4.3 诱导公式与对称（教学课件）数学北师大版必修第二册

该高中数学课件聚焦三角函数诱导公式与对称，通过山水倒影等对称美情境导入，温故知新复习任意角三角函数定义，以对称性为支架引导学生探究-α、π±α与α的三角函数关系，构建新旧知识联系。 其亮点在于采用数形结合，通过单位圆交点对称推导公式，体现数学眼光与思维，如探究-α时由终边关于x轴对称得出sin(-α)=-sinα等，小结概括公式规律，学生提升数形结合与推理能力，教师可依托结构化流程高效教学。

4.3 诱导公式与对称 第一章 三 角 函 数 北师大版必修第二册·高一 温故知新 设角α是一个任意角，，它的终边与单位圆交于点P. x y O P（x，y） α 叫做α的正弦函数，记作，即； 叫做α的余弦函数，记作，即； 1 你还记得任意角三角函数的定义吗？ 学 习 目 标 1 2 3 理解，与角关系，会推导诱导公式. 掌握诱导公式，并且概括得到诱导公式的特点. 根据诱导公式进行三角函数式的求值、化简以及证明. 读教材 阅读课本P20-P22，5分钟后完成下列问题： 我们一起来探究“诱导公式与对称”吧！ 1.函数具有轴对称与中心对称，那么思考任意角是否具有对称性？ 2.角与角有怎样的对称关系，角与角有怎样的对称关系，角与角有怎样的对称关系？ 3.如何根据任意角的对称性找到任意角三角函数之间的关系？ 单击此处添加备注 4 情境导入 流连于河的细长、山的颜色，观山赏水，看山在水中的倒影，山的巍峨、水的柔 美在那刻融合.观察一下水中山的倒影与山有什么关系,你一定会说：对称！ 有一种美叫对称美.建筑，服饰，器物的对称能给人一种独特的美感,角的终边也有对称的现象，它们存在什么美呢？又隐藏着哪些规律呢？ 一切平面图形中最美的是圆形，一切圆中最美的是单位圆. — 毕达哥拉斯学派 学习过程 01 03 02 目录 1 任意角的对称性与诱导公式 3 当堂检测 2 典例分析 单击此处添加备注 6 快问快答 根据三角函数的定义求值： 观察两组三角函数值，你能发现什么规律呢？ o x y 新知探究 这两个角的正弦值相反、余弦值相等 因为这两个角的终边关于轴对称，所以终边与单位圆交点坐标纵坐标相反、横坐标相等 探究一：，与，的关系 思考2：任意角与角都具有类似的结论吗？ 思考1：与的三角函数值有什么关系？为什么会出现这样的关系？ o x y 新知探究 因此可以得到： ，正弦函数sin α为奇函数； ， 余弦函数cos α为偶函数. x y - 从图中不难发现角与角的终边关于轴对称.因此，点与点的横坐标相等，纵坐标的绝对值相等且符号相反. o 探究一：，与，的关系 快问快答 根据三角函数的定义求值： 观察上式中三角函数值，你能发现什么规律呢？ o x y 新知探究 这两个角的正弦值相反、余弦值相反 因为与终边关于原点对称，所以终边与单位圆交点坐标横坐标相反、纵坐标相反 探究二：，与，的关系 思考4：任意角与角都具有类似的结论吗？ 思考3：与的三角函数值有什么关系？为什么会出现这样的关系？ o x y 新知探究 因此可以得到： 从图中不难发现角与角的终边关于原点对称.因此，点与点的纵坐标绝对值相等且符号相反，横坐标的绝对值相等，且符号相反. 探究二：，与，的关系 o x y α－π 快问快答 根据三角函数的定义求值： 观察两组三角函数值，你能发现什么规律呢？ o x y 新知探究 这两个角的正弦值相等、余弦值相反 因为这两个角的终边关于轴对称，所以终边与单位圆交点坐标横坐标相等、纵坐标相反 探究三：，与，的关系 思考6：任意角与角都具有类似的结论吗？ 思考5：与的三角函数值有什么关系？为什么会出现这样的关系？ o x y 新知探究 因此可以得到： 从图中不难发现角与角的终边关于轴对称.因此，点与点的纵坐标相等，横坐标绝对值相等，且符号相反. 探究三：，与，的关系 o x y 思考交流 在学习上述公式时，如何体会轴对称、中心对称的作用? x y O α x y O α 第二象限角变为第一象限角 第三象限角变为第一象限角 三角函数值的关系 (诱导公式) 圆的对称性 角的终边对称关系 点的坐标关系 数 形 数形结合 x y O α 第四象限角变为第一象限角 归纳小结 函数名不变， 符号看象限 你能概括所学诱导公式的共同特点和规律吗？ 任意角的正弦或余弦函数都可以通过对称化为第一象限的锐角三角函数. 学习过程 01 03 02 目录 1 任意角的对称性与诱导公式 3 当堂检测 2 典例分析 单击此处添加备注 18 牛刀小试 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） 点关于轴的对称点是 .( ) × （2） 诱导公式中的符号是由角 的象限决定的.( ) × （3） 因为 ,所以正弦函数是奇函数.( ) √ 2.若，则 _____． 解：， ． 典例分析 例5.画出下列各组中的两个角的终边与单位圆的交点，说出它们的对称关系 (1)与； (2)与； (3)与； (4)与. 解：(1)如图，与的终边与单位圆的交点关于原点对称； (2) 如图，与的终边与单位圆的交点关于 轴对称； 典例分析 例5.画出下列各组中的两个角的终边与单位圆的交点，说出它们的对称关系 (1)与； (2)与； (3)与； (4)与. 解：(3)如图，与的终边与单位圆的交点关于 轴对称； (4) 如图，与的终边与单位圆的交点关于 轴对称； 典例分析 例6.求下列三角函数的值： (1)； (2)； (3)； (4). 解：(1) 任意角的正弦或余弦函数都可以通过对称化为第一象限的锐角三角函数. (2) (3) (4). 典例分析 例7.化简： . 解： 原式 . 学习过程 01 03 02 目录 1 任意角的对称性与诱导公式 3 当堂检测 2 典例分析 单击此处添加备注 24 当堂检测 1.求值：（1） . （2） 解：（1）原式 . （2）原式 . 当堂检测 B 当堂检测 CD 当堂检测 4.已知，则 ____. 解：由于 ， 所以 . 课堂小结 角α与角α＋π、 α－π 角α与角π－α 角α与角－α 角的终边、与单位圆的交点都关于原点对称 角的终边、与单位圆的交点都关于轴对称 角的终边、与单位圆的交点都关于轴对称 诱导公式与对称 感谢聆听! 2.已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点，则( ) A. B. C. D. 解：由正弦函数的定义可知， 再利用诱导公式知. 3.（多选）在平面直角坐标系中，与的终边关于y轴对称，则下列等式恒成立的是( ) A. B. C. D. 解：与的终边关于y轴对称， ，. 对于A，，则不恒成立，A错误； 对于B，，则不恒成立，B错误； 对于C，，则恒成立，C正确；对于D，，则恒成立，D正确. 故选CD. $