专题05 一次函数（寒假复习讲义）八年级数学新教材浙教版

专题05 一次函数 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ：函数及表示法 1.常量与变量 常量：在一个过程中，固定不变的量称为常量； 变量：在一个过程中，可以取不同数值的量称为变量； 2.函数的定义：在某一变化过程中，设有两个变量x、y，如果对于x的每一个确定的值，y都有 唯一确定 的值与其对应，那么就说y是x的函数，x叫自变量，y叫函数值，也叫因变量。 3，函数的三种表示方法 函数常用的表示方法有三种，分别为：解析式法、列表法、图象法 （1）解析式法：用自变量x与因变量y表示成符合y与x的关系式的等式即为y与x的解析式 函数表达式常见形式及其自变量的取值范围： 分式型：分母 ≠ 0; 根式型：被开平方数 ≥ 0； 零指数幂型：底数≠0； 组合型：各部分同时满足； （2）列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表，来表示函数关系的方法叫做列表法 （3）画函数图象的一般步骤：（1）列表找点；（2）描点；（3）连线； 4.从函数图象读取信息时，需要把握一下三个方面： ①横、纵轴的意义以及横、纵轴分别表示的量； ②找出图中的关键点，向横、纵轴作垂线求得该点的坐标； ③确定函数值随自变量变化而变化的实际意义； 5.图象法表示的函数关系，可以表示出y随x的变化的快慢关系，常见的比如： 类型 不变型 变化均匀型 变化先快后慢 变化先慢后快 增型 减型 同时注意，在变化均匀型中，直线越陡峭，变化越快。 6.求函数值问题：函数关系式确定后，当自变量x的值取确定值时，代入解析式，可求得函数值y的值；同理，当函数值y的值确定后，代入解析式，也可以求得自变量x的值。 知识点2：一次函数 7.一次函数定义：形如的函数叫做一次函数； 正比例函数定义：形如的一次函数叫做正比例函数，k叫做比例系数； 8.待定系数法求一次函数表达式的方法： 步骤 普通一次函数具体操作 正比例函数具体操作 1.“设” 设所求一次函数解析式为y=kx+b（k≠0） 设所求正比例函数解析式为y=kx（k≠0） 2.“代入” 把两对x、y的对应值分别代入y=kx+b，得到关于k、b的二元一次方程组 把除（0,0）外的一对x、y的对应值代入y=kx，得到关于k一元一次方程 3.“解” 解这个关于k、b的二元一次方程组 解这个关于k的一元一次方程 4.“再代入” 把求得的k、b的值代入到y=kx+b，得到所求的一次函数表达式 把求得的k的值代入到y=kx，得到所求的正比例函数表达式 9.一次函数y=kx+b的图象平移规律：（x）左加右减，（整体）上加下减 10.函数的图象：把一个函数的自变量x的值与函数y的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系中描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图象 11.一次函数的图象是一条直线，其图象的画法步骤为： 步骤 一次函数 正比例函数 找点 找任意两个点，一般为“整点”或与坐标轴的交点 找除原点外的任意一个点 描点 在平面直角坐标系中描出所找的点的位置 连线 过这两个点画一条直线 过原点和这个点画一条直线 12.对于一次函数y=kx+b（k≠0），当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小。 13.一次函数y=kx+b的图象所过象限： k＞0，b＞0 k＞0，b＜0 k＜0，b＞0 k＜0，b＜0 14.正比例函数y=kx（k≠0）的图象必过原点（0,0），当k＞0时，直线过第 一、三 象限；当k＜0时，直线过第 二、四 象限。 15.一次函数图象上点的坐标特征：点在图象上，点的坐标符合其表达式。 16.对于直线和直线 （1）若，则，且；反之亦然。 *（2）若，则，反之亦然. *（3）若关于x轴对称，则，. 若关于y轴对称，则，. 知识点3：一次函数的应用 17.一次函数的简单应用的解题步骤： （1）确定两个变量是否构成一次函数关系； （2）根据x、y的关系列y与x的函数关系式，并确定自变量x的取值范围。 （3）利用一次函数的性质解决实际问题 18.行程问题相关的不同函数图象的特征 图象类型 图示 主要特征及特征点 单个对象的路程问题 t表示时间 y表示行走路程 1.每个拐点表示速度的改变。 2.水平线表示停留在某地。 3.一次函数表达式中k的绝对值表示速度值。 两个对象的路程问题 t表示时间 s表示行走路程 1.不同对象的起点可能不同，不一定从原点开始，可能从x正半轴开始，说明较晚出发；可能从y正半轴开始，说明在路线的前面出发。 2.交点表示两人相遇。（注意事件是相向还是同向行走，s只表示了路程） 3.y最终值表示路线的总长。 两个对象相互距离问题 x表示时间 y表示甲、乙的距离 1.y=0表示两者相遇。 2.拐点表示至少有一对象行程发生了变化，比如另一人开始运动，比如其中一人停下来，比如其中一人到达终点。 3.确定其中一人停下的时间，可以结合此时的图象求出另一人的速度。 19.经营与策略问题中，尤其注意交点。两个不同对象函数图象的交点，表示当此时两个对象的总价相同，但此时就是“分水岭”；同一个对象的销售额与成本的图象的交点，表示当此时销售额等于成本，没有利润，接下来就是“赚”变“亏”或“亏”变“赚”。当然也有直接表示利润随数量变化的函数图象。 交点A表示此时甲、乙商店的总价相同；点A之前，甲商店比较优惠，点A之后，乙商店比较优惠。 交点A表示此时甲工厂销售额=成本，表示此时利润为0；在点A之前，是亏损，在点A之后，是盈利。 与x轴的交点表示此时利润为0，即销售额=成本。在此以后，利润为正，即盈利。 20.一次函数与方程、不等式的关系。 （1）一次函数图象与x轴的交点问题解一元一次方程； （2）一次函数图象与另一个一次函数图象的交点问题解二元一次方程组； （3）一次函数图象与另一个一次函数的图象竖直方向上点的位置解一元一次不等式＞（≥）. 21.我们在平面直角坐标系这一章中已经学习了在坐标系中求三角形的面积的方法，主要方法为： （1）补法：在三角形周围围外接的长方形，用长方形面积减去周边的直角三角形的面积； （2）割法：将已知三角形从一个顶点出发向竖直方向或水平方向割开成两个三角形，分别求面积。 在此基础上，若知道三角形的面积，而反过来求点的坐标时，也还是用这种方法，但要注意分类讨论，满足的点的坐标往往不止一个。 【考点1 函数的认识】 例1．已知函数 (1)求当，时，函数的值； (2)求当x取什么值时，函数的值为0． 变式1.（25-26八年级上·全国·课后作业）已知函数，当时，的值是（   ） A． B． C． D． 变式2.（25-26八年级上·全国·课前预习）在函数中，当时，函数值为 ；当函数值为4时，自变量x的值为 ． 【考点2 函数的表示法】 例2．如图，某校学习小组在做实验中发现弹簧挂上物体后会伸长，在弹簧限度内测得这个弹簧的长度与悬挂的物体的质量间有下面的关系： 物体的质量 0 1 2 3 4 5 … 弹簧的长度 10 12 14 16 18 20 …    (1)上表变量之间的关系中自变量是______，因变量是______； (2)弹簧不悬挂重物时的长度为______；物体质量每增加1，弹簧长度y增加______； (3)当所挂物体质量是时，弹簧的长度是______cm； (4)直接写出y与x的关系式：______． 变式1.在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在如下表关系：设该商品的销售价为x元，销售量为y件，估计：当时，y的值为（   ） 销售价/元 90 100 110 120 130 140 销售量/件 90 80 70 60 50 40 A．85 B．75 C．65 D．55 变式2.一种苹果的销售数量千克与销售额元的关系如下： 数量千克 销售额元 (1)求出两个变量之间的函数关系； (2)请估计销售量为千克时销售额是多少？ 【考点3 函数图象信息题】 例3.某室内游泳池最浅处深1.2米，最深处深1.6米，且底面是一个斜面．针对这个游泳池，数学兴趣小组的同学提出：如果在空的游泳池内以相同的注水速度往池内注水，泳池内最深处的水深如何变化呢？ ①有四位同学绘制了游泳池内最深处的水深随注水时间的变化而变化的图象（注满为止），你认为正确的是（ ） A. B. C. D. ②如果以上图象中的表示的数为0.5，那么表示的数为_________． 变式1.（2025·贵州遵义·模拟预测）化学实验课上完后，小慧同学在清洗杯子时发现：匀速地向如图所示的一个空瓶里注水，最后把空瓶注满，在这个注水过程中，水面高度h与注水时间t之间可以近似地看作某种函数关系，则其函数关系的图象大致是（    ） A． B． C． D． 变式2.（25-26七年级上·山东菏泽·期中）【问题情境】 数学活动课上老师提到我们身边很多事物都蕴含着数学知识，班上的数学兴趣小组决定趁着游玩时对摩天轮进行实地调研．摩天轮位于东大佳苑东侧的儿童乐园内，摩天轮的轮子为圆形，轮子上均匀分布60个吊舱，顺时针旋转一周需要20分钟． 【实践过程】 小组成员使用秒表和手机的测距功能，记录某个吊舱从最低点旋转到不同位置距地面的高度h和所用的时间t的数据，并绘制变化图如图1． 【问题研究】 请根据图1中信息回答： （1）在这个变化过程中变量是________； （2）摩天轮最高点距地面_______米，摩天轮最低点距地面_______米； 【问题解决】 （3）如图2，摩天轮某个吊舱从点A旋转到点B需4分钟，那么请你求出这个吊舱从A点顺时针旋转到B点所走的路径的长度．（摩天轮距地面的最高点与最低点的差为摩天轮的直径，结果保留）． 【考点4 一次函数与正比例函数】 例4.（24-25八年级上·安徽·期中）已知函数． (1)当，为何值时，此函数是一次函数？ (2)当，为何值时，此函数是正比例函数？ 变式1.已知与成正比例，且当时，． (1)求与的函数关系式； (2)求当时的函数值． 变式2.（25-26八年级上·河南郑州·期中）定义为一次函数的特征数，例如为一次函数的特征数，若特征数为的一次函数为正比例函数，则k的值为 ． 【考点5 待定系数法求一次函数】 例5.（25-26八年级上·浙江温州·月考）已知是关于的一次函数，当时，；当时，． (1)求关于的函数表达式． (2)当时，求的值． 变式1.（25-26八年级上·江苏泰州·月考）已知一次函数的图像经过，两点． (1)求这个一次函数的关系式； (2)试判断点是否在这个一次函数的图像上． 变式2.（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知一次函数的图象经过点和点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)若点也在该函数图象上，求的值． 【考点6 一次函数图象及交点问题】 例6.（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知直线：与x轴交于点A；直线与x轴交于点C，与y轴交于点，与直线交于点． (1)点A的坐标为 ； (2)求直线的表达式； 变式1.（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，函数 的图象分别与x轴，y轴交于点 A，B，的平分线与轴交于点，则点 的坐标为 ． 变式2.如图，直线过点，点，直线与轴交于点，两直线，相交于点． (1)求直线的解析式和、的值； (2)求的面积． 【考点7 函数图象与系数的关系】 例7.（25-26八年级上·安徽六安·月考）两个一次函数与，它们在同一直角坐标系中的图像可能是（   ） A． B． C． D． 变式1.（24-25八年级上·四川成都·期中）已知为第二象限内的点，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 变式2.（25-26八年级上·全国·期末）一次函数与（m，n常数，且）是在同一平面直角坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【考点8 分段函数问题】 例8.（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）已知函数则当时，的值为 ． 变式1.（25-26八年级上·安徽合肥·期中）若函数，则当函数值时，自变量的值是（   ） A．1或1.5 B．1 C．1.5或 D．1.5 【考点9 一次函数的性质】 例9.（25-26八年级上·浙江金华·月考）已知一次函数，其中． (1)若点在的图象上，求的值； (2)若一次函数图象不经过第一象限，求的取值范围； (3)当时，若函数有最大值，求的函数表达式． 变式1.（24-25八年级上·重庆·期中）一次函数，当时，的最大值与最小值的差为，则的值为 ． 变式2.（25-26八年级上·浙江台州·月考）已知一次函数（k为常数，且） (1)若点在一次函数的图象上． ①求k的值． ②设，则当时，求P的最大值． (2)若当时，函数有最大值M，最小值N，且，求此时一次函数y的表达式． 【考点10 行程问题】 例10.（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）小王骑自行车从家出发沿公路匀速前往新华书店，小王妈妈骑电瓶车从新华书店出发沿同一条路回家，线段与折线分别表示两人离家的距离与小王的行驶时间之间的函数关系的图象，请解决以下问题． (1)直接写出的函数表达式； (2)直接写出的函数表达式； (3)求点的坐标； (4)设小王和妈妈两人之间的距离为，当时，直接写出的值． 变式1.（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）甲、乙两地相距，一辆货车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，其中轿车的速度大于货车的速度，两车同时出发，中途不停留，各自到达目的地后停止．两车之间的距离与货车行驶时间之间的关系如图所示．货车出发 时，两车相距． 变式2.（25-26八年级上·四川达州·月考）甲、乙两辆汽车同时从相距330千米的A，B两地沿同一条公路相向而行（甲由A到B，乙由B到A），s（单位：千米）表示汽车与A地的距离，t（单位：分钟）表示汽车行驶的时间，如图，，分别表示两辆汽车行驶过程中s与t之间的关系． (1)求，的函数表达式； (2)行驶多长时间，甲、乙两车相遇？ (3)行驶多长时间，甲、乙两车相距100千米？ 变式3.（25-26八年级上·江苏扬州·月考） 甲、乙两人从同一地点出发沿同一路线匀速步行前往处参加活动．甲比乙早出发，两人途中均未休息，先到达处的人在原地休息等待，直到另一人到达处．甲、乙两人之间的路程与甲行走的时间的函数图象，如图所示． (1)甲步行的速度为______，之间的路程为______m； (2)分别求出线段、所表示的与之间的函数表达式； (3)甲出发______，甲乙两人之间的路程为． 【考点11 营销与方案问题】 例11.（25-26九年级上·山东济南·月考）随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘汰“冒黑烟”较严重的燃油公交车，新能源公交车有型和型两种车型，若购买型公交车2辆，型公交车3辆，共需360万元；若购买型公交车3辆，型公交车1辆，共需260万元． (1)求购买型和型新能源公交车每辆各需多少万元？ (2)经调研，某条线路上的型和型新能源公交车每辆年均载客量分别为70万人次和100万人次．公司准备购买10辆型、型两种新能源公交车，总费用不超过650万元．为保障该线路的年均载客总量最大，请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值． 变式1.（25-26八年级上·安徽宿州·期中）时光旅行社以沉浸式体验中华传统服饰文化为目标，让游客拥有更好的游玩体验．该旅行社现计划租用一批汉服供游客使用，长安汉服体验馆推出两种租用方案，具体如下： 方案一：不办理年卡，每件按原价收取租金； 方案二：若办理年卡（从购买日起，可持年卡使用一年），则每件汉服租金在原价的基础上打八折优惠，年卡元； 方案一的租金（元），方案二的租金（元）分别与租用件数（件）之间的函数关系如图所示． (1)长安汉服体验馆年卡________元； (2)请求出每件汉服租金的原价是多少元，并写出两种方案的租金与租用件数之间的函数表达式？ (3)若当该旅行社今年的租金预算是4800元，则选择哪种租用方案更划算？ 变式2.（25-26九年级上·黑龙江七台河·月考）雪消门外千山绿，花发江边二月晴，雨水节气之后，春管正由南向北陆续展开，为了落实党和国家的“三农”政策，兴隆镇将台A型拖拉机、台B型拖拉机调往曙光和胜利两个村支援春耕，其中台给曙光村 ，台给胜利村，调往曙光和胜利两个村的拖拉机每台的运费（元）如下表： A型拖拉机每台的运费 B型拖拉机每台的运费 曙光 胜利 (1)设调往曙光村A型拖拉机x台，台拖拉机调往曙光和胜利两个村的总运费为W （元），求W关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)若公司调往曙光和胜利两个村的总运费多于元，求有哪几种调运方案； (3)由于调往两个村的拖拉机数量多，运输公司决定仅对调往曙光村的A型拖拉机每台的运费降低a元，但让利后A型拖拉机每台的运费仍高于调往曙光村的B型拖拉机每台的运费．调往曙光村的B型拖拉机每台的运费以及调往胜利村的A、B型拖拉机每台的运费不变，请直接写出a为何值时（2）中的所有方案付出的总运费相同． 【考点12 分段函数应用问题】 例12.（25-26八年级上·山西运城·期中）某省居民生活用电阶梯式收费探索如下 某省居民生活用电阶梯式收费探索卡 素材1 能源有限，节约无限．为鼓励市民节约用电，某省电费采用“阶梯收费”的方式． 素材2 居民生活用电阶梯式价格计费方式如下： 第一档：月用电量不超过170度的部分，电价为元/度． 第二档：月用电量超过170度不超过260度的部分，电价为元/度． 第三档：月用电量超过260度的部分，电价为元/度． 问题解决 任务1 已知某户月用电量x度，写出电费y（单位：元）与x之间的关系式． 任务2 已知小迪同学家8月用电量180度，求小迪同学家8月的电费． 任务3 某户10月的电费是127元，求该户10月的用电量． 变式1.（25-26八年级上·浙江杭州·月考）某市自来水公司为了鼓励市民节约用水，水费按分段收费标准收取，居民每月应交水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数关系如图所示．请你观察函数图象，回答下列相关问题． (1)若用水不超过10吨，水费为______元/吨； (2)当用水超过10吨时，求该函数图象对应的一次函数的表达式； (3)若某户居民8月共交水费85元，求该户居民8月共用水多少吨？ 变式2.（25-26八年级上·四川成都·期中）为了鼓励市民节约用电，某市采用分档计费的方式计算电费．下表是户月用电量及分档计费标准： 计费档 户月用电量 单价/[元] 第一档 第二档 第三档 (1)请直接写出电费（单位：元）与之间的关系式； (2)某户上一个月的用电量为，求该户上一个月的电费； (3)某户上一个月的电费是元，求该户上一个月的用电量． 【考点13 几何相关的动点问题】 例13.（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）如图①，在中，，点以的速度从点出发，沿运动一周，连接的面积与点的运动时间之间的关系如图②所示，请解答下列问题： (1)的面积为____________； (2)在中，求边上的高； (3)当为何值时，？ 变式1.如图1，在矩形中，动点R从点N出发，沿方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当时，点R应运动到（   ） A．N处 B．P处 C．Q处 D．M处 变式2.（24-25七年级下·重庆·期末）如图，已知八边形相邻的两边互相垂直，且，．动点从八边形顶点出发，沿着八边形的边以每秒的速度逆时针运动，当运动到点时调头，以原来的速度原路返回，到点处停止运动．的面积为，运动时间为（秒），与的图象如图所示，请回答以下问题： (1) ， ， ； (2)当点第一次在边上运动时，求与的关系式； (3)点在返回过程中，面积为时，求时间的值． 【考点14 用一次函数描述简单函数关系】 例14.（25-26八年级上·全国·随堂练习）在一次蜡烛燃烧实验中，蜡烛燃烧时剩余部分的高度是燃烧时间的一次函数．蜡烛点燃前的高度为，燃烧后，蜡烛剩余部分的高度为． （1）蜡烛燃烧时，与之间的关系式是 ； （2）蜡烛从点燃到燃尽所用的时间是 ． 变式1.（25-26七年级上·陕西西安·开学考试）已知水银体温计读数与水银柱的长度（）之间是一次函数关系．现有一支水银体温计，部分刻度线不清晰（如图），表中记录的是该体温计部分清晰刻度线及其对应水银柱长度的数据． 水银柱的长度（） … 体温计的读数（） … 用该体温计测体温时，水银柱的长度为，求此时体温计的读数为 ． 变式2.（25-26八年级上·江苏无锡·月考）利用杆秤称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得等式：，其中秤盘质量克，重物质量x克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．如图，秤盘与零刻度线的距离为3厘米，零刻线与末刻线的距离为50厘米，秤盘质量克，秤砣质量克．某兴趣小组利用等式制作简易杆秤． (1)确定秤纽的位置：当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请求出l，a的值； (2)确定杆秤的最大称重质量：根据（1）中l，a的值，求y关于x的函数表达式，并求杆秤的最大称重质量； (3)制作杆秤的刻度：将零刻线开始至末刻度线之间的线段平均分成10份（格），标注刻度值，则点E处应标注的刻度值为 克． (4)该小组成员利用制作好的杆秤称重物时，误用了100克的秤砣进行称重，称得重物的质量为400克，则该重物的实际质量为 克． 【考点15 与二元一次方程组、一元一次不等式的关系】 例15.（25-26九年级上·贵州六盘水·期中）如图，一次函数和的图象交于点． (1)求出______；______． (2)求方程组的解． (3)请直接写出的解集． 变式1.（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，直线与直线交于点． (1)直接写出方程组的解． (2)若点在直线的下方，直线的上方，求出的取值范围． 变式2.（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，直线经过，两点．在同一坐标系中画出函数的图象，根据图象回答下列问题： (1)当时，写出与的大小关系； (2)直接写出不等式的解集． 【考点16 几何相关的面积问题】 例15.（25-26八年级上·四川达州·月考）如图，直线的解析式为，且与轴交于点，直线经过点、，直线，交于点． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)在直线上存在异于点的另一点，使得是的面积的倍，求点的坐标． 变式1.（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，一次函数的图象经过点． (1)求的面积． (2)在轴的负半轴上是否存在一点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式2.（25-26八年级上·河南驻马店·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，且直线与直线交于点． (1)求和的值． (2)求点的坐标． (3)求的面积． 【考点17 几何相关的探究与证明问题】 例15.（25-26八年级上·山东济南·期中）【模型构建】 （1）如图1，将含有的三角板的直角顶点C放在直线l上，过点A作于点D，过点B作于点E，请写出图1中（除外）相等的线段，并证明； 【初步感知】 （2）如图2，直角三角板放置在平面直角坐标系中，点C的坐标为，点B坐标为，请求出点A的坐标和直线的表达式； 【深入探究】 （3）如图3，点A坐标为，点B坐标为，过点B作x轴的平行线l，点P是直线l上的一个动点，点D是一次函数图象上的一个动点，当是一个以为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出点D的坐标． 变式1.（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）如图1，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，点在轴的正半轴上，且． (1)求直线的表达式； (2)点是线段上一动点，过作于，当时，求点的坐标； (3)如图2，在（2）问条件下，点为直线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 变式2.（2025八年级上·广东深圳·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于点、，是线段上一点，将沿着折叠，点落在点，连接． (1)求直线的函数解析式； (2)若点正好落在线段上，求点的坐标； (3)若，求点的坐标； (4)点是平面内一点，若，请直接写出直线的函数解析式． 1．（25-26八年级上·广东梅州·期中）若一个函数的自变量每增加1，函数值就减少2，则其表达式可以是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山东枣庄·月考）对于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．函数的图象不经过第二象限 B．函数的图象与轴的交点坐标是 C．函数的图象向下平移4个单位长度后得到的图象 D．若两点，在该函数图象上，则 3．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）已知，是一次函数图象上的两个点，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 4．（25-26八年级上·安徽亳州·月考）某容器由上下两段圆柱体组成（如图①），现以速度v（单位：）匀速向容器注水、直至注满为止，图②是注水全过程中容器的水面高度h（单位：）与注水时间（单位：s）的函数图像，根据图像信息，上面小圆柱体与下面大圆柱体的半径之比是（） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）一次函数与正比例函数的图象位置可能是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）某周末，兄妹两人在图书馆买完书沿同一条路回家，哥哥慢跑回去，妹妹骑自行车带书，已知图书馆离家里的距离为．图中，分别表示兄妹两人离开图书馆的路程与时间的函数关系，根据图象得出的下列信息，其中错误的是（   ） A．妹妹的速度是哥哥的速度的倍 B．哥哥出发被妹妹追上 C．当为时，兄妹两人相距 D．哥哥到家时妹妹距图书馆 7．（25-26八年级上·河南周口·期中）已知一次函数的图象经过点，则 ． 8．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）将直线向上平移1个单位后所得直线表达式为 ． 9．（25-26八年级上·安徽宣城·期中）一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积等于4，则的值等于 ． 10．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图，则方程组的解为 ． 11．（25-26八年级上·四川达州·月考）如图，直线交轴、轴于点，，点在第一象限内，且纵坐标为4．若点关于直线的对称点恰好落在轴的正半轴上，则点的横坐标为 ． 12．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知与成正比例，且当时，． (1)求与的函数关系式； (2)该函数经过一点，求出的值． 13．（25-26八年级上·江西吉安·月考）如图，已知一次函数和的图象交于点，点的横坐标为1． (1)求关于的方程组的解； (2)求的值． 14．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）一辆巡逻车从地出发沿一条笔直的公路匀速驶向地，小时后，一辆货车从地出发，沿同一路线每小时行驶千米匀速驶向地，货车到达地填装货物耗时分钟，然后立即按原路匀速返回地．巡逻车、货车离地的距离（千米）与货车出发时间（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)两地之间的距离是_________千米，_________； (2)求线段所在直线的函数解析式； (3)货车出发多少小时两车相距20千米？（直接写出答案即可） 15．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的解析式； (2)点在线段上，当，求点的坐标； (3)在轴上是否存在一点，使得是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 16．（25-26八年级上·安徽亳州·月考）甲地有木材300吨，乙地有木材400吨．现将两地木材全部运往A、B两木艺加工厂，其中厂需木材360吨，厂需木材340吨．设从甲地运吨木材到厂（），从甲地运往两木艺厂的总运费为元，从乙地运往两木艺厂的总运费为元． 运费表 (1)木材运输配送表如下，请你填空（用含的式子表示）： 甲地 乙地 厂 x ② 厂 ① ③ ①______；②______；③______； (2)请分别求出与之间的函数关系式； (3)若要求从乙地运往两木艺厂的总运费不得超过4800元，怎样调运可使全部运输费用（即两地运往两木艺厂的总费用之和）最少，并求出全部运输费用的最小值． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一次函数 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ：函数及表示法 1.常量与变量 常量：在一个过程中，固定不变的量称为常量； 变量：在一个过程中，可以取不同数值的量称为变量； 2.函数的定义：在某一变化过程中，设有两个变量x、y，如果对于x的每一个确定的值，y都有 唯一确定 的值与其对应，那么就说y是x的函数，x叫自变量，y叫函数值，也叫因变量。 3，函数的三种表示方法 函数常用的表示方法有三种，分别为：解析式法、列表法、图象法 （1）解析式法：用自变量x与因变量y表示成符合y与x的关系式的等式即为y与x的解析式 函数表达式常见形式及其自变量的取值范围： 分式型：分母 ≠ 0; 根式型：被开平方数 ≥ 0； 零指数幂型：底数≠0； 组合型：各部分同时满足； （2）列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表，来表示函数关系的方法叫做列表法 （3）画函数图象的一般步骤：（1）列表找点；（2）描点；（3）连线； 4.从函数图象读取信息时，需要把握一下三个方面： ①横、纵轴的意义以及横、纵轴分别表示的量； ②找出图中的关键点，向横、纵轴作垂线求得该点的坐标； ③确定函数值随自变量变化而变化的实际意义； 5.图象法表示的函数关系，可以表示出y随x的变化的快慢关系，常见的比如： 类型 不变型 变化均匀型 变化先快后慢 变化先慢后快 增型 减型 同时注意，在变化均匀型中，直线越陡峭，变化越快。 6.求函数值问题：函数关系式确定后，当自变量x的值取确定值时，代入解析式，可求得函数值y的值；同理，当函数值y的值确定后，代入解析式，也可以求得自变量x的值。 知识点2：一次函数 7.一次函数定义：形如的函数叫做一次函数； 正比例函数定义：形如的一次函数叫做正比例函数，k叫做比例系数； 8.待定系数法求一次函数表达式的方法： 步骤 普通一次函数具体操作 正比例函数具体操作 1.“设” 设所求一次函数解析式为y=kx+b（k≠0） 设所求正比例函数解析式为y=kx（k≠0） 2.“代入” 把两对x、y的对应值分别代入y=kx+b，得到关于k、b的二元一次方程组 把除（0,0）外的一对x、y的对应值代入y=kx，得到关于k一元一次方程 3.“解” 解这个关于k、b的二元一次方程组 解这个关于k的一元一次方程 4.“再代入” 把求得的k、b的值代入到y=kx+b，得到所求的一次函数表达式 把求得的k的值代入到y=kx，得到所求的正比例函数表达式 9.一次函数y=kx+b的图象平移规律：（x）左加右减，（整体）上加下减 10.函数的图象：把一个函数的自变量x的值与函数y的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系中描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图象 11.一次函数的图象是一条直线，其图象的画法步骤为： 步骤 一次函数 正比例函数 找点 找任意两个点，一般为“整点”或与坐标轴的交点 找除原点外的任意一个点 描点 在平面直角坐标系中描出所找的点的位置 连线 过这两个点画一条直线 过原点和这个点画一条直线 12.对于一次函数y=kx+b（k≠0），当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小。 13.一次函数y=kx+b的图象所过象限： k＞0，b＞0 k＞0，b＜0 k＜0，b＞0 k＜0，b＜0 14.正比例函数y=kx（k≠0）的图象必过原点（0,0），当k＞0时，直线过第 一、三 象限；当k＜0时，直线过第 二、四 象限。 15.一次函数图象上点的坐标特征：点在图象上，点的坐标符合其表达式。 16.对于直线和直线 （1）若，则，且；反之亦然。 *（2）若，则，反之亦然. *（3）若关于x轴对称，则，. 若关于y轴对称，则，. 知识点3：一次函数的应用 17.一次函数的简单应用的解题步骤： （1）确定两个变量是否构成一次函数关系； （2）根据x、y的关系列y与x的函数关系式，并确定自变量x的取值范围。 （3）利用一次函数的性质解决实际问题 18.行程问题相关的不同函数图象的特征 图象类型 图示 主要特征及特征点 单个对象的路程问题 t表示时间 y表示行走路程 1.每个拐点表示速度的改变。 2.水平线表示停留在某地。 3.一次函数表达式中k的绝对值表示速度值。 两个对象的路程问题 t表示时间 s表示行走路程 1.不同对象的起点可能不同，不一定从原点开始，可能从x正半轴开始，说明较晚出发；可能从y正半轴开始，说明在路线的前面出发。 2.交点表示两人相遇。（注意事件是相向还是同向行走，s只表示了路程） 3.y最终值表示路线的总长。 两个对象相互距离问题 x表示时间 y表示甲、乙的距离 1.y=0表示两者相遇。 2.拐点表示至少有一对象行程发生了变化，比如另一人开始运动，比如其中一人停下来，比如其中一人到达终点。 3.确定其中一人停下的时间，可以结合此时的图象求出另一人的速度。 19.经营与策略问题中，尤其注意交点。两个不同对象函数图象的交点，表示当此时两个对象的总价相同，但此时就是“分水岭”；同一个对象的销售额与成本的图象的交点，表示当此时销售额等于成本，没有利润，接下来就是“赚”变“亏”或“亏”变“赚”。当然也有直接表示利润随数量变化的函数图象。 交点A表示此时甲、乙商店的总价相同；点A之前，甲商店比较优惠，点A之后，乙商店比较优惠。 交点A表示此时甲工厂销售额=成本，表示此时利润为0；在点A之前，是亏损，在点A之后，是盈利。 与x轴的交点表示此时利润为0，即销售额=成本。在此以后，利润为正，即盈利。 20.一次函数与方程、不等式的关系。 （1）一次函数图象与x轴的交点问题解一元一次方程； （2）一次函数图象与另一个一次函数图象的交点问题解二元一次方程组； （3）一次函数图象与另一个一次函数的图象竖直方向上点的位置解一元一次不等式＞（≥）. 21.我们在平面直角坐标系这一章中已经学习了在坐标系中求三角形的面积的方法，主要方法为： （1）补法：在三角形周围围外接的长方形，用长方形面积减去周边的直角三角形的面积； （2）割法：将已知三角形从一个顶点出发向竖直方向或水平方向割开成两个三角形，分别求面积。 在此基础上，若知道三角形的面积，而反过来求点的坐标时，也还是用这种方法，但要注意分类讨论，满足的点的坐标往往不止一个。 【考点1 函数的认识】 例1．已知函数 (1)求当，时，函数的值； (2)求当x取什么值时，函数的值为0． 【答案】(1)当时，函数值为3；当时，函数值为 (2)当x取时，函数的值为0 【详解】（1）解：当时，； 当时，； （2）解：当时，， 解得：， 即当x取时，函数的值为0． 变式1.（25-26八年级上·全国·课后作业）已知函数，当时，的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：当时，． 故选：C 变式2.（25-26八年级上·全国·课前预习）在函数中，当时，函数值为 ；当函数值为4时，自变量x的值为 ． 【答案】 9 【详解】解：当时，， ∴当时，函数的值为9； 当时，即， 解得， ∴当函数值为4时，自变量x的值为． 故答案为：9；． 【考点2 函数的表示法】 例2．如图，某校学习小组在做实验中发现弹簧挂上物体后会伸长，在弹簧限度内测得这个弹簧的长度与悬挂的物体的质量间有下面的关系： 物体的质量 0 1 2 3 4 5 … 弹簧的长度 10 12 14 16 18 20 …    (1)上表变量之间的关系中自变量是______，因变量是______； (2)弹簧不悬挂重物时的长度为______；物体质量每增加1，弹簧长度y增加______； (3)当所挂物体质量是时，弹簧的长度是______cm； (4)直接写出y与x的关系式：______． 【答案】(1)悬挂的物体的质量、弹簧的长度 (2)10、2； (3) (4) 【详解】（1）上表变量之间的关系中自变量是悬挂的物体的质量，因变量是弹簧的长度， 故答案为：悬挂的物体的质量、弹簧的长度； （2）弹簧不悬挂重物时的长度为；物体质量每增加，弹簧长度y增加， 故答案为：10、2； （3）当所挂物体质量是时，弹簧的长度是， 故答案为：26； （4）与x的关系式为：， 故答案为：． 变式1.在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在如下表关系：设该商品的销售价为x元，销售量为y件，估计：当时，y的值为（   ） 销售价/元 90 100 110 120 130 140 销售量/件 90 80 70 60 50 40 A．85 B．75 C．65 D．55 【答案】C 【详解】解：由图表可以看出该商品的销售价每增加10元，销售量就减少10件，即该商品的销售价每增加1元，销售量就减少1件， 由110到115售价增加5元，则销售量减少5件， ∴当时，． 故选：C． 变式2.一种苹果的销售数量千克与销售额元的关系如下： 数量千克 销售额元 (1)求出两个变量之间的函数关系； (2)请估计销售量为千克时销售额是多少？ 【答案】(1) (2)销售量为千克时销售额是元 【详解】（1）解：由表格得两个变量的函数关系为：， （2）当时，， 答：销售量为千克时销售额是元． 【考点3 函数图象信息题】 例3.某室内游泳池最浅处深1.2米，最深处深1.6米，且底面是一个斜面．针对这个游泳池，数学兴趣小组的同学提出：如果在空的游泳池内以相同的注水速度往池内注水，泳池内最深处的水深如何变化呢？ ①有四位同学绘制了游泳池内最深处的水深随注水时间的变化而变化的图象（注满为止），你认为正确的是（ ） A. B. C. D. ②如果以上图象中的表示的数为0.5，那么表示的数为_________． 【答案】①C； ②3.5 【详解】①，在注前时，底面积逐渐增加，注水速度不变，水深上涨速度不断减缓，随后底面积不变，水深上涨速度不再变化， 观察选项可知，只有选项C符合题意， 故选：C； ②游泳池可看作上方的长方体和下方的三棱柱组成， 设上方长方体的长为米，宽为米， 由题意知，0.5小时水深为0.4米，此时水的形状为三棱柱， 体积为：（立方米）， 注水速度为：（立方米/小时）， 上方长方体的体积为：（立方米）， 注满还需要时间为：（小时）， 故， 故答案为：3.5． 变式1.（2025·贵州遵义·模拟预测）化学实验课上完后，小慧同学在清洗杯子时发现：匀速地向如图所示的一个空瓶里注水，最后把空瓶注满，在这个注水过程中，水面高度h与注水时间t之间可以近似地看作某种函数关系，则其函数关系的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：因为匀速地向空瓶里注水，且空瓶的下半部分是直立圆锥的一部分， 所以在刚开始注水的时候，水面随着注水时间的增加，高度逐渐升高，且单位时间内升高的高度越来越高，因为瓶子的上半部分是圆柱，所以水面随着注水时间的增加，高度逐渐升高，且单位时间内升高的高度相同，即匀速上升． 故选：A． 变式2.（25-26七年级上·山东菏泽·期中）【问题情境】 数学活动课上老师提到我们身边很多事物都蕴含着数学知识，班上的数学兴趣小组决定趁着游玩时对摩天轮进行实地调研．摩天轮位于东大佳苑东侧的儿童乐园内，摩天轮的轮子为圆形，轮子上均匀分布60个吊舱，顺时针旋转一周需要20分钟． 【实践过程】 小组成员使用秒表和手机的测距功能，记录某个吊舱从最低点旋转到不同位置距地面的高度h和所用的时间t的数据，并绘制变化图如图1． 【问题研究】 请根据图1中信息回答： （1）在这个变化过程中变量是________； （2）摩天轮最高点距地面_______米，摩天轮最低点距地面_______米； 【问题解决】 （3）如图2，摩天轮某个吊舱从点A旋转到点B需4分钟，那么请你求出这个吊舱从A点顺时针旋转到B点所走的路径的长度．（摩天轮距地面的最高点与最低点的差为摩天轮的直径，结果保留）． 【答案】（1），；（2）108，3；（3）所走的路径的长度是米 【详解】解：（1）在这个变化过程中，从最低点旋转到不同位置距地面的高度和所用的时间都是变化的， 所以在这个变化过程中，变量是，， 故答案为：，． （2）由图1可知，摩天轮最高点距地面108米，摩天轮最低点距地面3米， 故答案为：108，3． （3）由（2）可知，摩天轮最高点距地面108米，摩天轮最低点距地面3米， ∴摩天轮的直径为（米）， ∵顺时针旋转一周需要20分钟，摩天轮某个吊舱从点旋转到点需4分钟， ∴（米）， 答：所走的路径的长度是米． 【考点4 一次函数与正比例函数】 例4.（24-25八年级上·安徽·期中）已知函数． (1)当，为何值时，此函数是一次函数？ (2)当，为何值时，此函数是正比例函数？ 【答案】(1)当，为任意实数时，这个函数是一次函数 (2)当，时，这个函数是正比例函数 【详解】（1）解：根据一次函数的定义，得：， 解得， 又即， 当，为任意实数时，这个函数是一次函数； （2）解：根据正比例函数的定义，得：，， 解得，， 又即， 当，时，这个函数是正比例函数． 变式1.已知与成正比例，且当时，． (1)求与的函数关系式； (2)求当时的函数值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， ∵当时，， ∴， 解得：， ∴， ∴与的函数关系式为； （2）由（1）知，与的函数关系式为， ∴当时，． ∴当时的函数值为． 变式2.（25-26八年级上·河南郑州·期中）定义为一次函数的特征数，例如为一次函数的特征数，若特征数为的一次函数为正比例函数，则k的值为 ． 【答案】3 【详解】解：∵特征数为， ∴对应一次函数． ∵该函数为正比例函数， ∴一次项系数：且常数项， ∴． 故答案为：3． 【考点5 待定系数法求一次函数】 例5.（25-26八年级上·浙江温州·月考）已知是关于的一次函数，当时，；当时，． (1)求关于的函数表达式． (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设一次函数表达式为， ∵当时，；当时，， ∴， 解得， ∴一次函数表达式为． （2）解：当时，． ∴的值为． 变式1.（25-26八年级上·江苏泰州·月考）已知一次函数的图像经过，两点． (1)求这个一次函数的关系式； (2)试判断点是否在这个一次函数的图像上． 【答案】(1) (2)点不在一次函数的图象上 【详解】（1）解：设一次函数的关系式为， 把，代入， 得， 解得， ∴； （2）解：由（1）得这个一次函数的关系式为， 依题意，把代入， 得， 即点不在一次函数的图象上． 变式2.（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知一次函数的图象经过点和点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)若点也在该函数图象上，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：将点和点代入， 得： 解得： 所以一次函数的表达式为 （2）解：将点代入， 得： 解得： 【考点6 一次函数图象及交点问题】 例6.（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知直线：与x轴交于点A；直线与x轴交于点C，与y轴交于点，与直线交于点． (1)点A的坐标为 ； (2)求直线的表达式； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：令，则， 解得， 点A的坐标为． 故答案为：． （2）解：设直线的表达式为， 将，的坐标代入，得， 解得， 直线的表达式为； 变式1.（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，函数 的图象分别与x轴，y轴交于点 A，B，的平分线与轴交于点，则点 的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作，交于点， 当时，，即，， 当时，，解得，即，， 由勾股定理得，， ∵平分， ∴， 设，则， ∴， 即， 解得， 即， 故答案为：． 变式2.如图，直线过点，点，直线与轴交于点，两直线，相交于点． (1)求直线的解析式和、的值； (2)求的面积． 【答案】(1)的解析式为：，， (2)6 【详解】（1）解：设的解析式为： ∵经过， ∴将、代入解析式得： ， ∴，， 即的解析式为：， ∵在； ∴， ∴ ∵在， ∴ ∴； （2）解：是与轴的交点， 在中令，则， 得， ∴，，到的距离为2， ∵， ∴，， ∴． 【考点7 函数图象与系数的关系】 例7.（25-26八年级上·安徽六安·月考）两个一次函数与，它们在同一直角坐标系中的图像可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、由的图象可知，；由的图象可知，，两结论一致，故本选项正确，符合题意； B、由的图象可知，；由的图象可知，，但是应该经过一、三象限，图像不正确，两结论相矛盾，故本选项错误，不符合题意； C、由的图象可知，；由的图象可知，，两结论相矛盾，故本选项错误，不符合题意； D、由的图象可知，；由的图象可知，，两结论相矛盾，故本选项错误，不符合题意； 故选：A． 变式1.（24-25八年级上·四川成都·期中）已知为第二象限内的点，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵点为第二象限内的点， ∴，， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，观察选项，D选项符合题意． 故选：D． 变式2.（25-26八年级上·全国·期末）一次函数与（m，n常数，且）是在同一平面直角坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：对于A：的图象从左到右上升，∴，与y轴交于正半轴，∴，即；此时的斜率，，图象应下降，且与y轴交于负半轴，∴与图象不符，故A错误； 对于B：的图象从左到右上升，∴，与y轴交于正半轴，∴，即；此时的斜率，，图象应下降，且与y轴交于负半轴，∴与图象相符合，故B正确； 对于C：的图象从左到右上升，∴，与y轴交于负半轴，∴，即；此时的斜率，，图象应上升，且与y轴交于负半轴，∴与图象不符，故C错误； 对于D：的图象从左到右上升，∴，与y轴交于负半轴，∴，即；此时的斜率，，图象应上升，且与y轴交于负半轴，∴与图象不符，故D错误； 故选：B． 【考点8 分段函数问题】 例8.（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）已知函数则当时，的值为 ． 【答案】 【详解】解：当时，函数为， 令，得， 即， 解得或（不符合，舍去）； 当时，函数为， 令，得， 即， 解得（不满足，舍去）； 因此，当时，x的值为． 故答案为：． 变式1.（25-26八年级上·安徽合肥·期中）若函数，则当函数值时，自变量的值是（   ） A．1或1.5 B．1 C．1.5或 D．1.5 【答案】B 【详解】解：∵ 当时，， 令，则， ∴， 又∵ ，符合条件． 当时，， 令，则， ∴， ∵，不满足，故舍去． 故选：B． 【考点9 一次函数的性质】 例9.（25-26八年级上·浙江金华·月考）已知一次函数，其中． (1)若点在的图象上，求的值； (2)若一次函数图象不经过第一象限，求的取值范围； (3)当时，若函数有最大值，求的函数表达式． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：把点代入，得， 解得； （2）∵一次函数图象不经过第一象限， ∴，解得； （3）当时，，则随着的增大而增大， ∵当时，函数有最大值， ∴，解得； ∴； 当时，，则随着的增大而减小， ∵当时，函数有最大值， ∴，解得； ∴； 综上：或． 变式1.（24-25八年级上·重庆·期中）一次函数，当时，的最大值与最小值的差为，则的值为 ． 【答案】或 【详解】当时，函数值随增大而增大， 当时， 最大值为， 最小值为， 差值为， 由题意，解得， 当时，函数值随增大而减小， 当时， 最大值为， 最小值为， 差值为， 由题意，解得， 综上可得的值为或． 故答案为：或． 变式2.（25-26八年级上·浙江台州·月考）已知一次函数（k为常数，且） (1)若点在一次函数的图象上． ①求k的值． ②设，则当时，求P的最大值． (2)若当时，函数有最大值M，最小值N，且，求此时一次函数y的表达式． 【答案】(1)①；②P的最大值为6； (2)一次函数解析式为或． 【详解】（1）解：①把代入得：， 解得； ②当时，， ∴， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，时，P的值最大， 当时，， 即P的最大值为6； （2）解：当时，，， ∵， ∴， 解得， 此时一次函数解析式为； 当时，，， ∵， ∴， 解得， 此时一次函数解析式为； 综上所述，一次函数解析式为或． 【考点10 行程问题】 例10.（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）小王骑自行车从家出发沿公路匀速前往新华书店，小王妈妈骑电瓶车从新华书店出发沿同一条路回家，线段与折线分别表示两人离家的距离与小王的行驶时间之间的函数关系的图象，请解决以下问题． (1)直接写出的函数表达式； (2)直接写出的函数表达式； (3)求点的坐标； (4)设小王和妈妈两人之间的距离为，当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)、 【详解】（1）解：∵是过原点和 的直线， ∴设 的解析式为， ∴， 解得：， ∴的函数表达式为：； （2）∵是连接和的线段， ∴设的解析式为， ∴， 解得：， ∴的函数表达式为：； （3）∵K为，的交点，的函数表达式为：，的函数表达式为：， ∴， 解得：， 所以点K的坐标为； （4）当时， ∵小王：，小王妈妈：，， ∴， 令，则， 解得：， ∵， ∴不符合，舍去！ 当时， ∵小王：，小王妈妈：， ∴， 令，则 若，解得：， ，符合； 若，解得：， ，符合； 当时， ∵小王妈妈已经到家，，小王：， ∴， 令，则， 解得：， ∵， ∴不符合， 综上，满足的t值有两个，分别是、． 变式1.（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）甲、乙两地相距，一辆货车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，其中轿车的速度大于货车的速度，两车同时出发，中途不停留，各自到达目的地后停止．两车之间的距离与货车行驶时间之间的关系如图所示．货车出发 时，两车相距． 【答案】或 【详解】解：轿车的平均速度为，货车的平均速度为， 两车相遇前，即时，设与的函数关系式为：， 将和代入得：， 解得：， ， 当时，即， 解得：； 两车相遇后，轿车到达终点时，货车离终点的距离为， ∴当时，两车相距， ， 解得：， ∴货车出发 或，两车相距． 故答案为：或． 变式2.（25-26八年级上·四川达州·月考）甲、乙两辆汽车同时从相距330千米的A，B两地沿同一条公路相向而行（甲由A到B，乙由B到A），s（单位：千米）表示汽车与A地的距离，t（单位：分钟）表示汽车行驶的时间，如图，，分别表示两辆汽车行驶过程中s与t之间的关系． (1)求，的函数表达式； (2)行驶多长时间，甲、乙两车相遇？ (3)行驶多长时间，甲、乙两车相距100千米？ 【答案】(1)的函数表达式为，的函数表达式为； (2)行驶132分钟，甲、乙两车相遇 (3)行驶92分钟或172分钟，甲、乙两车相距100千米 【详解】（1）解：设的函数表达式为， 把代入得：，解得， ∴的函数表达式为， 设的函数表达式为， 把代入，得，解得， ∴的函数表达式为； （2）解：当甲、乙两车相遇时， ，解得， 答：行驶132分钟，甲、乙两车相遇. （3）解：当甲、乙两车相距100千米时， 在两车相遇之前相距100千米： 解得： 在两车相遇之后相距100千米： 解得， 答：行驶92分钟或172分钟，甲、乙两车相距100千米． 变式3.（25-26八年级上·江苏扬州·月考） 甲、乙两人从同一地点出发沿同一路线匀速步行前往处参加活动．甲比乙早出发，两人途中均未休息，先到达处的人在原地休息等待，直到另一人到达处．甲、乙两人之间的路程与甲行走的时间的函数图象，如图所示． (1)甲步行的速度为______，之间的路程为______m； (2)分别求出线段、所表示的与之间的函数表达式； (3)甲出发______，甲乙两人之间的路程为． 【答案】(1)60；3960 (2)线段的解析式为：；线段的解析式为： (3)或 【详解】（1）解：由图像可知：甲的速度为：， 设乙的速度为，由题意，得： ， 解得：， 故乙的速度为； 之间的路程为：； （2）解：设线段的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴线段的解析式为：； 由图象可知：点的纵坐标为， ∴， 设线段的解析式为：，把，代入，得： ， 解得：， ∴线段的解析式为：； （3）解：当时，令， 解得：； 当时，， 解得：； 综上：当甲出发或时，两人之间的路程为． 【考点11 营销与方案问题】 例11.（25-26九年级上·山东济南·月考）随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘汰“冒黑烟”较严重的燃油公交车，新能源公交车有型和型两种车型，若购买型公交车2辆，型公交车3辆，共需360万元；若购买型公交车3辆，型公交车1辆，共需260万元． (1)求购买型和型新能源公交车每辆各需多少万元？ (2)经调研，某条线路上的型和型新能源公交车每辆年均载客量分别为70万人次和100万人次．公司准备购买10辆型、型两种新能源公交车，总费用不超过650万元．为保障该线路的年均载客总量最大，请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值． 【答案】(1)购买A型新能源公交车每辆需60万元，B型新能源公交车每辆需80万元 (2)购买A型新能源公交车8辆，B型新能源公交车2辆，年均载客总量最大，最大为760万人次 【详解】（1）解：设购买A型新能源公交车每辆需x万元，B型新能源公交车每辆需y万元， 由题意得，， 解得， 答：购买A型新能源公交车每辆需60万元，B型新能源公交车每辆需80万元； （2）解：设购买A型新能源公交车m辆，年均载客总量为W万人次， 由题意得，， ∵总费用不超过650万元， ∴， 解得， ∴，且m为整数， ∵， ∴W随m增大而减小， ∴当时，W有最大值，最大值为， 此时， 答：购买A型新能源公交车8辆，B型新能源公交车2辆，年均载客总量最大，最大为760万人次． 变式1.（25-26八年级上·安徽宿州·期中）时光旅行社以沉浸式体验中华传统服饰文化为目标，让游客拥有更好的游玩体验．该旅行社现计划租用一批汉服供游客使用，长安汉服体验馆推出两种租用方案，具体如下： 方案一：不办理年卡，每件按原价收取租金； 方案二：若办理年卡（从购买日起，可持年卡使用一年），则每件汉服租金在原价的基础上打八折优惠，年卡元； 方案一的租金（元），方案二的租金（元）分别与租用件数（件）之间的函数关系如图所示． (1)长安汉服体验馆年卡________元； (2)请求出每件汉服租金的原价是多少元，并写出两种方案的租金与租用件数之间的函数表达式？ (3)若当该旅行社今年的租金预算是4800元，则选择哪种租用方案更划算？ 【答案】(1)480 (2)每件汉服租金的原价是120元；； (3)选择方案二更划算 【详解】（1）解：由图象，当时，，即年卡； 故答案为：480． （2）解：设每件汉服租金原价为元， 由题意得，， 当时，，则， 解得． 即每件汉服租金的原价是120元． 方案一的函数表达式：； 方案二的函数表达式：． （3）解：当租金预算为4800元时，代入，得，解得； 代入，得，解得． ， 选择方案二更划算． 变式2.（25-26九年级上·黑龙江七台河·月考）雪消门外千山绿，花发江边二月晴，雨水节气之后，春管正由南向北陆续展开，为了落实党和国家的“三农”政策，兴隆镇将台A型拖拉机、台B型拖拉机调往曙光和胜利两个村支援春耕，其中台给曙光村 ，台给胜利村，调往曙光和胜利两个村的拖拉机每台的运费（元）如下表： A型拖拉机每台的运费 B型拖拉机每台的运费 曙光 胜利 (1)设调往曙光村A型拖拉机x台，台拖拉机调往曙光和胜利两个村的总运费为W （元），求W关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)若公司调往曙光和胜利两个村的总运费多于元，求有哪几种调运方案； (3)由于调往两个村的拖拉机数量多，运输公司决定仅对调往曙光村的A型拖拉机每台的运费降低a元，但让利后A型拖拉机每台的运费仍高于调往曙光村的B型拖拉机每台的运费．调往曙光村的B型拖拉机每台的运费以及调往胜利村的A、B型拖拉机每台的运费不变，请直接写出a为何值时（2）中的所有方案付出的总运费相同． 【答案】(1) (2)①运往曙光A型拖拉机台、B型拖拉机台，运往胜利A型拖拉机2台、B型拖拉机台；②运往曙光A型拖拉机台、B型拖拉机台，运往胜利A型拖拉机1台、B型拖拉机台；③运往曙光A型拖拉机台、B型拖拉机台，运往胜利A型拖拉机0台、B型拖拉机台 (3)a的值为时（2）中的所有方案付出的总运费相同 【详解】（1）解：设调往曙光村A型拖拉机x台，则曙光村B型拖拉机为台，胜利村A型拖拉机为台，胜利村B型拖拉机为台，由题可得： ， 整理得到：， ∵调运数量非负且不超过库存， ∴x的取值范围为：，且为整数， ∴． （2）解：∵总运费多于元， ∴， 解得：， ∵， ∴当时，曙光村A型台，B型台，胜利村A型台，B型台， 当时，曙光村A型台，B型台，胜利村A型台，B型台， 当时，曙光村A型台，B型台，胜利村A型台，B型台， ∴有三种方案，分别是： ①运往曙光A型拖拉机台、B型拖拉机台，胜利A型拖拉机2台、B型拖拉机台；②运往曙光A型拖拉机台、B型拖拉机台，胜利A型拖拉机1台、B型拖拉机台；③运往曙光A型拖拉机台、B型拖拉机台，胜利A型拖拉机0台、B型拖拉机台． （3）解：设调整后曙光村A型运费为元/台， 总运费变为：， 整理得：， ∵所有方案总运费相同， ∴， 解得：， 经验证，符合题意， ∴时，所有方案总运费相同． 【考点12 分段函数应用问题】 例12.（25-26八年级上·山西运城·期中）某省居民生活用电阶梯式收费探索如下 某省居民生活用电阶梯式收费探索卡 素材1 能源有限，节约无限．为鼓励市民节约用电，某省电费采用“阶梯收费”的方式． 素材2 居民生活用电阶梯式价格计费方式如下： 第一档：月用电量不超过170度的部分，电价为元/度． 第二档：月用电量超过170度不超过260度的部分，电价为元/度． 第三档：月用电量超过260度的部分，电价为元/度． 问题解决 任务1 已知某户月用电量x度，写出电费y（单位：元）与x之间的关系式． 任务2 已知小迪同学家8月用电量180度，求小迪同学家8月的电费． 任务3 某户10月的电费是127元，求该户10月的用电量． 【答案】任务1：；任务2：91元；任务3：240度； 【详解】解：任务1：当时，， 当时，，即， 当时，，即， 任务2：， ∴当时，（元） 答：小迪同学家8月的电费91元． 任务3：当时，， 当时，， ， ． 当时，． ． 答：该户10月的用电量为240度． 变式1.（25-26八年级上·浙江杭州·月考）某市自来水公司为了鼓励市民节约用水，水费按分段收费标准收取，居民每月应交水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数关系如图所示．请你观察函数图象，回答下列相关问题． (1)若用水不超过10吨，水费为______元/吨； (2)当用水超过10吨时，求该函数图象对应的一次函数的表达式； (3)若某户居民8月共交水费85元，求该户居民8月共用水多少吨？ 【答案】(1)2.5 (2) (3)该户居民8月共用水25吨 【详解】（1）解：由图象可得， 若用水不超过10吨，水费为（元/吨）， 故答案为：2.5； （2）解：设当用水超过10吨时，该函数图象对应的一次函数的表达式为， ∵点，在该函数图象上， ∴， 解得， ∴当用水超过10吨时，该函数图象对应的一次函数的表达式为； （3）解：∵， ∴该户居民用水量超过10吨， 将代入， 得， 解得， 答：该户居民8月共用水25吨． 变式2.（25-26八年级上·四川成都·期中）为了鼓励市民节约用电，某市采用分档计费的方式计算电费．下表是户月用电量及分档计费标准： 计费档 户月用电量 单价/[元] 第一档 第二档 第三档 (1)请直接写出电费（单位：元）与之间的关系式； (2)某户上一个月的用电量为，求该户上一个月的电费； (3)某户上一个月的电费是元，求该户上一个月的用电量． 【答案】(1) (2)元 (3) 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， ∴与之间的关系式为； （2）解：将代入， 得：（元）， ∴该户上一个月的电费为元； （3）解：∵，， ∴该户上一个月的用电量超过， 将代入， 得：， 解得：， ∴该户上一个月的用电量为． 【考点13 几何相关的动点问题】 例13.（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）如图①，在中，，点以的速度从点出发，沿运动一周，连接的面积与点的运动时间之间的关系如图②所示，请解答下列问题： (1)的面积为____________； (2)在中，求边上的高； (3)当为何值时，？ 【答案】(1)24 (2) (3)秒或秒 【详解】（1）解：当点运动到点时，的面积最大且等于的面积，由图②可知，的面积为； 故答案为：24； （2）解：设边上的高为， 由（1）知， ∵， ∴， 即， ∴， 由图②可知：， ， ， 解得：， ∴边上的高为； （3）解：∵，， ∴， ①当点在上时，， ， 即， 解得：； ②当点在上时，， 由（2）可知边上的高， ∴， 即， 解得：， 综上所述，当秒或秒时，． 变式1.如图1，在矩形中，动点R从点N出发，沿方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当时，点R应运动到（   ） A．N处 B．P处 C．Q处 D．M处 【答案】C 【详解】解：由图1可得，点从点向点运动时，三角形面积增加；点在上运动时，三角形的面积不变；点从点向点运动时，三角形面积变小； 故结合图2可得当时，点在处， 故选：C． 变式2.（24-25七年级下·重庆·期末）如图，已知八边形相邻的两边互相垂直，且，．动点从八边形顶点出发，沿着八边形的边以每秒的速度逆时针运动，当运动到点时调头，以原来的速度原路返回，到点处停止运动．的面积为，运动时间为（秒），与的图象如图所示，请回答以下问题： (1) ， ， ； (2)当点第一次在边上运动时，求与的关系式； (3)点在返回过程中，面积为时，求时间的值． 【答案】(1)1；； (2)； (3)的值为或时，面积为． 【详解】（1）解：观察图象可知：面积的最大值为， 根据图1可知，面积的最大值为： ， ∵， ∴， ∴，负值舍去； 延长交于点N，延长交于点M，如图所示： ∵八边形相邻的两边互相垂直， ∴四边形，，为长方形， ∴， 根据图2可知，当点P在上运动时，的面积为， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴， ∵当P运动到点E时调头，以原来的速度原路返回， ∴根据图2可知：点P从点运动时间为： ， ∴； （2）解：点P第一次在边上运动时，如图所示： ， ∴ ； （3）解：根据图可知：当在上时，的面积为，当在上时，的面积为， ∵面积为 ∴点在或上， 当点在上时，如图， 即， 解得， 当点在上时，如图， 即， 解得， 综上，的值为或时，面积为． 【考点14 用一次函数描述简单函数关系】 例14.（25-26八年级上·全国·随堂练习）在一次蜡烛燃烧实验中，蜡烛燃烧时剩余部分的高度是燃烧时间的一次函数．蜡烛点燃前的高度为，燃烧后，蜡烛剩余部分的高度为． （1）蜡烛燃烧时，与之间的关系式是 ； （2）蜡烛从点燃到燃尽所用的时间是 ． 【答案】 5 【详解】解：（1）设y与x的函数关系式为， 把，代入，得 ，解得：， 即蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式是． 故答案为： （2）令，则 解得：， 故答案为：5． 变式1.（25-26七年级上·陕西西安·开学考试）已知水银体温计读数与水银柱的长度（）之间是一次函数关系．现有一支水银体温计，部分刻度线不清晰（如图），表中记录的是该体温计部分清晰刻度线及其对应水银柱长度的数据． 水银柱的长度（） … 体温计的读数（） … 用该体温计测体温时，水银柱的长度为，求此时体温计的读数为 ． 【答案】 【详解】解：设 把，代入得 ， 解得，， 所以 当时， 故答案为：． 变式2.（25-26八年级上·江苏无锡·月考）利用杆秤称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得等式：，其中秤盘质量克，重物质量x克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．如图，秤盘与零刻度线的距离为3厘米，零刻线与末刻线的距离为50厘米，秤盘质量克，秤砣质量克．某兴趣小组利用等式制作简易杆秤． (1)确定秤纽的位置：当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请求出l，a的值； (2)确定杆秤的最大称重质量：根据（1）中l，a的值，求y关于x的函数表达式，并求杆秤的最大称重质量； (3)制作杆秤的刻度：将零刻线开始至末刻度线之间的线段平均分成10份（格），标注刻度值，则点E处应标注的刻度值为 克． (4)该小组成员利用制作好的杆秤称重物时，误用了100克的秤砣进行称重，称得重物的质量为400克，则该重物的实际质量为 克． 【答案】(1)， (2)，最大称重质量为1000克 (3)600 (4)810 【详解】（1）解：∵， ∴， 把，，，，代入，得： ， 解得：， ∴； （2）解：将，，，代入，得， ， 解得，； 当时，即， ∴， 即杆秤的最大称重质量是1000克； （3）解：克， 故答案为：600； （4）解：由（1）知，， 当重物质量为400克时，则有： ， 解得：， 而小组成员错误称量时，值的长度为，用了100克的秤砣进行称重， 所以有：， 解得，， 即物体实际重量为810克， 故答案为：810． 【考点15 与二元一次方程组、一元一次不等式的关系】 例15.（25-26九年级上·贵州六盘水·期中）如图，一次函数和的图象交于点． (1)求出______；______． (2)求方程组的解． (3)请直接写出的解集． 【答案】(1)，3 (2) (3) 【详解】（1）解：由图象可知，两直线的交点为， 把代入，得：，解得； 把代入，得：，解得； （2）∵两直线的交点为， ∴方程组的解为； （3）由图象可知：的解集为． 变式1.（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，直线与直线交于点． (1)直接写出方程组的解． (2)若点在直线的下方，直线的上方，求出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由图象的交点坐标得方程组的解是． （2）解：由点在直线的下方，直线的上方， 得． 当时，，， 的取值范围是． 变式2.（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，直线经过，两点．在同一坐标系中画出函数的图象，根据图象回答下列问题： (1)当时，写出与的大小关系； (2)直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：如图，当时，一次函数的图象在正比例函数的图象的下方， ∴当时，； （2）解：如图，求的解集即求一次函数的图象在正比例函数的图象的下方，且的函数值不小于时所对应的自变量的取值范围， ∴不等式的解集为． 【考点16 几何相关的面积问题】 例15.（25-26八年级上·四川达州·月考）如图，直线的解析式为，且与轴交于点，直线经过点、，直线，交于点． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)在直线上存在异于点的另一点，使得是的面积的倍，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)的坐标为或 【详解】（1）解：设直线的解析式为，把，；， 代入得 ， 解得， 直线的解析式为； （2）解：由，令，得， ， ； 由， 解得， ， ， ； （3）解：与有公共底边且在x轴上，的面积是面积的倍， ∴点到直线轴的距离是点到直线轴的距离的倍， 即纵坐标的绝对值是，则到轴距离为， 点纵坐标是， 将代入， ，解得， ， 将代入， ，解得， ， 综上所述，的坐标为或． 变式1.（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，一次函数的图象经过点． (1)求的面积． (2)在轴的负半轴上是否存在一点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【详解】（1）解：把点代入，得 点． 设一次函数的图象与轴交于点， 令，解得， ， ． （2）设点的坐标为，则． 由（1）可知， ， 解得． ∵点在轴的负半轴上， ，即点的坐标为． 变式2.（25-26八年级上·河南驻马店·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，且直线与直线交于点． (1)求和的值． (2)求点的坐标． (3)求的面积． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）解：把点代入直线，得， ∴， 把点代入直线，得， ∴； （2）由（）得，直线，直线， 由，解得， ∴； （3）解：∵点，点， ∴， ∴． 【考点17 几何相关的探究与证明问题】 例15.（25-26八年级上·山东济南·期中）【模型构建】 （1）如图1，将含有的三角板的直角顶点C放在直线l上，过点A作于点D，过点B作于点E，请写出图1中（除外）相等的线段，并证明； 【初步感知】 （2）如图2，直角三角板放置在平面直角坐标系中，点C的坐标为，点B坐标为，请求出点A的坐标和直线的表达式； 【深入探究】 （3）如图3，点A坐标为，点B坐标为，过点B作x轴的平行线l，点P是直线l上的一个动点，点D是一次函数图象上的一个动点，当是一个以为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出点D的坐标． 【答案】（1），；证明见解析；（2）；（3）点D坐标为或或 【详解】解：（1），； 证明：由题可知， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，； （2）如图，过C作轴，再分别过A、B作的垂线段，垂足分别为点D、E， ∵点C的坐标为，点B坐标为， ∴，， 由题可知， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 设直线表达式为，将点A和点B坐标代入得， ， 解得， ∴直线的表达式； （3）设点D坐标为， 当时，且点D在x轴上方时，如图， 此时，，， 同（1）法可得， ∴， ∴， 解得， ∴； 当时，且点D在x轴下方时，如图， 此时， 同理可得， ∴， 又∵， ∴，此时方程无解， 即不存在此种情况； 当，点在轴上方时，如图， 此时， 同理可得， ∴，即， 解得， ∴； 当，点在轴下方时，作轴，如图， 同理：， ∴， ∴， 当时，， ∴； 如图，，点P在左侧，如图， 此时，， 同理可得， ∴， ∴，方程无解， 即不存在此种情况； 综上，点D坐标为或或． 变式1.（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）如图1，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，点在轴的正半轴上，且． (1)求直线的表达式； (2)点是线段上一动点，过作于，当时，求点的坐标； (3)如图2，在（2）问条件下，点为直线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【详解】（1）解：由直线的表达式为：得， 当时，；当时，， ，， ， ， ， 设直线的解析式为， 把，代入得， 直线的表达式为：； （2）解：如图1，过点作直线垂直于轴，垂足为，交直线于点， ，， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ，， ， 又，， ， 设，则，， 则有， ， ， ； （3）解：如图2，当在点上方时，不妨设为，过点作直线垂直于轴，垂足为，交直线于点，过点作直线，交轴于点，交直线于，再作垂直轴，垂足为， 由（2）知，点坐标为， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 设直线表达式为：， 把和，代入得，， 直线表达式为， 联立直线和直线的方程， ， 解得， 点坐标为； 如图3，当在直线下方时，不妨设为，连接，过点作直线垂直于轴，垂足为，交直线于点，过点，作直线的垂线，垂足分别为和， 由题意知，， 又，， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， 即的纵坐标为， 在直线上， 把纵坐标代入中，得， ； 综上所述：坐标为或． 变式2.（2025八年级上·广东深圳·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于点、，是线段上一点，将沿着折叠，点落在点，连接． (1)求直线的函数解析式； (2)若点正好落在线段上，求点的坐标； (3)若，求点的坐标； (4)点是平面内一点，若，请直接写出直线的函数解析式． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：将、代入直线得： ， 解得： ， ∴； （2）解：如图， ∵、， ∴， ∴， 由折叠得：，． ∴， 设，则，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接交于点E，    由翻折可得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴直线的表达式为：，， 延长到，使，作轴于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 同理，直线的表达式为：， 联立：解得：， ∴， ∵， ∴； （4）解：分两种情况： 若点P在直线的上方，令，轴于点M，如图， ，， 是等腰直角三角形，， ， 又 ， ， 又 ，， ， ，， ， ， 设直线的函数解析式为， 将代入，得：， 解得， 直线的函数解析式为； 同理，若点P在直线的下方，构造，如图， 可得，直线的函数解析式为． 综上可知，直线的函数解析式为． 1．（25-26八年级上·广东梅州·期中）若一个函数的自变量每增加1，函数值就减少2，则其表达式可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、将代入函数得，，即函数值减少2，符合题意； B、将代入函数得，，即函数值增加2，不符合题意； C、将代入函数得，，即函数值减少1，不符合题意； D、将代入函数得，，即函数值的变化量为，不符合题意； 故选：A． 2．（25-26八年级上·山东枣庄·月考）对于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．函数的图象不经过第二象限 B．函数的图象与轴的交点坐标是 C．函数的图象向下平移4个单位长度后得到的图象 D．若两点，在该函数图象上，则 【答案】C 【详解】解：A、∵，， ∴函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故此选项结论错误，不符合题意； B、当时，则，解得， ∴函数的图象与轴的交点坐标是，故此选项结论错误，不符合题意； C、函数的图象向下平移4个单位长度后得到， 即，故此选项结论正确，符合题意； D、∵， ∴函数的图象随的增大而减小， ∵， ∴，故此选项结论错误，不符合题意； 故选：C． 3．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）已知，是一次函数图象上的两个点，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】∵ 一次函数 中，， ∴ y 随 x 的增大而减小． ∵ 点 和 的横坐标满足 ， ∴ ． 故选A． 4．（25-26八年级上·安徽亳州·月考）某容器由上下两段圆柱体组成（如图①），现以速度v（单位：）匀速向容器注水、直至注满为止，图②是注水全过程中容器的水面高度h（单位：）与注水时间（单位：s）的函数图像，根据图像信息，上面小圆柱体与下面大圆柱体的半径之比是（） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设下面大圆柱体的半径为，上面小圆柱体的半径为． ∵注满下面大圆柱体的时间是，注水速度为， ∴下面大圆柱体的体积，且大圆柱体的高度为， ∴大圆柱体的底面积． ∵注满上面小圆柱体的时间是， ∴上面小圆柱体的体积，且小圆柱体的高度为， ∴小圆柱体的底面积． ∵圆柱底面积为（或）， ∴， ∴． 故选：A． 5．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）一次函数与正比例函数的图象位置可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、由一次函数图象，得，；正比例函数应过一、三象限，但图中过二、四象限，此选项不符合题意； B、由一次函数图象，得，；正比例函数应过一、三象限，但图中一次函数与正比例函数图象不符，此选项不符合题意； C、由一次函数图象，得，；正比例函数过二、四象限，与图中一致，此选项符合题意； D、由一次函数图象，得，；正比例函数应过二、四象限，但图中过一、三象限，此选项不符合题意； 故选：C． 6．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）某周末，兄妹两人在图书馆买完书沿同一条路回家，哥哥慢跑回去，妹妹骑自行车带书，已知图书馆离家里的距离为．图中，分别表示兄妹两人离开图书馆的路程与时间的函数关系，根据图象得出的下列信息，其中错误的是（   ） A．妹妹的速度是哥哥的速度的倍 B．哥哥出发被妹妹追上 C．当为时，兄妹两人相距 D．哥哥到家时妹妹距图书馆 【答案】D 【详解】解：妹妹比哥哥迟出发5分钟， 哥哥慢跑的速度为（）； 妹妹的速度为：（）； ， 即妹妹的速度是哥哥的速度的倍，故选项A说法正确； 设t分钟后哥哥被妹妹追上，根据题意得，解得， 即哥哥出发被妹妹追上，故选项B说法正确； （米）， 即当t为时，兄妹两人相距，故选项C说法正确； 图书馆离家3000米，所以哥哥到家时妹妹距图书馆不可能超过3000米，故选项D说法错误． 故选：D． 二、填空题 7．（25-26八年级上·河南周口·期中）已知一次函数的图象经过点，则 ． 【答案】1 【详解】解：将点代入一次函数，得， 即：， 解得：． 故答案为：1． 8．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）将直线向上平移1个单位后所得直线表达式为 ． 【答案】 【详解】解：将直线向上平移1个单位，根据平移规律，所得直线的表达式为. 故答案为． 9．（25-26八年级上·安徽宣城·期中）一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积等于4，则的值等于 ． 【答案】 【详解】当时，，所以与轴交点为， 当时，，解得，所以与轴交点为， 三角形的两条直角边长度分别为和， ∴， 所以， 经检验， 符合题意． 故答案为：． 10．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图，则方程组的解为 ． 【答案】 【详解】解：由函数图象可知直线与的交点坐标是， 关于、的二元一次方程组的解是， 方程组整理可得：， 方程组的解是， 故答案为：． 11．（25-26八年级上·四川达州·月考）如图，直线交轴、轴于点，，点在第一象限内，且纵坐标为4．若点关于直线的对称点恰好落在轴的正半轴上，则点的横坐标为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，连接， 当时，； 当时，， ∴点， ∴． ∵点P与点关于直线对称， ∴， ∴． ∵点在第一象限，且纵坐标为4， ∴轴， ∴． ∵， ∴， ∴． 设，则， ∴， ∴． 在中，， ∴， 解得， ∴点P的横坐标是． 故答案为：． 三、解答题 12．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知与成正比例，且当时，． (1)求与的函数关系式； (2)该函数经过一点，求出的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：与成正比例， ∴设， 将，代入，得， ∴ ∴，即； （2）解：∵函数经过一点， ， 解得． 13．（25-26八年级上·江西吉安·月考）如图，已知一次函数和的图象交于点，点的横坐标为1． (1)求关于的方程组的解； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵点的横坐标为1， 将代入，得：， ∴一次函数和的图象的交点坐标为， ∴方程组的解为． （2）解：∵点在的图象上， 将，代入解析式：， 解得：． 14．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）一辆巡逻车从地出发沿一条笔直的公路匀速驶向地，小时后，一辆货车从地出发，沿同一路线每小时行驶千米匀速驶向地，货车到达地填装货物耗时分钟，然后立即按原路匀速返回地．巡逻车、货车离地的距离（千米）与货车出发时间（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)两地之间的距离是_________千米，_________； (2)求线段所在直线的函数解析式； (3)货车出发多少小时两车相距20千米？（直接写出答案即可） 【答案】(1)90， (2)线段所在直线的函数解析式为 (3)货车出发小时或小时或小时 【详解】（1）解： 千米， ，两地之间的距离是千米， 货车到达地填装货物耗时分钟， ， 故答案为：，； （2）解：设线段所在直线的解析式为， 将，代入， 得， 解得， 线段所在直线的函数解析式为； （3）解：设货车出发小时两车相距千米， 由题意得，巡逻车的速度为千米/小时， 当两车都在前往地的途中且未相遇时两车相距20千米，则， 解得（舍去）； 当两车都在前往地的途中且相遇后两车相距20千米，则，解得； ， ∴货车装货过程中两车不可能相距千米， 当货车从地前往地途中且两车未相遇时相距千米，则， 解得； 当货车从地前往地途中且两车相遇后相距20千米，则， 解得； 综上所述，当货车出发小时或小时或小时时，两车相距千米． 15．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的解析式； (2)点在线段上，当，求点的坐标； (3)在轴上是否存在一点，使得是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在；，，， 【详解】（1）解：∵点，， ∴设直线的解析式为， ，解得， ∴直线的解析式为； （2）解：直线解析式中， 令，， 则点， ∵​， 且与有公共顶点和公共边所在的直线（即它们的高相等）， ∴， ∴点为线段的中点， ∵点，点，由中点坐标公式得点的坐标为： ∴ （3）解：设点的坐标为，已知点，点， 由勾股定理得： ， ， ， 分三种情况讨论： 情况一：以为顶点，， 即，解得或. 此时点坐标为，. 情况二：以为顶点，， ， 两边平方得， 即， 或， 或， 当，点与点重合，故舍去. ∴点. 情况三：以为顶点，， ， 两边平方得， 即， 整理得， 解得 ∴点． 综上所述，在轴上存在点，使得是等腰三角形， 其坐标共有4个，分别为：，，，． 16．（25-26八年级上·安徽亳州·月考）甲地有木材300吨，乙地有木材400吨．现将两地木材全部运往A、B两木艺加工厂，其中厂需木材360吨，厂需木材340吨．设从甲地运吨木材到厂（），从甲地运往两木艺厂的总运费为元，从乙地运往两木艺厂的总运费为元． 运费表 (1)木材运输配送表如下，请你填空（用含的式子表示）： 甲地 乙地 厂 x ② 厂 ① ③ ①______；②______；③______； (2)请分别求出与之间的函数关系式； (3)若要求从乙地运往两木艺厂的总运费不得超过4800元，怎样调运可使全部运输费用（即两地运往两木艺厂的总费用之和）最少，并求出全部运输费用的最小值． 【答案】(1)①，②，③ (2)； (3)甲地运往厂：120吨，甲地运往厂：180吨；乙地运往厂：240）吨，乙地运往厂：160吨， 【详解】（1）解：由题意得，①，②，③， 故答案为：①，②，③； （2）解：由题意得，； ； （3）解：因为，即， 可得， 得， 又， 得． ∵， 一次函数中，， 故随增大而减小， ∴内，取最大值120时，总最小． 故调运方案为：甲地运往厂：120吨，甲地运往厂：吨；乙地运往厂：吨，乙地运往厂：吨， 所以（元）． 9 / 10 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