精品解析：河南省漯河市临颍县新时代实验学校2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

2025-2026学年度高一上学期数学期中考试卷 一、单项选择题（本题8小题，每题5分，共40分） 1. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数幂的运算法则化简. 【详解】. 故选：C. 2. 已知是定义域为的奇函数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数的定义判断必要性，举反例判断充分性. 【详解】因为是定义域为的奇函数， 若，例如，则对任意均有成立， 可知不一定成立，所以充分性不成立； 若，即，则， 即，所以必要性成立； 综上所述：“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 已知是定义在R上的偶函数，当时，恒成立，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性与对称性构造新函数，判定其单调性计算即可. 【详解】因为，，所以， 即，令，则有， 则在上单调递增. 又是定义在R上的偶函数，， 所以是定义在R上的偶函数. 由，可得， 即，由的单调性和奇偶性， 可得，解得或. 故选:B. 4. 若一元二次不等式对一切实数都成立，则k的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合一元二次函数的图象与性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】由一元二次不等式对一切实数都成立，显然， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：C. 5. 下列选项中与是同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据同一函数的概念，即可判断. 【详解】对于A，因为的定义域为，而的定义域为，二者定义域不同，所以与不是同一函数. 对于B，因为的定义域为，而的定义域为，二者定义域不同，所以与不是同一函数. 对于C，因为与的定义域相同，对应关系也相同，所以与是同一函数. 对于D，因为与的定义域相同，但是对应关系不相同，，所以与不是同一函数. 故选：C. 6. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据特称命题的否定形式可直接得到结果. 【详解】由特称命题的否定形式可知原命题的否定为：，. 故选：D. 7. 设是实数，则“且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用作差法来判断不等式的推出关系，从而可判断充要关系. 【详解】由于， 当且，可得，此是“且”是“”的充分条件， 当，也可得且， 所以“且”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 8. 若，则下列选项一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用特殊值法判断AB；利用指数函数单调性CD. 【详解】当时，，，故AB选项错误； 因为，所以，由在定义域上单调递增， 所以，，C选项错误，D选项正确. 故选：D 二、多项选择题（本题3小题，每题6分，共18分） 9. 已知，，且，则（ ） A. 的最大值为4 B. 的最小值为2 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据基本不等式判断A；利用基本不等式求解最值判断B；利用“1”的变换，结合基本不等式判断CD. 【详解】对于A，，，，当时等号成立， 所以的最大值为4，故A正确； 对于B，，，，当即时等号成立， 所以的最小值为2，故B正确； 对于C，， 当即时等号成立，的最小值为1，故C错误； 对于D，， 当即时等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ABD 10. 已知函数若方程有三个不等的实根，则整数的可能取值是（　　） A. B. C. 8 D. 16 【答案】CD 【解析】 【分析】将方程有根问题转化为函数交点问题，在结合图象建立不等式，求解参数值即可. 【详解】如图，作出函数的大致图象， 由，可得. 由图可知，与有且两个不同的交点， 即方程有两个不等的实根， 而方程有三个不等的实根 得到方程有且只有一个实根， 即与有且只有一个交点， 故或，解得或. 故选：CD. 11. 若某班45名学生中，有围棋爱好者22人，足球爱好者28人，则同时爱好这两项的人数可能有（ ） A. 22 B. 21 C. 5 D. 4 【答案】ABC 【解析】 【分析】由已知确定围棋爱好者的集合与足球爱好者的集合的并集中的元素的个数范围，列不等式求出同时爱好这两项的人数的范围可得正确选项. 【详解】由已知可得围棋与足球至少爱好一项的学生数的最小值为28，最大值为45，设同时爱好这两项的人数为，则只爱好围棋的学生数为，故围棋爱好者的集合与足球爱好者的集合的并集中的元素的个数为，所以，所以， 故选：ABC. 三、填空题（本题3小题，每题5分，共15分） 12. 对于函数，若存在，使 ，则称点与点是函数 的一对 “隐对称点”.若函数的图象存在 “隐对称点”，则实数  的取值范围是_________ 【答案】 【解析】 【分析】由隐对称点的定义可知函数图象上存在关于原点对称的点，由函数奇偶性的定义将问题转化为方程的零点问题，再结合基本不等式即可得出实数的取值范围. 【详解】由隐对称点的定义可知函数图象上存在关于原点对称的点， 设的图象与函数的图象关于原点对称， 令，则，， 所以， 因为，又， 由题意得与在上有交点，即方程在上有根， 则， 又因为，当且仅当， 即时，等号成立， 所以，即． 故答案为：. 13. 设函数的最大值为，最小值为，则__________. 【答案】4052 【解析】 【分析】化简函数，设，可得函数在上为奇函数，进而得到，进而求解即可. 【详解】， 设，定义域关于原点对称， 由，知函数为奇函数， ， 因为，， 所以. 故答案为：4052. 14. 已知的定义域为，则的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题可得，运算得解. 【详解】由的定义域为，则函数需满足， 解得，即的定义域为. 故答案为：. 四、解答题（本题5小题，共77分） 15. 已知关于的不等式的解集为或. （1）求实数的值； （2）若，且满足，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，和3是方程的两根，得解； （2）由已知求出，得. 【小问1详解】 不等式等价于且， 即且的解集为或， 所以和3是方程的两根，则，. 【小问2详解】 由，，则，， 所以， 令，易知在上单调递增，则，即， 因为不等式恒成立，所以， 所以实数的取值范围为. 16. 定义在非零实数集上的函数满足，且是区间上的递增函数. （1）求的值； （2）证明：函数是偶函数； （3）解不等式. 【答案】（1）1 （2） 因为的定义域为，， 令，得，即， 所以函数为偶函数. （3） 【解析】 【分析】（1）令，求得，再令，求得； （2）令，根据偶函数定义证明； （3）利用偶函数性质将不等式变形为，再根据单调性求解. 【小问1详解】 由，令，得，得， 令，得，解得. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不等式，即， ， 由为偶函数，得， 又是区间上的递增函数， ，解得或， 所以不等式的解集为. 17. 已知函数. （1）判断在区间上的单调性，并用定义证明； （2）判断的奇偶性，并用定义证明； （3）若，求的范围. 【答案】（1）在上递增，证明： ， ， ， 即，故在上单调递增； （2）奇函数，证明： 的定义域是， ， 有， 是奇函数； （3） 【解析】 【分析】（1）借助单调性定义，，求出正负即可得； （2）结合函数奇偶性定义计算即可得； （3）结合函数单调性与奇偶性计算即可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， ∵在上递增，则， 解得或者 的范围是. 18. 已知函数． （1）证明函数是偶函数； （2）在如图所示的平面直角坐标系中作出函数的图象； （3）根据图象求该函数的单调区间（直接写出答案即可）． 【答案】（1） 函数的定义域为， 且， 所以为偶函数； （2）函数的定义域为，且，所以为偶函数； （3）单调递增区间为，，单调递减区间为， 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义证明即可； （2）首先将函数写成分段函数，再根据二次函数的图象画出的图象； （3）结合图象得到函数的单调区间. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为， 又，对称轴为，开口向上，顶点坐标为； 所以的图象如下所示： 【小问3详解】 由（2）中函数图象可知，的单调递增区间为，， 单调递减区间为，. 19. 已知是实数，函数. （1）函数在上单调递减，求的取值范围； （2）若不等式的解集为或，求的值； （3）若，对于成立，求的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用二次函数的图象与性质，列出不等式，即可求解； （2）根据题意，得到和是方程的解，结合一元二次方程根与系数的关系，列出方程组，即可求解； （3）根据题意，转化为对成立，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 解：函数，可得函数的图象开口向上，对称轴为， 因为函数在上单调递减，则满足，解得， 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 解：由不等式的解集为或， 即不等式的解集为或， 即和是方程的解，可得，解得. 【小问3详解】 解：因为，对于成立， 即，不等式对成立， 即对成立，所以，即， 两式相加，可得，即， 当且仅当，时等号成立， 所以的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高一上学期数学期中考试卷 一、单项选择题（本题8小题，每题5分，共40分） 1. 设，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知是定义域为的奇函数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知是定义在R上的偶函数，当时，恒成立，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 4. 若一元二次不等式对一切实数都成立，则k的范围是（ ） A. B. C. D. 5. 下列选项中与是同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 设是实数，则“且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 若，则下列选项一定成立的是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题3小题，每题6分，共18分） 9. 已知，，且，则（ ） A. 的最大值为4 B. 的最小值为2 C. 的最小值为 D. 的最小值为 10. 已知函数若方程有三个不等的实根，则整数的可能取值是（　　） A. B. C. 8 D. 16 11. 若某班45名学生中，有围棋爱好者22人，足球爱好者28人，则同时爱好这两项的人数可能有（ ） A. 22 B. 21 C. 5 D. 4 三、填空题（本题3小题，每题5分，共15分） 12. 对于函数，若存在，使 ，则称点与点是函数 的一对 “隐对称点”.若函数的图象存在 “隐对称点”，则实数  的取值范围是_________ 13. 设函数的最大值为，最小值为，则__________. 14. 已知的定义域为，则的定义域为__________. 四、解答题（本题5小题，共77分） 15. 已知关于的不等式的解集为或. （1）求实数的值； （2）若，且满足，不等式恒成立，求实数的取值范围. 16. 定义在非零实数集上的函数满足，且是区间上的递增函数. （1）求的值； （2）证明：函数是偶函数； （3）解不等式. 17. 已知函数. （1）判断在区间上的单调性，并用定义证明； （2）判断的奇偶性，并用定义证明； （3）若，求的范围. 18. 已知函数． （1）证明函数是偶函数； （2）在如图所示的平面直角坐标系中作出函数的图象； （3）根据图象求该函数的单调区间（直接写出答案即可）． 19. 已知是实数，函数. （1）函数在上单调递减，求的取值范围； （2）若不等式的解集为或，求的值； （3）若，对于成立，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $