精品解析：江苏省徐州市撷秀初级中学2025—2026学年九年级上学期12月月考数学科试题

2025-2026学年度第一学期阶段性检测 九年级数学试题 一、选择题（本大题有8小题，每小题3分，共24分） 1. 书法是我国特有的优秀传统文化，其中篆书具有象形特征，充满美感．下列“福”字的四种篆书图案中，可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 【点睛】本题考查了利用轴对称设计图案，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 某班同学抛携实心球的成绩统计表如下，则该成绩的众数是（　　） 成绩（分） 6 7 8 9 10 频数 1 6 13 14 16 A. 10 B. 16 C. 9 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数，根据众数的定义进行判断即可． 【详解】这组数据中，成绩为10分的出现的次数最多，是16次，因此成绩的众数是10分， 故选：A． 【点睛】本题考查众数，理解众数的定义是解决问题的关键． 3. 二次函数y＝﹣x2的图象向上平移3个单位长度，所得图象的函数表达式为（　　） A. y＝x2+3 B. y＝x2﹣3 C. y＝﹣x2﹣3 D. y＝﹣x2+3 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象平移规律：左加右减，上加下减，可得答案． 【详解】解：原抛物线y＝﹣x2的顶点为（0，0），向上平移3个单位，那么新抛物线的顶点为（0，3）； 可设新抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣h）2+k，代入得：y＝﹣x2+3． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数图象的平移，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键． 4. 若两个相似三角形周长的比为，则这两个三角形对应边的比是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似三角形的周长比等于相似三角形的对应边比即可解答． 【详解】解：∵两个相似三角形周长的比为， ∴相似三角形的对应边比为， 故选． 【点睛】本题考查了相似三角形的周长比等于相似三角形的对应边比，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 5. 的直径为，若点在内，则的长可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查点和圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．点在圆内，则小于圆的半径；已知直径为，故半径为，即可求解． 【详解】解：∵的直径为， ∴的半径为， ∵点在内， ∴， 仅选项A中的满足条件， 故选：A． 6. 如图，为的直径，点，在圆上，若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是90度，熟练掌握相关性质定理是解题的关键，连接，利用为的直径，得出，求得，再利用同弧所对的圆周角相等即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 7. 如图，已知函数与的图象交于两点，当时，的取值范围是（　　） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数与不等式，利用交点确定不等式的解集，关键要学会结合图象进行分析，找出x的取值范围．结合图象进行分析可知：当或时，对应的函数的图象在函数的图象下方，即可求解． 【详解】解：已知两函数图象交于、两点， 由图可知，当或时，对应的函数的图象在函数的图象下方， ∴当时，或． 故选：C． 8. 如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，掌握格点三角形的特点，相似三角形的性质是解题的关键．如图所示（见详解），根据相似三角形的性质，三角形的高的比等于相似比，由此可求的长，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图所示，根据题意得，正方形，， ，是对角线，与交于点，过点作直线于，交于， ∴四边形和是矩形， ∴，， ∵，，，设，则， ∴， ∴，即，解得， ∴阴影部分的面积为， 故选：C． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 9. 若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键，根据比例关系，设参数表示变量，再代入求值即可． 【详解】解：设， 则，， 所以． 故答案为：． 10. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式的性质，当方程有两个不相等的实数根时，判别式大于0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 解不等式得， 即的取值范围是． 11. 已知线段，点是线段的黄金分割点（），则线段的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割点，线段成比例的计算，公式法解一元二次方程，掌握黄金分割点的计算方法是解题的关键． 【详解】解：如图所示，设，则， ∵点是线段的黄金分割点， ∴， ∴，整理得， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 12. 如图，在中，点在上，，交于，且，则___________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例的性质是解题的关键，利用，得出，再代入值求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：10． 13. 已知是方程的两根，则的值为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系， 利用一元二次方程根与系数的关系，得到和的值，然后化简代数式并代入计算． 【详解】解：是方程的两根， 由根与系数的关系，得， 则． 故答案为 ：5． 14. 如图，圆锥的母线，则其侧面展开图扇形的圆心角，则底面半径___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥的底面圆的周长，扇形的半径为圆锥的母线长；也考查扇形的弧长公式：，（n为扇形的圆心角，r为半径）． 根据扇形的弧长为圆锥的底面圆的周长列式计算即可． 【详解】解：圆锥的母线，则其侧面展开图扇形的圆心角， ， ． 故答案为：． 15. 某超市销售一种书包，平均每天可销售100件，每件盈利30元．试营销阶段发现：该商品每件降价1元，超市平均每天可多售出10件．设每件商品降价元时，日盈利为元．据此规律，在上述条件不变的情况下，求每件商品降价___________元时，超市的日盈利最大？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用， 根据销售规律，建立日盈利w与降价x的二次函数关系，通过求二次函数最大值确定最优降价金额． 【详解】解：降价后每件盈利为元，日销售量为件， 故， 因二次项系数， 故函数有最大值， 当时，w最大． 故答案为：． 16. 如图，在中，，将绕点B顺时针旋转得到，点A的对应点为．若P为的中点，连接，则线段的最大值为___________． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了旋转，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边一半等知识， 先根据勾股定理求出，由旋转得，连接，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可求得，在旋转过程中，点P在以点B为圆心，5为半径的圆上运动，当A，B，P三点共线且点P在的延长线上时，即可求出线段的最大值． 【详解】解：连接， ， ， 由旋转得， P为的中点， ， 在旋转过程中，点P在以点B为圆心，5为半径的圆上运动，当A，B，P三点共线且点P在的延长线上时，有最大值， 故最大值为． 故答案为：13． 三、解答题（本大题共9小题，共84分，解答时应可出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．） 17. （1）计算：； （2）解方程： 【答案】（1）5；（2）， 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及特殊角的三角函数值，负整数指数幂，绝对值，二次根式，还考查解一元二次方程，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先利用特殊角的三角函数值，负整数指数幂，绝对值，二次根式化简，再进行加减计算； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 其中，，，， ∴， 解得：，． 18. 徐州彭城七里历史文化轴线上有多处打卡点，在这条“七里”历史文化轴线上，由北往南可以一路打卡：其中“老东门”、“户部山”、“徐州博物馆”是比较深受游客喜欢的．周日甲、乙两位游客各自独立、随机地选择三个景点中的一处作为起始打卡点． （1）甲选择“户部山”为起始打卡点的概率为___________； （2）求甲、乙选择相同景点作为起始打卡点的概率？请用画树状图或列表的方法加以说明． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查概率公式，画树状图或列表法求概率，熟练掌握求概率的方法是解题的关键． （1）利用概率公式求解即可； （2）设“老东门”、“户部山”、“徐州博物馆”分别为、、，画树状图并求解即可． 【小问1详解】 解：∵随机地从“老东门”、“户部山”、“徐州博物馆”三个景点中的一处作为起始打卡点， ∴甲选择“户部山”为起始打卡点的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设“老东门”、“户部山”、“徐州博物馆”分别为、、， 画树状图如图： 共有9种等可能的情况，其中甲、乙选择相同景点作为起始打卡点的有3种， 所以甲、乙选择相同景点作为起始打卡点的概率为． 19. 如图，在中，点分别为边的中点，相交于点．求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了中位线定理和平行线分线段成比例等知识点，解决此题的关键是熟练运用以上知识点．连接，先根据中位线的性质可知，再根据平行线分线段成比例可知，即可得到结论． 【详解】证明：连接， 点分别是边的中点， ， ． ． 20. 为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园（如图），生态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用的篱笆围成．生态园的面积能否为？如果能，请求出的长；如果不能，请说明理由． 【答案】的长为米或米 【解析】 【分析】设米，则米，根据矩形生态园面积为，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设米，则米，根据题意得， ， 解得：， 答：的长为米或米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）以原点为位似中心，在轴的右侧，画出的位似图形，使它与的相似比为． （2）仅用无刻度直尺在线段上找一点，使（保留作图痕迹，不需说明作图步骤） 【答案】（1） 则即为所求，如图： （2） 则点P即为所求，如图： 【解析】 【分析】本题考查了位似变换与平行线分线段成比例，利用网格特点构造平行线，将转化为线段比例关系是解决本题的关键． （1）以原点为位似中心，在轴的右侧，画出的位似图形，使它与的相似比为，得到，连线成图即可； （2）证明四边形为平行四边形，再利用平行线分线段成比例的性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵ 以原点为位似中心，在轴的右侧，画出的位似图形，使它与的相似比为 即， 【小问2详解】 解：取网格点，，，连接， 在四边形中， 点，，，， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 22. 数学活动课上，老师要求九年级（1）班各学习小组的同学测量操场旗杆的高度，活动过程如下：如图，为测量旗杆的高度，小明在操场平地上的点处，测得旗杆顶部的仰角为，在线段上的点处，测得旗杆顶部的仰角为忽略测角仪的高度．已知． （1）则的距离为___________m（结果保留根号）； （2）求操场旗杆的高度（结果精确到）．（参考数据：，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，所对的直角边等于斜边的一半，三角形外角定理，要学会结合图象求解，当遇到非直角三角形时，要作辅助线构造出直角三角形． （1）过点D作于点H，利用，，，求出DH和的长，再利用，，求出，即可求解； （2）利用所对的直角边等于斜边的一半即可求出AB的长． 【小问1详解】 解：如图，过点D作于点H， 根据题意可知：，，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴操场旗杆的高度约为． 23. 如图，在中，， （1）尺规作图：作，使圆心在边上，且与边相切于点、点（保留作图痕迹，标明字母，不写作法）； （2）在（1）的条件下，，，求的半径 【答案】（1） 即为所求； （2）的半径为 【解析】 【分析】本题考查的是尺规作图—作角平分线及作圆、切线的性质及相似三角形的判定与性质， （1）先作的平分线交于点O，过点O作于点D，以点O为圆心，为半径作，与边相切于点，则即为所求作； （2）连接，先求出，，再证明四边形是正方形，设半径为r，则，可得，在中，根据列方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， 在中，，，， ， ， 与边相切于点、点， ， ， 四边形是正方形， 设半径为r，则， ， ， ， ， 在中， ， ， 解得：， 经检验，是方程的解， ∴的半径为． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点，与轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点． （1）若，则___________；点P的坐标___________． （2）随m的取值不同的长度是否发生变化，如不变求出定值，若变化，请说明理由； （3）当的面积为6时，求出所有满足条件的值． 【答案】（1）4； （2）随m的取值不同的长度不发生变化，为定值4 （3）所有满足条件的值为或 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数性质是解题关键， （1）先求出得出顶点坐标，再求出当时，方程的解为，即可求出； （2）先求出当时，方程的解为，即可求出； （3）先求出，，再分两种情况：当时或当时，分别求出相应的的值． 【小问1详解】 解：当时，抛物线， ， 当时，， 解得：， ∵点在点左侧， ， ； 【小问2详解】 解：随m的取值不同，的长度不发生变化，为定值4，理由如下： 当时，， ， 解得：， ∵点在点左侧， ， ； ∴随m的取值不同，的长度不发生变化，为定值4； 【小问3详解】 解：当时，， ， ， ， 当时，即或， ， 解得：； 当时，即， ， 解得：； 综上，所有满足条件的值为或． 25. 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究． 【定义】：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． （1）操作判断用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有___________（填序号）． （2）【性质探究】根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质，下面研究与对角线相关的性质．如图2，四边形是邻等对补四边形，是它的一条对角线． ①写出图中相等的角，并说明理由； ②若，则的长___________ （3）【拓展应用】如图3，在中，，，分别在边，上取点，，使四边形是邻等对补四边形，请直接写出的值． 【答案】（1）②④ （2）①；② （3）或或； 【解析】 【分析】（1）根据邻等对补四边形的定义判断即可； （2）①延长至点E，使，连接，根据邻等对补四边形定义、补角的性质可得出，证明，得出，，根据等边对等角得出，即可得出结论； ②过A作于F，根据三线合一性质可求出，由①可得，在中，根据勾股定理求解即可； （3）分三种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：（1）观察图知，图①、图③中不存在对角互补，图②、图④中存在对角互补且邻边相等， 故图②、图④中四边形是邻等对补四边形， 故答案为：②④； 【小问2详解】 解：①；理由如下： 延长至点E，使，连接，如下图， ∵四边形是邻等对补四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②过A作于F，如下图， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ， ， ∴（负值已舍）， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵四边形是邻等对补四边形， ∴， ∴， 当时， 如图，连接，过N作于H， ∴， 在中，， 在中，， ， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 当时，如图，连接， ∵， ∴， ∴， 过点N作交于G， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ； 当时， 连接，过N作于H，如图， ∵， ∴， ，即 解得：， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ； 综上，或或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是理解新定义，添加合适辅助线，构造全等三角形、相似三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期阶段性检测 九年级数学试题 一、选择题（本大题有8小题，每小题3分，共24分） 1. 书法是我国特有的优秀传统文化，其中篆书具有象形特征，充满美感．下列“福”字的四种篆书图案中，可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 某班同学抛携实心球的成绩统计表如下，则该成绩的众数是（　　） 成绩（分） 6 7 8 9 10 频数 1 6 13 14 16 A. 10 B. 16 C. 9 D. 14 3. 二次函数y＝﹣x2的图象向上平移3个单位长度，所得图象的函数表达式为（　　） A. y＝x2+3 B. y＝x2﹣3 C. y＝﹣x2﹣3 D. y＝﹣x2+3 4. 若两个相似三角形周长的比为，则这两个三角形对应边的比是（ ） A. B. C. D. 5. 的直径为，若点在内，则的长可能是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，为的直径，点，在圆上，若，则（　　） A. B. C. D. 7. 如图，已知函数与的图象交于两点，当时，的取值范围是（　　） A. B. C. 或 D. 8. 如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 9. 若，则___________． 10. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________． 11. 已知线段，点是线段的黄金分割点（），则线段的长为______． 12. 如图，在中，点在上，，交于，且，则___________． 13. 已知是方程的两根，则的值为___________． 14. 如图，圆锥的母线，则其侧面展开图扇形的圆心角，则底面半径___________． 15. 某超市销售一种书包，平均每天可销售100件，每件盈利30元．试营销阶段发现：该商品每件降价1元，超市平均每天可多售出10件．设每件商品降价元时，日盈利为元．据此规律，在上述条件不变的情况下，求每件商品降价___________元时，超市的日盈利最大？ 16. 如图，在中，，将绕点B顺时针旋转得到，点A的对应点为．若P为的中点，连接，则线段的最大值为___________． 三、解答题（本大题共9小题，共84分，解答时应可出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．） 17. （1）计算：； （2）解方程： 18. 徐州彭城七里历史文化轴线上有多处打卡点，在这条“七里”历史文化轴线上，由北往南可以一路打卡：其中“老东门”、“户部山”、“徐州博物馆”是比较深受游客喜欢的．周日甲、乙两位游客各自独立、随机地选择三个景点中的一处作为起始打卡点． （1）甲选择“户部山”为起始打卡点的概率为___________； （2）求甲、乙选择相同景点作为起始打卡点的概率？请用画树状图或列表的方法加以说明． 19. 如图，在中，点分别为边的中点，相交于点．求的值． 20. 为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园（如图），生态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用的篱笆围成．生态园的面积能否为？如果能，请求出的长；如果不能，请说明理由． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）以原点为位似中心，在轴的右侧，画出的位似图形，使它与的相似比为． （2）仅用无刻度直尺在线段上找一点，使（保留作图痕迹，不需说明作图步骤） 22. 数学活动课上，老师要求九年级（1）班各学习小组的同学测量操场旗杆的高度，活动过程如下：如图，为测量旗杆的高度，小明在操场平地上的点处，测得旗杆顶部的仰角为，在线段上的点处，测得旗杆顶部的仰角为忽略测角仪的高度．已知． （1）则的距离为___________m（结果保留根号）； （2）求操场旗杆的高度（结果精确到）．（参考数据：，） 23. 如图，在中，， （1）尺规作图：作，使圆心在边上，且与边相切于点、点（保留作图痕迹，标明字母，不写作法）； （2）在（1）的条件下，，，求的半径 24. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点，与轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点． （1）若，则___________；点P的坐标___________． （2）随m的取值不同的长度是否发生变化，如不变求出定值，若变化，请说明理由； （3）当的面积为6时，求出所有满足条件的值． 25. 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究． 【定义】：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． （1）操作判断用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有___________（填序号）． （2）【性质探究】根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质，下面研究与对角线相关的性质．如图2，四边形是邻等对补四边形，是它的一条对角线． ①写出图中相等的角，并说明理由； ②若，则的长___________ （3）【拓展应用】如图3，在中，，，分别在边，上取点，，使四边形是邻等对补四边形，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $