第5章 专题拓展 一次函数图象与性质-【拓展与培优】2025-2026学年新教材八年级上册数学（浙教版2024）

数学 八年级上册 125 专题拓展 一次函数图象与性质 1.一次函数y=kx+b 的图象如图,当x<0 时,y 的取值范围是 ( ) A.y>0 B.y<0 C.-1<y<0 D.y<-1 (第1题) (第2题) 2.如图所示,在同一直角坐标系中,一次函数y =k1x,y=k2x,y=k3x,y=k4x 的图象分别为l1, l2,l3,l4,则下列关系中正确的是 ( ) A.k1<k2<k3<k4 B.k2<k1<k4<k3 C.k1<k2<k4<k3 D.k2<k1<k3<k4 3.点P(x,y)在第一象限内,且x+y=6,点A 的坐标为(4,0).设△OPA 的面积为S,则下列图象 中,能正确反映面积S 与x 之间的函数关系式的图 象是 ( ) A. B. C. D. 4.已知 m=x+1,n=-x+2,若规定y= 1+m-n,(m≥n) 1-m+n,(m<n){ ,则y 的最小值为 ( ) A.0 B.1 C.-1 D.2 例1 已知一次函数y=kx+b(k≠0),其中y 随x 的增大而减小,且k·b>0,则在平面直角坐标系内 这个一次函数的图象大致是 ( ) A. B. C. D. 点拨:(1)本题考查一次函数的图象与系数的 关系; (2)根据函数图象得出其经过的象限,由一次 函数图象与系数的关系即可得出结论. 变式练习1 直线y=kx+b经过一、三、四象限,则 直线y=bx-k的图象只能是图中的 ( ) A. B. C. D. 例2 一次函数y=kx+b的图象如图,则当0<x ≤1时,y 的范围是 ( ) A.y>0 B.-2<y≤0 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 拓展与培优 126 C.-2<y≤1 D.无法判断 点拨:(1)本题考查一次函数的图象; (2)根据一次函数的图 象 与 两 坐 标 轴 的 交 点 可得. 变式练习2 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象如 图所示,若y>0,则x 的取值范围是 ( ) A.x<0 B.x>0 C.x>2 D.x<2 例3 如图,平面直角坐标系中,△ABC 的顶点坐 标分别是A(1,1),B(3,1),C(2,2),当直线y= 1 2x +b与△ABC 有交点时,b的取值范围是 ( ) A.-1≤b≤1 B.- 1 2≤b≤1 C.- 1 2≤b≤ 1 2 D.-1≤b≤ 1 2 点拨:(1)考查了一次函数的性质; (2)将A,B,C 的坐标分别代入直线求得b 的 值,再根据一次函数的增减性即可得到b 的取值 范围. 变式练习3 将2×2的正方形网格如图放置在平 面直角坐标系中,每个小正方形的顶点称为格点, 每个小正方形的边长都是1,正方形ABCD 的顶点 都在格点上.若直线y=kx(k≠0)与正方形ABCD 有公共点,则k的取值范围是 ( ) A.k≤2 B.k≥ 1 2 C. 1 2≤k≤2 D. 1 2<k<2 例4 设min{x,y}表示x,y 两个数中的最小值, 例如min{1,2}=1,min{7,5}=5,则关于x 的一次 函数y=min{2x,x+1}可以表示为 ( ) A.y=2x B.y=x+1 C.y= 2x(x<1) x+1(x≥1){ D.y= 2x(x>1) x+1(x≤1){ 点拨:(1)本题考查一次函数的性质; (2)本题关键先求出两个函数的交点坐标(1, 2),然后再应用一次函数的性质. 变式练习4 已知无论x 取何值,y 总是取y1=x +1与y2=-2x+4中的最小值,则y 的最大值为 ( ) A.4 B.2 C.1 D.0 1.若k≠0,b<0,则y=kx+b的图象可能是 ( ) A. B. C. D. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 数学 八年级上册 127 2.已知正比例函数y=(m+2)x,y 随x 的增 大而减小,则m 的取值范围是 ( ) A.m<-2 B.m>-2 C.m≥-2 D.m≤-2 3.已知正比例函数y=(m-2)x 的图象上两 点A(x1,y1),B(x2,y2),当x1<x2时,有y1>y2, 那么m 的取值范围是 ( ) A.m<2 B.m>2 C.m<3 D.m>0 4.如图,直线y= 2 3x+4 与x 轴、y 轴分别交 于点A 和点B,点C、D 分别为线段AB、OB 的中 点,点P 为OA 上一动点,PC+PD 值最小是 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 5.定义:点A(x,y)为平面直角坐标系内的点, 若满足x=y,则把点A 叫做“平衡点”.例如:M(1, 1),N(-2,-2)都是“平衡点”.当-1≤x≤3时,直 线y=2x+m 上有“平衡点”,则m 的取值范围是 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 6.如图,在平面直角坐标系中,直线y=- 1 2x +2分别交x 轴,y 轴于A,B 两点,点P(1,m)在 △AOB 的形内(不包含边界),则m 的取值范围是 . 7.如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD 的对称中心与原点重合,顶点A 的坐标为(-1,1), 顶点B 在第一象限,若点B 在直线y=kx+3上, 则k的值为 . 8.对于平面直角坐标系中任意两点 M(x1, y1),N(x2,y2),称|x1-x2|+|y1-y2|为 M,N 两点的直角距离,记作:d(M,N).如:M(2,-3), N(1,4),则d(M,N)=|2-1|+|-3-4|=8.若 P(x0,y0)是一定点,Q(x,y)是直线y=kx+b 上 的一动点,称d(P,Q)的最小值为P 到直线y=kx +b的直角距离.则P(0,-3)到直线x=1的直角 距离为 . 9.如图,已知直线l:y=2x,分别过x 轴上的 点A1(1,0)、A2(2,0)、…、An(n,0),作垂直于x 轴 的直线交l于点B1、B2、…、Bn,将△OA1B1,四边 形A1A2B2B1、…、四边形An-1AnBnBn-1的面积依 次记为S1、S2、…、Sn,则Sn= . 10.在平面直角坐标系中,O 是原点,已知点A (1,3)、B(4,1).直线l是一次函数y=x+b的图象. (1)当b=3时,求直线l与x 轴的交点坐标; (2)当直线l与线段AB 有交点时,直接写出b 的取值范围. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 拓展与培优 128 11.如图,直线y=- 1 2x+3 与坐标轴分别交 于点A,B,与直线y=x 交于点C,线段OA 上的点 Q 以每秒1个长度单位的速度从点O 出发向点A 做匀速运动,运动时间为t秒,连结CQ. (1)求出点C 的坐标; (2)若CQ 平分△OAC 的面积,求直线CQ 对 应的函数关系式. 12.在直角坐标系中,过一点分别作坐标轴的 垂线,若与坐标轴围成矩形的周长与面积相等,则 这个点叫做和谐点.例如,图中过点P 分别作x 轴, y 轴的垂线,与坐标轴围成矩形OAPB 的周长与面 积相等,则点P 是和谐点. (1)点M(3,2) 和谐点(填“是”或“不 是”); (2)若点P(a,6)是和谐点,a= ; (3)若(2)中和谐点 P(a,6)在y=-4x+m 上,求m 的值. 13.(四川达州中考题)某家具商场计划购进某 种餐桌、餐椅进行销售,有关信息如表: 原进价 (元/张) 零售价 (元/张) 成套售价 (元/套) 餐桌 a 270 餐椅 a-110 70 500元 已知用600元购进的餐桌数量与用160元购进 的餐椅数量相同. (1)求表中a 的值; (2)若该商场购进餐椅的数量是餐桌数量的5 倍还多20张,且餐桌和餐椅的总数量不超过200 张.该商场计划将一半的餐桌成套(一张餐桌和四张 餐椅配成一套)销售,其余餐桌、餐椅以零售方式销 售.请问怎样进货,才能获得最大利润? 最大利润是 多少? (3)由于原材料价格上涨,每张餐桌和餐椅的 进价都上涨了10元,按照(2)中获得最大利润的方 案购进餐桌和餐椅,在调整成套销售量而不改变销 售价格的情况下,实际全部售出后,所得利润比(2) 中的最大利润少了2250元.请问本次成套的销售量 为多少? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 10.(1)k=- 3 4 (2)S=- 9 4x+18 (0<x <8) (3)132 ,9 8 æ è ç ö ø ÷ 专题拓展 一次函数图象与性质 【夯实基础】 1.D 2.B 3.C 4.B 【典型例题】 例1 D 变式练习1 C 例2 B 变式练习2 D 例3 B 变式练习3 C 例4 C 变式练习4 B 【巩固练习】 1.B 2.A 3.A 4.C 5.B 6.0<m < 3 2 7.-2 8.1 9.2n-1 10.(1)(-3,0) (2)-3≤b≤2 11.(1)C(2,2) (2)y=-2x+6 12.(1)不是 (2)±3 (3)18或-6 13.解:(1)150 (2)设购进餐桌x 张,则购进餐椅(5x+ 20)张,销售利润为W 元. 由题意得:x+5x+20≤200, 解得:x≤30. ∵a=150,∴餐桌的进价为150元/张, 餐椅的进价为40元/张. 依题意可知: W= 1 2x ·(500-150-4×40)+ 1 2x · (270-150)+(5x+20- 1 2x ·4)×(70- 40)=245x+600, ∵k=245>0, ∴W 关于x 的函数单调递增, ∴当 x=30时,W 取 最 大 值,最 大 值 为7950. 故购进餐桌30张,餐椅170张时,才能 获得最大利润,最大利润是7950元. (3)涨价后每张餐桌的进价为160元,每 张餐椅的进价为50元, 设本次成套销售量为m 套. 依题意得:(500-160-4×50)×m+ (30-m)×(270-160)+(170-4m)×(70- 50)=7950-2250, 即6700-50m=5700,解得:m=20. 答:本次成套的销售量为20套. 微探究 寻找数形规律探求 函数表达式 【典型例题】 例 解:数字的序号为n,其值为y,由已知得 n=1,y=3;n=2,y=8;n=3,y=13;n=4, y=23;…仔细观察发现,序号每增加1,y 值 就增加5,与第1个数相比,第n 个数应增加 5(n-1),所以第n 个数应为5(n-1)+3,即 y=5n-2,当n=2006时,y=5×2006-2 =10028. 变式练习 3n+2 【巩固练习】 1.C 2.C 3.6n+2 4.2n+1 5.(2n,1) 6.3n+1 7.16 4n 8.解:(1)改造后每台发电量为300(1+ 20%)=360(万千瓦/月) ∴y1=300×5=1500(万千瓦), y2=300×4+360=1560(万千瓦), y3=300×3+360×2=1620(万千瓦), y4=300×2+360×3=1680(万千瓦), y5=300×1+360×4=1740(万千瓦), y6=360×5=1800(万千瓦), ∴y总 =y1+y2+y3+y4+y5+y6= 9900(万千瓦). 答:第2个月发电量为1560万千瓦,下 半年总发电为9900万千瓦; (2)第x 个月已改造(x-1)台,正在改 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·14·