕴，还以其独特的自然风光和人文景观吸引着无数游客． 为了促进古城旅游业发展，某改造项目组决定对85千米的河道进行升级改造，并通过招标的方式委托甲、乙两个工程队伍共同完成此项任务． 素材2 乙工程队每天改造的效率是甲工程队的1.25倍，甲工程队单独完成改造所需天数比乙工程队单独完成改造所需天数多170 天． 素材3 改造项目组要求改造85千米河道的总费用不能超过3 450万元，甲、乙两工程队每天的工程费用分别为4万元、5.5 万元． 问题解决 任务1 分析效率 甲、乙两工程队每天改造河道的长度分别是多少米？ 任务2 分析任务量 最多可安排乙工程队工作多少天？ 【考点7 方案与决策性问题】 例8.（25-26八年级上·浙江宁波·期中）为更高效推进生活垃圾分类工作、持续改善城市生态环境，某小区计划采购、两种型号的垃圾箱．经前期市场调研，相关采购成本信息如下：购买4个型垃圾箱与3个型垃圾箱，总费用为560元；同时，购买2个型垃圾箱的支出，比购买1个型垃圾箱少20元． (1)求每个型垃圾箱和每个型垃圾箱分别多少元？ (2)该小区计划用不多于1500元的资金购买、两种型号的垃圾箱共20个，且型号垃圾箱个数不多于型号垃圾箱个数的3倍，则该小区购买、两种型号的垃圾箱有哪些方案？并求出总支出最小值． 变式1.（24-25七年级下·贵州遵义·期末）校运会期间，七年级1班准备给班上50名同学每人购买一杯奶茶，有“杨枝甘露”和“满野凤梨”两款果茶供大家选择．经调查：“杨枝甘露”每杯元，“满野凤梨”每杯元． (1)该班同学发现，购买1杯“杨枝甘露”和购买1杯“满野凤梨”需要32元，购买3杯“杨枝甘露”和2杯“满野凤梨”共需要81元．求的值； (2)同学们在某团上看到该店正在做活动．具体方式如下： 活动1：买十送一，送的产品为购买产品中价格最低的一种； 活动2：全部商品打9折． 如果同学们决定购买“杨枝甘露”30杯，另外的买“满野凤梨”．请通过计算，他们选择哪种活动更合算． (3)该班决定选择（2）中的活动2购买果茶，预算总费用不少于725元又不多于730元，有哪几种购买方案？ 变式2.（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）某网店销售甲、乙两种羽毛球，已知甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球多15元，王老师从该网店购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球，共花费255元． (1)该网店甲、乙两种羽毛球每筒的售价各是多少元？ (2)根据消费者需求，该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种羽毛球共200筒，且甲种羽毛球的数量大于70筒．已知甲种羽毛球每筒的进价为50元，乙种羽毛球每筒的进价为40元．若所购进羽毛球均可全部售出，请求出网店所获最大利润是多少元？ 1．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）若，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·云南昆明·期末）若关于的方程的解为负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 4．（25-26八年级上·河南信阳·月考）若 则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）杭州市丁荷中学、丁信中学组织七年级学生到屋顶农场参加实践活动，某班的任务是平整土地，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了．若设他们在剩余时间内每小时平整土地，则根据题意可列不等式为（      ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·辽宁盘锦·月考）如图，是李强同学设计的一个计算机程序，规定从“输入一个值”到判断“结果是否”为一次运行过程，如果程序运行两次才停止，那么输入的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·上海·期中）“的3倍比小”用不等式表示为 ． 8．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）若不等式组的解集是，则的值是 ． 9．（25-26九年级上·黑龙江大庆·月考）已知关于x的不等式有且只有1个负整数解，则a的取值范围是 ． 10．（24-25九年级上·上海·自主招生）10名选手进行单循环下棋比赛，胜者记2分，平者记1分，负者记0分，比赛结束后，发现每名选手的得分各不相同，且第二名选手的分数为后5名选手总分的，则第二名选手得分为 ． 11．（24-25七年级下·广西梧州·期中）解不等式和不等式组 (1)解不等式； (2)不等式组：并把解集在数轴上表示出来． 12．（25-26八年级上·浙江台州·月考）随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A，B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 220 3 2 310 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递22万件；B型机器人每台每天可分拣快递18万件． (1)求A，B两种型号智能机器人的单价． (2)现该企业准备购买A，B两种型号智能机器人共10台，若要求总价不超过620万元，并且每天分拣快递不少于200万件，则该企业购买方案有哪几种？ 13．（2025八年级上·浙江·专题练习）我们规定：不等式组的“长度”均为，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为．根据该规定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”__________；“整点”为__________； (2)若关于的不等式组的“长度”，求的值． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元一次不等式 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ：不等式 1.不等式的解及其表示 （1）学会根据常见的语言描述，用正确的不等式符号列不等式。如： a大于b a＞b x不大于b x≤b x不超过b x≤b a小于b a＜b x不小于b x≥b x不低于b x≥b x不等于b x≠b x至/最少b x≥b x不足b x＜b x至/最多b x≤b x超过b x＞b （2）“￮”对应“＞”或“＜”符号，“•”则涵盖等于，因此对应“≥”或“≤”；在数轴上表示实数范围时，具体如下： 2.不等式的基本性质 ·不等式的基本性质1 a＜b，b＜c⇒a＜c（也叫不等式的传递性） ·不等式的基本性质2 不等式的两边都加上（或减去）同一个数，所得到的不等式仍成立 字母表达式：a＞b⇒a+c＞b+c，a-c＞b-c； a＜b⇒a+c＜b+c，a-c＜b-c ·不等式的基本性质3 不等式的两边都乘（或都除以）同一个正数，所得的不等式仍成立；不等式的两边都乘（或都除以）同一个负数，必须改变不等号的方向，所得的不等式成立。 字母表达式：a＞b，且c＞0⇒ac＞bc， ＞ ； a＞b，且c＜0⇒ac＜bc， ＜ 知识点2：一元一次不等式（组） 3.不等号的两边都是整式，而且只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次，这样的不等式叫做一元一次不等式. 4.解一元一次不等式的一般步骤和根据： 步骤 根据 1 去分母 不等式的基本性质3 2 去括号 单项式乘多项式法则 3 移项 不等式的基本性质2 4 合并同类项 合并同类项法则 5 两边同除以未知数的系数 不等式的基本性质3 注意：不等式的解法的第5步中，当除的数是一个负数时，不等式中的不等号必须改变方向，这是与解一元一次方程的不同之处。 5.一元一次不等式组解集遵循“同大取大；同小取小；大小小大取中间；大大小小则无解”，具体如下： 口诀 示例 合集 同大取大 x＞a，x＞b；且a＞b x＞a 同小取小 X＜a，x＜b；且a＞b x＜b 大小小大取中间 x＜a，x＞b；且a＞b b＜x＜a 大大小小则无解 x＞a，x＜b；且a＞b 无解 6.含字母参数的一元一次不等式（组）问题常见的考查方法 （1）已知不等式（组）的解求字母参数的值或取值范围， （2）根据不等式（组）的解满足的条件求解字母参数的取值范围， （3）已知方程的解所满足的条件，求方程中的字母参数的取值范围。 应对方式： ①将字母参数看作实数进行不等式的计算，用字母参数表示不等式的解； ②在做“两边同除以未知数的系数”时不知道系数正负的，要分类讨论； ③根据字母参数所表示的不等式的解，结合已知的不等式的解，求出字母参数； ④不等式组也用类似方式。 知识点3：一元一次不等式（组）的实际应用 7.不等式（组）的简单应用解题步骤： 步骤 要点 1 审 审题目中的已知量、未知量、待求量 2 设 一般是求谁设谁，或者谁小设谁 3 列 根据题目中的不等量关系列对应不等式（组） 4 解 解出不等式（组）的解集 5 答 8.方案与决策性问题的解决方法 ①根据题意求出未知数的解集，即取值范围； ②求出取值范围内未知数的所有解； ③求出每个解对应的方案，并求出每个方案下的成本（或利润、销售额等） ④比较每种方案下的成本（或利润、销售额等），选择最优方案。 【考点1 不等式的表示】 例1．（25-26七年级下·全国·课后作业）用不等式表示下列问题中的数量关系： (1)长为a、宽为的长方形的面积小于边长为的正方形的面积． (2)一辆40座（不含司机座位）的公交车内载有乘客x人，到某一站停车时下车2人，又上车a人，车内仍有空余座位． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：根据题意，得． （2）解：根据题意，得． 变式1.假期里全家去旅游，路边的限速标志牌如图所示，爸爸开小型客车走中间车道，你给爸爸建议车速为 ． 【答案】80（答案不唯一） 【详解】解：由图可知：该车道上车辆行驶速度的取值范围， 建议车速为. 故答案为：（答案不唯一）． 变式2.（25-26七年级下·全国·课后作业）某种药品的说明书上贴有如图所示的标签．设一次服用药品的剂量为，请用不等式表示x的取值范围． 用法用量：口服，每次，一日次 规格：□□□□ 贮藏：□□□□ 【答案】 【详解】解：∵每次， ∴一次服用药品的剂量应满足． 【考点2 不等式的性质】 例2．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知，请用“>”或“<”填空： (1)________； (2)________； (3)________； (4)________． 【答案】(1)< (2)< (3)> (4)> 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴； （4）解：∵， ∴． 变式1.（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，用“”或“”填空，并说明依据： (1)________； (2)________； (3)________； (4)________． 【答案】(1)，依据是不等式性质1 (2)，依据是不等式性质2 (3)，依据是不等式性质3 (4)，依据是不等式性质1 【详解】（1）解：， （依据是不等式性质1）； （2）， （依据是不等式性质2）； （3）， （依据是不等式性质3）； （4）， ，即（依据是不等式性质1）． 变式2.（25-26七年级上·湖北武汉·期中）若为有理数，则下列结论正确的有 ．（只需填写序号） ①如果，则； ②如果，则的相反数小于的相反数； ③如果，则； ④如果，，则． 【答案】②④ 【详解】解：①不正确：反例： 若，，则， 但，， 故，不满足 ． ②正确：若，则不等式两边同乘，不等号方向改变， 得， 即的相反数小于的相反数． ③不正确：反例：若，，则， 但，， 故，不满足． ④正确：若，，则，， 故，即． 故答案为：②④． 【考点3 解一元一次不等式】 例3.解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来： (1)； (2)； (3) (4)． 【答案】(1)，图形见解析 (2)，图形见解析 (3)，图形见解析 (4)，图形见解析 【详解】（1） 解集在数轴上表示如下： （2） 解集在数轴上表示如下： （3） 解集在数轴上表示如下： （4） 解集在数轴上表示如下： 变式1.（25-26八年级上·山东潍坊·月考）（1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． （2）解不等式，并把解集在数轴上表示出来，再求出这个不等式的最小整数解． 【答案】（1），图见解析 （2），最小整数解为，图见解析 【详解】解：（1）， 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 数轴表示如下： （2）， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 数轴表示如下： 则这个不等式的最小整数解为． 变式2.（25-26八年级上·浙江温州·期中）下面是某同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得         第一步 移项，得                第二步 合并同类项，得                第三步 x系数化为1，得               第四步 根据以上材料，解答下列问题： (1)在解答过程中，从第___________步开始出错． (2)写出原不等式的正确解法． 【答案】(1)第一步 (2) 【详解】（1）解：第一步 （2）解：去分母，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得. 【考点4 解一元一次不等式组】 例4.（25-26八年级上·浙江温州·月考）解不等式组并把它的解集表示在数轴上． 【答案】，图见解析 【详解】解：解不等式： 去括号得，， 移项合并同类项得，， 系数化为1得，； 解不等式： 去分母得，， 去括号得，， 移项合并同类项得，； ∴不等式组的解集为，在数轴上表示为： ． 变式1.解下列不等式组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3)不等式组无解 (4) 【详解】（1）解：， 解：， 故不等式组的解集为：． （2）解： 解： 故不等式组的解集为：． （3）解： 解： 故不等式组无解． （4）解： 解： 故不等式组的解集为：． 变式2.（1）求不等式组的整数解． （2）求满足不等式组的最大整数和最小整数． 【答案】（1）；（2）最大整数为1，最小整数为 【详解】解：（1）， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组解集是， ∴该不等式组的整数解是； （2）， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组解集是， ∴满足该不等式组的最大整数是1和最小整数是． 变式3.（25-26八年级上·浙江·期中）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． (1)填空：________． (2)若，则的取值范围是________． (3)已知，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：， ， 故答案为：． （2）解：， ， 解得， 故答案为：． （3）解：当，即时，， 解得，即， 故； 当，即时，， 解得，，无解； 综上，， 答：的取值范围是 【考点5 含字母参数的一元一次不等式（组）问题】 例5.（25-26八年级上·浙江杭州·期中）关于x的不等式组的解为，则a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得：． 故答案为：． 变式1.（25-26八年级上·浙江金华·期中）已知方程组的解满足为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)若不等式的解为，求整数的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：解方程组，得， 为非正数，为负数， ， 解得， 的取值范围为； （2）解：， ， 不等式的解为， ，即， 的取值为． 整数． 变式2.（25-26八年级上·黑龙江大庆·月考）已知关于x的两个不等式：与． (1)若这两个不等式的解集完全相同，求m的值； (2)若不等式的所有解都能使不等式成立，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：解不等式，得， 解不等式，得， 两个不等式的解集完全相同， ， ． （2）解：不等式的所有解都能使不等式成立， ， 解得． 例6.（25-26九年级上·浙江金华·自主招生）已知不等式组有且仅有一个整数根，则a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∴不等式组的解集是，在数轴上表示如下： ∵不等式组有且仅有一个整数根， ∴2是不等式组的整数解，1不是不等式组的整数解， ∴a的取值介于1和2之间（且可以等于1）， ∴a的取值范围是． 故答案为：． 变式1.（25-26八年级上·黑龙江大庆·期中）若不等式组的整数解共有三个，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：解不等式，得， 由题意可知，不等式组有解集， ∴该不等式组的解集是， ∵不等式组的整数解共有三个， ∴这三个整数解是3，4，5， ∴， 故答案为：． 变式2.（25-26七年级上·江苏苏州·月考）已知关于x的不等式有且只有4个负整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：解不等式， 得， 由于不等式有且只有4个负整数解，这些解为， 因此必须满足， 两边同时乘以4（正数，不等号方向不变），得． 故答案为：． 【考点6 一元一次不等式（组）的实际应用】 例7.（25-26七年级上·福建龙岩·月考）某餐厅打算在A、B两个平台根据点餐金额采用不同的优惠措施 在A平台实施方案如下： (1)小华某次点餐金额为70元，如果选择A平台，则他的实际付款金额是______元；如果选择B平台，则他的实际付款金额是______元． (2)若小华点餐金额为n元（），那么小华在A和B平台上的实际付款金额分别是多少？（用含n的代数式表示） (3)若小华在两个平台各点单一次，两次点餐金额共320元．其中A平台点餐金额比B平台点餐金额低，设在A平台的点餐金额是x元，求两次实际付款金额共多少？（用含x的代数式表示） 【答案】(1)55；67 (2)A平台：元；B平台：元 (3)当时，两次实际付款金额元；当时，两次实际付款金额元；当时，两次实际付款金额元 【详解】（1）解：依题意，选择A平台，则他的实际付款金额是（元）， 选择B平台，则他的实际付款金额是（元）； 故答案为：55；67； （2）解：A平台：元， B平台：（元）； （3）解：∵两次点餐金额共320元，设在A平台的点餐金额是元， ∴B平台为元， ∵其中A平台点餐金额比B平台点餐金额低， ， ， 当时，， ， 当时，， ， 当时，， ， 综上，两次实际付款金额当时，；当时，；当时，． 变式1.某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了元，购买乙种用了元，购买的甲种滑动变阻器的数量是乙种的倍，乙种滑动变阻器单价比甲种单价贵元． (1)求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元； (2)该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共个，总费用不超过元，那么该校最少购买多少个甲种滑动变阻器？ 【答案】(1)甲种滑动变阻器的单价为元，乙种滑动变阻器的单价为元； (2)该校最少购买个甲种滑动变阻器． 【详解】（1）解：设甲种滑动变阻器的单价为元，则乙种滑动变阻器的单价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的根，且符合题意， ∴， 答：甲种滑动变阻器的单价为元，乙种滑动变阻器的单价为元； （2）解：设该校购买甲种滑动变阻器个，则购买乙种滑动变阻器个， 根据题意得：， 解得：， 答：该校最少购买个甲种滑动变阻器． 变式2.（25-26八年级上·全国·期末）根据背景素材，探索解决问题：     如何安排工程队的施工任务 素材1 凤凰古城是湖南十大文化遗产之一．沱江作为古城的母亲河(如图)，不仅承载着丰富的历史文化底蕴，还以其独特的自然风光和人文景观吸引着无数游客． 为了促进古城旅游业发展，某改造项目组决定对85千米的河道进行升级改造，并通过招标的方式委托甲、乙两个工程队伍共同完成此项任务． 素材2 乙工程队每天改造的效率是甲工程队的1.25倍，甲工程队单独完成改造所需天数比乙工程队单独完成改造所需天数多170 天． 素材3 改造项目组要求改造85千米河道的总费用不能超过3 450万元，甲、乙两工程队每天的工程费用分别为4万元、5.5 万元． 问题解决 任务1 分析效率 甲、乙两工程队每天改造河道的长度分别是多少米？ 任务2 分析任务量 最多可安排乙工程队工作多少天？ 【答案】任务1：甲工程队每天改造河道的长度是100米，乙工程队每天改造河道的长度是125米；任务2：最多可安排乙工程队工作100天 【详解】解：任务1：设甲工程队每天能改造x米，则乙工程队每天能改造米， 根据题意，得， 解得， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为，且符合题意， ∴， 即甲工程队每天改造河道的长度是100米，乙工程队每天改造河道的长度是125米； 任务2：设安排乙工程队工作a天， 根据题意，得， 解得， ∴a的最大值为100， 即最多可安排乙工程队工作100天． 【考点7 方案与决策性问题】 例8.（25-26八年级上·浙江宁波·期中）为更高效推进生活垃圾分类工作、持续改善城市生态环境，某小区计划采购、两种型号的垃圾箱．经前期市场调研，相关采购成本信息如下：购买4个型垃圾箱与3个型垃圾箱，总费用为560元；同时，购买2个型垃圾箱的支出，比购买1个型垃圾箱少20元． (1)求每个型垃圾箱和每个型垃圾箱分别多少元？ (2)该小区计划用不多于1500元的资金购买、两种型号的垃圾箱共20个，且型号垃圾箱个数不多于型号垃圾箱个数的3倍，则该小区购买、两种型号的垃圾箱有哪些方案？并求出总支出最小值． 【答案】(1)每个A型垃圾箱50元，每个B型垃圾箱120元 (2)有三种购买方案： 方案1：购买15个A型垃圾箱，购买5个B型垃圾箱，支出1350元；方案2：购买14个A型垃圾箱，购买6个B型垃圾箱，支出1420元；方案3：购买13个A型垃圾箱，购买7个B型垃圾箱，支出1490元，总支出最小值为1350元 【详解】（1）解：设每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元， 由题意得： 解得：； 答：每个A型垃圾箱50元，每个B型垃圾箱120元． （2）设购买个型垃圾箱，则购买个型垃圾箱 由题意得： 解得： 又为整数， 可取5，6，7， 有三种购买方案： 方案1：购买15个型垃圾箱，购买5个B型垃圾箱，支出（元）； 方案2：购买14个型垃圾箱，购买6个B型垃圾箱，支出（元）； 方案3：购买13个型垃圾箱，购买7个B型垃圾箱，支出（元）； ， 总支出最小值为1350元． 变式1.（24-25七年级下·贵州遵义·期末）校运会期间，七年级1班准备给班上50名同学每人购买一杯奶茶，有“杨枝甘露”和“满野凤梨”两款果茶供大家选择．经调查：“杨枝甘露”每杯元，“满野凤梨”每杯元． (1)该班同学发现，购买1杯“杨枝甘露”和购买1杯“满野凤梨”需要32元，购买3杯“杨枝甘露”和2杯“满野凤梨”共需要81元．求的值； (2)同学们在某团上看到该店正在做活动．具体方式如下： 活动1：买十送一，送的产品为购买产品中价格最低的一种； 活动2：全部商品打9折． 如果同学们决定购买“杨枝甘露”30杯，另外的买“满野凤梨”．请通过计算，他们选择哪种活动更合算． (3)该班决定选择（2）中的活动2购买果茶，预算总费用不少于725元又不多于730元，有哪几种购买方案？ 【答案】(1)， (2)他们选择活动2更合算，理由见解析 (3)共有3种方案：①购买“杨枝甘露”28杯，购买“满野凤梨”22杯；②购买“杨枝甘露”29杯，购买“满野凤梨”21杯；③购买“杨枝甘露”30杯，购买“满野凤梨”20杯． 【详解】（1）解：∵“杨枝甘露”每杯元，“满野凤梨”每杯元， 根据题意得， 解得； （2）解：活动1：（元）， 活动2：（元）， ∵， ∴他们选择活动2更合算； （3）解：设购买“杨枝甘露”a杯，则购买“满野凤梨”杯， 根据题意得， 解得 ∵a是正整数 ∴或29或30 ∴或21或20 ∴共有3种方案：①购买“杨枝甘露”28杯，购买“满野凤梨”22杯；②购买“杨枝甘露”29杯，购买“满野凤梨”21杯；③购买“杨枝甘露”30杯，购买“满野凤梨”20杯． 变式2.（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）某网店销售甲、乙两种羽毛球，已知甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球多15元，王老师从该网店购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球，共花费255元． (1)该网店甲、乙两种羽毛球每筒的售价各是多少元？ (2)根据消费者需求，该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种羽毛球共200筒，且甲种羽毛球的数量大于70筒．已知甲种羽毛球每筒的进价为50元，乙种羽毛球每筒的进价为40元．若所购进羽毛球均可全部售出，请求出网店所获最大利润是多少元？ 【答案】(1)该网店甲种羽毛球每筒的售价是60元，乙种羽毛球每筒的售价是45元 (2)1390元． 【详解】（1）解：设该网店甲种羽毛球每筒的售价是x元，乙种羽毛球每筒的售价是y元， 依题意得：， 解得：． 答：该网店甲种羽毛球每筒的售价是60元，乙种羽毛球每筒的售价是45元． （2）解；设购进甲种羽毛球m筒，则购进乙种羽毛球筒， 依题意得：， 解得：． ∵， ∴每筒甲羽毛球的利润高于每筒乙羽毛球的利润 ∴购进甲羽毛球越多，利润越大， ∴购进78筒甲种羽毛球，122筒乙种羽毛球时，利润最大，最大为（元）. 1．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）若，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、由，可得，原式不成立，不符合题意； B、由，不一定能得到，例如，但是，原式不一定成立，不符合题意； C、由，可得，原式一定成立，符合题意； D、由，不一定能得到，例如，但是，原式不一定成立，不符合题意； 故选：C． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：去分母可得：， 解得：， 将解集表示在数轴上如图所示： 故选：B． 3．（25-26八年级上·云南昆明·期末）若关于的方程的解为负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【详解】解：∵原方程为， ∴方程化为， 即， 两边同乘（且），得， 解得：； ∵方程的解为负数，即， ∴， ∴， 解得：， ∵分母，即， ∴， 即， ∴； ∵当时，自动满足， ∴； 故m的取值范围为； 故选：B． 4．（25-26八年级上·河南信阳·月考）若 则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：已知，， 将其代入可得：， 因为． 所以，也就是． 因为，移项可得． 故选：A． 5．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）杭州市丁荷中学、丁信中学组织七年级学生到屋顶农场参加实践活动，某班的任务是平整土地，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了．若设他们在剩余时间内每小时平整土地，则根据题意可列不等式为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设他们在剩余时间内每小时平整土地， ∵学校要求完成全部任务的时间不超过3小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了， ∴剩余时间内平整的土地为： 根据题意得，， 故选：C． 6．（24-25七年级下·辽宁盘锦·月考）如图，是李强同学设计的一个计算机程序，规定从“输入一个值”到判断“结果是否”为一次运行过程，如果程序运行两次才停止，那么输入的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：依题意，得：， 解得：， 故选：． 7．（24-25七年级下·上海·期中）“的3倍比小”用不等式表示为 ． 【答案】/ 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 8．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）若不等式组的解集是，则的值是 ． 【答案】1 【详解】解：解不等式得， 解不等式得 ， ∴不等式组的解集为， ∵解集是， ∴且， 解得，， ∴， 故答案为：1． 9．（25-26九年级上·黑龙江大庆·月考）已知关于x的不等式有且只有1个负整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：解得， ∵关于x的不等式只有1个负整数解， ∴关于x的一元一次不等式的1个负整数解只能是：， ∴， ∴解得：． 故答案为：． 10．（24-25九年级上·上海·自主招生）10名选手进行单循环下棋比赛，胜者记2分，平者记1分，负者记0分，比赛结束后，发现每名选手的得分各不相同，且第二名选手的分数为后5名选手总分的，则第二名选手得分为 ． 【答案】16分 【详解】解：10名选手进行单循环比赛：每个选手要和其他9名选手各赛1场， ∴10个选手共赛场，但每场比赛被2名选手重复计算了， ∴实际总场次是场， ∵每场比赛无论“胜或负”还是“平局”，总得分都是2分（胜得2分负得0分，平各得1分）， ∴比赛总得分为分． ∵后5名选手之间也要互相比赛， ∴每个选手和其他4名后5名选手各赛1场，共赛场， ∴后5名内部比赛的总得分至少为分（每场至少得2分）， ∴设后5名选手的总分为，则， 又∵第二名得分是， ∴必须是5的倍数， ∵每名选手得分各不相同，且第一名最多得分（赢了所有9场比赛）， ∴第二名得分，即， 结合且是5的倍数，只有符合条件， ∴第二名得分是分． 故答案为：16分． 11．（24-25七年级下·广西梧州·期中）解不等式和不等式组 (1)解不等式； (2)不等式组：并把解集在数轴上表示出来． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2） 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， 则该不等式组的解集为：, 这个不等式组的解集在数轴上表示如图： 12．（25-26八年级上·浙江台州·月考）随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A，B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 220 3 2 310 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递22万件；B型机器人每台每天可分拣快递18万件． (1)求A，B两种型号智能机器人的单价． (2)现该企业准备购买A，B两种型号智能机器人共10台，若要求总价不超过620万元，并且每天分拣快递不少于200万件，则该企业购买方案有哪几种？ 【答案】(1)A型智能机器人的单价为70万元，B型智能机器人的单价为50万元． (2)共有2种方案：A型5台、B型5台；A型6台、B型4台． 【详解】（1）解：设A型智能机器人的单价为万元，B型智能机器人的单价为万元， 由题意得：， 解方程组得：， 答：A型智能机器人的单价为70万元，B型智能机器人的单价为50万元． （2）解：设购进A型台，则B型为台， 由题意得：， 解不等式组：， ∴，又为整数， ∴或6， 当时，，即A型5台，B型5台； 当时，，即A型6台，B型4台． 答：共有两种购买方案：方案一：A型5台，B型5台；方案二：A型6台，B型4台． 13．（2025八年级上·浙江·专题练习）我们规定：不等式组的“长度”均为，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为．根据该规定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”__________；“整点”为__________； (2)若关于的不等式组的“长度”，求的值． 【答案】(1)3；，0，1 (2) 【详解】（1）解：， 解得， ∴， “整点”为，0，1， 故答案为：3；，0，1． （2）解：， ， 当时，可以是任意实数， 不等式组的解集为， ，不符合题意； 当时，即， 则：， ∵且，， ∴不等式的解集为， ∴， 解得：； 当时，即， 则：， 此时， ∴不等式组的解集为， ，不符合题意； 综上所述：的值为． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $