专题02 简单几何体（知识必备+11大重难题型+过关验收）（期末复习讲义）高二数学上学期沪教版

该高中数学复习讲义通过表格系统梳理简单几何体的核心考点、复习目标和考情规律，分知识点用表格呈现柱体、锥体、球等的定义、结构特征及公式，构建“考点-知识-应用”的递进框架，突出表面积体积计算、球的切接问题等重难点的内在联系。 讲义亮点在于“实例情境+数学文化”的题型设计，如蚂蚁沿长方体表面爬行最短路径问题、《九章算术》中“鳖臑”体积计算，培养空间观念和推理能力。练习分基础通关、重难突破、综合拓展三层，帮助不同学生提升，为教师精准教学提供清晰路径。

专题02 简单几何体（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 几何体的结构特征 能准确区分棱柱、棱锥、棱台的定义与性质，明确圆柱、圆锥、圆台、球的形成原理；熟练掌握直棱柱、正棱锥、正棱台的特殊性质。 基础考点，考查棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥的定义与性质，多以选择题形式出现。 表面积与体积的计算 精准掌握棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台的侧面积、表面积公式，以及柱体、锥体、台体、球的体积公式；理解公式的推导逻辑，能区分“斜高”与“高”的差异，避免公式混淆。 重点，单一几何体、组合体、 不规则几何体的表面积与体积。 直观图与展开图 理解斜二测画法的规则，能根据直观图还原原平面图形，准确计算原图形的面积；能根据几何体的结构特征绘制直观图。 斜二测画法：根据直观图还原原图形，计算原图形的面积。 侧面展开图：考查圆柱、圆锥的侧面展开图与原几何体的关系。 球的相关问题 掌握球的切、接问题的求解逻辑，明确外接球球心到各顶点距离相等、内切球球心到各面距离相等的核心性质；理解截面问题的求解思路，能根据题意作出截面并判断其形状。 基础考点，球的表面积与体积 重点，球的截面问题 核心考点，球的切接问题 知识点01 柱体 1.棱柱定义、相关概念、结构特征与分类 定义 有一对互相平行的面，且这两个面是两个全等的三角形或平面多边形；同时，不在这两个面上的棱都相互平行；我们把这样的多面体叫做棱柱； 图示及相关概念 底面：两个互相平行的面； 侧面：底面以外的其余各面； 侧棱：不在底面上的棱； 顶点：侧面与底面的公共顶点； 高：棱柱的两个底面之间的距离称为棱柱的高； 分类1 按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱…… 分类2 侧棱垂直于底面的棱柱称为直棱柱；否则称为斜棱柱； 底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱； 常见四棱柱及其关系： 2、圆柱定义、相关概念、结构特征 定义 将矩形绕其一条边所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆柱；（或者理解为：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体） 图示及相关 概念 轴：旋转轴叫做圆柱的轴； 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面； 侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面； 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边； 高：圆柱的两个底面间的距离（即的长度）叫做该圆柱的高； 备注 易知圆柱有两个相互平行的底面，有无穷多条母线，且所有母线都与其轴平行； 方便起见，我们把棱柱和圆柱统称为柱体； 轴截面 定义：是指过圆柱的轴的截面分别叫做圆柱轴截面；也泛指过任意一轴的“面”。 性质：1、同一圆柱轴截面都全等；2、圆柱的轴截面是全等的矩形； 3.祖暅原理 祖暅原理：夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面都有相等的面积，那么这两个几何体的体积必相等； 4.柱体的体积 几何体 体积 柱体 V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)， V圆柱＝πr2h(r为底面半径) 5.柱体的表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和；所以，棱柱、圆柱的表面积就是围成它们的各个面的面积的和； 图形 表面积公式 多面体 多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积 直棱柱 S直棱柱侧＝ch （c为直棱柱的底面周长，h为直棱柱的高） S表＝S侧＋2S底 圆柱 （l为圆柱的母线长，r为圆柱底面的半径） 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πrl＋2πr2 知识点02 锥体 1.棱锥 定义：有一个面是三角形或平面多边形，且不在这个面上的棱都有一个公共点，这样的多面体叫做棱锥； 棱锥的底面：这个三角形或平面多边形；棱锥的侧面：其余的面； 棱锥的侧棱：不在底面上的棱； 棱锥的顶点：所有侧棱的公共点； 棱锥的高：顶点到底面的距离 按照底面多边形的边数，棱锥可以分别称为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 如果棱锥的底面是正多边形，且底面中心与顶点的连线垂直于底面，那么这个棱锥叫做正棱锥。 2.圆锥 定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。 圆锥的轴：旋转轴所在直线； 圆锥的顶点：点S； 圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面；圆锥的侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面； 圆锥的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的斜边；圆锥的高：圆锥的顶点到底面间的距离； 3.锥体的体积 锥体的体积公式 V＝Sh (S为底面面积，h为高)； 4.锥体表面积与侧面积 几何体 侧面展开图 侧面积公式 正棱锥 S正棱锥侧＝ch′ c为底面周长；h′为斜高，即侧面等腰三角形的高 圆锥 S圆锥侧＝πrl r为底面半径，l为侧面母线长； 知识点03 多面体与旋转体 1、多面体定义：由三角形或平面多边形围成的封闭几何体；如：棱柱、棱锥、棱台等几何体都是多面体； 2旋转体 由一个平面封闭图形绕其所在平面上的一条定直线旋转一周所形成的空间封闭几何体称为旋转体；这条直线叫做该旋转体的轴； 与旋转体类似地可以定义空间中的旋转面：一条平面曲线（包括直线、折线等）绕其所在平面上的一条直线旋转一周所形成的空间图形称为旋转面； 知识点04 球 1.球的定义 名称 定义 图形表示 相关概念 球 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 如图可记作：球O 球心：半圆的圆心 半径：连接球心和球面上任意一点的线段 直径：连接球面上两点并经过球心的线段； 2.球的对称性 球具有丰富的对称性，所有经过球心的直线都可以作为球的旋转轴，每条旋转轴与球面交点之间的线段都是球的直径； 3.平面截球 球的截面均是圆面，球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆． 4.球的体积公式 设球的半径为R，则球的体积V＝πR3. 5.球的表面积 设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍； 题型一 棱柱与圆柱 【例1-1】（25-26高二上·上海嘉定·月考）如图是一块长、宽、高分别为、、的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点处，沿着长方体的表面到长方体上和相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（   ） A． B． C． D． 【例1-2】（24-25高二上·上海·期中）已知正方体的棱长为1，则正方体的体对角线长为 . 【例1-3】（23-24高二上·上海宝山·月考）如图所示，在正四棱柱中，为棱的中点，过的平面分别与棱交于点，且，则四边形的面积为 . 【变式1-1】（25-26高二上·上海·月考）已知正方体中，点为的中点，点为的中点，则平面截正方体形成的截面图形为（    ） A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 【变式1-2】（23-24高二上·上海普陀·期中）已知长方体的长､宽､高分别为1､2､3，则长方体的体对角线长为 . 【变式1-3】（24-25高二上·上海黄浦·期末）在长方体中，若，则此长方体的中心到顶点的距离为 . 【变式1-4】（24-25高二上·上海松江·期中）圆柱底面半径为1，高为，为上底底面的直径，点是下底底面圆弧上的一个动点，点绕着下底底面旋转一周，则面积的范围是 . 题型二 柱体的体积 【例2-1】（25-26高二上·上海浦东新·期中）圆柱底面直径扩大为原来的2倍，高缩小为原来的，则体积变为原来的（   ） A．0.5倍 B．1倍 C．2倍 D．4倍 【例2-2】（23-24高二上·上海浦东新·期中）已知长方体的对角线的长是，且直线在长方体上经过点的三个面上的投影长分别为、、，则此长方体的体积是 . 【变式2-1】（25-26高二上·上海·月考）已知圆柱底面圆的半径为1，母线长为4，则该圆柱的体积为 ． 【变式2-2】（25-26高二上·上海浦东新·期中）一张矩形纸片的规格为：30cm×20cm，把它作为一个圆柱的侧面，求卷成的圆柱的体积.（精确到，为保证精度，在计算器使用过程中不对值进行四舍五入） 题型三 柱体的表面积 【例3-1】（25-26高二上·上海浦东新·期中）一个正四棱柱底面边长为2，高为1，则它的表面积是 . 【例3-2】（25-26高二上·上海·期中）如图，正三棱柱的各棱长均为2，为棱的中点． (1)求该三棱柱的侧面积； (2)求异面直线与所成角的大小． 【变式3-1】（24-25高二上·上海·期中）底面半径为2，高为2的圆柱的侧面积为 .（结果保留） 【变式3-2】（22-23高二上·上海闵行·月考）已知一个圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积是，则此圆柱的底面的面积是 . 【变式3-3】（25-26高二上·上海·月考）如图，直三棱柱内接于等高的圆柱中，已知，为的中点，求： (1)直三棱柱的体积和侧面积； (2)求直线与平面所成的角的正弦值． 题型四 棱锥与圆锥 【例4-1】（25-26高二上·上海·月考）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．则在一个长方体中，鳖臑的个数为（   ） A．12 B．24 C．36 D．48 【例4-2】（25-26高二上·上海嘉定·月考）已知正三棱锥的底面边长为4，高为，则该三棱锥的侧棱长为 【例4-3】（24-25高二上·上海静安·期中）在棱长为2的正四面体中，顶点到底面的距离为 . 【例4-4】（24-25高二上·上海·期中）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体为鳖臑. 如图，在鳖臑中，平面，，，，分别为棱上一点，则的最小值为 . 【变式4-1】（23-24高二上·上海浦东新·期中）有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高二上·上海奉贤·期中）下列命题正确的是（    ） A．以直角三角形的一直角边为轴旋转所形成的旋转体是圆锥 B．以直角梯形的一腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台 C．圆柱、圆锥、圆台都有两个底面 D．圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径 【变式4-3】（24-25高二上·上海·期中）将一个圆锥的侧面展开后，得到一个半圆，则该圆锥轴截面的顶角等于 . 【变式4-4】（24-25高二上·上海闵行·期末）若圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则过这个圆锥顶点的截面中，最大截面面积等于 . 【变式4-5】（25-26高二上·上海嘉定·期中）有一个圆锥形漏斗，其底面直径是10，母线长为20，在漏斗口的点处用一根绳子将漏斗挂在墙面上，当绳子的长度最短时，可以紧紧地箍住漏斗，不会上下滑动，则此时绳子的长度 . 题型五 锥体的体积 【例5】（25-26高二上·上海嘉定·月考）已知正三棱锥中，底面边长为1，侧棱长为2，点、分别为侧棱、上的点，当三角形的周长最小时，三棱锥的体积为 . 【变式5-1】（25-26高二上·上海青浦·月考）如图是青浦高级中学综合广场升旗仪式司令台前的栏杆，栏杆最上面的造型可以看作是一个几何体．该几何体是由一个正方体沿同一顶点出发的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去8个三棱锥后剩余部分组成的．已知原正方体的棱长为，则该几何体的体积为     【变式5-2】（25-26高二上·上海·期中）如图，正三棱柱的各棱长均为2，D为棱的中点． (1)求该三棱柱的体积； (2)求点到平面的距离． 题型六 锥体的表面积 【例6-1】（25-26高二上·上海·期中）如图所示的某粮仓(粮仓的底部位于地面上)是由圆柱和圆锥构成的，若圆柱的高是圆锥高的2倍，且圆锥的母线长是4，侧面积是，则制作这样一个粮仓(不含底面)的用料面积为（     ）    A． B． C． D． 【例6-2】（25-26高二上·上海·月考）在正方体中，棱长为2，则三棱锥的表面积为 【变式6-1】（25-26高二上·上海浦东新·月考）已知某圆锥的高为2，底面积为，则该圆锥的侧面积为 ． 【变式6-2】（25-26高二上·上海·期中）如图，是圆柱的底面直径且是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点．    (1)求证：平面； (2)当三棱锥体积最大时，求三棱锥的表面积； (3)若是的中点，点在线段上，求的最小值． 题型七 多面体 【例7】（23-24高二上·上海·期中）如果一个多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多面体就叫做正多面体.下列几何体中，所有棱长均相等，同一表面的角都相等，则 是正多面体.（写出所有正确的序号）    【变式7-1】（23-24高二上·上海长宁·期中）正多面体各个面都是全等的正多边形，其中，面数最少的是正四面体，面数最多的是正二十面体，它们被称为柏拉图多面体．如图，正二十面体是由个等边三角形所组成的正多面体．已知多面体满足：顶点数-棱数+面数=，则正二十面体的顶点的个数为 ． 【变式7-2】（24-25高二上·上海·单元测试）如图，是底面边长为1的正三棱锥，D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点，截面底面ABC，且棱台DEFABC与棱锥的棱长和相等.（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和） (1)证明：为正四面体； (2)设棱台体积为V，是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明，若不存在，请说明理由.（直平行六面体指侧棱垂直于底面，底面是平行四边形的四棱柱） 题型八 旋转体 【例8】（23-24高二上·上海金山·期中）将边长为1的正方形绕着边所在的直线旋转一周，所形成的几何体的体积为 ． 【变式8-1】（25-26高二上·上海·期中）如图，已知平面，，，，，是的中点，则绕直线旋转一周所构成的旋转体的体积是 ． 【变式8-2】（25-26高二上·上海嘉定·月考）在平面上，将双曲线的一支及直线和直线､围成的封闭图形记为，如图中阴影部分，记绕轴旋转一周所得的几何体为，过作的水平截面，计算截面积，利用祖暅原理和割补法得出体积为 . 题型九 球 【例9-1】（23-24高二上·上海金山·期中）如图，在矩形中，已知为边的中点．将沿翻折成，若为线段的中点，给出下列说法：①翻折到某个位置，可以使得平面；②无论怎样翻折，点总在某个球面上运动．则（    ）． A．①和②都正确 B．①和②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【例9-2】（25-26高二上·上海·单元测试）A、B为球面上任意两点，则通过A、B可作大圆的个数是 个． 【变式9-1】（25-26高二上·上海·月考）设地球是半径为的球，地球上两地都在北纬的纬线上，在东经、在东经的经线上，则从沿球面向正东前进（    ）到地 A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26高二上·上海静安·月考）已知边长为2的菱形，，对角线AC，BD交于点，现将沿对角线AC翻折，得到三棱锥记线段AD'，AB，BC的中点分别为，，，有以下几个结论： ①三棱锥体积的最大值为； ②平面EFG截三棱锥的截面图形可能是正方形； ③当折成的二面角为时，三棱锥的外接球半径为 则上述结论中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式9-3】（25-26高二上·上海·期中）勒洛四面体是一个非常神奇的＂四面体＂，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图所示，若正四面体的棱长为，请解答以下问题：    (1)求勒洛四面体中过三点的截面面积． (2)求勒洛四面体能够容纳的最大球的半径． (3)若是勒洛四面体表面上的任意两点，若正四面体的棱长，求长度的最大值． 题型十 球的体积 【例10】（25-26高二上·上海·期中）如图是一个装有水的倒圆锥形杯子，杯子口径（即杯口直径）6cm，高8cm（不含杯脚），已知水的高度是4cm，现往杯子中放入一种直径为1cm的珍珠，该珍珠放入水中后直接沉入杯底，且体积不变；如果放完珍珠后水不溢出，则最多可以放入珍珠（   ） A．63颗 B．126颗 C．378颗 D．504颗 【变式10-1】（25-26高二上·上海青浦·月考）如图是青浦高级中学高二教学楼前的花岗岩挡车球，也叫石球．该石球是空心球，它的外直径为，内直径为，石球材料的密度为，则该石球的质量为 千克（,答案精确到0.01千克） 【变式10-2】（25-26高二上·上海·期中）数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，在勒洛四面体中，正四面体ABCD的棱长为4，给出下列四个结论：正确的序号是 ． ①若P，Q是勒洛四面体ABCD表面上的任意两点，则PQ的最大值是4； ②勒洛四面体ABCD被平面ABC截得的截面面积是； ③勒洛四面体ABCD的体积是； ④勒洛四面体ABCD内切球的半径是． 题型十一 球的表面积 【例11】（25-26高二上·上海·月考）已知球的体积为，则球的表面积为 . 【变式11-1】（25-26高二上·上海·期中）＂阿基米德多面体＂也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图所示，将正方体沿同一顶点出发的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去8个三棱锥，得到8个面为正三角形、6个面为正方形的一种半正多面体．若，则此半正多面体外接球的表面积为 . 【变式11-2】（25-26高二上·上海·月考）如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是，圆柱筒长2cm.    (1)这种“浮球”的体积是多少？（结果精确到0.1） (2)这种“浮球”的表面积是多少？ 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高二上·上海浦东新·期末）下列命题是假命题的个数是：（   ） （1）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱； （2）有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱； （3）过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形； （4）所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱. A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（25-26高二上·上海浦东新·月考）已知正三棱锥的六条棱长均为是及其内部的点构成的集合．设集合，则表示的区域的面积为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·上海·月考）如图，已知点在表面积为的球的球面上，且平面，点为中点，当二面角的大小为时，则下列说法正确的有（　　）项． ①异面直线和所成角的大小为 ②直线与平面所成角的大小为 ③ ④的面积为 A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26高二上·上海·期末）底面半径为的圆柱的侧面积为，则该圆柱的体积为 ．（结果保留） 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 5．（25-26高二上·上海·期中）“几何体是正四棱柱”是“几何体是长方体”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 6．（25-26高二上·上海·期中）正四棱锥的底面边长为，高为，则它的表面积为 . 7．（25-26高二上·上海宝山·月考）已知用一个通过圆锥的轴的平面去截一个圆锥，得到的截面是面积为的正三角形.则此圆锥内切球的半径为 . 8．（25-26高二上·上海·期中）沪教版教材11．4．2在推导半径为的球的体积公式时，先构造如图所示的圆柱体，圆柱体的底面半径和高都为，其底面和半球体的底面同在平面上，然后在圆柱体内挖去一个圆锥后，运用祖暅原理来推导，请解答以下问题：    (1)补全完整祖暅原理：夹在两个 间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的 截得的两个截面的 ，那么这两个几何体的体积必相等． (2)请把如图补充完整并写出球的体积公式的推导过程． 9．（25-26高二上·上海浦东新·月考）如图，是圆柱的底面直径且是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点．    (1)求证：平面； (2)当三棱锥体积最大时，求三棱锥的体积与表面积； (3)若是的中点，点在线段上，求的最小值． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 10．（25-26高二上·上海·期中）已知棱长为2的正方体，棱的中点为，从点沿着正方体表面到点的最短路径的长度为 ． 11．（25-26高二上·上海普陀·期末）如图，是圆柱的一条母线，过底面圆心,是圆上一点.已知，.    (1)求与底面所成角的大小； (2)求二面角的大小； (3)将四面体绕母线所在的直线旋转一周，求的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积. 12．（25-26高二上·上海·期中）在正方体中，M、N、P分别为的中点，棱长为．    (1)请在图中作出过M，N，P三点的平面截正方体所得的截面（保留作图痕迹）． (2)计算截面的周长． (3)任作平面与对角线垂直，使平面与正方体的每个面都有公共点，这样得到一个截面多边形，求该截面多边形的周长． 13．（2025高二上·上海松江·专题练习）亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图1）假设我们把亭子看成由一个圆锥与一个圆柱构成的几何体（如图2）．一般地，设圆锥中母线与圆柱底面半径所成角的大小为α，当时，方能满足建筑要求，已知圆锥高为米，底面半径为米，圆柱高为3米，底面半径为2米． (1)求几何体的表面积； (2)如图2，设E为圆柱底面半圆弧的三等分点（靠近点D），判断该亭子是否满足建筑要求． 14．（25-26高二上·上海·期中）定义：多面体的周长是指该多面体的所有棱的长度和．如图，已知正四面体的底面的边长为分别为棱上的点，平面平面，    (1)求棱台的周长； (2)若是侧棱的中点，和的顶点都在同一个球面上，求此球的半径； (3)已知棱台的体积为，问是否存在一个与棱台的周长和体积都相等的平行六面体，其各棱长均相等且侧棱垂直于底面？若存在，求出此平行六面体的棱长和底面四边形的面积，若不存在，请说明理由． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 简单几何体（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 几何体的结构特征 能准确区分棱柱、棱锥、棱台的定义与性质，明确圆柱、圆锥、圆台、球的形成原理；熟练掌握直棱柱、正棱锥、正棱台的特殊性质。 基础考点，考查棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥的定义与性质，多以选择题形式出现。 表面积与体积的计算 精准掌握棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台的侧面积、表面积公式，以及柱体、锥体、台体、球的体积公式；理解公式的推导逻辑，能区分“斜高”与“高”的差异，避免公式混淆。 重点，单一几何体、组合体、 不规则几何体的表面积与体积。 直观图与展开图 理解斜二测画法的规则，能根据直观图还原原平面图形，准确计算原图形的面积；能根据几何体的结构特征绘制直观图。 斜二测画法：根据直观图还原原图形，计算原图形的面积。 侧面展开图：考查圆柱、圆锥的侧面展开图与原几何体的关系。 球的相关问题 掌握球的切、接问题的求解逻辑，明确外接球球心到各顶点距离相等、内切球球心到各面距离相等的核心性质；理解截面问题的求解思路，能根据题意作出截面并判断其形状。 基础考点，球的表面积与体积 重点，球的截面问题 核心考点，球的切接问题 知识点01 柱体 1.棱柱定义、相关概念、结构特征与分类 定义 有一对互相平行的面，且这两个面是两个全等的三角形或平面多边形；同时，不在这两个面上的棱都相互平行；我们把这样的多面体叫做棱柱； 图示及相关概念 底面：两个互相平行的面； 侧面：底面以外的其余各面； 侧棱：不在底面上的棱； 顶点：侧面与底面的公共顶点； 高：棱柱的两个底面之间的距离称为棱柱的高； 分类1 按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱…… 分类2 侧棱垂直于底面的棱柱称为直棱柱；否则称为斜棱柱； 底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱； 常见四棱柱及其关系： 2、圆柱定义、相关概念、结构特征 定义 将矩形绕其一条边所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆柱；（或者理解为：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体） 图示及相关 概念 轴：旋转轴叫做圆柱的轴； 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面； 侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面； 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边； 高：圆柱的两个底面间的距离（即的长度）叫做该圆柱的高； 备注 易知圆柱有两个相互平行的底面，有无穷多条母线，且所有母线都与其轴平行； 方便起见，我们把棱柱和圆柱统称为柱体； 轴截面 定义：是指过圆柱的轴的截面分别叫做圆柱轴截面；也泛指过任意一轴的“面”。 性质：1、同一圆柱轴截面都全等；2、圆柱的轴截面是全等的矩形； 3.祖暅原理 祖暅原理：夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面都有相等的面积，那么这两个几何体的体积必相等； 4.柱体的体积 几何体 体积 柱体 V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)， V圆柱＝πr2h(r为底面半径) 5.柱体的表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和；所以，棱柱、圆柱的表面积就是围成它们的各个面的面积的和； 图形 表面积公式 多面体 多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积 直棱柱 S直棱柱侧＝ch （c为直棱柱的底面周长，h为直棱柱的高） S表＝S侧＋2S底 圆柱 （l为圆柱的母线长，r为圆柱底面的半径） 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πrl＋2πr2 知识点02 锥体 1.棱锥 定义：有一个面是三角形或平面多边形，且不在这个面上的棱都有一个公共点，这样的多面体叫做棱锥； 棱锥的底面：这个三角形或平面多边形；棱锥的侧面：其余的面； 棱锥的侧棱：不在底面上的棱； 棱锥的顶点：所有侧棱的公共点； 棱锥的高：顶点到底面的距离 按照底面多边形的边数，棱锥可以分别称为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 如果棱锥的底面是正多边形，且底面中心与顶点的连线垂直于底面，那么这个棱锥叫做正棱锥。 2.圆锥 定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。 圆锥的轴：旋转轴所在直线； 圆锥的顶点：点S； 圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面；圆锥的侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面； 圆锥的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的斜边；圆锥的高：圆锥的顶点到底面间的距离； 3.锥体的体积 锥体的体积公式 V＝Sh (S为底面面积，h为高)； 4.锥体表面积与侧面积 几何体 侧面展开图 侧面积公式 正棱锥 S正棱锥侧＝ch′ c为底面周长；h′为斜高，即侧面等腰三角形的高 圆锥 S圆锥侧＝πrl r为底面半径，l为侧面母线长； 知识点03 多面体与旋转体 1、多面体定义：由三角形或平面多边形围成的封闭几何体；如：棱柱、棱锥、棱台等几何体都是多面体； 2旋转体 由一个平面封闭图形绕其所在平面上的一条定直线旋转一周所形成的空间封闭几何体称为旋转体；这条直线叫做该旋转体的轴； 与旋转体类似地可以定义空间中的旋转面：一条平面曲线（包括直线、折线等）绕其所在平面上的一条直线旋转一周所形成的空间图形称为旋转面； 知识点04 球 1.球的定义 名称 定义 图形表示 相关概念 球 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 如图可记作：球O 球心：半圆的圆心 半径：连接球心和球面上任意一点的线段 直径：连接球面上两点并经过球心的线段； 2.球的对称性 球具有丰富的对称性，所有经过球心的直线都可以作为球的旋转轴，每条旋转轴与球面交点之间的线段都是球的直径； 3.平面截球 球的截面均是圆面，球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆． 4.球的体积公式 设球的半径为R，则球的体积V＝πR3. 5.球的表面积 设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍； 题型一 棱柱与圆柱 【例1-1】（25-26高二上·上海嘉定·月考）如图是一块长、宽、高分别为、、的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点处，沿着长方体的表面到长方体上和相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】展开可能走过的长方体平面，由两点之间线段最短求出各个最短距离比较即可求解. 【详解】第一种情况:把我们所看到的前面和上面组成一个平面， 则这个长方形的长和宽分别是和 则所走的最短线段是； 第二种情况:把我们看到的左面与上面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是和 所以走的最短线段是； 第三种情况:把我们所看到的前面和右面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是和 所以走的最短线段是； 三种情况比较而言，第二种情况最短. 故选：A. 【例1-2】（24-25高二上·上海·期中）已知正方体的棱长为1，则正方体的体对角线长为 . 【答案】 【知识点】正棱柱及其有关计算 【分析】由正方体体对角线公式即可求解 【详解】因为正方体的棱长为1， 所以体对角线长为， 故答案为： 【例1-3】（23-24高二上·上海宝山·月考）如图所示，在正四棱柱中，为棱的中点，过的平面分别与棱交于点，且，则四边形的面积为 . 【答案】/ 【知识点】正棱柱及其有关计算、判断正方体的截面形状 【分析】过点B作的平行线分别与，的延长线交于G，H，连接，，并分别与交于E，F，利用线面平行的判定定理证得平面即为平面，从而得截面四边形为菱形，然后根据菱形面积公式求解即可. 【详解】如图： 过点B作的平行线分别与，的延长线交于G，H，连接，，并分别与交于E，F， 因为，且平面，平面， 所以平面，所以平面即为平面， 又平面平面，平面平面，平面平面， 所以，同理，所以四边形为平行四边形， 又，，所以，所以四边形为菱形， 因为，， 所以四边形的面积为. 故答案为：. 【变式1-1】（25-26高二上·上海·月考）已知正方体中，点为的中点，点为的中点，则平面截正方体形成的截面图形为（    ） A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 【答案】B 【知识点】判断正方体的截面形状、由平面的基本性质作截面图形 【分析】应用平面的基本性质画出截面图，即可得. 【详解】延长，交的延长线于， 连接，交于， 延长，交的延长线于， 连接，交于， 最后依次连接， 所得截面，即为所求. 故选：B 【变式1-2】（23-24高二上·上海普陀·期中）已知长方体的长､宽､高分别为1､2､3，则长方体的体对角线长为 . 【答案】 【知识点】棱柱及其有关计算 【分析】根据长方体的对角线长公式计算． 【详解】对角线长为， 故答案为：． 【变式1-3】（24-25高二上·上海黄浦·期末）在长方体中，若，则此长方体的中心到顶点的距离为 . 【答案】2 【知识点】棱柱的结构特征和分类、棱柱及其有关计算 【分析】根据长方体中心到顶点的距离为体对角线的一半，结合已知即可求结果. 【详解】由长方体中心到顶点的距离为体对角线的一半，而体对角线长为， 所以此长方体的中心到顶点的距离为2. 故答案为：2 【变式1-4】（24-25高二上·上海松江·期中）圆柱底面半径为1，高为，为上底底面的直径，点是下底底面圆弧上的一个动点，点绕着下底底面旋转一周，则面积的范围是 . 【答案】 【知识点】圆柱的结构特征辨析 【分析】据题意，设上底面圆心为，下底面圆心为，连接，过作，垂足为，由于为定值，故面积的大小随的长度的变化而变化，由图可知，当点与点重合时以及当点与点重合时，分别求出的最大值和最小值，即可求出面积的范围. 【详解】如图1，设上底面圆心为，下底面圆心为， 连接，过作，垂足为， 则， 据题意，为底面直径，是定值，故面积的大小随的长度的变化而变化， 由图2可知，当点与点重合时，， 此时取得最大值为， 如图3所示，当点与点重合时，， 此时取得最小大值为， 综上所述，面积的范围为. 故答案为： 题型二 柱体的体积 【例2-1】（25-26高二上·上海浦东新·期中）圆柱底面直径扩大为原来的2倍，高缩小为原来的，则体积变为原来的（   ） A．0.5倍 B．1倍 C．2倍 D．4倍 【答案】C 【知识点】柱体体积的有关计算 【分析】利用圆柱的体积公式，直接计算求解即可. 【详解】设原来的圆柱体积为，底面半径为，高为，变化后的圆柱的体积为， 则，=，所以体积变为原来的2倍. 故选：C 【例2-2】（23-24高二上·上海浦东新·期中）已知长方体的对角线的长是，且直线在长方体上经过点的三个面上的投影长分别为、、，则此长方体的体积是 . 【答案】 【知识点】柱体体积的有关计算 【分析】设长方体的长、宽、高分别为，进而根据体对角线与面对角线的关系求解即可. 【详解】解：设长方体的长、宽、高分别为，    则长方体的体对角线的长满足， 直线在长方体上经过点的三个面上的投影分别为三个面的对角线， 所以，在面上的投影长为； 在面上的投影长为； 在面上的投影长为； 所以，，，，即，，， 所以长方体的体积满足：，即 故答案为： 【变式2-1】（25-26高二上·上海·月考）已知圆柱底面圆的半径为1，母线长为4，则该圆柱的体积为 ． 【答案】 【知识点】柱体体积的有关计算 【分析】根据圆柱的体积公式求得正确答案. 【详解】依题意，圆柱的体积为. 故答案为： 【变式2-2】（25-26高二上·上海浦东新·期中）一张矩形纸片的规格为：30cm×20cm，把它作为一个圆柱的侧面，求卷成的圆柱的体积.（精确到，为保证精度，在计算器使用过程中不对值进行四舍五入） 【答案】或 【知识点】柱体体积的有关计算 【分析】分别讨论以30cm边为底面周长，20cm边为高和以20cm边为底面周长，30cm边为高两种情况，求得底面圆半径，代入体积公式，即可得答案. 【详解】若以30cm边为底面周长，20cm边为高时， 底面圆半径， 则体积； 若以20cm边为底面周长，30cm边为高时， 底面圆半径， 则体积. 题型三 柱体的表面积 【例3-1】（25-26高二上·上海浦东新·期中）一个正四棱柱底面边长为2，高为1，则它的表面积是 . 【答案】16 【知识点】棱柱表面积的有关计算 【分析】利用正四棱柱的性质进行计算即可. 【详解】因为一个正四棱柱底面边长为2，高为1，则它的表面积是. 故答案为：16 【例3-2】（25-26高二上·上海·期中）如图，正三棱柱的各棱长均为2，为棱的中点． (1)求该三棱柱的侧面积； (2)求异面直线与所成角的大小． 【答案】(1)12； (2). 【知识点】棱柱表面积的有关计算、求异面直线所成的角 【分析】（1）根据给定条件，利用三棱柱的侧面积公式求解. （2）取AC中点E，连结DE，，利用几何法求出异面直线夹角. 【详解】（1）由正三棱柱的各棱长均为2， 得该三棱柱的侧面积. （2）取AC中点E，连结DE，， 由D为棱BC的中点，得，， 则是异面直线AB与所成角(或其补角)，， ， 所以异面直线AB与所成角的大小为. 【变式3-1】（24-25高二上·上海·期中）底面半径为2，高为2的圆柱的侧面积为 .（结果保留） 【答案】 【知识点】圆柱表面积的有关计算 【分析】根据圆柱的侧面展开图为矩形，结合数据得到矩形的长和宽，即可计算圆柱的侧面积. 【详解】圆柱侧面展开图为矩形，长为圆柱底面圆周长，宽为圆柱的高. 故圆柱的侧面积为. 故答案为：. 【变式3-2】（22-23高二上·上海闵行·月考）已知一个圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积是，则此圆柱的底面的面积是 . 【答案】 【知识点】圆柱轴截面的有关计算 【分析】由圆柱的底面直径即为轴截面的边长，进而可以求解. 【详解】因为圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积是， 所以此正方形的边长为，即圆柱的底面直径为， 所以圆柱的底面的面积为. 故答案为：. 【变式3-3】（25-26高二上·上海·月考）如图，直三棱柱内接于等高的圆柱中，已知，为的中点，求： (1)直三棱柱的体积和侧面积； (2)求直线与平面所成的角的正弦值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求线面角、柱体体积的有关计算、圆柱表面积的有关计算 【分析】（1）利用棱柱的体积公式和棱柱的侧面积公式计算即可； （2）利用线面垂直，证明线面角，然后计算正弦值即可． 【详解】（1）， 由，，可得， 所以． （2） 由为的中点，，可得， 又因为平面，平面，所以， 又因为平面，所以平面， 即就是直线与平面所成角， 又因为，所以， 故直线与平面所成角的正弦值为. 题型四 棱锥与圆锥 【例4-1】（25-26高二上·上海·月考）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．则在一个长方体中，鳖臑的个数为（   ） A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【知识点】棱柱的结构特征和分类、棱锥的结构特征和分类 【分析】每个顶点对应个鳖臑，所以个顶点对应个鳖臑．但每个鳖臑都重复一次，再除以，即可得解. 【详解】在长方体中， 当顶点为时，三棱锥、、、、、均为鳖臑． 所以个顶点为个．但每个鳖臑都重复一次， 所以，鳖臑的个数为个. 故选：B． 【例4-2】（25-26高二上·上海嘉定·月考）已知正三棱锥的底面边长为4，高为，则该三棱锥的侧棱长为 【答案】/ 【知识点】正棱锥及其有关计算 【分析】作出几何体的直观图，作出三棱锥的高，求得相关线段的长，即可求得答案. 【详解】如图，正三棱锥中，底面是边长为4的等边三角形， 设侧棱长为， 设O为的中心， 取中点D，连接，则O在上，为三棱锥的高， 则，， 故， ∴正三棱锥的侧棱长为， 故答案为： 【例4-3】（24-25高二上·上海静安·期中）在棱长为2的正四面体中，顶点到底面的距离为 . 【答案】/ 【知识点】正棱锥及其有关计算 【分析】根据给定条件，利用正四面体的结构特征计算即得. 【详解】依题意，正的外接圆半径，则， 所以顶点到底面的距离. 故答案为： 【例4-4】（24-25高二上·上海·期中）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体为鳖臑. 如图，在鳖臑中，平面，，，，分别为棱上一点，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】棱锥的展开图 【分析】结合垂直关系可得侧面的展开图，由此可确定当，时，取得最小值；利用长度关系和两角和差公式可求得，进而得到最小值. 【详解】平面，平面，，， ，，平面，平面， 又平面，； 将侧面沿展开，得到展开图如下图所示， 则当，时，取得最小值； ，，，， ，， ， . 故答案为：. 【变式4-1】（23-24高二上·上海浦东新·期中）有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】棱锥的结构特征和分类、棱锥中截面的有关计算 【分析】分类讨论底面三角形的形状，再根据三角形三边关系列出不等式，求解即可． 【详解】根据两根长都为的直铁条的相对位置，将底面三角形的三边长分为两种情况： ①当底面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为，即两根长都为的直铁条相邻， 取中点为，连接，如图所示， 由正三角形可知，， 在中，由于，即， 解得；    ②当底面三角形边长分别为，三条侧棱长为，即两根长都为的直铁条不相邻， 取中点为，连接 ，如图所示，    由为等腰三角形，得， 在中，，即，解得； 综上所述，的取值范围是， 故选：A． 【变式4-2】（23-24高二上·上海奉贤·期中）下列命题正确的是（    ） A．以直角三角形的一直角边为轴旋转所形成的旋转体是圆锥 B．以直角梯形的一腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台 C．圆柱、圆锥、圆台都有两个底面 D．圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径 【答案】A 【知识点】圆柱的结构特征辨析、圆锥的结构特征辨析、圆锥的展开图及最短距离问题、圆台的结构特征辨析 【分析】根据圆锥、圆柱、圆台的特点判断各选项即可. 【详解】对于A，根据圆锥的特点，以直角三角形的一直角边为轴旋转所形成的旋转体是圆锥，故A正确； 对于B，以直角梯形的直角腰为轴旋转所得的旋转体才是圆台，故B错误； 对于C，圆柱、圆台都有两个底面，而圆锥只有一个底面，故C错误； 对于D，圆锥的侧面展开图为扇形，此扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长，故D错误. 故选：A. 【变式4-3】（24-25高二上·上海·期中）将一个圆锥的侧面展开后，得到一个半圆，则该圆锥轴截面的顶角等于 . 【答案】 【知识点】圆锥的结构特征辨析 【分析】和分别表示底面圆半径和母线长，由题意得到等量关系，得到，从而知道轴截面的顶角值. 【详解】设底面半径为，母线成为， 则，即， ∴该圆锥轴截面的顶角等于， 故答案为： 【变式4-4】（24-25高二上·上海闵行·期末）若圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则过这个圆锥顶点的截面中，最大截面面积等于 . 【答案】 【知识点】圆锥中截面的有关计算、弧长的有关计算 【分析】根据给定条件，求出圆锥底面圆半径及高，再判断轴截面三角形形状并求出最大面积. 【详解】依题意，圆锥底面圆周长为，该圆锥底面圆半径，而圆锥母线， 该圆锥轴的高，其轴截面顶角为，， ，，因此该圆锥轴截面是锐角三角形，是经过顶点的截面中的最大截面， 所以最大截面面积等于. 故答案为： 【变式4-5】（25-26高二上·上海嘉定·期中）有一个圆锥形漏斗，其底面直径是10，母线长为20，在漏斗口的点处用一根绳子将漏斗挂在墙面上，当绳子的长度最短时，可以紧紧地箍住漏斗，不会上下滑动，则此时绳子的长度 . 【答案】 【知识点】圆锥的展开图及最短距离问题 【分析】由圆锥的侧面展开图可知，绳子是线段时，绳子长度最短，根据扇形弧长公式可求圆心角，从而可求弦的长度. 【详解】底面直径是10，则底面圆周长 ， 即圆锥的侧面展开图（如下图所示）中，弧的长度为，    母线，故圆心角， 当绳子是线段时，绳子长度最短， 在Rt中，. 故绳子的最短长度为. 故答案为：. 题型五 锥体的体积 【例5】（25-26高二上·上海嘉定·月考）已知正三棱锥中，底面边长为1，侧棱长为2，点、分别为侧棱、上的点，当三角形的周长最小时，三棱锥的体积为 . 【答案】/ 【知识点】锥体体积的有关计算 【分析】将正三棱锥展开，根据两点之间线段最短和相似三角形的性质可判断周长最小时的位置，再利用余弦定理和等体积法即可求解. 【详解】如图，将正三棱锥展开，当共线时，的周长最小； 由正三棱锥知，均为全等的等腰三角形， 且，所以， 所以，所以； 又，，所以； 于是与相似，所以，即， 所以，； 在中，由余弦定理得，所以， 所以的面积为， 的面积为； 如图，作的中点，连接， 则平面， 在中，， 所以， 所以的面积为 ； 所以三棱锥的体积为 ， 设到平面为，由，得， 所以； 所以三棱锥的体积为 . 故答案为：. 【变式5-1】（25-26高二上·上海青浦·月考）如图是青浦高级中学综合广场升旗仪式司令台前的栏杆，栏杆最上面的造型可以看作是一个几何体．该几何体是由一个正方体沿同一顶点出发的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去8个三棱锥后剩余部分组成的．已知原正方体的棱长为，则该几何体的体积为     【答案】/ 【知识点】锥体体积的有关计算、柱体体积的有关计算 【分析】根据锥体和柱体的体积公式即可求解. 【详解】因为该几何体是由棱长为20cm的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得， 所以. 故答案为： 【变式5-2】（25-26高二上·上海·期中）如图，正三棱柱的各棱长均为2，D为棱的中点． (1)求该三棱柱的体积； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【知识点】锥体体积的有关计算、求点面距离、柱体体积的有关计算 【分析】（1）利用柱体的体积公式以及边长求解即可； （2）利用等体积法求出点到平面的距离. 【详解】（1）正三棱柱的各棱长均为2， 所以； （2）设点到平面的距离为，由， 又， 所以，即得， 即， 解得. 题型六 锥体的表面积 【例6-1】（25-26高二上·上海·期中）如图所示的某粮仓(粮仓的底部位于地面上)是由圆柱和圆锥构成的，若圆柱的高是圆锥高的2倍，且圆锥的母线长是4，侧面积是，则制作这样一个粮仓(不含底面)的用料面积为（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】圆锥表面积的有关计算、圆柱表面积的有关计算 【分析】设圆锥的母线为，底面半径为高为，根据题意列出方程求出的值，再计算圆柱和圆锥侧面积之和即可得解. 【详解】设圆锥的母线为，圆锥的底面半径为，高为， 由圆锥的侧面积是得，解得， 所以圆柱的侧面积为， 故制作这样一个粮仓的用料面积为. 故选：D. 【例6-2】（25-26高二上·上海·月考）在正方体中，棱长为2，则三棱锥的表面积为 【答案】 【知识点】棱锥表面积的有关计算 【分析】由正方体的性质得三棱锥是棱长为的正四面体，求表面积可得答案. 【详解】 正方体的棱长为2，所以， 三棱锥是棱长为的正四面体， ，所以三棱锥表面积为， 故答案为：. 【变式6-1】（25-26高二上·上海浦东新·月考）已知某圆锥的高为2，底面积为，则该圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【知识点】圆锥表面积的有关计算 【分析】先求得圆锥的底面半径和母线长，进而求得该圆锥的侧面积. 【详解】设圆锥底面圆的半径为，母线长为， 则，得，所以， 所以圆锥的侧面积. 故答案为：. 【变式6-2】（25-26高二上·上海·期中）如图，是圆柱的底面直径且是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点．    (1)求证：平面； (2)当三棱锥体积最大时，求三棱锥的表面积； (3)若是的中点，点在线段上，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【知识点】棱锥表面积的有关计算、证明线面垂直 【分析】（1）利用空间垂直关系证明线面垂直即可； （2）利用底面积最大时的等腰直角三角形来求各表面积的和； （3）利用侧面展开图来作出最小值的线段，再解三角形即可. 【详解】（1）    因为平面，平面，所以， 又因为是底面直径，所以， 又因为平面， 所以平面； （2）当三棱锥体积最大时，的面积要取到最大，即， 因为，所以， 因为平面，平面，所以， 即， 而， 所以三棱锥的表面积为； （3）         由，把与展开成共面图形，如上面右图， 可知，下面计算的长度， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， 由余弦定理得：， 所以,即的最小值为. 题型七 多面体 【例7】（23-24高二上·上海·期中）如果一个多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多面体就叫做正多面体.下列几何体中，所有棱长均相等，同一表面的角都相等，则 是正多面体.（写出所有正确的序号）    【答案】（1）（2）（4） 【知识点】多面体概念及分类 【分析】由题意，逐项判别，可得答案. 【详解】对于（1），该多面体由全等的正三角形组成，且每个顶点聚集的棱有条，符合题意； 对于（2），该多面体由全等的正四边形组成，且每个顶点聚集的棱有条，符合题意； 对于（3），该多面体由全等的正三角形组成，且顶点聚集的棱有条也有3条，不符合题意； 对于（4），该多面体由全等的正五边形组成，且每个顶点聚集的棱有条，符合题意； 故答案为：（1）（2）（4）. 【变式7-1】（23-24高二上·上海长宁·期中）正多面体各个面都是全等的正多边形，其中，面数最少的是正四面体，面数最多的是正二十面体，它们被称为柏拉图多面体．如图，正二十面体是由个等边三角形所组成的正多面体．已知多面体满足：顶点数-棱数+面数=，则正二十面体的顶点的个数为 ． 【答案】 【知识点】多面体的性质探究 【分析】根据正二十面体的结构特征，利用条件列出方程求解即可. 【详解】由于正二十面体是由个等边三角形所组成的正多面体， 所以面数为，并且每个顶点处有条棱， 设正二十面体共有个顶点，则棱数为， 由题意可得，解得. 则正二十面体的顶点的个数为 故答案为：. 【变式7-2】（24-25高二上·上海·单元测试）如图，是底面边长为1的正三棱锥，D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点，截面底面ABC，且棱台DEFABC与棱锥的棱长和相等.（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和） (1)证明：为正四面体； (2)设棱台体积为V，是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明，若不存在，请说明理由.（直平行六面体指侧棱垂直于底面，底面是平行四边形的四棱柱） 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，答案见解析，证明见解析 【知识点】多面体的性质探究、锥体体积的有关计算 【分析】（1）由棱台、棱锥的棱长和相等可得，再由面面平行有，结合正四面体的结构特征即可证结论； （2）设直四棱柱的棱长均为，底面相邻两边的夹角为，结合已知条件用表示出即可确定直四棱柱. 【详解】（1）由棱台与棱锥的棱长和相等， ∴， 故. 又∵截面底面ABC，则棱锥为正三棱锥，即，， ∴，即， 从而，则， 故为正四面体. （2）存在满足条件的直四棱柱. 棱台的棱长和为定值6，体积为V. 设直四棱柱的棱长均为，底面相邻两边的夹角为，则该四棱柱的棱长和为6，体积为. 设的中心为，连接，则平面，即为三棱锥的高， ， ∴正四面体的体积是， 则，即， 从而， 故构造棱长均为，底面相邻两边的夹角为的直四棱柱，即满足条件. 题型八 旋转体 【例8】（23-24高二上·上海金山·期中）将边长为1的正方形绕着边所在的直线旋转一周，所形成的几何体的体积为 ． 【答案】 【知识点】由平面图形旋转得旋转体、柱体体积的有关计算 【分析】正方形绕着边所在的直线旋转一周形成圆柱，根据圆柱的体积公式得出结果. 【详解】解：将边长为1的正方形绕着边所在的直线旋转一周 所得圆柱的底面和高均为1， 则圆柱的体积为. 故答案为：.    【变式8-1】（25-26高二上·上海·期中）如图，已知平面，，，，，是的中点，则绕直线旋转一周所构成的旋转体的体积是 ． 【答案】 【知识点】由平面图形旋转得旋转体、求旋转体的体积 【分析】绕直线旋转一周所构成的旋转体，是以为底面半径、为高的圆锥中挖去一个以为底面半径、为高的小圆锥，从而可求体积． 【详解】在中，由 与， 得：， 又因为是的中点，所以. 绕直线旋转一周所构成的旋转体， 是以为底面半径、为高的圆锥中挖去一个以为底面半径、为高的小圆锥. 故绕直线旋转一周所构成的旋转体的体积： . 故答案为： 【变式8-2】（25-26高二上·上海嘉定·月考）在平面上，将双曲线的一支及直线和直线､围成的封闭图形记为，如图中阴影部分，记绕轴旋转一周所得的几何体为，过作的水平截面，计算截面积，利用祖暅原理和割补法得出体积为 . 【答案】 【知识点】求旋转体的体积 【分析】由已知中过作的水平截面，计算截面面积，利用祖暅原理得出的体积． 【详解】在平面上，将双曲线的一支及和直线，围成的封闭图形记为D， 双曲线的第一象限渐近线为， 如图中阴影部分． D分为双曲线的一支及和直线，围成的区域加上和直线，围成的区域， 直线与双曲线交于一点， 则直线与交于一点， 记双曲线的一支及和直线，围成的区域绕y轴旋转一周所得的几何体为． 过作的水平截面，则截面面积， 利用祖暅原理得的体积相当于底面面积为高为3的圆柱的体积， 则直线与直线交于一点， 直线和直线､围成区域绕轴旋转一周所得的几何体为圆锥， 利用祖暅原理得的体积相当于底面面积为高为3的圆柱的体积加上底面积为高为3的圆锥， ∴的体积， 故答案为： 题型九 球 【例9-1】（23-24高二上·上海金山·期中）如图，在矩形中，已知为边的中点．将沿翻折成，若为线段的中点，给出下列说法：①翻折到某个位置，可以使得平面；②无论怎样翻折，点总在某个球面上运动．则（    ）． A．①和②都正确 B．①和②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】D 【知识点】判断线面是否垂直、球的结构特征辨析 【分析】假设平面，得到，假设不垂直，假设不成立，①错误，取中点，连接，，得到②正确，得到答案. 【详解】对①：假设平面，平面，则， 则，，故不垂直，假设不成立，①错误； 对②：取中点，连接，为线段的中点，则， 则在以为球心，半径为的球上，②正确； 故选：D 【例9-2】（25-26高二上·上海·单元测试）A、B为球面上任意两点，则通过A、B可作大圆的个数是 个． 【答案】1或无数 【知识点】球的结构特征辨析 【分析】合理对两点分类讨论，并结合球的性质求解即可. 【详解】当两点与球心不共线时，可作1个大圆， 当两点与球心共线时，可作无数个大圆. 故答案为：1或无数. 【变式9-1】（25-26高二上·上海·月考）设地球是半径为的球，地球上两地都在北纬的纬线上，在东经、在东经的经线上，则从沿球面向正东前进（    ）到地 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求球面距离、弧长的有关计算 【分析】根据已知确定两地经度夹角及所在纬度线上的截面圆半径，即可求前进距离. 【详解】由题设，两地经度夹角为，且两点所在纬线圈上的截面圆半径为， 所以从沿球面向正东前进到地. 故选：B 【变式9-2】（25-26高二上·上海静安·月考）已知边长为2的菱形，，对角线AC，BD交于点，现将沿对角线AC翻折，得到三棱锥记线段AD'，AB，BC的中点分别为，，，有以下几个结论： ①三棱锥体积的最大值为； ②平面EFG截三棱锥的截面图形可能是正方形； ③当折成的二面角为时，三棱锥的外接球半径为 则上述结论中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【知识点】证明线面垂直、多面体与球体内切外接问题、锥体体积的有关计算、球的截面的性质及计算 【分析】先证明平面得.对于①，由条件判断当平面时，体积最大，利用锥体体积公式计算求解；对于②，取中点，推出截面后，结合图形推得即可判断；对于③，找到球心位置，根据勾股定理列方程组即可求解． 【详解】因为四边形为菱形，所以，故，， 又且都在平面内，所以平面，因为平面，所以； ①由上得平面，平面，所以平面平面， 当到平面的距离最大时，即平面时三棱锥的高最大， 由题意得，为等边三角形，为中点，所以， 则三棱锥体积的最大值为，①正确 ； ②取中点，连接，因为线段的中点分别为， 所以，且， 所以截面图形为平行四边形． 由上可知，所以，故四边形为矩形， 由题意得，所以， 所以，即四边形一定不是正方形，②错误； ③当二面角为时，由①可得， 所以到平面的距离为， 在平面内的投影在直线上，投影长为， 因为，所以为外接圆圆心， 所以三棱锥外接球的球心在过D且与平面垂直的直线上， 如图， 设三棱锥外接球的半径为R，， 则，解得，故三棱锥外接球的半径为，③错误． 则有1个正确的结论. 故选：B 【变式9-3】（25-26高二上·上海·期中）勒洛四面体是一个非常神奇的＂四面体＂，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图所示，若正四面体的棱长为，请解答以下问题：    (1)求勒洛四面体中过三点的截面面积． (2)求勒洛四面体能够容纳的最大球的半径． (3)若是勒洛四面体表面上的任意两点，若正四面体的棱长，求长度的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】多面体与球体内切外接问题、球的截面的性质及计算、正棱锥及其有关计算 【分析】（1）勒洛四面体中过三点的截面为三个半径为，圆心角为的扇形的面积减去两个边长为的正三角形的面积，进行求解； （2）求出，，相减即为能够容纳的最大球的半径； （3）根据表面上任意两点间距离的最大值即为其内接四面体的棱长． 【详解】（1）勒洛四面体中过三点的截面为三个半径为， 圆心角为的扇形的面积减去两个边长为的正三角形的面积，    即． （2）勒洛四面体能容纳的最大球，与勒洛四面体的弧面相切，如图，    其中点为该球与勒洛四面体的一个切点，为该球的球心， 由题意得该球的球心为正四面体的中心，半径为，连接， 则三点共线， 设正四面体的外接球半径为， 由题意得：，解得， ，， 由题意得， （3）勒洛四面体能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触， 所以其表面上任意两点间距离的最大值，即为其内接四面体的棱长4， 所以长度的最大值为4. 题型十 球的体积 【例10】（25-26高二上·上海·期中）如图是一个装有水的倒圆锥形杯子，杯子口径（即杯口直径）6cm，高8cm（不含杯脚），已知水的高度是4cm，现往杯子中放入一种直径为1cm的珍珠，该珍珠放入水中后直接沉入杯底，且体积不变；如果放完珍珠后水不溢出，则最多可以放入珍珠（   ） A．63颗 B．126颗 C．378颗 D．504颗 【答案】B 【知识点】锥体体积的有关计算、球的体积的有关计算 【分析】由已知利用三角形相似求得水面圆的半径，由圆锥的体积减去水的体积，得到可放入珍珠的体积，除以一颗珍珠的体积得答案 【详解】作出轴截面图如图，由题意， 设，则，解得， 则最大放入珍珠的体积， 一颗珍珠的体积是，由， 所以最多可以放入珍珠126颗. 故选：B. 【变式10-1】（25-26高二上·上海青浦·月考）如图是青浦高级中学高二教学楼前的花岗岩挡车球，也叫石球．该石球是空心球，它的外直径为，内直径为，石球材料的密度为，则该石球的质量为 千克（,答案精确到0.01千克） 【答案】418.25 【知识点】球的体积的有关计算 【分析】根据球的体积公式即可结合质量公式求解. 【详解】由题意可知：, 故石球的质量为 故答案为：418.25 【变式10-2】（25-26高二上·上海·期中）数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，在勒洛四面体中，正四面体ABCD的棱长为4，给出下列四个结论：正确的序号是 ． ①若P，Q是勒洛四面体ABCD表面上的任意两点，则PQ的最大值是4； ②勒洛四面体ABCD被平面ABC截得的截面面积是； ③勒洛四面体ABCD的体积是； ④勒洛四面体ABCD内切球的半径是． 【答案】①②④ 【知识点】球的截面的性质及计算、多面体与球体内切外接问题、球的体积的有关计算 【分析】由勒洛四面体的定义，可判定①正确；由勒洛四面体被平面截得的截面，求得其面积，可判定②正确；由勒洛四面体内切球的球心，即为正四面体的外接球的球心，连接并延长，利用求得性质，求得，得到正四面体的外接球的体积为，可判定③不正确；由，求得，可判定④正确. 【详解】对于①，由勒洛四面体的定义，可得勒洛四面体表面上的任意两点间的距离的最大值为，所以①正确； 对于②，勒洛四面体被平面截得的截面，如图（1）所示，其中边长为， 所以截面的面积为，所以②正确； 对于③，由对称性可知勒洛四面体内切球的球心，即为正四面体的外接球的球心， 连接并延长，交勒洛四面体的曲面于点，则就是勒洛四面体内切球的半径， 如图所示，在正四面体中，为的中心，是正四面体的外接球的球心， 连接，由正四面体的性质，可得在上， 因为，所以，则， 又因为，即， 解得，则正四面体的外接球的体积为， 因为勒洛四面体的体积小于正四面体的体积，所以③不正确； 对于④，因为，所以，所以④正确. 故答案为：①②④. 题型十一 球的表面积 【例11】（25-26高二上·上海·月考）已知球的体积为，则球的表面积为 . 【答案】 【知识点】球的表面积的有关计算、球的体积的有关计算 【分析】设球的半径为，利用球的体积公式，列出方程求得，结合球的表面积公式，即可求解. 【详解】设球的半径为，因为球的体积为，可得，解得， 所以球的表面积为. 故答案为：. 【变式11-1】（25-26高二上·上海·期中）＂阿基米德多面体＂也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图所示，将正方体沿同一顶点出发的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去8个三棱锥，得到8个面为正三角形、6个面为正方形的一种半正多面体．若，则此半正多面体外接球的表面积为 . 【答案】 【知识点】多面体与球体内切外接问题、球的表面积的有关计算 【分析】根据正方体的对称性可知,该半正多面体外接球的球心为正方体的中心，进而可求球的半径和表面积. 【详解】如图，在正方体中，分别取正方体、正方形的中心、，连接， ∵分别为的中点，则， ∴正方体的边长为， 故，可得， 根据对称性可知：点到该半正多面体的顶点的距离相等，则该半正多面体外接球的球心为，半径， 故该半正多面体外接球的表面积为. 故答案为： 【变式11-2】（25-26高二上·上海·月考）如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是，圆柱筒长2cm.    (1)这种“浮球”的体积是多少？（结果精确到0.1） (2)这种“浮球”的表面积是多少？ 【答案】(1)； (2) 【知识点】柱体体积的有关计算、圆柱表面积的有关计算、球的表面积的有关计算、球的体积的有关计算 【分析】（1）根据球体积的公式和圆柱的体积公式求解即可； （2）根据球的表面积公式和侧面积公式求解即可. 【详解】（1）该半球的直径， 所以“浮球”的圆柱筒直径也是，得半径， 所以两个半球的体积之和为， 而， 该“浮球”的体积是； （2）上下两个半球的表面积是， 而“浮球”的圆柱筒侧面积为， 所以1个“浮球”的表面积为. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高二上·上海浦东新·期末）下列命题是假命题的个数是：（   ） （1）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱； （2）有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱； （3）过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形； （4）所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱. A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【知识点】棱柱的结构特征和分类、判断几何体是否为棱柱、判断命题的真假 【分析】（1）（2）（3）（4）均可举出反例. 【详解】（1）如图1，几何体满足有两个面平行，其他各面都是平行四边形， 显然不是棱柱，故（1）错误； （2）如图2，几何体满足两侧面与底面垂直，但不是直棱柱，（2）错误； （3）如图3，四边形为矩形， 即过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形可能是矩形，（3）错误； （4）所有侧面都是全等的矩形的四棱柱不一定是正四棱柱，因为两底面不一定是正方形，（4）错误． 故选：A 2．（25-26高二上·上海浦东新·月考）已知正三棱锥的六条棱长均为是及其内部的点构成的集合．设集合，则表示的区域的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】立体几何中的轨迹问题 【分析】设顶点P在底面上的投影为O，连接，求得的长，结合，求出，从而确定Q的轨迹，即可求解表示的区域的面积. 【详解】设顶点P在底面上的投影为O，连接，则O为三角形的中心， 且，故. 因为，故， 故Q在以O为圆心，2为半径的圆及其内部， 而三角形内切圆的圆心为O，半径为，而， 故表示的区域为以O为圆心，2为半径的圆在内（包含边界）的部分， 设该圆与交于两点，则, 即为正三角形，则弧所在的弓形的面积为， 故表示的区域的面积为， 故选：B 3．（25-26高二上·上海·月考）如图，已知点在表面积为的球的球面上，且平面，点为中点，当二面角的大小为时，则下列说法正确的有（　　）项． ①异面直线和所成角的大小为 ②直线与平面所成角的大小为 ③ ④的面积为 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】多面体与球体内切外接问题、求二面角、求异面直线所成的角、求线面角 【分析】设球的半径为，求得，证得平面，得到，得到，进而得到，把异面直线和所成角转化为直线和所成角，可判定A；作，证得平面，得到即为直线与平面所成角，可判定B；在直角中，求得，结合二倍角公式，可判定C；结合面积公式，可判定D． 【详解】对于A：由题意得为球的直径，所以， 点为的中点，点O为的中点，所以，所以， 又因为平面，平面，所以， 因为，所以平面，所以， 所以为二面角的平面角，所以， 因为，所以为异面直线和所成角或其补角， 所以异面直线和所成角的大小为，所以A错误； 对于B：球O的表面积为， 即，解得， 可得， 过点作交于，连接， 因为平面，所以， 因为，所以平面， 所以为直线与平面所成角， 在中，， 所以， 在中，， 所以直线与平面所成角不为，所以B错误； 对于C：可知为直角三角形，， 所以， 所以，所以C正确； 对于D：由B可知，边上的高， 所以，所以D正确． 故选：B． 4．（25-26高二上·上海·期末）底面半径为的圆柱的侧面积为，则该圆柱的体积为 ．（结果保留） 【答案】 【知识点】柱体体积的有关计算 【分析】设圆柱的高为，由圆柱的侧面积为，列出方程，求得，结合圆柱的体积公式，即可求解. 【详解】已知圆柱的半径，设圆柱的高为， 由圆柱的侧面积为，可得，解得， 圆柱体积为：. 故答案为：. 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 5．（25-26高二上·上海·期中）“几何体是正四棱柱”是“几何体是长方体”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、正棱柱及其有关计算 【分析】根据正四棱柱，长方体的结构特征及充分、必要条件关系判断. 【详解】若几何体是正四棱柱，则该几何体是长方体，即几何体是正四棱柱能推出几何体是长方体， 而几何体是长方体不能推出几何体是正四棱柱， 故“几何体是正四棱柱”是“几何体是长方体”的充分不必要条件. 故选：A. 6．（25-26高二上·上海·期中）正四棱锥的底面边长为，高为，则它的表面积为 . 【答案】 【知识点】棱锥表面积的有关计算 【分析】根据正四棱锥的底面边长与高，可得正四棱锥的斜高，进而可得表面积. 【详解】 如图所示，正四棱锥， 设底面中心为，取中点，连接，， 由题意可知，， 则，平面，且. 因为平面，则， 所以， 所以， 故答案为：. 7．（25-26高二上·上海宝山·月考）已知用一个通过圆锥的轴的平面去截一个圆锥，得到的截面是面积为的正三角形.则此圆锥内切球的半径为 . 【答案】 【知识点】圆锥中截面的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】作出截面正三角形，根据题意建立方程，即可求解. 【详解】 如图，设圆锥的轴截面是正三角形， 则此圆锥的内切球的球心也是的内切圆的圆心， 设圆锥内切球与的三边的切点分别为， 设此圆锥的内切球的半径为，则的高为， 的边长为， 又的面积为，所以， 所以. 故此圆锥内切球的半径为. 故答案为：. 8．（25-26高二上·上海·期中）沪教版教材11．4．2在推导半径为的球的体积公式时，先构造如图所示的圆柱体，圆柱体的底面半径和高都为，其底面和半球体的底面同在平面上，然后在圆柱体内挖去一个圆锥后，运用祖暅原理来推导，请解答以下问题：    (1)补全完整祖暅原理：夹在两个 间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的 截得的两个截面的 ，那么这两个几何体的体积必相等． (2)请把如图补充完整并写出球的体积公式的推导过程． 【答案】(1)平行面；任意平面；面积相等 (2)，推导及作图见解析 【知识点】球的截面的性质及计算 【分析】（1）结合题意求解； （2）半球截面面积可以看成是在半径为的圆面上挖去一个半径为的同心圆所得的圆环的面积，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，利用祖暅原理可求解. 【详解】（1）平行面；任意平面；面积相等 （2）如图（1），设平行于大圆且与大圆的距离为的平面截半球所得圆面的半径为，， 于是截面面积， 则可以看成是在半径为的圆面上挖去一个半径为的同心圆所得的圆环的面积， 所以，取一个底面半径和高均为的圆柱， 从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与半球放在同一水平面上， 如图（2）， 用同一水平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面， 可知圆环大圆半径为，小圆半径为，圆环面积，所以， 则根据祖暅原理可得这两个几何体的体积相等，即， 所以可得球的体积为.    9．（25-26高二上·上海浦东新·月考）如图，是圆柱的底面直径且是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点．    (1)求证：平面； (2)当三棱锥体积最大时，求三棱锥的体积与表面积； (3)若是的中点，点在线段上，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 (3) 【知识点】组合体表面两点间的最短路径、证明线面垂直、棱锥表面积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】（1）由题可得，，利用线面垂直的判定定理证明； （2）要使三棱锥体积最大时，则到的距离最大，最大距离为半径2，利用棱锥体积公式和表面积公式求解； （3）利用侧面展开图来作出最小值的线段，再解三角形即可. 【详解】（1）由题意面面，则， 由直径所对的圆周角为直角，可得， 又面面， 所以平面. （2）要使三棱锥体积最大时，则到的距离最大，最大距离为半径2， 此时， 所以三棱锥的体积. 因为，所以为直角三角形， 所以三棱锥的表面积 （3）将绕着旋转到使其与共面，且在的反向延长线上， 则三点共线时最短，如图， 因为，所以， 由余弦定理得， 所以的最小值为.    期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 10．（25-26高二上·上海·期中）已知棱长为2的正方体，棱的中点为，从点沿着正方体表面到点的最短路径的长度为 ． 【答案】 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】把两个平面展开到同一平面内，利用两点之间线段最短进行求解即可. 【详解】 将面与面展开到同一平面内，连接，如图： 因为正方体的棱长为2，所以； 将面与面展开到同一平面内，连接，如图： 此时； 因为，所以从点沿着正方体表面到点的最短路径的长度为. 故答案为：. 11．（25-26高二上·上海普陀·期末）如图，是圆柱的一条母线，过底面圆心,是圆上一点.已知，.    (1)求与底面所成角的大小； (2)求二面角的大小； (3)将四面体绕母线所在的直线旋转一周，求的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求线面角、求二面角、锥体体积的有关计算 【分析】（1）由图易得与底面所成角为，解三角形即得答案； （2）先由线线垂直证明平面，推出，即得为二面角的平面角，解三角形即得答案； （3）根据题意，所求几何体是以为底面圆半径，为高的圆锥挖去以为底面圆半径，为高的圆锥所余下的部分，利用圆锥体积公式计算即得答案. 【详解】（1）因是圆柱的一条母线，则平面，则在面的投影为， 故与底面所成角为， 在中，因，则与底面所成角为. （2）因过底面圆心，则，故, 又平面平面，则， 因平面故平面. 又平面，所以，则为二面角的平面角， 在中，，所以， 故二面角的大小为. （3）由线段绕旋转一周所得几何体为以为底面半径，以为高的圆锥， 其体积为， 而线段绕旋转一周所得的几何体以为底面半径，以为高的圆锥， 其体积为， 由图知，以绕旋转一周而成的封闭几何体的体积为. 12．（25-26高二上·上海·期中）在正方体中，M、N、P分别为的中点，棱长为．    (1)请在图中作出过M，N，P三点的平面截正方体所得的截面（保留作图痕迹）． (2)计算截面的周长． (3)任作平面与对角线垂直，使平面与正方体的每个面都有公共点，这样得到一个截面多边形，求该截面多边形的周长． 【答案】(1)作图见解析； (2)； (3). 【知识点】判断正方体的截面形状、由平面的基本性质作截面图形、面面平行证明线线平行、证明线面垂直 【分析】（1）根据给定条件，利用平面的基本事实作出截面多边形. （2）利用平行线分线段成比例及勾股定理求出周长. （3）由线面垂直的性质可知截面多边形的边与所在的正方形的对角线平行，利用相似比即可求得截面周长， 【详解】（1）画直线与线段的延长线分别交于点，连接分别交于， 连接，则五边形为截面.    （2）由分别为的中点，得，而， 则，由，得，， ，同理，而， 所以截面的周长. （3）在正方体中，连接，， 由平面，平面，得， 又，平面，则平面， 又平面，于是，同理，而， 则平面，又平面，则平面平面， 令平面平面，而平面平面，则， 同理得平面与正方体其他各面的交线都与所在正方形的对角线平行， 令，则，， ，同理， 所以该截面多边形的周长.    13．（2025高二上·上海松江·专题练习）亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图1）假设我们把亭子看成由一个圆锥与一个圆柱构成的几何体（如图2）．一般地，设圆锥中母线与圆柱底面半径所成角的大小为α，当时，方能满足建筑要求，已知圆锥高为米，底面半径为米，圆柱高为3米，底面半径为2米． (1)求几何体的表面积； (2)如图2，设E为圆柱底面半圆弧的三等分点（靠近点D），判断该亭子是否满足建筑要求． 【答案】(1) (2)不满足建筑要求 【知识点】求组合多面体的表面积、求异面直线所成的角、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）由几何体的表面积等于圆锥的全面积加上圆柱的侧面积即得； （2）取中点，连接，得，从而得是异面直线与所成的角或其补角，作交于，计算出，然后由余弦定理求解. 【详解】（1）由已知圆锥的母线长为， 几何体的表面积等于圆锥的全面积加上圆柱的侧面积. 所以所求表面积为. （2）取中点，连接，因为是中点，所以， 是圆柱的一条母线，则，     所以是异面直线与所成的角或其补角， 作交于，则是中点，且平面， 又平面，所以， 由（1）知，，则， 又，，，， 在中，由余弦定理得， ， 在中，由余弦定理得， 即，且为锐角， 所以，该亭子不满足建筑要求. 14．（25-26高二上·上海·期中）定义：多面体的周长是指该多面体的所有棱的长度和．如图，已知正四面体的底面的边长为分别为棱上的点，平面平面，    (1)求棱台的周长； (2)若是侧棱的中点，和的顶点都在同一个球面上，求此球的半径； (3)已知棱台的体积为，问是否存在一个与棱台的周长和体积都相等的平行六面体，其各棱长均相等且侧棱垂直于底面？若存在，求出此平行六面体的棱长和底面四边形的面积，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)6 (2) (3)存在；棱长均为，底面面积 【知识点】正棱台及其有关计算、多面体与球体内切外接问题、柱体体积的有关计算 【分析】（1）根据周长定义，结合题意求出各个棱长，继而即可求解； （2）设球半径为，所在小圆的半径为，所在圆的半径为，棱台高为正四面体高的一半，构造直角三角形，利用勾股定理列式求解即可； （3）设平行六面体的棱长为，底面平行四边形的面积，底面平行四边形的内角为，根据周长及体积相等列式求解即可. 【详解】（1）棱台的周长为， 正四面体的周长为， 由正四面体的性质，且截面底面， 均为全等的正三角形， 所以， 所以棱台周长为6． （2）设球半径为， 因为为中点，所以所在小圆的半径为， 所在圆的半径为， 棱台高为正四面体高的一半，所以， 因为球心和上述两圆的圆心共线，所以球心到上下底面的和或差为， 于是， 解得，此时棱台的两个底面在球心的同侧． （3）设平行六面体的棱长为， 底面平行四边形的面积，底面平行四边形的一个内角为． 下面证明存在符合条件的平行六面体． 由（1）的推导过程可知，棱台周长为定值6，故周长，于是棱长， 因为侧棱垂直于底面，所以高为，所以，于是． 因为底面是平行四边形，所以，所以， 由于正四面体的体积为，所以，于是， 所以方程有唯一锐角解 综上，存在棱长均为，底面面积，底面锐角内角为， 侧棱垂直于底面的平行六面体，使得周长和体积都等于棱台． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $