专题5.6 一次函数（章节复习）（知识梳理+35个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共85题）-2025-2026学年浙教版数学八年级上册同步培优讲练

该初中数学一次函数章节复习讲义通过知识框架图系统构建知识体系，梳理函数概念、一次函数图象与性质等11个核心知识点，用对比表格呈现k、b对图象的影响，思维导图整合与方程、不等式的联系，清晰呈现重难点分布。 讲义亮点在于35个考点讲练设计，每个考点含典例精讲与变式训练，如分配方案问题（考点25）、最大利润问题（考点26）培养模型意识，中考真题与分层练（基础夯实、培优拔高）满足不同学生需求，助力教师实施精准教学，提升推理能力与应用意识。

专题5.6 一次函数（章节复习） （知识梳理+35个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共85题） 【解析版】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：函数的有关概念 2 知识点梳理02：一次函数的概念 3 知识点梳理03：一次函数的图象 3 知识点梳理04：一次函数的性质 3 知识点梳理05：确定一次函数表达式 4 知识点梳理06：图象的平移 4 知识点梳理07：两条直线间的位置关系 5 知识点梳理08：两条直线间的位置关系 5 知识点梳理09：一次函数与方程（组） 5 知识点梳理10：一次函数与不等式 5 知识点梳理11：一次函数的应用 5 优选题型 考点讲练 6 考点1 用表格表示变量间的关系 6 考点2 用关系式表示变量间的关系 7 考点3 用图象表示变量间的关系 7 考点4 函数的概念 9 考点5 函数解析式 10 考点6 求自变量的取值范围 10 考点7 求自变量的值或函数值 11 考点8 函数图象识别 12 考点9 从函数的图象获取信息 14 考点10 动点问题的函数图象 15 考点11 正比例函数的定义 16 考点12 识别一次函数 17 考点13 根据一次函数的定义求参数 18 考点14 求一次函数自变量或函数值 19 考点15 求一次函数解析式 20 考点16 正比例函数的图象 22 考点17 正比例函数的性质 23 考点18 根据一次函数解析式判断其经过的象限 24 考点19 已知函数经过的象限求参数范围 25 考点20 一次函数图象与坐标轴的交点问题 27 考点21 一次函数图象平移问题 29 考点22 判断一次函数的增减性 30 考点23 根据一次函数增减性求参数 31 考点24 比较一次函数值的大小 32 考点25 分配方案问题(一次函数的实际应用) 33 考点26 最大利润问题(一次函数的实际应用) 35 考点27 行程问题(一次函数的实际应用) 37 考点28 梯度计价问题 40 考点29 其他问题(一次函数的实际应用) 42 考点30 一次函数与几何综合 45 考点31 利用图象法解一元一次方程 53 考点32 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 54 考点33 根据两条直线的交点求不等式的解集 54 考点34 两直线的交点与二元一次方程组的解 57 考点35 求直线围成的图形面积 58 中考真题 实战演练 61 难度分层 拔尖冲刺 68 基础夯实 68 培优拔高 71 知识点梳理01：函数的有关概念 （1）常量、变量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，数值发生变化的量叫做 变量. （2）函数：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量． （3）函数的表示方法：列表法、图像法、解析法. （4）自变量的取值范围： 整式函数的自变量取值范围是全体实数； 分式函数自变量的取值范围是使分母不为零的实数； 二次根式函数的自变量取值范围是使被开方数为非负数的实数. 【易错点拨】 函数解析式同时有几个代数式，函数自变量的取值范围应是各个代数式中自变量的公共部分. 例：函数中自变量的取值范围是. （5）函数的图象：对于一个函数，如果把自变量与函数的对应值分别作为点的横坐标、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图象就是这个函数的图象. （6）画图象的步骤：取值、描点、连线. 知识点梳理02：一次函数的概念 一次函数：如果，那么y叫做x的一次函数． 正比例函数：当时，一次函数变成称，y叫做x的正比例函数． 知识点梳理03：一次函数的图象 一次函数的图象：一次函数的图象是一条恒经过点和的直线. 正比例函数的图象：正比例函数的图象是一条恒经过原点和直线. 知识点梳理04：一次函数的性质 （1）正比例函数的图象与性质 y=kx 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0 一、三源：学*科*网X 从左向右上升 y随着x的增大而增大 k＜0 二、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 （2）一次函数的图象与性质 y=kx+b 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0，b＞0 一、二、三 从左向右上升[来源：学科网ZXXK] y随着x的增大而增大 k＞0，b＜0 一、三、四 k＜0，b＞0 一、二、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 k＜0，b＜0 二、三、四 （3）一次函数的图象与k、b之间的联系 ①b决定直线与y轴的交点位置 时，直线交y轴于正半轴； 时，直线交y轴于负半轴； 时，直线经过原点. ②直线上坡，y随x的增大而增大；直线下坡，y随x的增大而减小. ③越大，直线越陡. 知识点梳理05：确定一次函数表达式 （1）待定系数法 步骤：设：设函数表达式为； 代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组； 解：求出k与b的值，得到函数表达式． （2）常见类型 ①已知两点确定表达式； ②已知两对函数对应值确定表达式； ③平移转化型：如已知函数是由y=2x平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要求函数的解析式为y=2x+b,再把点（0,1）的坐标代入即可. 知识点梳理06：图象的平移 一次函数向左平移m个单位后的解析式为； 一次函数向右平移m个单位后的解析式为； 一次函数向上平移m个单位后的解析式为； 一次函数向上平移m个单位后的解析式为. 平移规律：左加右减，上加下减. 知识点梳理07：两条直线间的位置关系 设直线，. (1)相交；(2)平行；(3)垂直. 补充：若直线经过，两点，则. 知识点梳理08：两条直线间的位置关系 设直线，. (1)相交；(2)平行；(3)垂直. 补充：若直线经过，两点，则. 知识点梳理09：一次函数与方程（组） (1)一次函数图象上点的坐标与二元一次方程的解一一对应. (2)二元一次方程组 的解就是两个一次函数和图象的交点坐标. (3)一元一次方程的根就是一次函数（k、b是常数，）的图象与x轴交点的横坐标. 知识点梳理10：一次函数与不等式 (1)一次函数的函数值y＞0时，自变量x的取值范围就是不等式的解集 (2)一次函数的函数值y＜0时，自变量x的取值范围就是不等式的解集 知识点梳理11：一次函数的应用 利用一次函数解决实际问题的步骤： 审—仔细审题理解题意； 找—找出实际问题中的变量和常量，明确它们之间的关系； 列—建立一次函数表达式，弄清自变量的取值范围； 解—根据题目中的已知条件，由一个变量求另一个变量，也就是解方程的过程； 验—检验结果，得出符合实际的结论. 考点1 用表格表示变量间的关系 【典例精讲】（24-25八年级上·贵州毕节·期末）为了测定某种型号小型载客汽车的刹车性能（车速不超过），测试员对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表．下面说法中，错误的是（   ） 刹车时车速v/（） 0 10 20 30 40 50 … 刹车距离s/ 0 2.5 5 7.5 10 12.5 … A．刹车时车速是自变量，刹车距离s是因变量 B．随着刹车时车速的增大，刹车距离s也随之增大 C．当刹车时车速是时，刹车距离是 D．刹车距离s与刹车时车速之间的关系式是 【答案】C 【思路点拨】本题考查了用表格表示两个变量之间的关系，根据表格数据逐一判断即可． 【规范解答】解：A：刹车时车速是自变量，刹车距离是因变量，正确，不符合题意； B：由表格数据，随的增大而增大，正确，不符合题意； C：由表格数据，每增加增加，当刹车时车速是时，刹车距离为，选项C为 ，错误，符合题意； D：每增加增加，故刹车距离s与刹车时车速之间的关系式是，正确，不符合题意； 故选：C． 【变式训练】（24-25八年级上·山西太原·期中）地表以下岩层的温度随着所处深度的变化而变化，在某个地点与之间有如下关系： 1 2 3 4 55 90 125 160 根据表格，估计地表以下岩层的温度为时，岩层所处的深度为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了用表格表示变量之间的关系，由表格可知，深度每增加，温度升高，，把代入求解即可． 【规范解答】解：由表格可知，深度每增加，温度升高， ∴， 把代入得 解得 ∴岩层的温度为时，岩层所处的深度为， 故答案为：． 考点2 用关系式表示变量间的关系 【典例精讲】（25-26八年级上·辽宁丹东·开学考试）小军用100元去买单价为5元的笔记本，他买完笔记本之后剩余的钱元与买这种笔记本数量本之间的关系式为 ． 【答案】 【思路点拨】此题主要考查了列函数关系式，关键是明确等量关系．由剩余的钱原有的钱用去的钱，可列出函数关系式． 【规范解答】解：依题意得，剩余的钱y（元）与买这种笔记本的数量x之间的关系为： ． 故答案为：． 【变式训练】（23-24八年级上·吉林延边·期中）一根蜡烛原长10厘米，点燃后燃烧时间为分钟，所剩余蜡烛的长为厘米，其中是变量的是（   ） A．10、、 B．、 C．10、 D．10、 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了变量的概念，在一个事件中变化的量是变量，根据变量的概念逐一判断即可 【规范解答】解：由题意可知：10是常量，、是变量． 故选：B． 考点3 用图象表示变量间的关系 【典例精讲】（24-25八年级上·上海·期末）六年级学生周末去爬山，他们在半山腰的地方休息了片刻，接着一鼓作气爬到山顶，在山顶休息、观景，然后下山回到出发地．图（    ）准确地描述了这个过程． A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】根据用一个单位长度表示一定数量，用折线的上升或下降表示数量的多少和增减变化，容易看出数量的增减变化情况分析求解即可．本题考查了折线统计图的应用问题，熟练掌握折线统计图的特征是解题的关键． 【规范解答】解：根据六年级学生在半山腰的地方休息了片刻，接着一鼓作气爬到山顶，在山顶休息、观景，然后下山回到出发地； 准确地描述了这个过程． 故选：B． 【变式训练】（24-25七年级上·贵州遵义·开学考试）《宋史·司马光传》中记载：群儿戏于庭，一儿登瓮，足跌没水中．众皆弃去，光持石击瓮破之，水迸，儿得活．下面各图比较符合故事情节是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】此题考查了用函数图象表示变量之间的关系，根据题意，对照下面四幅图进行比较即可． 【规范解答】根据题意可知，水缸里原有一部分水（未满），玩耍的孩童落入水缸中，水已没过孩童头顶，这时水缸内的水位会上升，司马光急中生智，举起一块大石头砸破水缸，水流出后，孩童得救，此时水位会迅速下降． 所以D比较符合故事情节． 故选：D． 考点4 函数的概念 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西西安·期中）下列各式中，y不是x的函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了函数的定义. 对应两个变量、，若对于任意的的确定值，都有唯一的值与之对应，那么就叫做的函数，据此求解即可． 【规范解答】解：在，和中，对于任意的x的确定值，y都有唯一的值与之对应，符合函数的定义； 在中，对于任意的正数x，y都有两个值与之对应，不符合函数的定义， 故选：B． 【变式训练】（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）下列各图中，不能表示y关于x的函数的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了函数的定义，函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量，熟练掌握函数的概念，是解题的关键． 根据函数的定义逐一进行判断即可． 【规范解答】解：A图像，对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，是函数图像； B图像，对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，是函数图像； C图像，对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，是函数图像； D图像，对给定的x的值，有两个y值与之对应，不是函数图像． 故选：D． 考点5 函数解析式 【典例精讲】（25-26八年级上·安徽宿州·期中）一只机器狗以的平均速度在路面上行走，则它所走的路程与所用的时间之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】此题考查了根据实际问题列函数解析式的能力，关键是能根据实际问题间数量关系准确列式． 根据路程＝速度×时间，列出关系式即可． 【规范解答】解：∵路程＝速度×时间， ． 故选：D． 【变式训练】（24-25八年级上·广东佛山·期中）等腰三角形的周长为36，腰长为x，则底边y与腰长x的函数关系式是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了列一次函数关系式，弄清量之间的关系是解题的关键． 根据等腰三角形的周长公式求出底边长，再根据三角形三边关系求出的取值范围即可． 【规范解答】解：∵等腰三角形的周长为36，腰长为x， ∴底边长为， ∵， ∴ ∴底边y与腰长x的函数关系式是． 故答案为: 考点6 求自变量的取值范围 【典例精讲】（25-26八年级上·安徽六安·阶段练习）函数的自变量的取值范围是（   ） A． B．且 C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了求自变量的取值范围，分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为0，据此求解即可． 【规范解答】解：由题意得，， ∴， 故选：D． 【变式训练】（25-26八年级上·安徽安庆·月考）函数的自变量的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查函数自变量的取值范围．根据分母不为零列出不等式求解即可． 【规范解答】解：由得， 故选：A． 考点7 求自变量的值或函数值 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）某游泳池在一次换水前存水，换水的时候打开排水孔匀速放水．设放水时间为，游泳池内的存水量为，关于的函数表达式为，放完游泳池内的水所需要的时间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查求函数的变量，放完水时存水量，代入函数表达式解方程即可． 【规范解答】解：∵ 放完水时，且， ∴ ， ∴ ， ∴． 故选：B． 【变式训练】（25-26八年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，长方形的四个顶点在互相平行的两条直线上，，当线段在平行线上向右匀速运动时，长方形的面积发生了变化． (1)在这个变化过程中，常量是______，变量是______． (2)若长方形的长为，则请用含x的式子表示长方形的面积 (3)当长方形的长从变到时，长方形的面积会怎么变化？ 【答案】(1)的长度；的长度 (2) (3)当长方形的长从变到时，长方形的面积从变到 【思路点拨】本题考查了常量与变量，函数关系式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据常量与变量的意义，即可解答； （2）根据长方形的面积公式进行计算，即可解答； （3）利用（2）的结论进行计算，即可解答． 【规范解答】（1）解：在这个变化过程中，常量是的长度，变量是的长度， 故答案为：的长度；的长度； （2）解：由题意得：； （3）解：当时，； 当时，； 当长方形的长从变到时，长方形的面积从变到． 考点8 函数图象识别 【典例精讲】（25-26八年级上·河南·期中）下列曲线中，表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查函数的概念，特别是函数在平面直角坐标系中的图形表示．函数的定义为：在一个变化过程中，有两个变量、，如果给定一个值，相应地就确定唯一的一个值，那么就称是的函数，是自变量．关键在于准确理解函数中“对于每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应”这一特性，并通过观察图形中直线与曲线的交点情况来进行判断．根据函数的定义，判断在给定的曲线中，对于每一个值，是否都有唯一确定的值与之对应．可以通过在平面直角坐标系中作垂直于轴的直线，观察直线与曲线的交点个数来判断．如果对于任意一条垂直于轴的直线，它与曲线最多只有一个交点，那么就是的函数；如果存在某条垂直于轴的直线，它与曲线有两个或两个以上的交点，那么就不是的函数． 【规范解答】选项A：当在平面直角坐标系中作垂直于轴的直线时，可以发现，存在一些值，使得垂直于轴的直线与曲线有多个交点．这意味着对于这些值，不是唯一确定一个值，不满足函数的定义，所以该曲线不表示是的函数．故不符合题意； 选项B：同样地，作垂直于轴的直线，会出现某值对应的垂直直线与曲线有两个交点的情况．即给定一个值，有两个值与之对应，不满足函数定义中值的唯一性，所以该曲线不表示是的函数． 故不符合题意； 选项C：对于圆的图形，作垂直于轴的直线时，除了与圆相切的特殊位置外，大部分情况下直线与圆有两个交点．这表明存在值对应两个值，不符合函数的定义，所以该曲线不表示是的函数．故不符合题意； 选项D：无论在轴上取何值，作垂直于轴的直线，该直线与曲线最多只有一个交点．即对于每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，满足函数的定义，所以该曲线表示是的函数．故符合题意； 综上，答案是D． 【变式训练】（25-26八年级上·山西运城·期中）下列图象中，表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了函数的定义，设在某变化过程中有两个变量、，如果对于在某一范围内的每一个确定的值，都有唯一确定的值与它对应，那么就称是的函数，由函数的定义逐项分析即可得解，熟练掌握函数的定义是解此题的关键． 【规范解答】解：A、对于在某一范围内的每一个确定的值，不是都有唯一确定的值与它对应，故不能表示y是x的函数，不符合题意； B、对于在某一范围内的每一个确定的值，都有唯一确定的值与它对应，故能表示y是x的函数，符合题意； C、对于在某一范围内的每一个确定的值，不是都有唯一确定的值与它对应，故不能表示y是x的函数，不符合题意； D、对于在某一范围内的每一个确定的值，不是都有唯一确定的值与它对应，故不能表示y是x的函数，不符合题意； 故选：B． 考点9 从函数的图象获取信息 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西西安·期中）人的正常体温在之间，但一天中的不同时刻体温略有差别，如图反映了一天内安安的体温变化情况，其中x表示一天中的时间，T表示安安的体温，下列说法中，不正确的是（ ） A．图中反映了一天中的时间与安安体温之间的关系 B．安安在时的体温为 C．图中的自变量是时间x，它的取值范围是 D．安安的体温可以看成一天中的时间的函数 【答案】C 【思路点拨】本题考查了根据函数图像获取信息． 根据函数图像逐一判断即可． 【规范解答】解：由图象可得， 图中反映了一天中的时间与安安体温之间的关系，说法正确，故选项A不合题意； 安安在时的体温为，说法正确，故选项B不合题意； 图中的自变量是时间x，它的取值范围是，原说法错误，故选项C符合题意； 安安的体温可以看成一天中的时间的函数，说法正确，故选项D不合题意； 故选：C． 【变式训练】（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）如图，曲线表示一只蝴蝶在飞行过程中离地面的高度随飞行时间的变化情况，则这只蝴蝶飞行的最高高度约为 ． 【答案】/13米 【思路点拨】本题考查了从函数图象获取信息的能力，准确识图是解题的关键． 根据函数图象可直接得出答案． 【规范解答】解：∵函数图象的纵坐标表示一只蝴蝶在飞行过程中离地面的高度， ∴由函数图象可知这只蝴蝶飞行的最高高度约为． 故答案为： 考点10 动点问题的函数图象 【典例精讲】（25-26八年级上·吉林·期中）如图1，在平行四边形中，动点P从点A出发，沿折线方向匀速运动，运动到点C时停止，设点P的运动路程为x，线段的长度为y，y与x的函数图象如图2所示，若的长为5，则的最大值为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了根据函数图象获取有效信息，勾股定理，根据函数图象获取有效信息是解题的关键．过点A作于点H，根据函数图象可得，，再根据勾股定理分别求出和，所以，即可得到答案． 【规范解答】解：过点A作于点H， 由函数图象可知，，， ， 在中，， ， ， 在中，， ， 点运动到点C处，取最大值，最大值为4． 故选：C． 【变式训练】（25-26八年级上·江西赣州·月考）如图，在矩形中，，动点从点出发沿边向终点运动，连接，以为边在上方作正方形，在点运动的过程中，阴影部分面积关于点所走的路程之间的解析式为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查矩形的性质，正方形的性质，设，则，由勾股定理得，则正方形面积为，的面积为，故可求出阴影部分的面积． 【规范解答】解：∵四边形是矩形， ∴； 设，则， 由勾股定理得， 则正方形面积为 ， 又的面积 ， 所以，阴影部分的面积． 即． 故答案为：． 考点11 正比例函数的定义 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西渭南·期中）已知函数（为常数，且）是正比例函数，则当时，的值为（   ） A．1 B．2 C． D．5 【答案】C 【思路点拨】本题考查了正比例函数的定义，求函数值等知识．根据正比例函数的定义，得到，求出，得到函数为，把代入函数即可求解． 【规范解答】解：∵ 函数 是正比例函数， ∴， ∴ ∴函数为， ∴当时，． 故选：C 【变式训练】（25-26八年级上·河北邯郸·期中）若正比例函数，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】根据正比例函数的定义，函数形式应为（），即自变量指数为且系数不为，据此列方程求解即可． 【规范解答】解：由正比例函数的定义，得和， 解得和， ∴， 故答案为：． 考点12 识别一次函数 【典例精讲】（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考）下列函数中，是的一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了一次函数的定义，根据一次函数的定义，形如（）的函数是一次函数，逐项分析，即可得出答案． 【规范解答】解：选项A：，不满足一次函数的定义，故不是一次函数，不符合题意； 选项B：，不满足一次函数的定义，故不是一次函数，不符合题意； 选项C：，满足一次函数的定义，是一次函数，符合题意； 选项D：，不满足一次函数的定义，故不是一次函数，不符合题意． 故选：C． 【变式训练】（25-26八年级上·安徽六安·期中）下列关系中，是的一次函数的是（    ） ①；②；③；④ A．①② B．①③ C．③④ D．②③ 【答案】C 【思路点拨】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题关键． 根据一次函数的定义，形式为（，k、b为常数）的函数是一次函数．判断每个选项是否符合定义． 【规范解答】∵ 一次函数的标准形式为，其中，k、b为常数． 对于①，k和b为字母，未指定具体值，k可能为0，因此不一定是一次函数； 对于②，x在分母上，是反比例函数，不是一次函数； 对于③，可化为，，是一次函数； 对于④，可化为，，是一次函数． ∴ y是x的一次函数的是③和④． 故选C． 考点13 根据一次函数的定义求参数 【典例精讲】（25-26八年级上·河南郑州·期中）定义为一次函数的特征数，例如为一次函数的特征数，若特征数为的一次函数为正比例函数，则k的值为 ． 【答案】3 【思路点拨】本题主要考查了一次函数的定义、正比例函数的定义等知识点，掌握当一次函数的常数项为零时为正比例函数是解题的关键． 根据特征数的定义以及一次函数为正比例函数时，常数项为0且一次项系数不为0，据此列式求解即可． 【规范解答】解：∵特征数为， ∴对应一次函数． ∵该函数为正比例函数， ∴一次项系数：且常数项， ∴． 故答案为：3． 【变式训练】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）若函数是一次函数，则的值为（   ） A．3 B． C． D．2 【答案】C 【思路点拨】本题考查根据一次函数的定义，求参数的值，根据一次函数的定义，得到且，进行求解即可． 【规范解答】解：由题意，且， 解得； 故选C． 考点14 求一次函数自变量或函数值 【典例精讲】（25-26八年级上·河南郑州·期中）定义：一次函数和一次函数称为“逆反函数”，如和为“逆反函数”． (1)点在的“逆反函数”图象上，则_________； (2)图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)． 【思路点拨】本题考查了一次函数图象和性质，解二元一次方程组，明确新定义，求得“逆反函数”是解题的关键． （）根据定义得到“逆反函数”为，把点代入即可求得； （）根据题意得到关于的方程组，解方程组即可求解． 【规范解答】（1）解：由题意得，的“逆反函数”图象为， ∵点在的“逆反函数”图象上， ∴，解得：， 故答案为：； （2）解：由题意得的“逆反函数”图象为， ∵图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点， ∴，解得：， ∴点的坐标． 【变式训练】（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）在一次函数中，若，则函数值 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一次函数函数值的求解，掌握一次函数的定义是求解的关键． 将已知的值代入一次函数表达式计算的值． 【规范解答】解：当时，代入函数，得， 故答案为：． 考点15 求一次函数解析式 【典例精讲】（25-26八年级上·广东揭阳·月考）已知一次函数的图象与直线平行，且经过点，则一次函数的关系式是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了平行直线．熟练掌握平行直线的解析式中一次项系数相等，待定系数法求函数解析式，是解题的关键． 两条直线平行，则一次项系数相等，可确定k的值；再代入已知点坐标，利用待定系数法求出b的值． 【规范解答】解：∵一次函数的图象与直线平行， ∴设函数关系式为． 将点代入， 得， 即， 解得． 故一次函数关系式为． 故答案为：． 【变式训练】（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，的顶点坐标分别为． (1)请画出关于y轴的对称图形，其中，点A的对应点的坐标是______，点B的对应点的坐标是______； (2)点P为y轴上一动点，当的值最小时，请求出点P的坐标． 【答案】(1)画图见解析；； (2) 【思路点拨】本题考查了坐标与轴对称，轴对称的性质及待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题关键． （1）作出点A、B、C三点关于y轴的对称点，再依次连接即可，由此即可写出点、点的坐标； （2）连接，与y轴的交点即为满足条件的点P，设直线的解析式为，根据、坐标，利用待定系数法求出、的值，即可求出点坐标． 【规范解答】（1）解：作图如下： 点、点的坐标分别为：；； 故答案为：；； （2）解：连接，与y轴的交点即为满足条件的点，此时最小， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点P的坐标为． 考点16 正比例函数的图象 【典例精讲】（25-26八年级上·山西晋中·期中）图中直线对应的函数表达式为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查正比例图象和性质，采用待定系数法即可求得答案． 【规范解答】因为直线经过原点，所以设直线对应的函数表达式为． 因为直线经过点，将其代入，得 ， 解得 ． 所以直线对应的函数表达式为． 故答案为： 【变式训练】（25-26八年级上·安徽宿州·期中）一次函数与（a，b为常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键． 根据、的符号，分别判断出两个函数图象所经过的象限，注意分类讨论． 【规范解答】解：若、时， 则一次函数经过一、二、三象限，经过二、四象限， 若、时， 则一次函数经过一、三、四象限，经过一、三象限， 若、时， 则一次函数经过一、二、四象限，经过一、三象限， 若、时， 则一次函数经过二、三、四象限，经过二、四象限， 故选：D． 考点17 正比例函数的性质 【典例精讲】（25-26八年级上·山西运城·期中）已知如下三个正比例函数：，，． (1)对于函数，当时，．请求出k的值并写出时的值； (2)写出这三个正比例函数的图象都具有的一条性质． 【答案】(1)的值为，的值为6 (2)三个函数的图象都是过原点的直线 【思路点拨】本题主要考查的是正比例函数的性质，解答本题主要根据正比例函数的性质解答． （1）把时，代入可求出k的值，把代入可得结论； （2）根据正比例函数的性质解答即可． 【规范解答】（1）在函数中，当时，， ． 解得， 在函数中，当时． 答：的值为，当时，的值为6 （2）三个函数的图象都是过原点的直线 【变式训练】（25-26八年级上·山西运城·期中）已知正比例函数的图象经过点，则该函数的表达式为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了正比例函数的性质． 将点 代入正比例函数 ，利用待定系数法求出比例系数 ． 【规范解答】解：由题意，将点 代入 ，得 ，解得 ，所以该函数的表达式为 ． 故答案为：． 考点18 根据一次函数解析式判断其经过的象限 【典例精讲】（25-26八年级上·广东佛山·期末）函数与函数（，）在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了一次函数的图象和性质． 根据一次函数的图象和性质判断即可． 【规范解答】解：因为， 所以图象中必定有一条直线是经过一、三象限，可以排除B选项， 选项A、C、D中根据经过一、三象限的直线可判断即，可以排除选项A、C． 故选：D． 【变式训练】（25-26八年级上·河南郑州·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了根据一次函数解析式判断其经过的象限，理解题意，再进行分类讨论，然后结合选项的函数图象进行分析，即可作答． 【规范解答】解：依题意，当时， 则是经过第一、三象限的正比例函数，是经过第一、三、四象限的一次函数， 观察四个选项，都不符合上述情况； 依题意，当时， 则是经过第二、四象限的正比例函数，是经过第一、二、三象限的一次函数， 观察四个选项，唯有B选项符合上述情况； 故选：B 考点19 已知函数经过的象限求参数范围 【典例精讲】（25-26八年级上·山西运城·期中）一次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的图象得，，由一次函数的性质判断经过象限，即可求解． 【规范解答】解：由一次函数的图象得：， ， 一次函数的图象经过第一、三、四象限， 故选：A． 【变式训练】（25-26八年级上·广东深圳·期中）请任意写出一个满足下列两个条件的一次函数的表达式： ． ①图像不经过第一象限；②不是正比例函数． 【答案】（答案不唯一） 【思路点拨】本题考查一次函数的性质，设一次函数解析式为，根据图像不经过第一象限，得到，根据不是正比例函数，得到，进而求解即可． 【规范解答】解：设一次函数解析式为， ∵图像不经过第一象限， ∴，， ∵不是正比例函数， ∴， ∴， ∴符合题意的一次函数表达式可以为． 故答案为：（答案不唯一）． 考点20 一次函数图象与坐标轴的交点问题 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，动点在轴的负半轴上，连接，将沿所在直线折叠，当点的对应点恰好落在轴上时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查一次函数的图象及性质，折叠的性质，勾股定理的应用，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 在中，，求出，即可求解． 【规范解答】解：∵的图象与轴交于点，与轴交于点， 当时，， 当时，， ∴， ∴， ∴， 设， 连接， ∵与关于对称， ∴， ∴， ∵， 在中，， ∴， ∴； 故选：B． 【变式训练】（25-26八年级上·四川成都·期中）一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，在x轴上找一个点P使为等腰三角形，则点P的坐标为 ． 【答案】或或或 【思路点拨】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点、等腰三角形的性质、勾股定理、坐标与图形．先求出点A、B坐标，再根据等腰三角形的性质分三种情况讨论：，分别求解点P坐标． 【规范解答】解：由一次函数，当时，，得； 当时，，得． ∵． 设点坐标为． 当时，， ∴， 解得， 即或． 当时，， ∴， 平方得， 解得：，其中时与重合，无效， 故． 当时，，平方得， 化简得：， 解得：， 故． 综上，点坐标为或或或． 考点21 一次函数图象平移问题 【典例精讲】（25-26八年级上·安徽淮北·期中）已知函数，若函数是由函数向上平移3个单位长度得到． (1)求m，n 的值； (2)判断点是否在该函数图象上？ 【答案】(1)， (2)点在该函数图象上 【思路点拨】本题主要考查了一次函数的平移，已知自变量的值求函数值，熟练掌握待定系数法，是解题的关键． （1）根据一次函数定义可得，求出m，n的值即可； （2）将代入求出函数值与9比较即可． 【规范解答】（1）解：∵函数是由直线向上平移3个单位长度得到， ∴， 解得 ； （2）解：由（1）得函数的表达式为， ∴当时，， ∴点在该函数图象上． 【变式训练】（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，将直线向上平移3个单位长度，得到一个一次函数的图象，这个一次函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查一次函数图象的平移，熟练掌握一次函数图象的平移是解题的关键；因此此题可根据“左加右减，上加下减”可进行求解． 【规范解答】解：设直线l的解析式为，由图象可把点代入得：， ∴直线l的解析式为， ∴将直线向上平移3个单位长度，得到一个一次函数的图象，这个一次函数的表达式为； 故选A． 考点22 判断一次函数的增减性 【典例精讲】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）下列函数中的函数值y随x的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查一次函数的增减性，一次函数中，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． 根据各选项的k值判断即可． 【规范解答】解：A、k的正负不确定，无法判断； B、，y随x增大而增大； C、，y随x增大而增大； D、，y随x增大而减小． 故选：D． 【变式训练】（25-26八年级上·广东梅州·期中）已知一次函数，当时，y的最大值是 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查一次函数的图象和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．一次函数斜率k为负，y随x增大而减小，因此y的最大值出现在x的最小值处． 【规范解答】解：一次函数中， ∵， ∴y随x增大而减小， 则当取最小值时，取最大值． ∵， 当时，y取得最大值． 故答案为：． 考点23 根据一次函数增减性求参数 【典例精讲】（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）已知一次函数． (1)若图象经过原点，求的值； (2)若随着的增大而减小，求的取值范围； (3)若，当时，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)14 【思路点拨】本题考查了图象过原点，不等式的解法，一次函数的性质． （1）把原点坐标代入解析式解答即可． （2）根据y随着x的增大而减小，可得，进一步解答即可． （3）当时，确定，判定y随x的增大而增大，结合，当时，y取得最大值，结合解析式解答即可． 【规范解答】（1）解：把原点坐标代入解析式， 得， 解得． （2）解：y随着x的增大而减小， ， 解得． （3）解：当时，函数的解析式为， ， y随x的增大而增大， 当时，时，y取得最大值， 故y的最大值为． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·期中）已知一次函数． (1)若函数值随的增大而减小，求的取值范围 (2)若函数图象经过点，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查一次函数的图象和性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据y随x的增大而减小，可知，据此可求m的范围； （2）因为图象过，代入函数解析式即可求得m的值． 【规范解答】（1）解：∵函数值随的增大而减小， ∴， ∴； （2）解：∵函数图象经过点，代入得 ， 解得． 考点24 比较一次函数值的大小 【典例精讲】（25-26八年级上·四川成都·期中）直线上有两个点，，则 （填“”，“ ”或“” ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一次函数性质，熟练掌握函数的性质是解题的关键．根据函数的性质，结合时，随的增大而增大解答即可． 【规范解答】解：由条件可知故函数值随的增大而增大， ， ， 故答案为：． 【变式训练】（25-26八年级上·山西晋中·期中）若点和是一次函数图象上的两点，则m与n的大小关系为m n．（填“”“ ”或“=”） 【答案】 【思路点拨】根据函数的性质，结合时，y随x的增大而减小解答即可． 本题考查了一次函数性质，熟练掌握函数的性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵一次函数中，， ∴函数值y随x的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 考点25 分配方案问题(一次函数的实际应用) 【典例精讲】（2025·青海西宁·中考真题）西宁将丁香定为市花，是这座城市同丁香的精神共鸣——坚韧、顽强、浪漫．某小区物业计划购买白丁香、紫丁香两个品种的丁香，用于美化小区．若购买12株白丁香和7株紫丁香共1160元；购买9株白丁香和14株紫丁香共1570元． (1)求白丁香和紫丁香的单价分别是多少？ (2)该小区物业计划购买白丁香和紫丁香共45株，其中紫丁香至少购买20株，怎样购买总费用最少？最少费用为多少元？ 【答案】(1)50元；80元 (2)购买紫丁香20株，白丁香25株；2850元 【思路点拨】本题考查二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，正确地列出方程组和一次函数关系式是解题的关键： （1）设白丁香的单价为x元，紫丁香的单价为y元，根据买12株白丁香和7株紫丁香共1160元；购买9株白丁香和14株紫丁香共1570元，列出方程组进行计算即可； （2）设购买紫丁香m株，总费用为w元，列出一次函数关系式，利用一次函数的性质求最值即可． 【规范解答】（1）解：设白丁香的单价为x元，紫丁香的单价为y元． 根据题意，列方程组 解方程组得； 答：白丁香的单价为50元，紫丁香的单价为80元； （2）解：设购买紫丁香m株，则购买白丁香株，总费用为w元． 根据题意， ∵ ∴w随m的增大而增大 又∵， ∴当时，． 答：购买紫丁香20株，白丁香25株时，总费用最少，最少费用为2850元． 【变式训练】（24-25八年级上·云南保山·期末）“旅居云南，车旅兴滇”，露营成为休闲新风尚，为文旅消费注入新活力．某景区为提升消费体验，现需购买甲、乙两种型号的营地房车，乙型房车的单价比甲型房车的单价多10万元．用240万元购买甲型房车的数量与用360万元购买乙型房车的数量相等． (1)求甲型房车、乙型房车的单价分别是多少万元？ (2)若该景区需要购买甲、乙两种型号的营地房车共20辆（两种型号的房车均需购买），其中购买乙型房车的数量不少于8辆．为使总费用最低，应购买甲型房车和乙型房车各多少辆？最低总费用为多少万元？ 【答案】(1)甲型房车的单价为20万元，乙型房车的单价为30万元 (2)应购买甲型房车12辆，乙型房车8辆时，最低总费用为480万元 【思路点拨】本题主要考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数求最值的运用． （1）设甲型房车的单价为x万元，则乙型房车的单价为万元，结合题意，列分式方程求解即可； （2）设购买甲型房车a辆，则购买乙型房车辆，根据购买乙型房车的数量不少于8辆，列出一元一次不等式，得到a的取值范围，设总费用为w元，由题意列出w关于a的一次函数关系式，根据一次函数求最值的方法即可求解． 【规范解答】（1）解：设甲型房车的单价为x万元，则乙型房车的单价为万元， ∵用240万元购买甲型房车的数量与用360万元购买乙型房车的数量相等， ∴， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴， ∴甲型房车的单价为20万元，乙型房车的单价为30万元； （2）解：设购买甲型房车a辆，则购买乙型房车辆， ∵购买乙型房车的数量不少于8辆， ∴， 解得， 设总费用为w万元， 由题意可得：， ∴w随a的增大而减小， ∴当时，w最小，此时，， 答：为使总费用最低，应购买甲型房车12辆，乙型房车8辆时，最低总费用为480万元． 考点26 最大利润问题(一次函数的实际应用) 【典例精讲】（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）为助力乡村振兴，某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.6万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量不超过25吨． (1)若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为253万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？（注：用二元一次方程组解决问题） (2)求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润． 【答案】(1)这个月该公司销售甲、乙两种特产分别为17吨，83吨 (2)该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润是30万元 【思路点拨】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和方程的知识解答． （1）根据题意，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得这个月该公司销售甲、乙两种特产分别为多少吨； （2）根据题意，可以得到利润与甲种特产数量的函数关系式，再根据甲种特产的取值范围和一次函数的性质，可以得到利润的最大值． 【规范解答】（1）解：设销售甲种特产x吨，销售乙种特产y吨， 根据题意得，， 解得，， 答：这个月该公司销售甲、乙两种特产分别为17吨，83吨； （2）解：设利润为w万元，销售甲种特产a吨， ， ∵， ∴当时，w取得最大值，此时， 答：该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润是30万元． 【变式训练】（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）某商场销售甲、乙两种服装，其进价与售价的情况如下表： 进价/（元/件） 售价/（元/件） 甲种服装 160 210 乙种服装 120 150 现计划购进这两种服装共100件，其中甲种服装不少于60件．设购进甲种服装x件，两种服装全部售完，商场获利y元． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)若购进100件服装的总费用不超过15000元，求最大利润． (3)在（2）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠a元的价格进行优惠促销活动，乙种服装每件的进价减少元，售价不变，且．若最大利润为4000元，求b的值． 【答案】(1) (2)最大利润为4500元 (3)b的值为4 【思路点拨】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的性质，根据题意建立函数关系式是求解本题的关键． （1）由总利润等于两种服装的利润之和可得函数关系式． （2）先求解自变量x的取值范围，再根据一次函数增减性求最值． （3）先建立总利润关于x的函数关系式，再结合一次函数的性质，建立关于b的方程求值即可． 【规范解答】（1）解：， 即y与x之间的函数关系式为． （2）解：由题意，得 解得． ∵在中，， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，y有最大值，最大值为（元）， ∴最大利润为4500元． （3）解： ． 又∵， ∴， ∴． ∵，此时y随x的增大而增大， ∴当时，． ∵最大利润为4000元， ∴， 解得，符合题意， ∴b的值为4． 考点27 行程问题(一次函数的实际应用) 【典例精讲】（25-26八年级上·广东深圳·期中）【综合与实践】甲乙两人匀速从学校出发到米处的图书馆看书，甲出发分钟后，乙以米/分的速度沿同一路线行走．学习了一次函数以后，同学们用一次函数来研究行程问题．小明同学绘制两人到学校的距离（米）与甲出发时间（分钟）的函数图像（如图），小敏同学绘制了甲乙两人相距（米）与甲行走的时间为（分）函数图像的一部分（如图）．根据图像回答下列问题： (1)甲行走的速度为______米/分；乙到学校的距离的函数表达式______． (2)在图中______分钟；______米； (3)在图坐标系中，补画关于函数图象的剩余部分；这一部分的函数表达式为：______；它对应的自变量的取值范围是______； (4)当甲出发______分钟时甲、乙两人相距米． 【答案】(1)； (2)；； (3)作图见解析， (4)和． 【思路点拨】本题考查了一次函数的实际应用（行程问题），涉及函数表达式、图像交点、距离计算等知识点，熟练结合行程问题的数量关系（路程速度时间）分析函数图像是解题的关键． （1）利用 “速度路程时间” 结合图像中甲的行程数据，求出甲的速度；根据乙的出发时间、速度，推导其到学校距离的函数表达式； （2）结合 “相遇时路程相等” 列方程求出相遇时间；根据甲、乙到达图书馆的时间，计算对应时刻的路程差得到； （3）分析乙到达图书馆后甲的行程，推导剩余部分的距离函数表达式及自变量范围； （4）分两种情况，结合距离关系列方程求解甲出发的时间 【规范解答】（1）解：由图可得甲行走的速度为：（米/分钟） 由题意得：； （2）解：由得：， 当时，，， （米）； （3）解：由（2）知，时，乙到达图书馆，此时两人相距米， （分钟）， 甲再经过分钟到达图书馆，此时， 补画关于函数图象的剩余部分如图所示： 这一部分的函数表达式为：， 它对应的自变量的取值范围是； （4）解：由， 得， 由， 得， 甲出发分钟或分钟，甲、乙两人相距米． 【变式训练】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）甲、乙两辆汽车同时从相距千米的，两地沿同一条公路相向而行（甲由到，乙由到），（千米）表示汽车离地的距离，（分钟）表示汽车行驶的时间，如图，，分别表示两辆汽车的与之间的关系． (1)求、分别表示的两辆汽车的与之间的关系式； (2)小时后，两车相距多少千米？ (3)点的实际意义是什么？此时甲车行驶的路程是多少千米？ 【答案】(1)的解析式为，的解析式为 (2)小时后，两车相距千米 (3)点的实际意义是甲、乙两辆汽车相遇，此时甲车行驶的路程是千米 【思路点拨】本题主要考查了一次函数的实际应用，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求代入分别求出直线、的函数值即可得到答案； （3）点的实际意义是甲、乙两辆汽车相遇，两者相遇时，距离地距离相同，即两直线函数值相同，则联立两直线解析式求出交点坐标，即可得到答案． 【规范解答】（1）解：设的解析式为，把点代入得， ， 的解析式为； 设的解析式为，把点、代入得 ， 解得， 的解析式为； （2） 分钟， 在中，当时，， 在中，当时，， （千米）， 答：小时后，两车相距千米； （3）点的实际意义是甲、乙两辆汽车相遇， 当甲、乙两辆汽车相遇时，汽车离地的距离相同， 联立， 解得， （千米）， 答：点的实际意义是甲、乙两辆汽车相遇，此时甲车行驶的路程是千米． 考点28 梯度计价问题 【典例精讲】（25-26八年级上·广东茂名·期中）为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费．下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准： 计费档 户年用水量 单价/(元) 第一档 第二档 第三档 (1)当时，写出水费(单位：元)与之间的关系式； (2)某户一年用水量是，求该户这一年的水费； (3)某户去年一年的水费是元，求该户去年一年的用水量． 【答案】(1)当时， (2) (3) 【思路点拨】本题主要考查分段函数的运用，理解表格中每档的费用，正确列式求解是关键． （1）根据题意得到第一档的费用，结合分段函数列式求解即可； （2）根据得到某用户的用水量处于第二档，代入计算即可求解； （3）根据题意得到该用户的用水量处于第二档，将代入（1）中关系式即可求解． 【规范解答】（1）解：第一档的水费为（元）， 第二档的水费为， ∴水费（单位：元）与之间的关系式为：； （2）解：当某户一年用水量是时，处于第二档， 当时，（元）； （3）解：当时，水费为（元）， ∵， ∴该户去年一年的用水量在第二档， 当时，， 解得， ∴该户去年一年的用水量为． 【变式训练】（25-26八年级上·山西晋中·期中）某市居民用电收费采用分段计费，计费方式如表所示： 月用电量 每月用电不超过千瓦时的部分 每月用电超过千瓦时，不超过千瓦时的部分 每月用电超过千瓦时的部分 计费单价 元/千瓦时 元/千瓦时 元/千瓦时 设每月用电量为千瓦时，应交电费元． (1)当月用电量千瓦时时，与的函数关系式为___________；当月用电量千瓦时时，与的函数关系式为___________． (2)小新家十月份的用电量为千瓦时，求他家十月份应交电费多少元． (3)小明家十月份交电费元，求他家十月份用电多少千瓦时． 【答案】(1)； (2)元 (3)千瓦时 【思路点拨】本题主要考查一次函数的应用． （1）根据题意分别列出两个函数关系式即可； （2）根据题意将其代入（1）中第二个函数关系式即可； （3）根据题意得出用电量超过了千瓦时，然后代入（1）中第二个函数关系式即可；理解题意，列出相应的函数关系式是解题关键． 【规范解答】（1）解：当时，与的函数关系式为； 当时，与的函数关系式为，即． 故答案为：；． （2）解：， （元） 答：他家十月份应交电费元． （3）解：当时，（元） ， 小明家十月份的用电量超过了千瓦时． 把代入中，得． 答；他家十月份用电千瓦时． 考点29 其他问题(一次函数的实际应用) 【典例精讲】（25-26八年级上·广东佛山·月考）共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，下面图象反映了收费元与骑行时间之间的对应关系，其中A品牌收费方式对应，B品牌的收费方式对应，小明同学求出与x的函数解析式是，请根据相关信息，解答下列问题： (1)求关于x的函数解析式； (2)请说明图中函数与图象的交点P表示的实际意义； (3)如果小明每天早上骑行A品牌或B品牌的共享电动车去上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为 ，小明家到工厂的距离为，那么小明选择______品牌共享电动车更省钱；填“A”或“B” (4)当x为何值时，两种品牌共享电动车收费相差4元？请写出过程． 【答案】(1)关于x的函数解析式为 (2)交点P表示骑行20分钟时，A、B两个品牌的共享电动车收费相同，均为8元 (3)A (4)当x为5或40时，两种品牌共享电动车收费相差4元 【思路点拨】本题考查一次函数的应用，写出关于x的函数解析式、掌握绝对值方程的解法是解题的关键． （1）求出B品牌共享电动车每分钟的收费，再根据“B品牌的收费每分钟的收费骑行时间”写出关于x的函数解析式即可； （2）根据一次函数的交点的意义联系实际说明即可； （3）根据时间路程速度求出小明骑共享电动车从家到工厂所用的时间，再比较与的大小即可； （4）根据x的取值范围，将和关于x的函数解析式分别代入，得到关于x的绝对值方程并求解即可． 【规范解答】（1）解：品牌共享电动车每分钟收费元， 关于x的函数解析式为； （2）解：交点P表示骑行20分钟时，A、B两个品牌的共享电动车收费相同，均为8元； （3）解：小明骑共享电动车从家到工厂用时（分钟）， 由图象可知，当时，， 小明选择A品牌共享电动车更省钱， 故答案为：A； （4）解：当时，，即， 解得， 当时，，即， 解得舍去或， 当x为5或40时，两种品牌共享电动车收费相差4元． 【变式训练】（25-26八年级上·江苏南京·月考）项目式学习． 【项目主题】重视水龙头滴水的浪费现象． 【项目背景】日常生活中，经常存在由于水龙头阀门损坏，从而出现水龙头不断向外滴水的情况，造成水资源浪费．某校学习小组以“重视水龙头滴水的浪费现象”为主题展开项目学习． 【驱动任务】探究水龙头滴水量与时间的关系． 【研究步骤】①准备好量筒和计时器； ②确定因损坏而滴水的水龙头； ③在控制影响水龙头滴水量的其他变量（如刮风等）的情况下，将量筒放在所选水龙头正下方接水，每隔一分钟记录量筒中的总水量．但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经接了少量的水，因而得到如下表所示的一组数据； 时间 总水量 ④分析数据，形成结论． 【问题解决】请根据此项目实施的相关材料完成下列任务： (1)①根据上表中的数据，判断量筒中的总水量与时间是 （填“正比例”或“一次”）函数关系；②求与之间的函数关系式； (2)已知所用量筒的量程是，求当计时多少分钟时，量筒内的水刚好到达量程的最大刻度处； (3)若一个人一天大约饮用的水，求这个水龙头天的滴水量可供一个人饮用多少天． 【答案】(1)①一次；② (2)19.6分钟 (3)48天 【思路点拨】本题考查了一次函数的应用，正确求出一次函数的解析式是解此题的关键． （1）①观察表格数据即可得解，②设V与t的函数关系式为，利用待定系数法求解即可； （2）令，可得，求解即可； （3）由（1）可知，这个水龙头每分钟滴水，求出10天滴水量，除以一个人一天大约饮用的水，即可得解． 【规范解答】（1）解：①根据上表中的数据，发现总水量随时间的变化是均匀的，故量筒中的总水量与时间是一次函数关系； ②设V与t的函数关系式为， 把和代入得， 解得， 则． （2）解：令，可得， 解得， 则当计时19.6分钟时，量筒内的水刚好到达量程的最大刻度处． （3）解：由（1）可知，这个水龙头每分钟滴水， ∴10天滴水， ∵（天）， ∴这个水龙头10天的滴水量可供一个人饮用48天． 考点30 一次函数与几何综合 【典例精讲】（25-26八年级上·浙江金华·月考）如图，已知直线分别与轴，轴交于，两点，直线：交于点． (1)求，两点的坐标； (2)如图1，点是线段的中点，连接，点是射线上一点，当，且时，求的长； (3)求出当是等腰三角形时直线的函数解析式 (4)如图3，若，过点，交轴于点，此时在轴上是否存在点，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或 (4)或 【思路点拨】此题主要考查一次函数与几何综合，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象与性质及分类讨论． （1）根据直线与坐标轴的坐标特点即可求解； （2）连接，根据题意可证明，得到，求出，再利用在中，由股定理求得； （3）分，两种情况讨论，分别求出直线的函数解析式即可； （4）根据平行求出直线的函数表达式为，得到，，再分当点在点左侧，当点在点右侧分别进行求解． 【规范解答】（1）解：∵直 ， 当时，， 当时，， ∴，两点的坐标分别为，． （2）如图，连接， ∵，两点的坐标分别为，， ． ， ． ， ． ， ． ，． ∵点是线段的中点， ． ． （3）如图，当时，过点作轴，于点， ， ． 轴， ． ． ． ， ． ． 点的坐标为：． ∴直线的函数解析式为：． 如图，当时，过点作轴，于点， ， ，． ． ． 点的坐标为：． ∴直线的函数解析式为：． 综上所述，直线的函数解析式为：或． （4）存在， ∵，，， ∴直线的解析式为． 当时， ∴． ． ， ． 如图，当点在点左侧时，在上取， 又，， ． ． ， ． ∴此时点即为所求． ， ． ∴点的坐标为． 如图，当点在点右侧时， ，， ． 设，则， 由勾股定理得，， ，解得． 此时的坐标为． 综上所述，在轴上存在点，使，点的坐标为或． 【变式训练】（25-26八年级上·江苏盐城·月考）（1）如图1，与都是等腰三角形，，且，则与的数量关系是______； （2）如图2，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，在第二象限内直线l上取一点C，使得点C到原点O的距离等于3，且，以为直角边在的左侧作等腰直角，且，连接，求线段的长； （3）如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B为x负半轴上一动点，以为边在直线的右侧作等边，若点P为的中点，连接，求长的最小值． 【答案】（1）；（2）4；（3）3 【思路点拨】（1）先得到，再证明，然后利用全等三角形的对应边相等可得结论； （2）由与x轴、y轴分别交于点A、B，得到，求得，得到，过C作轴于E，过D作轴于F，得到，根据等腰直角三角形的性质得到，根据勾股定理得到，求得，根据全等三角形的性质得到，，求得； （3）在x轴的正、负半轴上各取一点H、J，连接，使，作直线，可证明，则，所以，则点C在经过点H且与x轴的夹角等于的直线上运动，设直线交y轴于点E，作于点F，则，由，点P为的中点，得，再证明，得，，所以，，由，求得PC的最小值为3，于是得到问题的答案． 【规范解答】解：（1）， 理由：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； 故答案为：； （2）∵与x轴、y轴分别交于点A、B， ∴， ∴， ∴， 过C作轴于E，过D作轴于F， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）在x轴的正、负半轴上各取一点H、J，连接，使，作直线， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点C在经过点H且与x轴的夹角等于的直线上运动， 设直线交y轴于点E，作于点F，则， ∵， ∴， ∵点P为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为3． 考点31 利用图象法解一元一次方程 【典例精讲】（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，直线经过点，则方程的解为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一次函数与一元一次方程，熟知一元一次方程与一次函数的关系是解题的关键．利用自变量时对应的函数值为3可确定程的解． 【规范解答】解：∵一次函数的图象经过点， ∴当时，， ∴关于x的一元一次方程的解为． 故答案为：． 【变式训练】（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，点是一次函数图象上的一点，则方程的解是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，掌握数形结合的数学思想是解题的关键．根据一次函数的性质判断即可． 【规范解答】解：根据题意，当时，， ∴方程的解是． 故答案为：． 考点32 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【典例精讲】（25-26八年级上·山东枣庄·期中）对于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．它的图象与轴交于点 B．随的增大而减小 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 【答案】A 【思路点拨】本题考查一次函数的图象与性质，与坐标轴的交点问题以及与不等式的关系，根据一次函数的性质逐个判断即可得到答案． 【规范解答】解：A.当时，，即一次函数的图象与y轴交于点，说法正确； B.由于，则随x的增大而增大，原说法错误； C.当时，则，且随x的增大而增大，故当时，，原说法错误； D.一次函数的图象经过第一、三、四象限，原说法错误； 故选：A． 【变式训练】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）已知一次函数的图像如图所示，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系问题，利用数形结合思想求解一元一次不等式是解决本题的关键． 根据一次函数与一元一次不等式的关系问题，分析图象，即可得出答案． 【规范解答】解：不等式可以看成一次函数中函数值小于0的部分， 从图中可以看出的范围是． 故答案为：． 考点33 根据两条直线的交点求不等式的解集 【典例精讲】（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，已知函数和的图象交于点，这两个函数的图象与轴分别交于点、． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题主要考查了一次函数解析式的求法，一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程，解题的关键是求一次函数与坐标轴的交点． （1）把点分别代入函数和，求出a、b的值即可； （2）根据（1）中两个函数的解析式得出A、B两点的坐标，再由三角形的面积公式即可得出结论； （3）直接观察函数图象即可得出结论． 【规范解答】（1）解：将点代入，得， 解得， ， 将点代入，得， 解得， ； （2）在中，令，得， 解得， ， 在中，令，得， 解得， ； （3）由函数图象可知：当时，，当时，， 所以当时，． 【变式训练】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知一次函数和． (1)若这两个函数的图象交于点，求证：点一定不在直线上； (2)若，当时，函数有最大值7，求的值； (3)当时，对于的每一个值，都成立，直接写出的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)的值为1或 (3) 【思路点拨】本题主要考查了一次函数的性质与一次不等式的综合应用，熟练掌握一次函数的增减性、函数交点与不等式的关系是解题的关键． （1）把代入函数验证结论即可； （2）先表示出的表达式，根据一次函数的增减性，分和两种情况，结合自变量范围求的值； （3）结合时，分析求解的取值范围． 【规范解答】（1）证明：时，和， ， 点一定不在直线上； （2）解：（）， ① 若，即， ∵ 随增大而增大，且， ∴ 当时，取最大值， ∴， 解得； ② 若，即， ∵ 随增大而减小，且， ∴ 当时，取最大值， ∴， 解得， 综上，的值为或． （3）解：∵当时，恒成立，即， ∴， 当时，恒成立，故满足题意． 当时，随的增大而减小，需满足时值大于，即，解得， 当时，解得，这与当时，恒成立矛盾，应舍去， ∴． 考点34 两直线的交点与二元一次方程组的解 【典例精讲】（25-26八年级上·甘肃甘南·月考）如果关于x、y的方程组无解，那么直线不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【思路点拨】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，掌握一次函数图象与系数的关系是解题的关键． 方程组无解时，两直线平行，即，代入直线解析式，分析其经过的象限即可． 【规范解答】解：∵方程组无解， ∴两直线平行， ∴， ∴直线解析式为， 当时，，与y轴交于负半轴； 当时，，与x轴交于负半轴； 又∵， ∴直线经过第二、三、四象限，不经过第一象限． 故选A． 【变式训练】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，已知直线经过点，，直线与该直线交于点． (1)求两直线交点的坐标； (2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查的是待定系数法求解析式和一次函数与一元一次不等式的关系，解题的关键是会用待定系数法求直线解析式． （1）利用待定系数法代入求出直线的表达式即可；两直线的解析式联立方程组，解方程组得到点的坐标； （2）根据图象，找出点右边的部分且在x轴上方的的取值范围即可． 【规范解答】（1）解：直线经过点， ， 解得， 直线的表达式为； ∵直线与直线相交于点， ， 解得， 点的坐标为：； （2）解：由图象可知，点右边直线在的上面， 不等式的解集为： ． 考点35 求直线围成的图形面积 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，已知直线与轴，轴交于点，点，直线经过点，与直线交于点． (1)求点的坐标； (2)点为直线上一动点，若有，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【思路点拨】本题主要考查了一次函数与几何图形，一次函数与一元一次方程， （1）将点代入直线，可得答案； （2）先根据一次函数与坐标轴的交点可得，进而求出，再求出，结合题意可得，然后设，根据面积相等得出答案． 【规范解答】（1）解：点在直线上， ∴，解得， 即； （2）解：直线与轴交于点， 将代入得， 解得， ，即； 又， ∴， ， ． 又， ， 设 ． ， 解得或， 或． 【变式训练】（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，直线分别交y轴，x轴于A，B两点，直线分别交y轴，x轴于C，D两点，直线，相交于P点． (1)方程组的解是______； (2)求直线，与x轴围成的三角形面积； 【答案】(1) (2)直线，与x轴围成的三角形面积为 【思路点拨】本题考查了一次函数图象的交点坐标与二元一次方程组解的关系、图象与坐标轴围成面积等知识点，一次函数知识点的熟练运用是解题关键， （1）根据一次函数图象的交点坐标与二元一次方程组解的关系即可求得； （2）分别求出A、C两点的坐标，然后根据坐标求出长度，代入面积公式即可求得. 【规范解答】（1）解：∵直线与直线相交于点， ∴方程组的解是； （2）解：当时，， 解得：， ， 当时，， 解得：， ， ， ∴直线，与x轴围成的三角形面积． 1．（2024·陕西咸阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与长方形的边、分别交于点E、F，与y轴交于点G，已知，，则梯形的面积为 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了一次函数的坐标特征、梯形面积公式，解题的关键是求出点、的坐标，确定梯形的上下底和高． 先求直线与轴交点的坐标，得的长度；再根据长方形边长确定点的横坐标，代入直线解析式求其纵坐标，得的长度；最后用梯形面积公式计算． 【规范解答】解：令直线中，则，故． ∵， ∴ ∵长方形中，，故点横坐标为， 代入直线解析式：，即． ∵， ∴． 梯形的高为， 则． 故答案为：． 2．（2024·福建漳州·中考真题）已知的顶点在轴上，顶点在轴上，且．点的坐标为（0,3），点的坐标为（-1,0），．过点作直线轴交于点，交轴于点．则线段的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形全等的性质与判定等，解题关键是熟悉相关定理． 过作轴，证明，得到，，进而得到点坐标，然后利用的坐标得到的直线方程式为，利用轴,代入方程式得到点坐标，两点轴上坐标值相减即可得到答案． 【规范解答】解：∵，， ∴，， 过作轴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同时，， ∴， ∴，， ∴， ∴的坐标为， 根据，， 求得的直线方程式为， ∵， ∴的纵坐标为， 代入方程式得到，， ∴． 故答案为：． 3．（2024·山东济南·中考真题）定义：已知，若点的对应点在的内部或边上，则称点为的“纵横叠入点”．在平面直角坐标系中，点，，，点是直线上的一点，若点为的“纵横叠入点”，且是等腰三角形，则点的坐标为 ． 【答案】或 【思路点拨】本题考查一次函数的综合应用，等腰三角形的性质，坐标与图形，掌握数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．设，则，进而得到点在直线上，根据是等腰三角形，分，两种情况讨论，求出点坐标，进而求出点坐标． 【规范解答】解：∵点，，， ∴，， 设，则， ∴点在直线上， 当是等腰三角形，分两种情况： ①当时，过点作， 则， ∵， ∴，两点重合， ∴， ∴， ∴； ②当时，过点作， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上可知：点的坐标为：或． 故答案为：或． 4．（2024·辽宁沈阳·中考真题）如图，点在一次函数的图象上，它们的横坐标依次为，，，分别过这些点作轴与轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（   ） A． B． C．3 D．6 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及函数图象，根据一次函数上点的坐标特征，得出三个三角形均是底为，高为的直角三角形是解题的关键． 轴于点，轴于点，轴于点，交轴于点，并求得各点坐标，计算出长度，利用三角形面积公式即可计算出答案． 【规范解答】解：如图，轴于点，轴于点，轴于点，交轴于点， 可知，点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为， 故，， 因此阴影部分的面积和为． 故选：C． 5．（2024·四川达州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，直线与直线相交于点． (1)求，的值； (2)直线与轴交于点D，动点P从点D开始沿射线DA以每秒1个单位的速度向左运动，设点P的运动时间为t秒． ①若的面积为12，求t的值； ②是否存在一点P，使为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，． (2)①或；②存在，点P的坐标为或或或． 【思路点拨】本题考查了一次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、点到直线的距离等知识．注意（2）的②的分类讨论求解，避免遗漏． （1）由点C在直线上，可求出m的值．又由点C在直线上，即可求出n的值． （2）①根据题意即可求出A、D点坐标和，从而可知的长，即为三角形的底，再利用三角形面积公式即可求出． ②画出图形，分情况进行解答即可． 【规范解答】（1）∵点在直线上， ∴， ∴； 即又在直线上， ∴ ， ∴． （2）①由题意得：， 对于直线，令，得， ∴ 对于直线，令，得， ∴ 当点在线段上，， ∴， ∴． 当点在点的左侧时，， ∴， ∴． 综上可知，t的值为或； ②存在， 当时，如图,过C作于E， ∴， ∴， ∴． ∴， 当时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ． ∴， 当时，如图，当点P在线段上时， ， ∴， ∴ ∴， 当时，如图，当点P在点的左侧时， ， ∴． ∴， 综上，点P的坐标为或或或． 基础夯实 1．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）若点，都在直线上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【思路点拨】本题考查一次函数的性质，利用增减性比较函数值大小时，需注意自变量的取值与函数值的变化关系． 根据一次函数中，可知y随x的增大而增大．比较点A和点B的x坐标大小即可得出和的大小关系． 【规范解答】解：∵ 一次函数，， ∴ y随x的增大而增大， ∵ 点A的横坐标，点B的横坐标，且， ∴ ． 故选：A． 2．（25-26八年级上·新疆·开学考试）把的图象沿轴向下平移5个单位后所得图象的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查一次函数的平移，根据一次函数图象平移的规律，沿y轴向下平移时，函数关系式中的常数项减去平移单位即可． 【规范解答】解：∵原函数为 ，沿y轴向下平移5个单位， ∴新函数为 ． 故选：C． 3．（25-26八年级上·江西吉安·期中）已知点和是一次函数图象上的两点，且，则与的大小关系为 （填“”“”或“”） 【答案】 【思路点拨】本题考查了一次函数的性质，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． 根据一次函数的性质即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴随着的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 4．（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）点在函数的图象上，则点的坐标是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了正比例函数的性质． 将代入计算即可． 【规范解答】解：∵点在函数的图象上， ∴， 即点A的坐标为． 故答案为：． 5．（25-26八年级上·陕西西安·期中）某省由于持续高温和连日无雨，水库蓄水量普遍下降，如图所示是某水库蓄水量（万立方米）与干旱时间（天）之间的关系图． 请你根据此图填空： (1)水库原蓄水量是_______万立方米，若水库的蓄水量小于400万立方米时，将发出严重干旱预报，问持续干旱_______天后，发出严重干旱预报； (2)若该水库在此旱情下干涸时，计算旱情持续的天数． 【答案】(1)1000，30 (2)持续干旱50天时，水库的水将干涸 【思路点拨】本题考查一次函数的实际应用，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）从图象中获取信息作答即可； （2）待定系数法求出函数解析式，求出时的值，即可得出结果． 【规范解答】（1）解：由图象可知，水库原蓄水量是1000万立方米，当时，，故持续干旱30天后，发出严重干旱预报； （2）设关于的函数表达式为：， 由题意可得， 解得， 所以函数表达式为． 当时，， 解得． 故持续干旱50天时，水库的水将干涸． 培优拔高 6．（25-26八年级上·山西运城·期中）下列关于一次函数的图象性质的说法中，不正确的是（    ） A．直线与y轴交点的坐标是 B．直线经过第一、三、四象限 C．与坐标轴围成的三角形面积为6 D．直线过点 【答案】D 【思路点拨】本题考查一次函数与坐标轴的交点、一次函数的图象与性质、一次函数的几何问题，把代入求得即可判断选项A；利用一次函数的图象与性质即可判断选项B；利用三角形的面积公式求解即可判断选项C；将代入计算即可判断选D． 【规范解答】解：A、∵当时，， ∴直线与y轴交点的坐标是，正确； B、∵，， ∴直线经过第一、三、四象限，正确； C、直线与y轴交点的坐标是， 当时，， ∴， ∴直线与x轴交点的坐标为， ∴直线与坐标轴围成的三角形面积为：，正确； D、当时，， ∴直线不过点，故不正确； 故选：D． 7．（24-25八年级上·重庆·期中）直线和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了一次函数的图象与性质，根据一次函数的图象判断和的取值范围，看是否一致，逐项分析即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【规范解答】解：A、由图象可得：直线经过第一、二、四象限，故，；直线经过第二、三、四象限，故，，即，，互相矛盾，故不符合题意； B、由图象可得：直线经过第一、二、三象限，故，；直线经过第一、二、四象限，故，，即，，互相矛盾，故不符合题意； C、由图象可得：直线经过第一、三、四象限，故，；直线经过第二、三、四象限，故，，即，，故符合题意； D、由图象可得：直线经过第一、二、四象限，故，；直线经过第一、三、四象限，故，，即，，互相矛盾，故不符合题意； 故选：C． 8．（25-26八年级上·四川成都·月考）设直线与两坐标轴所围成的三角形的面积，则的值 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是一次函数的性质，根据题意求出三角形面积的式子是解答此题的关键． 根据直线的解析式求出直线与两坐标轴的交点坐标，进而用含k的式子表示出直线与两坐标轴围成的三角形的面积，并将式子变形，最后令k分别等于进行求解即可． 【规范解答】解：当时， ， 当时， 解得， ∴三角形面积 ， ∴， ∴ ． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，已知△顶点坐标分别为点、，，是过点与轴垂直的直线．若直线上存在点，使点关于直线的对称点在△的内部或边上，则的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化对称，数形结合是解题的关键．求得直线经过点关于直线的对称点时的的值，求得直线经过点关于直线的对称点时的的值，结合图形即可求解． 【规范解答】解：点、，，是过点， 关于直线的对称点为，关于直线的对称点为， 如图，当经过点时，则，解得， 当直线经过点时，则，解得， 故由图形可知，若直线上存在点，使点关于直线的对称点在△的内部或边上，则的取值范围是． 故答案为：． 10．（25-26八年级上·陕西西安·月考）中秋节期间，小颖回家乡大团圆聚餐后，主动帮忙洗碗，她发现如果将一些相同规格的碗整齐地摞在一起，这摞碗的总高度与碗的数量之间有一定的关系．经过测量发现，1个碗的高度为，3个碗摞起来的总高度为，5个碗摞起来的总高度为．设y（cm）表示这种规格的碗摞起来的总高度，x（个）表示所摞碗的数量． (1)根据测量的数据，求y与x之间的关系式． (2)借助你得出的关系式，解决下列问题： ①当10个这种规格的碗摞在一起时，求这摞碗的总高度； ②当这摞碗的总高度为时，求所摞碗的数量． 【答案】(1) (2)①；②8 【思路点拨】本题主要考查了一次函数的图象和性质，利用待定系数法求函数解析式，求自变量和函数值等问题，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）①根据自变量的值求函数值即可； ②根据函数值求自变量的值． 【规范解答】（1）解：根据题意得，y与x之间是一次函数关系， 假设y与x之间的关系式为， 将代入解析式得， 解得， ∴y与x之间的关系式为； （2）解：①当时，， ∴当10个这种规格的碗摞在一起时，这摞碗的总高度为； ②当时，， 解得， ∴当这摞碗的总高度为时，所摞碗的数量为8． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.6 一次函数（章节复习） （知识梳理+35个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共85题） 【原卷版】 知识梳理 技巧点拨 3 知识点梳理01：函数的有关概念 3 知识点梳理02：一次函数的概念 3 知识点梳理03：一次函数的图象 3 知识点梳理04：一次函数的性质 3 知识点梳理05：确定一次函数表达式 4 知识点梳理06：图象的平移 5 知识点梳理07：两条直线间的位置关系 5 知识点梳理08：两条直线间的位置关系 5 知识点梳理09：一次函数与方程（组） 5 知识点梳理10：一次函数与不等式 6 知识点梳理11：一次函数的应用 6 优选题型 考点讲练 6 考点1 用表格表示变量间的关系 6 考点2 用关系式表示变量间的关系 7 考点3 用图象表示变量间的关系 7 考点4 函数的概念 7 考点5 函数解析式 8 考点6 求自变量的取值范围 8 考点7 求自变量的值或函数值 8 考点8 函数图象识别 9 考点9 从函数的图象获取信息 9 考点10 动点问题的函数图象 10 考点11 正比例函数的定义 11 考点12 识别一次函数 11 考点13 根据一次函数的定义求参数 11 考点14 求一次函数自变量或函数值 11 考点15 求一次函数解析式 12 考点16 正比例函数的图象 12 考点17 正比例函数的性质 13 考点18 根据一次函数解析式判断其经过的象限 13 考点19 已知函数经过的象限求参数范围 14 考点20 一次函数图象与坐标轴的交点问题 15 考点21 一次函数图象平移问题 15 考点22 判断一次函数的增减性 16 考点23 根据一次函数增减性求参数 16 考点24 比较一次函数值的大小 16 考点25 分配方案问题(一次函数的实际应用) 16 考点26 最大利润问题(一次函数的实际应用) 17 考点27 行程问题(一次函数的实际应用) 18 考点28 梯度计价问题 20 考点29 其他问题(一次函数的实际应用) 21 考点30 一次函数与几何综合 22 考点31 利用图象法解一元一次方程 23 考点32 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 24 考点33 根据两条直线的交点求不等式的解集 24 考点34 两直线的交点与二元一次方程组的解 25 考点35 求直线围成的图形面积 26 中考真题 实战演练 27 难度分层 拔尖冲刺 28 基础夯实 28 培优拔高 29 知识点梳理01：函数的有关概念 （1）常量、变量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，数值发生变化的量叫做 变量. （2）函数：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量． （3）函数的表示方法：列表法、图像法、解析法. （4）自变量的取值范围： 整式函数的自变量取值范围是全体实数； 分式函数自变量的取值范围是使分母不为零的实数； 二次根式函数的自变量取值范围是使被开方数为非负数的实数. 【易错点拨】 函数解析式同时有几个代数式，函数自变量的取值范围应是各个代数式中自变量的公共部分. 例：函数中自变量的取值范围是. （5）函数的图象：对于一个函数，如果把自变量与函数的对应值分别作为点的横坐标、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图象就是这个函数的图象. （6）画图象的步骤：取值、描点、连线. 知识点梳理02：一次函数的概念 一次函数：如果，那么y叫做x的一次函数． 正比例函数：当时，一次函数变成称，y叫做x的正比例函数． 知识点梳理03：一次函数的图象 一次函数的图象：一次函数的图象是一条恒经过点和的直线. 正比例函数的图象：正比例函数的图象是一条恒经过原点和直线. 知识点梳理04：一次函数的性质 （1）正比例函数的图象与性质 y=kx 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0 一、三源：学*科*网X 从左向右上升 y随着x的增大而增大 k＜0 二、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 （2）一次函数的图象与性质 y=kx+b 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0，b＞0 一、二、三 从左向右上升[来源：学科网ZXXK] y随着x的增大而增大 k＞0，b＜0 一、三、四 k＜0，b＞0 一、二、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 k＜0，b＜0 二、三、四 （3）一次函数的图象与k、b之间的联系 ①b决定直线与y轴的交点位置 时，直线交y轴于正半轴； 时，直线交y轴于负半轴； 时，直线经过原点. ②直线上坡，y随x的增大而增大；直线下坡，y随x的增大而减小. ③越大，直线越陡. 知识点梳理05：确定一次函数表达式 （1）待定系数法 步骤：设：设函数表达式为； 代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组； 解：求出k与b的值，得到函数表达式． （2）常见类型 ①已知两点确定表达式； ②已知两对函数对应值确定表达式； ③平移转化型：如已知函数是由y=2x平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要求函数的解析式为y=2x+b,再把点（0,1）的坐标代入即可. 知识点梳理06：图象的平移 一次函数向左平移m个单位后的解析式为； 一次函数向右平移m个单位后的解析式为； 一次函数向上平移m个单位后的解析式为； 一次函数向上平移m个单位后的解析式为. 平移规律：左加右减，上加下减. 知识点梳理07：两条直线间的位置关系 设直线，. (1)相交；(2)平行；(3)垂直. 补充：若直线经过，两点，则. 知识点梳理08：两条直线间的位置关系 设直线，. (1)相交；(2)平行；(3)垂直. 补充：若直线经过，两点，则. 知识点梳理09：一次函数与方程（组） (1)一次函数图象上点的坐标与二元一次方程的解一一对应. (2)二元一次方程组 的解就是两个一次函数和图象的交点坐标. (3)一元一次方程的根就是一次函数（k、b是常数，）的图象与x轴交点的横坐标. 知识点梳理10：一次函数与不等式 (1)一次函数的函数值y＞0时，自变量x的取值范围就是不等式的解集 (2)一次函数的函数值y＜0时，自变量x的取值范围就是不等式的解集 知识点梳理11：一次函数的应用 利用一次函数解决实际问题的步骤： 审—仔细审题理解题意； 找—找出实际问题中的变量和常量，明确它们之间的关系； 列—建立一次函数表达式，弄清自变量的取值范围； 解—根据题目中的已知条件，由一个变量求另一个变量，也就是解方程的过程； 验—检验结果，得出符合实际的结论. 考点1 用表格表示变量间的关系 【典例精讲】（24-25八年级上·贵州毕节·期末）为了测定某种型号小型载客汽车的刹车性能（车速不超过），测试员对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表．下面说法中，错误的是（   ） 刹车时车速v/（） 0 10 20 30 40 50 … 刹车距离s/ 0 2.5 5 7.5 10 12.5 … A．刹车时车速是自变量，刹车距离s是因变量 B．随着刹车时车速的增大，刹车距离s也随之增大 C．当刹车时车速是时，刹车距离是 D．刹车距离s与刹车时车速之间的关系式是 【变式训练】（24-25八年级上·山西太原·期中）地表以下岩层的温度随着所处深度的变化而变化，在某个地点与之间有如下关系： 1 2 3 4 55 90 125 160 根据表格，估计地表以下岩层的温度为时，岩层所处的深度为 ． 考点2 用关系式表示变量间的关系 【典例精讲】（25-26八年级上·辽宁丹东·开学考试）小军用100元去买单价为5元的笔记本，他买完笔记本之后剩余的钱元与买这种笔记本数量本之间的关系式为 ． 【变式训练】（23-24八年级上·吉林延边·期中）一根蜡烛原长10厘米，点燃后燃烧时间为分钟，所剩余蜡烛的长为厘米，其中是变量的是（   ） A．10、、 B．、 C．10、 D．10、 考点3 用图象表示变量间的关系 【典例精讲】（24-25八年级上·上海·期末）六年级学生周末去爬山，他们在半山腰的地方休息了片刻，接着一鼓作气爬到山顶，在山顶休息、观景，然后下山回到出发地．图（    ）准确地描述了这个过程． A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级上·贵州遵义·开学考试）《宋史·司马光传》中记载：群儿戏于庭，一儿登瓮，足跌没水中．众皆弃去，光持石击瓮破之，水迸，儿得活．下面各图比较符合故事情节是（     ） A． B． C． D． 考点4 函数的概念 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西西安·期中）下列各式中，y不是x的函数的是（ ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）下列各图中，不能表示y关于x的函数的是（） A． B． C． D． 考点5 函数解析式 【典例精讲】（25-26八年级上·安徽宿州·期中）一只机器狗以的平均速度在路面上行走，则它所走的路程与所用的时间之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25八年级上·广东佛山·期中）等腰三角形的周长为36，腰长为x，则底边y与腰长x的函数关系式是 ． 考点6 求自变量的取值范围 【典例精讲】（25-26八年级上·安徽六安·阶段练习）函数的自变量的取值范围是（   ） A． B．且 C． D． 【变式训练】（25-26八年级上·安徽安庆·月考）函数的自变量的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点7 求自变量的值或函数值 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）某游泳池在一次换水前存水，换水的时候打开排水孔匀速放水．设放水时间为，游泳池内的存水量为，关于的函数表达式为，放完游泳池内的水所需要的时间为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，长方形的四个顶点在互相平行的两条直线上，，当线段在平行线上向右匀速运动时，长方形的面积发生了变化． (1)在这个变化过程中，常量是______，变量是______． (2)若长方形的长为，则请用含x的式子表示长方形的面积 (3)当长方形的长从变到时，长方形的面积会怎么变化？ 考点8 函数图象识别 【典例精讲】（25-26八年级上·河南·期中）下列曲线中，表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级上·山西运城·期中）下列图象中，表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 考点9 从函数的图象获取信息 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西西安·期中）人的正常体温在之间，但一天中的不同时刻体温略有差别，如图反映了一天内安安的体温变化情况，其中x表示一天中的时间，T表示安安的体温，下列说法中，不正确的是（ ） A．图中反映了一天中的时间与安安体温之间的关系 B．安安在时的体温为 C．图中的自变量是时间x，它的取值范围是 D．安安的体温可以看成一天中的时间的函数 【变式训练】（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）如图，曲线表示一只蝴蝶在飞行过程中离地面的高度随飞行时间的变化情况，则这只蝴蝶飞行的最高高度约为 ． 考点10 动点问题的函数图象 【典例精讲】（25-26八年级上·吉林·期中）如图1，在平行四边形中，动点P从点A出发，沿折线方向匀速运动，运动到点C时停止，设点P的运动路程为x，线段的长度为y，y与x的函数图象如图2所示，若的长为5，则的最大值为（   ） A． B． C．4 D． 【变式训练】（25-26八年级上·江西赣州·月考）如图，在矩形中，，动点从点出发沿边向终点运动，连接，以为边在上方作正方形，在点运动的过程中，阴影部分面积关于点所走的路程之间的解析式为 ． 考点11 正比例函数的定义 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西渭南·期中）已知函数（为常数，且）是正比例函数，则当时，的值为（   ） A．1 B．2 C． D．5 【变式训练】（25-26八年级上·河北邯郸·期中）若正比例函数，则的值为 ． 考点12 识别一次函数 【典例精讲】（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考）下列函数中，是的一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级上·安徽六安·期中）下列关系中，是的一次函数的是（    ） ①；②；③；④ A．①② B．①③ C．③④ D．②③ 考点13 根据一次函数的定义求参数 【典例精讲】（25-26八年级上·河南郑州·期中）定义为一次函数的特征数，例如为一次函数的特征数，若特征数为的一次函数为正比例函数，则k的值为 ． 【变式训练】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）若函数是一次函数，则的值为（   ） A．3 B． C． D．2 考点14 求一次函数自变量或函数值 【典例精讲】（25-26八年级上·河南郑州·期中）定义：一次函数和一次函数称为“逆反函数”，如和为“逆反函数”． (1)点在的“逆反函数”图象上，则_________； (2)图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点，求点的坐标． 【变式训练】（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）在一次函数中，若，则函数值 ． 考点15 求一次函数解析式 【典例精讲】（25-26八年级上·广东揭阳·月考）已知一次函数的图象与直线平行，且经过点，则一次函数的关系式是 ． 【变式训练】（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，的顶点坐标分别为． (1)请画出关于y轴的对称图形，其中，点A的对应点的坐标是______，点B的对应点的坐标是______； (2)点P为y轴上一动点，当的值最小时，请求出点P的坐标． 考点16 正比例函数的图象 【典例精讲】（25-26八年级上·山西晋中·期中）图中直线对应的函数表达式为 ． 【变式训练】（25-26八年级上·安徽宿州·期中）一次函数与（a，b为常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 考点17 正比例函数的性质 【典例精讲】（25-26八年级上·山西运城·期中）已知如下三个正比例函数：，，． (1)对于函数，当时，．请求出k的值并写出时的值； (2)写出这三个正比例函数的图象都具有的一条性质． 【变式训练】（25-26八年级上·山西运城·期中）已知正比例函数的图象经过点，则该函数的表达式为 ． 考点18 根据一次函数解析式判断其经过的象限 【典例精讲】（25-26八年级上·广东佛山·期末）函数与函数（，）在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级上·河南郑州·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象大致是（    ） A． B． C． D． 考点19 已知函数经过的象限求参数范围 【典例精讲】（25-26八年级上·山西运城·期中）一次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级上·广东深圳·期中）请任意写出一个满足下列两个条件的一次函数的表达式： ． ①图像不经过第一象限；②不是正比例函数． 考点20 一次函数图象与坐标轴的交点问题 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，动点在轴的负半轴上，连接，将沿所在直线折叠，当点的对应点恰好落在轴上时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级上·四川成都·期中）一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，在x轴上找一个点P使为等腰三角形，则点P的坐标为 ． 考点21 一次函数图象平移问题 【典例精讲】（25-26八年级上·安徽淮北·期中）已知函数，若函数是由函数向上平移3个单位长度得到． (1)求m，n 的值； (2)判断点是否在该函数图象上？ 【变式训练】（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，将直线向上平移3个单位长度，得到一个一次函数的图象，这个一次函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 考点22 判断一次函数的增减性 【典例精讲】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）下列函数中的函数值y随x的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级上·广东梅州·期中）已知一次函数，当时，y的最大值是 ． 考点23 根据一次函数增减性求参数 【典例精讲】（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）已知一次函数． (1)若图象经过原点，求的值； (2)若随着的增大而减小，求的取值范围； (3)若，当时，求的最大值． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·期中）已知一次函数． (1)若函数值随的增大而减小，求的取值范围 (2)若函数图象经过点，求的值． 考点24 比较一次函数值的大小 【典例精讲】（25-26八年级上·四川成都·期中）直线上有两个点，，则 （填“”，“ ”或“” ． 【变式训练】（25-26八年级上·山西晋中·期中）若点和是一次函数图象上的两点，则m与n的大小关系为m n．（填“”“ ”或“=”） 考点25 分配方案问题(一次函数的实际应用) 【典例精讲】（2025·青海西宁·中考真题）西宁将丁香定为市花，是这座城市同丁香的精神共鸣——坚韧、顽强、浪漫．某小区物业计划购买白丁香、紫丁香两个品种的丁香，用于美化小区．若购买12株白丁香和7株紫丁香共1160元；购买9株白丁香和14株紫丁香共1570元． (1)求白丁香和紫丁香的单价分别是多少？ (2)该小区物业计划购买白丁香和紫丁香共45株，其中紫丁香至少购买20株，怎样购买总费用最少？最少费用为多少元？ 【变式训练】（24-25八年级上·云南保山·期末）“旅居云南，车旅兴滇”，露营成为休闲新风尚，为文旅消费注入新活力．某景区为提升消费体验，现需购买甲、乙两种型号的营地房车，乙型房车的单价比甲型房车的单价多10万元．用240万元购买甲型房车的数量与用360万元购买乙型房车的数量相等． (1)求甲型房车、乙型房车的单价分别是多少万元？ (2)若该景区需要购买甲、乙两种型号的营地房车共20辆（两种型号的房车均需购买），其中购买乙型房车的数量不少于8辆．为使总费用最低，应购买甲型房车和乙型房车各多少辆？最低总费用为多少万元？ 考点26 最大利润问题(一次函数的实际应用) 【典例精讲】（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）为助力乡村振兴，某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.6万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量不超过25吨． (1)若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为253万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？（注：用二元一次方程组解决问题） (2)求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润． 【变式训练】（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）某商场销售甲、乙两种服装，其进价与售价的情况如下表： 进价/（元/件） 售价/（元/件） 甲种服装 160 210 乙种服装 120 150 现计划购进这两种服装共100件，其中甲种服装不少于60件．设购进甲种服装x件，两种服装全部售完，商场获利y元． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)若购进100件服装的总费用不超过15000元，求最大利润． (3)在（2）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠a元的价格进行优惠促销活动，乙种服装每件的进价减少元，售价不变，且．若最大利润为4000元，求b的值． 考点27 行程问题(一次函数的实际应用) 【典例精讲】（25-26八年级上·广东深圳·期中）【综合与实践】甲乙两人匀速从学校出发到米处的图书馆看书，甲出发分钟后，乙以米/分的速度沿同一路线行走．学习了一次函数以后，同学们用一次函数来研究行程问题．小明同学绘制两人到学校的距离（米）与甲出发时间（分钟）的函数图像（如图），小敏同学绘制了甲乙两人相距（米）与甲行走的时间为（分）函数图像的一部分（如图）．根据图像回答下列问题： (1)甲行走的速度为______米/分；乙到学校的距离的函数表达式______． (2)在图中______分钟；______米； (3)在图坐标系中，补画关于函数图象的剩余部分；这一部分的函数表达式为：______；它对应的自变量的取值范围是______； (4)当甲出发______分钟时甲、乙两人相距米． 【变式训练】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）甲、乙两辆汽车同时从相距千米的，两地沿同一条公路相向而行（甲由到，乙由到），（千米）表示汽车离地的距离，（分钟）表示汽车行驶的时间，如图，，分别表示两辆汽车的与之间的关系． (1)求、分别表示的两辆汽车的与之间的关系式； (2)小时后，两车相距多少千米？ (3)点的实际意义是什么？此时甲车行驶的路程是多少千米？ 考点28 梯度计价问题 【典例精讲】（25-26八年级上·广东茂名·期中）为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费．下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准： 计费档 户年用水量 单价/(元) 第一档 第二档 第三档 (1)当时，写出水费(单位：元)与之间的关系式； (2)某户一年用水量是，求该户这一年的水费； (3)某户去年一年的水费是元，求该户去年一年的用水量． 【变式训练】（25-26八年级上·山西晋中·期中）某市居民用电收费采用分段计费，计费方式如表所示： 月用电量 每月用电不超过千瓦时的部分 每月用电超过千瓦时，不超过千瓦时的部分 每月用电超过千瓦时的部分 计费单价 元/千瓦时 元/千瓦时 元/千瓦时 设每月用电量为千瓦时，应交电费元． (1)当月用电量千瓦时时，与的函数关系式为___________；当月用电量千瓦时时，与的函数关系式为___________． (2)小新家十月份的用电量为千瓦时，求他家十月份应交电费多少元． (3)小明家十月份交电费元，求他家十月份用电多少千瓦时． 考点29 其他问题(一次函数的实际应用) 【典例精讲】（25-26八年级上·广东佛山·月考）共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，下面图象反映了收费元与骑行时间之间的对应关系，其中A品牌收费方式对应，B品牌的收费方式对应，小明同学求出与x的函数解析式是，请根据相关信息，解答下列问题： (1)求关于x的函数解析式； (2)请说明图中函数与图象的交点P表示的实际意义； (3)如果小明每天早上骑行A品牌或B品牌的共享电动车去上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为 ，小明家到工厂的距离为，那么小明选择______品牌共享电动车更省钱；填“A”或“B” (4)当x为何值时，两种品牌共享电动车收费相差4元？请写出过程． 【变式训练】（25-26八年级上·江苏南京·月考）项目式学习． 【项目主题】重视水龙头滴水的浪费现象． 【项目背景】日常生活中，经常存在由于水龙头阀门损坏，从而出现水龙头不断向外滴水的情况，造成水资源浪费．某校学习小组以“重视水龙头滴水的浪费现象”为主题展开项目学习． 【驱动任务】探究水龙头滴水量与时间的关系． 【研究步骤】①准备好量筒和计时器； ②确定因损坏而滴水的水龙头； ③在控制影响水龙头滴水量的其他变量（如刮风等）的情况下，将量筒放在所选水龙头正下方接水，每隔一分钟记录量筒中的总水量．但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经接了少量的水，因而得到如下表所示的一组数据； 时间 总水量 ④分析数据，形成结论． 【问题解决】请根据此项目实施的相关材料完成下列任务： (1)①根据上表中的数据，判断量筒中的总水量与时间是 （填“正比例”或“一次”）函数关系；②求与之间的函数关系式； (2)已知所用量筒的量程是，求当计时多少分钟时，量筒内的水刚好到达量程的最大刻度处； (3)若一个人一天大约饮用的水，求这个水龙头天的滴水量可供一个人饮用多少天． 考点30 一次函数与几何综合 【典例精讲】（25-26八年级上·浙江金华·月考）如图，已知直线分别与轴，轴交于，两点，直线：交于点． (1)求，两点的坐标； (2)如图1，点是线段的中点，连接，点是射线上一点，当，且时，求的长； (3)求出当是等腰三角形时直线的函数解析式 (4)如图3，若，过点，交轴于点，此时在轴上是否存在点，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练】（25-26八年级上·江苏盐城·月考）（1）如图1，与都是等腰三角形，，且，则与的数量关系是______； （2）如图2，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，在第二象限内直线l上取一点C，使得点C到原点O的距离等于3，且，以为直角边在的左侧作等腰直角，且，连接，求线段的长； （3）如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B为x负半轴上一动点，以为边在直线的右侧作等边，若点P为的中点，连接，求长的最小值． 考点31 利用图象法解一元一次方程 【典例精讲】（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，直线经过点，则方程的解为 ． 【变式训练】（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，点是一次函数图象上的一点，则方程的解是 ． 考点32 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【典例精讲】（25-26八年级上·山东枣庄·期中）对于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．它的图象与轴交于点 B．随的增大而减小 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 【变式训练】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）已知一次函数的图像如图所示，则关于的不等式的解集为 ． 考点33 根据两条直线的交点求不等式的解集 【典例精讲】（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，已知函数和的图象交于点，这两个函数的图象与轴分别交于点、． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 【变式训练】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知一次函数和． (1)若这两个函数的图象交于点，求证：点一定不在直线上； (2)若，当时，函数有最大值7，求的值； (3)当时，对于的每一个值，都成立，直接写出的取值范围． 考点34 两直线的交点与二元一次方程组的解 【典例精讲】（25-26八年级上·甘肃甘南·月考）如果关于x、y的方程组无解，那么直线不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式训练】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，已知直线经过点，，直线与该直线交于点． (1)求两直线交点的坐标； (2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 考点35 求直线围成的图形面积 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，已知直线与轴，轴交于点，点，直线经过点，与直线交于点． (1)求点的坐标； (2)点为直线上一动点，若有，求点的坐标． 【变式训练】（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，直线分别交y轴，x轴于A，B两点，直线分别交y轴，x轴于C，D两点，直线，相交于P点． (1)方程组的解是______； (2)求直线，与x轴围成的三角形面积 1．（2024·陕西咸阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与长方形的边、分别交于点E、F，与y轴交于点G，已知，，则梯形的面积为 ． 2．（2024·福建漳州·中考真题）已知的顶点在轴上，顶点在轴上，且．点的坐标为（0,3），点的坐标为（-1,0），．过点作直线轴交于点，交轴于点．则线段的长为 ． 3．（2024·山东济南·中考真题）定义：已知，若点的对应点在的内部或边上，则称点为的“纵横叠入点”．在平面直角坐标系中，点，，，点是直线上的一点，若点为的“纵横叠入点”，且是等腰三角形，则点的坐标为 ． 4．（2024·辽宁沈阳·中考真题）如图，点在一次函数的图象上，它们的横坐标依次为，，，分别过这些点作轴与轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（   ） A． B． C．3 D．6 5．（2024·四川达州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，直线与直线相交于点． (1)求，的值； (2)直线与轴交于点D，动点P从点D开始沿射线DA以每秒1个单位的速度向左运动，设点P的运动时间为t秒． ①若的面积为12，求t的值； ②是否存在一点P，使为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 基础夯实 1．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）若点，都在直线上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 2．（25-26八年级上·新疆·开学考试）把的图象沿轴向下平移5个单位后所得图象的关系式是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·江西吉安·期中）已知点和是一次函数图象上的两点，且，则与的大小关系为 （填“”“”或“”） 4．（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）点在函数的图象上，则点的坐标是 ． 5．（25-26八年级上·陕西西安·期中）某省由于持续高温和连日无雨，水库蓄水量普遍下降，如图所示是某水库蓄水量（万立方米）与干旱时间（天）之间的关系图． 请你根据此图填空： (1)水库原蓄水量是_______万立方米，若水库的蓄水量小于400万立方米时，将发出严重干旱预报，问持续干旱_______天后，发出严重干旱预报； (2)若该水库在此旱情下干涸时，计算旱情持续的天数． 培优拔高 6．（25-26八年级上·山西运城·期中）下列关于一次函数的图象性质的说法中，不正确的是（    ） A．直线与y轴交点的坐标是 B．直线经过第一、三、四象限 C．与坐标轴围成的三角形面积为6 D．直线过点 7．（24-25八年级上·重庆·期中）直线和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·四川成都·月考）设直线与两坐标轴所围成的三角形的面积，则的值 ． 9．（25-26八年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，已知△顶点坐标分别为点、，，是过点与轴垂直的直线．若直线上存在点，使点关于直线的对称点在△的内部或边上，则的取值范围是 ． 10．（25-26八年级上·陕西西安·月考）中秋节期间，小颖回家乡大团圆聚餐后，主动帮忙洗碗，她发现如果将一些相同规格的碗整齐地摞在一起，这摞碗的总高度与碗的数量之间有一定的关系．经过测量发现，1个碗的高度为，3个碗摞起来的总高度为，5个碗摞起来的总高度为．设y（cm）表示这种规格的碗摞起来的总高度，x（个）表示所摞碗的数量． (1)根据测量的数据，求y与x之间的关系式． (2)借助你得出的关系式，解决下列问题： ①当10个这种规格的碗摞在一起时，求这摞碗的总高度； ②当这摞碗的总高度为时，求所摞碗的数量． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $