7.3 平行线的证明 教案 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

该教案聚焦平行线的性质定理（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）及平行公理推论，通过回顾平行线判定定理引发性质猜想，搭建前后知识衔接的学习支架。 此资料以“假设-反证”法探究性质定理培养推理能力，结合三角尺与直尺角度计算、太阳灶反射等实例提升应用意识，思维导图梳理知识构建体系。助力学生发展演绎推理与几何直观，为教师提供清晰教学流程与实用案例。

第七章 证明 3平行线的证明 一、教学目标 1.进一步理解证明的步骤、格式和方法，发展演绎推理能力. 2.理解并掌握平行线的三条性质定理，了解平行于同一条直线的两条直线平行. 3.能够根据平行线的性质进行简单的推理与计算. 4.区分平行线的性质和判定的关系，培养学生逆向思维的能力. 二、教学重难点 重点：理解并掌握平行线的三条性质定理，了解平行于同一条直线的两条直线平行 难点：能够根据平行线的性质进行简单的推理与计算. 三、教学过程设计 环节一：情景导入 思考：还记得如何判定两直线是否平行吗？ 教师活动：教师出示问题，引发学生回顾思考. 预设答案： 判定方法1：同位角相等，两直线平行. 判定方法2：内错角相等，两直线平行. 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行. 思考：反过来，如果两直线平行，同位角、内错角、同旁内角之间又有什么关系呢？ 预设答案： 两条平行直线被第三条直线所截， 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 师：这节课我们一起来探究一下吧！ 设计意图：通过回顾平行线的判定定理，引发学生猜想平行线可能存在的性质，为学习本节课知识做铺垫. 环节二：探究新知 探究：下面命题是真命题吗？若是真命题请尝试证明. 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等. 简述为：两直线平行，同位角相等. 探究：如图，直线AB∥CD，∠1和∠2是直线AB，CD被直线EF截出的同位角. 求证：∠1＝∠2. 证明：假设∠1≠∠2，我们可以过点M作直线GH，使∠EMH＝∠2，根据“同位角相等，两直线平行”，可知GH∥CD. 又因为AB∥CD，这样经过点M存在两条直线AB和GH都与直线CD平行. 这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾. 这说明∠1≠∠2的假设不成立，所以∠1＝∠2. 设计意图：在探究平行线的判定定理的过程与方法的基础上，先学习两直线平行，同位角相等的性质定理，然后再通过猜想，验证，推出两直线平行，内错角相等，以及同旁内角互补的性质定理，进一步培养学生的演绎推理能力. 【归纳】 平行线的性质1： 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等. 简述为：两直线平行，同位角相等. 几何语言： ∵a∥b (已知)， ∴∠1＝∠2 (两直线平行，同位角相等). 设计意图：通过归纳，总结两直线平行的性质定理1. 探究：下面命题是真命题吗？若是真命题请尝试证明. 定理 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等. 可以简述为：两直线平行，内错角相等. 探究：已知：直线a∥b，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的内错角. 求证：∠1＝∠2. 证明：∵ a∥b(已知)， ∴∠1＝∠3 (两直线平行，同位角相等). 又∵∠2＝∠3 (对顶角相等)， ∴∠1＝∠2 (等量代换). 【归纳】 平行线的性质2： 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等. 简述为：两直线平行，内错角相等. 几何语言： ∵a∥b (已知)， ∴∠1＝∠2 (两直线平行，内错角相等). 设计意图：通过归纳，总结两直线平行的性质定理2. 探究：下面命题是真命题吗？若是真命题请尝试证明. 定理 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补. 可以简述为：两直线平行，同旁内角互补. 探究：直线a∥b，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的同旁内角. 求证：∠1+∠2＝180°. 证明：∵ a∥b (已知)， ∴∠2＝∠3 (两直线平行，同位角相等), 又∵∠1+∠3＝180° (平角的定义)， ∴∠1+∠2＝180° (等量代换). 【归纳】 平行线的性质3： 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简述为：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言： ∵a∥b (已知) ∴∠1+∠2＝180° (两直线平行，同旁内角互补) 设计意图：通过归纳，总结两直线平行的性质定理3. 议一议：完成一个命题的证明，需要哪些主要环节？与同伴进行交流. 预设答案： (1) 理解题意； (2) 根据题意正确画出图形； (3) 根据题意写出“已知”和“求证”； (4) 分析题意，探索证明的思路； (5) 依据寻求的思路，运用数学符号和数学语言，有条理、清晰地写出证明过程； (6) 检查表达过程是否正确. 设计意图：通过小组讨论，总结命题证明的主要环节，培养学生应用定理解决实际问题的能力. 环节三：应用新知 教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 【例1】如图：直线b∥a，c∥a，∠1，∠2，∠3是直线 a，b，c被直线 d 截出的同位角. 求证：b∥c. 证明：∵b∥a(已知)， ∴∠2＝∠1 (两直线平行，同位角相等). ∵c∥a， ∴∠3＝∠1 (两直线平行，同位角相等). ∴∠2＝∠3(等量代换). ∴b∥c(同位角相等，两直线平行). 小结： 平行于同一条直线的两条直线平行. 【例2】如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当∠1＝35°时，∠2的度数为( ) A．35° B．45° C．55° D．65° 答案：C. 解析： ∵直尺的两边互相平行， ∴∠1＝∠3＝35°(两直线平行，同位角相等). ∵∠2＋∠3＋90°＝180°(平角的定义)， ∴∠2＝180°－90°－35°＝55°. 设计意图：通过例题的探究，让学生进一步熟悉两直线平行的性质定理，并且能够利用平行线的性质解决实际问题. 环节四：课堂练习 教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解. 1. 如图所示，直线a∥b，点B在直线a上，AB⊥BC，若∠1＝38°，则∠2的度数为 ( ) A. 38° B. 52° C. 76° D. 142° 预设答案：B 2.太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关. 如图，从点O照射到抛物线上的光线OB，OC等反射以后沿着与PQ平行的方向射出.图中如果∠BOP＝45°，∠QOC＝88°，那么∠ABO和∠DCO各是多少度？ 解：∵ AB//PQ， ∴∠ABO＝∠BOP＝45°.(两直线平行，内错角相等) ∵ CD//PQ， ∴ ∠DCO+∠QOC＝180°.(两直线平行，同旁内角互补) ∴ ∠DCO＝180°－∠QOC ＝180°－88° ＝92°. 3.如图，一条直线分别与直线BE、直线CE、直线BF、直线CF相交于点A，G，H，D，且∠1＝∠2，∠B＝∠C. (1)找出图中相互平行的线，说说它们之间为什么是平行的 (2)证明：∠A＝∠D. 解：(1)EC//BF，AB//CD. ∵∠1＝∠2(已知)， ∴EC∥BF(同位角相等，两直线平行). ∴∠AEC＝∠B(两直线平行，同位角相等). 又∵∠B＝∠C(已知)， ∴∠AEC＝∠C(等量代换). ∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行). (2) 证明：由(1)得：AB∥CD， ∴∠A＝∠D (两直线平行，内错角相等). 设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养学生独立完成练习的习惯. 环节五：总结归纳 思维导图的形式呈现本节课的主要内容： 　　 设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识. 学科网（北京）股份有限公司 $