精品解析：广东省深圳市龙岗区龙岭初级中学2025-2026学年上学期九年级数学月考试题

九年级数学 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 如图所示的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，根据左视图是从左面看得到的图形即可得出，熟练掌握三视图的定义是解此题的关键． 【详解】解：由图形可得，几何体的左视图为， 故选：D． 2. 已知反比例函数图象经过点，则下列点中不在此函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可求得函数的解析式，然后把各点的坐标代入验证即可． 【详解】解：由于反比例函数图象经过点，则有， 即反比例函数解析式为，或者， 由于，而， 所以点不在反比例函数的图象上，其余点都在反比例函数的图象上， 故选：B． 【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式、判断点与反比例函数图象的关系，求出反比例函数的解析式是关键． 3. 下列命题正确的是（ ） A. 已知：线段，则是比例线段 B. 关于的方程是一元二次方程 C. 已知点是函数图象上的两点，则 D. 角都对应相等的两个多边形是相似多边形，边都对应成比例的多边形也是相似多边形 【答案】B 【解析】 【分析】根据比例线段定义、一元二次方程定义、反比例函数增减性比较函数值大小及多边形相似的定义逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A、根据线段成比例的定义，线段，，，，有，从而不是成比例线段，该命题错误，不符合题意； B、根据一元二次方程定义，，关于x的方程是一元二次方程正确，符合题意； C、已知点，是函数图像上的两点，结合反比例函数图像的增减性，当时，在每一个象限内，随的增大而增大，因此当时，，该命题错误，不符合题意； D、根据多边形相似的定义，各角都对应相等、且各边都对应成比例的两个多边形是相似多边形，该命题错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查命题真假判断，比例线段定义、一元二次方程定义、反比例函数增减性比较函数值大小及多边形相似的定义等知识，熟记相关定义是解决问题的关键． 4. 把二次函数的图象向左平移个单位，向上平移个单位后，得到的图象所对应的二次函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】主要考查了二次函数图象与几何变换，根据平移规律“左加右减，上加下减”即可解答． 【详解】将二次函数的图像向左平移个单位． 此时二次函数的表达式为： 再向上平移个单位． 此时二次函数的表达式为： 故选：A． 5. 如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设正方形网格的小正方形的边长为１，根据题意，得，则，利用余弦的定义解答即可． 本题考查了勾股定理，余弦计算，熟练掌握定理和定义是解题的关键． 【详解】解：设正方形网格的小正方形的边长为１，如图，根据题意，得，则， 故， 故选：B． 6. 如图，在小孔成像实验中，已知燃烧的蜡烛距小孔15厘米，光屏在距离小孔45厘米处，测得蜡烛的火焰高度为2厘米，则光屏上火焰所成像的高度为（　　） A. 4厘米 B. 6厘米 C. 8厘米 D. 10厘米 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，根据题意得出正确比例关系是解题关键．根据题意，得出燃烧的蜡烛到小孔的距离与光屏到小孔的距离比值为，进而根据相似比求出答案． 【详解】解：如图： 表示蜡烛火焰的高，表示蜡烛火焰所成像的高度，过O点作交于点F，交于点E， ∵，厘米，厘米， ∴， ∴， ∵厘米， ∴厘米， ∴光屏上火焰所成像的高度为6厘米． 故选：B． 7. 如图，在A处测得点P在北偏东方向上，在B处测得点P在北偏东方向上，若米，则点P到直线距离为（ ） A. 3米 B. 米 C. 2米 D. 1米 【答案】B 【解析】 【分析】根据方向角得出，则，根据，得出，在中，勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意知：， ， ， ， ∵ ∴， ∴米， 在中，米， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形外角的性质，方位角的计算，等角对等边，含30度角的直角三角形的性质，证明是解题的关键． 8. 如图，矩形的顶点、分别在反比例函数与的图象上，点、在轴上，、分别交轴于点、，则阴影部分的面积等于（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题结合矩形的性质考查反比例函数的系数的意义，关键是利用相似三角形的判定与性质，结合反比例函数的坐标特征求解阴影面积． 【详解】解：四边形是矩形，设， ∴，点纵坐标与点相同，为． 又∵在上， ∴点横坐标为，即， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴，. ∴阴影总面积为． 故选：D． 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 9. 若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等式性质，在两边都加上1，则问题可解． 【详解】解：根据等式的性质，两边都加上1，即可得，通分得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等式的性质和分式的加减法，解答关键是根据相关法则进行计算． 10. 若二次函数的图象开口向下，顶点在轴正半轴上，则二次函数表达式为___________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质．根据二次函数的开口向下可知该二次函数的二次项系数小于0，再由顶点位于y轴正半轴上，可知常数项是正数，由此可得出符合条件的二次函数的解析式． 【详解】解：∵二次函数的开口向下， ∴该二次函数的二次项系数小于0， ∵顶点在y轴的正半轴上， ∴该函数的一次项系数为0，常数项大于0， ∴符合条件的二次函数的解析式可以为：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 11. 把一块含60°角的三角板按图方式摆放在平面直角坐标系中，其中60°角的顶点B在x轴上，斜边与x轴的夹角，若，当点A，C同时落在一个反比例函数图象上时，B点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】设反比例函数解析式为，过点A，C分别作轴，轴，垂足分别为D，E，解，求出，再根据反比例函数的性质求解即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为，点A，C分别作轴，轴，垂足分别为D，E，如图， 在中，， ∴， ∴， 在中，∠， ∴∠， ∴， ∴， ∵∠ ∴ 在中，∠， ∴， ∴， ∴， 设，则 ∴， ∴ ∵A，C均在反比例函数图象上， ∴ 解得，即， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，正确表示出点A和点C的坐标是解答本题的关键． 12. 如图，将平行四边形的边延长线到点，使，连接，交于点．添加一个条件，使四边形是矩形．下列四个条件：①；②；③；④中，你认为可选择的是___________．（填上所有满足条件的序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质解答即可． 本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， 故①正确． ∵,， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， 故②正确． ∵， ∴四边形是菱形， 故③错误； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， 故④正确． 故答案为：①②④． 13. 如图，在中，，，是边上一点，且，连接，把沿翻折，得到，与交于点，连接，则的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】过点B作交的延长线于G，证明；延长交的延长线于H，证明，过点B作于F，证明，利用勾股定理，三角形相似，面积计算的分割法，解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ， 过点B作交的延长线于G， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ， 延长交的延长线于H， 由折叠知，，，， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴，， ∴， ， ， 过点B作于F， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，分割法计算图形的面积，熟练掌握勾股定理，折叠的性质，三角形相似的判定和性质是解题的关键． 三、解答题 14. （1）计算：． （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，实数的运算，解一元二次方程——配方法，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）把特殊角的三角函数值代入进行计算即可解答； （2）利用解一元二次方程——配方法，进行计算即可解答． 【详解】（1）； （2） 解移项，得 配方，得． 即 两边开平方，得 所以，方程的解为，． 15. 为了解龙岗区九年级学生体质测试情况，从全区九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试，把测试结果分为四个等级：A级（优秀）、B级（良好）、C级（及格）、D级（不及格），并将测试结果绘成了两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）图1中A级所在区域圆心角是 度，并把图2条形统计图补充完整； （2）该区九年级有学生35000名，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为 人； （3）测试老师想从4位同学（分别记为E，F，G，H，其中E为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树状图的方法求出选中小明的概率． 【答案】（1）36， 把图2条形统计图补充完整如图： （2）5250 （3） 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体，列表法或树状图求概率，熟练掌握扇形统计图基础及其应用，由部分求整体，根据扇形圆心角，利用树状图求概率是解题的关键． （1）用级的人数除以所占的百分比求出抽样的学生人数，用乘以级所占的百分比得到圆心角的度数，再用总人数减去级的人数，求出级的人数，从而补全统计图； （2）用该区九年级的学生人数乘以不及格的人数所占的百分比即可估计不及格的人数； （3）根据题意画出树状图，再根据概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：本次抽样的学生人数是（人）， 图1中A级所在区域圆心角是， 级的人数是：（人）， 【小问2详解】 解：（人）， ∴估计不及格的人数为5250人； 故答案为：5250． 【小问3详解】 解：画树状图如下：     共有12种等可能的结果，其中选中小明的情况有6种， 则选中小明的概率． 答：选中小明的概率为． 16. 如图1，是一款手机支架图片，由底座、支撑板和托板构成．图2是其侧面结构示意图，量得托板长，支撑板长，底座长，托板AB连接在支撑板顶端点C处，且，托板可绕点C转动，支撑板可绕D点转动．如图2，若．(参考数值，，) （1）求点C到直线的距离(精确到0.1cm)； （2）求点A到直线的距离(精确到0.1cm)． 【答案】（1）点C到直线的距离约为13.8cm （2）点A到直线的距离约为21.5cm 【解析】 【分析】（1）如图2，过点C作，垂足为N，然后根据三角函数可得，即，最后将已知条件代入即可解答； （2）如图2，过A作，交的延长线于点M，过点C作，垂足为F，再说明中，，，然后根据三角函数和线段的和差即可解答． 【小问1详解】 解：如图2，过点C作，垂足为N 由题意可知，， 在中， ， ∴． 答：点C到直线的距离约为． 【小问2详解】 解：如图3，过A作，交的延长线于点M，过点C作，垂足为F， ∴ 在中，，， ∴， ∴． 答：点A到直线的距离约为21.5cm． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，正确的理解正弦、余弦的定义是解答本题的关键． 17. 如图，对角线，相交于点O，过点D作且，连接． （1）求证：是菱形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵且， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∴， ∴是菱形； （2）的长为 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，矩形的判定定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）根据条件得出平行四边形是矩形，再根据矩形的性质得出，即可得出结论； （2）根据菱形的性质得出是等边三角形，然后利用勾股定理得出，再利用勾股定理求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 由（1）可知，四边形是矩形， ∴， ∴， 即的长为． 18. 学校在校园开辟了一块劳动教育基地；一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为15米），用长为30米的篱笆，围成矩形养殖园如图1，已知矩形的边靠院墙，和与院墙垂直，设的长为x米：     （1）当围成的矩形养殖园面积为时，求的长； （2）如图2，该学校打算在养殖园饲养鸡、鸭、鹅三种家禽，需要在中间多加上两道篱笆作为隔离网，并与院墙垂直，请问此时养殖园的面积最大能达到多少？ 【答案】（1）10米 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，理解题意是解题的关键． （1）设的长为x米，则的长为米，根据矩形的面积列出方程，求出的值即可解答； （2）设养殖园的面积为，根据题意得，再利用二次函数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：设的长为x米，则的长为米， 由题意得，， 整理得：， 解得，， ∵墙的最大可用长度为15米， ∴， ∴， 则（米）， 答：的长为10米； 【小问2详解】 解：设养殖园的面积为， 由题意得，， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 答：养殖园的面积最大能达到． 19. 数学兴趣小组根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究；下面是他们的探究过程，请补充完整，并解决相关问题： （1）函数的自变量x的取值范围是______； （2）下表是y与x的几组对应值，则表中m的值为______； x … 0 2 4 5 … y … m 0 1 3 4 4 3 2 … （3）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点画出函数的图象，并写出这个函数的一条性质：______； （4）画出函数的图象，结合函数图象，直接写出时，x的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 画出函数的图象如图： ； 时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小 （4）时，x的取值范围是或 【解析】 【分析】（1）根据分母不为零分式有意义，可得答案； （2）根据自变量与函数值的对应关系，可得答案； （3）根据描点法画函数图象，根据图象的变化趋势，可得答案； （4）根据图象，可得答案． 【小问1详解】 解：当时，分母都不为0， 故答案为：； 【小问2详解】 解：当时，， 故答案为：； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：画出函数的图象，如上图， 观察图象，时，x的取值范围或． 【点睛】本题考查了函数的性质，利用描点法画函数图象，利用图象得出函数的性质是解题关键． 20. 综合与探究 【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形． 【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在中，，，．此时，四边形是“双等四边形”，是“伴随三角形”． 【问题解决】如图3，在四边形中，，，．求： ①与的位置关系为：__________： ②_____．（填“>”，“”或“”） 【方法应用】①如图4，若，将绕点逆时针旋转至，点恰好落在边上，求证：四边形是双等四边形． ②如图5，在等腰三角形中，，，，在平面内找一点，使四边形是以为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由． 【答案】问题解决：①互相平行；②=； 【方法应用】①证明：为旋转得到， ， 令，则，， ， 由旋转得，， 又， ∴， ， ， ， 四边形为双等四边形； ②或或 【解析】 【分析】问题解决：①根据等腰三角形的性质得出，从而可得；②证明得出，即，由可得结论； 方法应用：①根据双等四边形的定义进行证明；②作于点，在直角三角形中，求出，，设，利用勾股定理列方程，求出，，再分三种情况讨论：若，时，利用等腰三角形的定义直接求解；若，时，作于点，利用锐角三角函数求解；若，时，利用相似三角形求解． 【详解】解：[问题解决]①∵， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ， ， ， ； 故答案为：①平行；②＝； 方法应用：①略 ②作于点， ，， ，， 设，则 ， 在中，，即， 解得：， ，， 若，时，， 若，时，， 作于点， ∴， ， ， ； 若，时，如图， ， ， ， ， ． 综上所述：满足条件时，或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 如图所示的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 2. 已知反比例函数图象经过点，则下列点中不在此函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题正确的是（ ） A. 已知：线段，则是比例线段 B. 关于的方程是一元二次方程 C. 已知点是函数图象上的两点，则 D. 角都对应相等的两个多边形是相似多边形，边都对应成比例的多边形也是相似多边形 4. 把二次函数的图象向左平移个单位，向上平移个单位后，得到的图象所对应的二次函数表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在小孔成像实验中，已知燃烧的蜡烛距小孔15厘米，光屏在距离小孔45厘米处，测得蜡烛的火焰高度为2厘米，则光屏上火焰所成像的高度为（　　） A. 4厘米 B. 6厘米 C. 8厘米 D. 10厘米 7. 如图，在A处测得点P在北偏东方向上，在B处测得点P在北偏东方向上，若米，则点P到直线距离为（ ） A. 3米 B. 米 C. 2米 D. 1米 8. 如图，矩形的顶点、分别在反比例函数与的图象上，点、在轴上，、分别交轴于点、，则阴影部分的面积等于（ ） A. B. 2 C. D. 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 9. 若，则_________． 10. 若二次函数的图象开口向下，顶点在轴正半轴上，则二次函数表达式为___________．（写出一个即可） 11. 把一块含60°角的三角板按图方式摆放在平面直角坐标系中，其中60°角的顶点B在x轴上，斜边与x轴的夹角，若，当点A，C同时落在一个反比例函数图象上时，B点的坐标为______． 12. 如图，将平行四边形的边延长线到点，使，连接，交于点．添加一个条件，使四边形是矩形．下列四个条件：①；②；③；④中，你认为可选择的是___________．（填上所有满足条件的序号） 13. 如图，在中，，，是边上一点，且，连接，把沿翻折，得到，与交于点，连接，则的面积为___________． 三、解答题 14. （1）计算：． （2）解方程：． 15. 为了解龙岗区九年级学生体质测试情况，从全区九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试，把测试结果分为四个等级：A级（优秀）、B级（良好）、C级（及格）、D级（不及格），并将测试结果绘成了两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）图1中A级所在区域圆心角是 度，并把图2条形统计图补充完整； （2）该区九年级有学生35000名，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为 人； （3）测试老师想从4位同学（分别记为E，F，G，H，其中E为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树状图的方法求出选中小明的概率． 16. 如图1，是一款手机支架图片，由底座、支撑板和托板构成．图2是其侧面结构示意图，量得托板长，支撑板长，底座长，托板AB连接在支撑板顶端点C处，且，托板可绕点C转动，支撑板可绕D点转动．如图2，若．(参考数值，，) （1）求点C到直线的距离(精确到0.1cm)； （2）求点A到直线的距离(精确到0.1cm)． 17. 如图，对角线，相交于点O，过点D作且，连接． （1）求证：是菱形； （2）若，求的长． 18. 学校在校园开辟了一块劳动教育基地；一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为15米），用长为30米的篱笆，围成矩形养殖园如图1，已知矩形的边靠院墙，和与院墙垂直，设的长为x米：     （1）当围成的矩形养殖园面积为时，求的长； （2）如图2，该学校打算在养殖园饲养鸡、鸭、鹅三种家禽，需要在中间多加上两道篱笆作为隔离网，并与院墙垂直，请问此时养殖园的面积最大能达到多少？ 19. 数学兴趣小组根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究；下面是他们的探究过程，请补充完整，并解决相关问题： （1）函数的自变量x的取值范围是______； （2）下表是y与x的几组对应值，则表中m的值为______； x … 0 2 4 5 … y … m 0 1 3 4 4 3 2 … （3）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点画出函数的图象，并写出这个函数的一条性质：______； （4）画出函数的图象，结合函数图象，直接写出时，x的取值范围． 20. 综合与探究 【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形． 【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在中，，，．此时，四边形是“双等四边形”，是“伴随三角形”． 【问题解决】如图3，在四边形中，，，．求： ①与的位置关系为：__________： ②_____．（填“>”，“”或“”） 【方法应用】①如图4，若，将绕点逆时针旋转至，点恰好落在边上，求证：四边形是双等四边形． ②如图5，在等腰三角形中，，，，在平面内找一点，使四边形是以为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $