精品解析：江苏省南通市启秀中学2025-2026学年八年级上学期期末数学押题卷

江苏省南通市启秀中学2025-2026学年八年级上学期期末数学押题卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：新人教版八年级上册第十四章（全等三角形），第十五章（轴对称），第十六章（整式的乘法），第十七章（因式分解），第十八章（分式），新人教版八年级下册第十九章（二次根式），第二十章（勾股定理）． 第一部分（选择题共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图所示的图形中，左边图形与右边图形成轴对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】轴对称的概念：把其中的一个图形沿着某条直线折叠，能够和另一个图形重合，据此即可判断． 【详解】解：根据两个图形成轴对称的概念，选项A，B，C中左边图形与右边图两个图形不成轴对称，只有选项D左边图形与右边图两个图形成轴对称． 故选：D． 【点睛】本题考查了两个图形成轴对称的知识，掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 2. 如图，相交于点O，已知，要根据“”证明，还需添加的一个条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】添加再结合，可利用“”证明△． 【详解】解：添加，理由如下： 在和中， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等． 3. 下列式子一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，积的乘方运算法则，幂的乘方法则以及0指数幂的定义，逐一化简即可得出正确选项． 【详解】解： 选项A: ，不符合题意； 选项B: 当时，无意义，不符合题意； 选项C: ，符合题意； 选项D: ，而 ，两者不相等，不符合题意； 故选C． 4. 下列等式中，从左边到右边变形属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，解题的关键是明确因式分解是将一个多项式化为几个整式乘积的形式． 依据因式分解的定义，逐一判断各选项是否将多项式转化为整式积的形式，同时验证变形的正确性． 【详解】解：A、是整式乘法，并非因式分解，此选项不符合题意； B、，变形错误，此选项不符合题意； C、是和的形式，并非整式的积，此选项不符合题意； D、，将多项式化为两个整式的积，属于因式分解，此选项符合题意； 故选：D． 5. 近期，洰水国家湿地公园陆续迎来大批候鸟越冬，其中中华秋沙鸭是第9年来此过冬，它的嘴峰有米长．“米”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 用科学记数法将，表示为即可． 详解】解：∵， ∴ 选项B正确， 故选：B． 6. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同类二次根式的概念：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.对每一项进行判断即可. 【详解】=5，错误；B=，正确；C.，错误；D.=，错误 故答案选B 【点睛】本题考查了同类二次根式的意义，解决本题的关键是正确的将二次根式化成最简. 7. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为( ) A. 2.2米 B. 2.3米 C. 2.4米 D. 2.5米 【答案】A 【解析】 【分析】将梯子斜靠在墙上时，形成的图形看做直角三角形，根据勾股定理，直角边的平方和等于斜边的平方，可以求出梯子的长度，再次利用勾股定理即可求出梯子底端到右墙的距离，从而得出答案. 【详解】 如图，在Rt△ACB中， ∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米， ∴ 在Rt△A‘BD中， ∵∠A’BD=90°，A’D=2米， ∴ ∴ ∵BD>0， ∴BD=1.5米， ∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米 即小巷的宽度为2.2米，故答案选A 【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知并熟练运用勾股定理求斜边和直角边是解题的关键 8. 读一读：式子“”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为，这里“”是求和符号．通过对以上材料的阅读，计算的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据求和公式写出分数的和的形式，根据分数的性质计算即可． 【详解】 故选：B 【点睛】本题考查的是数字的变化类问题，根据题意写出分数的和的形式、并正确进行分解是解题的关键． 9. 如图，与均为直角三角形，且，点是的中点，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形性质和判定、勾股定理，平行线的判定（垂直于同一直线的两直线平行）等知识点．通过延长线构造全等三角形，将转化为，结合勾股定理求线段长． 【详解】解：延长交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， 故选B． 10. 如图，在中，，点是直角边上的一个动点，连接，以为边向外作等边，连接，在点运动的过程中，线段的最小值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长到点，使得，连接，由，可得：，证明是等边三角形，得到，结合是等边三角形，可证明，得到，推出，得到点在经过点且与垂直的射线上运动，作交射线于点，则，得到，由可得，即可求解． 【详解】解：延长到点，使得，连接， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， 在和中， ， ， ， ， ∴点在经过点且与垂直的射线上运动，作交射线于点，则， ， ， ， 的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查的知识点是直角三角形的性质“角所对的直角边是斜边的一半”、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及垂线段最短的几何原理，合理添加辅助线，熟练掌握垂线段最短的几何原理是解题的关键． 第二部分（非选择题共120分） 二、填空题：本题共6小题，第11－12每小题3分，第13－16每小题4分，共22分． 11. 分解因式： _________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式a，再利用完全平方公式分解． 【详解】解：； 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式的因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． 12. 若代数式有意义，则x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式和二次根式和分式有意义的条件；根据分式和二次根式的定有意义的条件列出不等式，即可得到答案． 【详解】解：代数式有意义的的取值范围是， 解得：， 故答案为：． 13. 已知关于x的整式与的乘积中不含项和x项，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查多项式与多项式的乘积，熟练掌握合并同类项是解题的关键． 将两整式相乘，展开后合并同类项，根据不含项和项，即对应项系数为零，列方程组求解和，再计算即可． 【详解】解： ， ， 由于乘积中不含项和项， 则, 解得 因此， 故答案为：． 14. 如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，，则的度数是 __________．（用含的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，根据已知条件可推出，从而可知，根据得到，由即可得到答案． 【详解】解：∵， ， 在和中， ， ， ， ∵ ， ， ∴ ， 故答案为：． 15. 已知正方形内部摆放两个一样大小的长方形，长方形长为，宽为，按图1摆放的阴影面积为，按图2摆放的阴影面积为，按图3摆放的阴影面积为．若，，，则的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，整式加减的应用，数形结合是解答本题的关键． 设正方形的边长为m，用含m，a，b的代数式表示出，，，根据得，根据得，得，进而可求出的值． 【详解】解：设正方形的边长为m， 由图1得：， 由图2得：， 由图3得：， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ，得 ， ∴， ∵， ∴． 故答案为：2． 16. 如图，两条互相垂直的直线m、n交于点，等腰直角三角形的直角顶点在直线上，锐角顶点在直线上，是斜边的中点．若，则_________________，的面积为_________________． 【答案】 ①. 8 ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，完全平方公式的应用，解题的关键是掌握以上性质． 根据勾股定理及等腰直角三角形的性质即可求出的值；过点作直线于点，连接并延长交直线于点，设，证明，，表示出相关的边，由勾股定理得，则，由此可得的面积． 【详解】解：依题意得：是等腰直角三角形，且，由勾股定理得：， ， 即， ∵直线直线， 是直角三角形， 由勾股定理得：， ； 过点作直线于点，连接并延长交直线于点，如图所示： ， 设， ，， ， ， ， 在和中， ， 直线直线， ， ， ∵点是的中点， ， 在和中， ， 是等腰直角三角形， 是等腰Rt斜边上的中线， 在中，由勾股定理得：， ， ， 即， ． 故答案为：8，． 三、解答题：本题共9小题，共98分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、乘法公式，熟练掌握二次根式的运算法则、利用完全平方公式、平方差公式进行计算是解题的关键． （1）先利用二次根式的乘除法则计算，结果化为最简二次根式，再合并即可； （2）利用完全平方公式和平方差公式化简式子，再去括号、合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. （1）化简：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）无解 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算、解分式方程，熟练掌握分式的运算法则、解分式方程的步骤是解题的关键． （1）根据分式的运算法则计算即可； （2）去分母化为整式方程，解出整式方程，再验根即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 去分母，得：， 整理得：， 解得：， 经检验，是分式方程的增根， 原分式方程无解． 19. 如图，在所给正方形网格图中完成下列各题：(用直尺画图，保留痕迹) （1）画出格点(顶点均在格点上)关于直线对称的； （2）在上画出点，使最小； （3）求的面积． 【答案】（1）如解析图； （2）如解析图； （3）． 【解析】 【分析】（1）分别作出，，的对应点，，即可； （2）连接交直线于点，连接，点即为所求； （3）利用分割法求三角形的面积即可； 【小问1详解】 如图，即为所求； 【小问2详解】 如上图，连接交直线于点，连接，点即为所求； 【小问3详解】 如图， ， ∴， ， ， ， ， ∴的面积为：． 【点睛】此题考查作图-轴对称变换，求三角形的面积，两点之间线段最短等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 20. 如图，四边形中，，，于点，交于点，连接，平分． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，直角三角形全等的判定与性质，掌握这些知识是解题的关键． （1）利用角平分线的性质定理即可证明； （2）证明，得，由即可求解． 【小问1详解】 证明：平分， ， 又， ， 又， ， ， ． 【小问2详解】 解：平分，，， ． 和中， ， ∴． ． ， ． 21. 列分式方程解应用题： 2024年7月27日，北京中轴线申遗成功．中轴线南起永定门，北至钟鼓楼．某班级两个小组分别在永定门和钟鼓楼参观之后，他们同时出发到故宫集合．第一小组从永定门骑行至故宫，行程约，第二小组从钟鼓楼步行至故宫，行程约．已知骑行的速度是步行速度的2倍，第一小组比第二小组提前6分钟到达，求第二小组步行的速度是每小时多少千米． 【答案】第二小组的步行速度是每小时5千米 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系、正确列出分式方程是解题的关键． 设第二小组的步行速度是每小时x千米，则第一小组的骑行速度是每小时千米，根据第一小组比第二小组提前6分钟到达，列出分式方程求解即可． 【详解】解：设第二小组的步行速度是每小时x千米，则第一小组的骑行速度是每小时2x千米， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：第二小组的步行速度是每小时5千米． 22. 请阅读以下材料，并解决问题： 配方法是一种重要的数学思想方法．它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒定变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，并结合非负数的意义来解决一些问题． [例]已知，求，值． 解：由已知得，即， ∴，．∴，． 根据以上材料，解决以下问题： 已知的三边长，，满足． （1）若为整数，求的值； （2）若是等腰三角形，直接写出它的周长． 【答案】（1）的值为3，4，5 （2）10 【解析】 【分析】（1）将原式移项，然后拆分,组成两个完全平方式，再根据非负数的性质求出，的值，再根据三角形三边关系,可得的值； （2）根据等腰三角形的定义可知，,然后计算周长即可. 【小问1详解】 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 解得，， 由三角形三边关系得，即， ∵为整数， ∴的值为3，4，5． 【小问2详解】 当是等腰三角形时，，， 该三角形的周长为10． 【点睛】本题考查了配方法的应用，等腰三角形的定义，三角形三边关系，解答本题的关键是明确题意，利用配方法解答问题． 23. 观察下列一组等式，解答后面的问题： （1）化简：______，______（n为正整数） （2）比较大小：______（填“”，“”或“”） （3）根据上面的结论，找规律，请直接写出下列算式的结果：______ 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的分母有理化，二次根式的混合运算，比较二次根式的大小，明确题意，理解题意是解题的关键． （1）根据题意，分子分母分别乘以，，即可求解； （2）利用分子有理化，再比较大小，即可求解； （3）根据题意，原式可变形为，即可求解． 【小问1详解】 解：； ， 故答案是：，； 【小问2详解】 解：∵，， 且， ∴， ∴， ∴， 故答案是：； 【小问3详解】 解： ． 故答案为：． 24. 综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，在中， ，，．将绕点A逆时针旋转得到，旋转角小于，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，交于点O，延长交于点P． 数学思考： （1）试判断与的数量关系，并说明理由． 深入探究： （2）在图形旋转的过程中，老师让同学们提出新的问题． ①“乐学小组”提出问题：如图2，当 时，求线段的长． ②“善思小组”提出问题：如图3，当时，求线段的长． 【答案】（1），理由见解析；（2）①，② 【解析】 【分析】（1）连接，证明即可． （2）①延长，交 于点，设，则，解答即可． ②根据旋转的性质，勾股定理解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，熟练掌握判定和性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）解：， 理由：如图1，连接，由旋转的性质知，， ， ， ， ． （2） ① 解：如图2，延长，交于点， ， ， ， ，． 由（1）知，， 设，则， ， ， ， 故答案为； ② 解：如图3， ，，， ． 由旋转的性质知，，，， ，当 时， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ． 25. 如图，已知中，，，．点是边上一点，，点是线段上一动点（不与、重合），在直线左侧作等腰，满足，，连接、、． （1）若点是线段的中点，则 ，的面积是 ； （2）在点的运动过程中，的面积是否变化？若不变，求出的面积；若变化，请说明理由； （3）点随着点的运动而运动，请直接写出线段的取值范围 ． 【答案】（1）60°， （2）不变， （3） 【解析】 【分析】（1）过点作，根据含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，以及已知条件，分别求得，证明，进而求得的面积，证明即可求得的度数； （2）证明，从而证明，进而根据得出结论； （3）根据，求得的最大值与最小值即可得出结论． 【小问1详解】 解，如图，过点作， 中，，， ， ， ， 是的中点， 中 中， 与中， ； 故答案为：；的面积是； 【小问2详解】 的面积不变，． 在射线取一点，使得，连接． 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴（SAS）， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴的面积不变， ． 【小问3详解】 如图， 点是线段上一动点（不与、重合）， 与或点重合时，取得最大值，由（1）可知最大值为2 当与垂直时，取得最小值，由（1）可知最小值为1 故答案为： 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省南通市启秀中学2025-2026学年八年级上学期期末数学押题卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：新人教版八年级上册第十四章（全等三角形），第十五章（轴对称），第十六章（整式的乘法），第十七章（因式分解），第十八章（分式），新人教版八年级下册第十九章（二次根式），第二十章（勾股定理）． 第一部分（选择题共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图所示图形中，左边图形与右边图形成轴对称的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，相交于点O，已知，要根据“”证明，还需添加的一个条件是（　　） A. B. C. D. 3. 下列式子一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列等式中，从左边到右边变形属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 近期，洰水国家湿地公园陆续迎来大批候鸟越冬，其中中华秋沙鸭是第9年来此过冬，它的嘴峰有米长．“米”用科学记数法表示为（ ） A B. C. D. 6. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为( ) A. 2.2米 B. 2.3米 C. 2.4米 D. 2.5米 8. 读一读：式子“”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为，这里“”是求和符号．通过对以上材料的阅读，计算的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，与均为直角三角形，且，点是的中点，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 3 10. 如图，在中，，点是直角边上的一个动点，连接，以为边向外作等边，连接，在点运动的过程中，线段的最小值为（ ）． A. B. C. D. 第二部分（非选择题共120分） 二、填空题：本题共6小题，第11－12每小题3分，第13－16每小题4分，共22分． 11. 分解因式： _________． 12. 若代数式有意义，则x的取值范围是________． 13. 已知关于x的整式与的乘积中不含项和x项，则______． 14. 如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，，则的度数是 __________．（用含的代数式表示） 15. 已知正方形内部摆放两个一样大小的长方形，长方形长为，宽为，按图1摆放的阴影面积为，按图2摆放的阴影面积为，按图3摆放的阴影面积为．若，，，则的值为________． 16. 如图，两条互相垂直的直线m、n交于点，等腰直角三角形的直角顶点在直线上，锐角顶点在直线上，是斜边的中点．若，则_________________，的面积为_________________． 三、解答题：本题共9小题，共98分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 18. （1）化简：； （2）解方程：． 19. 如图，在所给正方形网格图中完成下列各题：(用直尺画图，保留痕迹) （1）画出格点(顶点均在格点上)关于直线对称的； （2）在上画出点，使最小； （3）求的面积． 20. 如图，四边形中，，，于点，交于点，连接，平分． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 列分式方程解应用题： 2024年7月27日，北京中轴线申遗成功．中轴线南起永定门，北至钟鼓楼．某班级两个小组分别在永定门和钟鼓楼参观之后，他们同时出发到故宫集合．第一小组从永定门骑行至故宫，行程约，第二小组从钟鼓楼步行至故宫，行程约．已知骑行的速度是步行速度的2倍，第一小组比第二小组提前6分钟到达，求第二小组步行的速度是每小时多少千米． 22. 请阅读以下材料，并解决问题： 配方法是一种重要的数学思想方法．它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒定变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，并结合非负数的意义来解决一些问题． [例]已知，求，值． 解：由已知得，即， ∴，．∴，． 根据以上材料，解决以下问题： 已知的三边长，，满足． （1）若为整数，求的值； （2）若是等腰三角形，直接写出它的周长． 23. 观察下列一组等式，解答后面问题： （1）化简：______，______（n为正整数） （2）比较大小：______（填“”，“”或“”） （3）根据上面结论，找规律，请直接写出下列算式的结果：______ 24. 综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，在中， ，，．将绕点A逆时针旋转得到，旋转角小于，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，交于点O，延长交于点P． 数学思考： （1）试判断与的数量关系，并说明理由． 深入探究： （2）在图形旋转的过程中，老师让同学们提出新的问题． ①“乐学小组”提出问题：如图2，当 时，求线段的长． ②“善思小组”提出问题：如图3，当时，求线段的长． 25. 如图，已知中，，，．点是边上一点，，点是线段上一动点（不与、重合），在直线左侧作等腰，满足，，连接、、． （1）若点是线段的中点，则 ，的面积是 ； （2）在点的运动过程中，的面积是否变化？若不变，求出的面积；若变化，请说明理由； （3）点随着点的运动而运动，请直接写出线段的取值范围 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $