精品解析：山东省青岛胶州李哥庄中学2025-2026学年上学期12月月考九年级数学试题

2025-2026学年度第一学期阶段性教学质量检测九年级数学试题 一．选择题（每题3分，共36分） 1. 如图所示的六角螺栓，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【详解】解：从正面看，可得如图形， 故选：C． 【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 2. 下列相似图形不是位似图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对应边是否平行判断即可． 【详解】解：由各选项图形可知，A， B，D选项的相似图形是位似图形，C选项的相似图形不是位似图形． 3. 在的正方形网格图中，每个小正方形的边长均为1，、、均为格点，为上一点，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求角的正弦值，勾股定理，先根据勾股定理求出，然后根据正弦等于对边比斜边即可求解． 【详解】解：如图，取格点E，连接． ∵， ∴， ∴． 故选B． 4. 在中，已知，那么的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了余弦函数的定义，正确记忆定义是解题的关键．根据余弦的定义即可求解． 【详解】解：在中，， ． 故选：C． 5. 如图，，下列结论错误的是（ ） A. B. 平分 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴平分，， 故选项A、B、D正确，不符合题意；选项C错误，符合题意， 故选：C． 6. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分或，根据一次函数与反比例函数的性质即可得出答案． 【详解】解：当时，一次函数经过第一、二、三象限，反比例函数位于第一、三象限； 当时，一次函数经过第一、二、四象限，反比例函数位于第二、四象限； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图像与性质，熟练掌握，图像经过第一、三象限，，图像经过第二、四象限是解题的关键． 7. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在第二象限，点B的坐标为，点C的坐标为，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形．若点A的对应点M的坐标为，点B的对应点N的坐标为，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查位似变换，坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质，由题由易得，然后可得，进而根据可求出，，最后问题可求解． 【详解】解：在平面直角坐标系中，的顶点A在第二象限，点B的坐标为，点C的坐标为，点A的对应点M的坐标为，点B的对应点N的坐标为，分别过点A、M作x轴的垂线，垂足分别为D、E，如图： ∴，，，， ∵在x轴的下方作的位似图形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴； 故选：C． 8. 如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ） A. 水温从加热到，需要4min B. 水温下降过程中，与的函数关系式是 C. 在一个加热周期内水温不低于的时间为 D. 上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法确定函数解析式、灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．根据题意和图象，先求得函数的解析式，进而反比例函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、∵开机加热时每分钟上升， ∴水温从加热到，所需时间为：，故A选项说法正确，不合题意； B、由题可得，在反比例函数图象上， 设反比例函数解析式为， 代入点可得，， ∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是，故B选项说法正确，不合题意； C、当水温升至时，用时， 当水温降至时，，解得：， ∴在一个加热周期内水温不低于的时间为，故C选项说法错误，符合题意； D、在中，令，则， 即：每20分钟，饮水机重新加热， ∴上午10点接通电源，当天时饮水机是第二次加热， 把代入，得：， 即：时的水温为，不低于，故D选项说法正确，不合题意； 故选：C． 9. 点均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，先根据解析式得到开口方向和对称轴，进而得到离对称轴越远函数值越大，再求出三个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远函数值越大， ∵点均在二次函数的图象上，且， ∴， 故选：D． 10. 如图，二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C．下列结论： ①；②当时，y随x的增大而增大；③；④． 其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】①根据二次函数的图象经过A(-1，0)，B(3，0)，可得到对称轴，并将(-1，0)代入解析式得到b、c与a的关系，及a<0从而判断； ②由对称轴和函数的图像可以判断； ③算出a和c的关系即可； ④当x=1时，y最大=a+b+c即可判断； 【详解】∵二次函数的图象经过点A(-1，0)，B(3， 0) ∴对称轴 ∴b =-2a，c = -3a ∵二次函数的图象开口向下 ∴a < 0 ∴2a+b+c = -3a >0，∴ac＜0故①错误； ∵二次函数的图象开口向下，对称轴， ∴当x >1时，y随x的增大而减小；故②错误； ∵c = -3a ∴3a+c=0，故③正确； 由题意可知二次函数的顶点坐标为(1，-4a) ∵当x=1时，y最大=a+b+c，当x=m时，y= ∴故④正确； 故选：B 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数与不等式以及二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 11. 如图，函数y＝kx+b（k≠0）与y（m≠0）的图象交于点A（2，3），B（﹣6，﹣1），则不等式kx+b的解集为（　　） A. x＜﹣6或0＜x＜2 B. ﹣6＜x＜0或x＞2 C. x＞3或﹣1＜x＜0 D. x＞2 【答案】B 【解析】 【分析】找出一次函数的图象在反比例函数图象的上方时的自变量的取值范围即可． 【详解】解：函数y＝kx+b（k≠0）与y（m≠0）的图象交于点A（2，3），B（﹣6，﹣1）， ∴不等式kx+b的解集为﹣6＜x＜0或x＞2 故选：B 【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是注意掌握数形结合思想的应用． 12. 如图，在中，AB=5，BC=8，∠ABC，∠BCD的角平分线分别交AD于E和F，BE与CF交于点G，则△EFG与△BCG面积之比是（ ） A. 5：8 B. 25：64 C. 1：4 D. 1：16 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，再证明，问题随之得解． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∵，分别平分，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的定义等知识，求出，是解答本题的关键． 二、填空题（每题3分，共21分） 13. 若，那么的值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】设，，代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例的性质，掌握设“k”法是解题的关键． 14. 若反比例函数的图象在第二、四象限，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】让未知数的指数为-1，系数小于0列式求值即可． 【详解】∵是反比例函数， ∴m2-2=-1， 解得m=1或-1， ∵图象在第二、四象限， ∴2m-1＜0， 解得m＜0.5， ∴m=-1， 故答案为-1． 【点睛】考查反比例函数的定义及性质：一般形式为y＝（k≠0）或y=kx-1（k≠0）；图象在二、四象限，比例系数小于0． 15. 如图，河堤横断面迎水坡的坡度是，堤高，则坡面的长度是_______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡比问题，根据坡度的定义求出的长，再根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵迎水坡的坡度是， ∴， 又， ∴ 在中，， 故答案为：16． 16. 当______时，是二次函数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数，根据二次函数的定义可得且，解之即可求解，掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得，且， 解得， 故答案为：． 17. 如图，反比例函数的图象经过菱形的顶点，点在轴上，过点作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点．若，则点的坐标是 ____________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得出是等边三角形，从而表示点的坐标为，根据菱形的对称性表示出点的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征代入函数解析式进行计算即可求得菱形边长，把代入解析式即可求得点的横坐标． 【详解】解：设菱形的边长为， ， 是等边三角形， 点的坐标为， ， 反比例函数的图象经过菱形的顶点， ， （负数舍去）， 菱形的边长为2， 点的纵坐标为2， 把代入得，， 解得， 点的坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟记菱形的性质，正确表示出点A的坐标是解题的关键． 18. 如图，在边长为4的正方形中，点E是边上的一点，点F是点D关于直线对称的点，连接，若，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，锐角三角函数以及对称的性质，熟练掌握对称的性质是解题的关键． 过点作于点N，设，则，，由对称的性质得出，根据勾股定理求得，进而得到，再利用勾股定理求即可． 【详解】解：过点作于点N， ∵， ∴， 设，则，， ∵点F是点D关于直线对称的点， ∴， ∵， ∴，整理得， ∴（舍去），， ∴， ． 故答案为：． 19. 一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的体积为______． 【答案】12 【解析】 【分析】此题考查了几何体的三视图，用到的知识点是三视图的基本知识以及长方体体积计算公式． 设俯视图的正方形的边长为a，从主视图可以看出，正方形的对角线长为，可通过勾股定理建立方程，求出，再根据长方体体积公式求解即可． 【详解】解：设俯视图的正方形的边长为a， ∵其俯视图为正方形，从主视图可以看出，正方形的对角线长为， ， 解得 ， ∴这个长方体的体积为． 故答案为：12． 三、解答题 20. 计算： （1） ； （2） ． 【答案】（1）6 （2）2 【解析】 【分析】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． （1）首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值及绝对值，然后计算加减法即可； （2）首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值，然后计算加减法即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 21. 如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE=BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE． （1）求证：AB=DF； （2）若AD=10，AB=6，求tan∠EDF的值． 【答案】 （1）证明：在矩形ABCD中，AD=BC,AD∥BC，∠B=90°. ∵AD∥BC， ∴∠BEA=∠FAD ∵DF⊥AE， ∴∠DFA=90° ∴∠B=∠DFA ∵AE=BC，AD=BC， ∴AE=AD ∴△AEB≌△DAF ∴AB=DF （2） 【解析】 【分析】（1）由矩形性质得到∠B=∠DFA,AE=BC,AD=BC，证得△AEB≌△DAF； （2）由（1）可知：DF=AB=6，AE=AD=10. 在Rt△AFD中，求出AF和EF. 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知：AB=DF=6，AE=AD=10. 在Rt△AFD中，∠DFA=90°， ∴AF===8 ∴EF=AE-AF=10-8=2 在Rt△DFE中，∠DFE=90° ∴tan∠EDF=== 【点睛】矩形性质，求正切. 22. 某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． （1）求这个函数的解析式； （2）当气体体积为时，气压是多少？ （3）当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到） 【答案】（1）P （2） （3） 【解析】 【分析】考查反比例函数的应用；应熟练掌握符合反比例函数解析式的数值的意义． （1）设出反比例函数解析式，把A坐标代入可得函数解析式； （2）把代入（ 1）得到的函数解析式，可得P； （3）把代入得到V即可． 【小问1详解】 解：设， 由题意知， ∴， 故； 【小问2详解】 解：当时，； 【小问3详解】 解：当时，， ∴为了安全起见，气体的体积应不少于． 23. 鄂州市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度．如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行50米至B处，测得正前方河流右岸D处的俯角为30°．线段的长为无人机距地面的铅直高度，点M、C、D在同一条直线上．其中米． （1）求无人机的飞行高度；（结果保留根号） （2）求河流的宽度．（结果精确到1米，参考数据：） 【答案】（1）米；（2）263米 【解析】 【分析】（1）根据正切的定义即可求出AM的长； （2）过点B作BH⊥MD，根据三角函数求出DH的长，利用CD=DH-CH即可求解． 【详解】（1）由题意可得AF∥MD ∴∠ACM=∠FAC= 在Rt△ACM中，AM=CMtan∠ACM=CM(米); （2）如图，过点B作BH⊥MD， 在Rt△BDH中，∠BDH=∠FBD=30°，BH= ∴DH=BH÷tan30°=÷=300米， ∵AM⊥DM，AM⊥AF ∴四边形ABHM是矩形 ∴MH=AB=50米 ∴CH=CM-MH=-50(米) ∴CD=DH-CH=300-（-50）=350-≈263（米） 故河流的宽度为263米． 【点睛】此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是熟知解直角三角形的方法． 24. 如图，已知A（﹣5，n），B（3，﹣5）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）结合图象，直接写出不等式kx+b﹣＜0的解集． 【答案】（1）y=，y=-x-2；（2）8；（3）x＞3或-5＜x＜0． 【解析】 【分析】（1）用点B的坐标先确定反比例函数的解析式，再确定点A的坐标，用待定系数法确定一次函数的解析式； （2）设AB与y轴交点为D，确定DO的长，利用计算即可； （3）确定直线AB与双曲线的交点坐标，结合图像写出解集即可． 【详解】（1）∵A（﹣5，n），B（3，﹣5）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点， ∴即m=-15, ∴反比例函数的解析式为y=， ∴n==3即点A的坐标为（-5，3）， ∴， 解得， ∴直线AB的解析式为y=-x-2； （2）设AB与y轴交点为D， ∵直线AB的解析式为y=-x-2， ∴点D的坐标为（0，-2）， ∴DO=2， ∴ = =， ∵A（﹣5，3），B（3，﹣5）， ∴==8； （3）∵A（﹣5，3），B（3，﹣5）， ∴不等式kx+b﹣＜0的解集为x＞3或-5＜x＜0． 【点睛】本题考查了反比例函数解析式，一次函数解析式的确定，图形面积的计算，数形结合确定解析式构成不等式的解集，熟练掌握待定系数法，灵活运用图形分割法，数形结合思想解题是解题的关键． 25. 如图，在菱形中，对角线、相交于点，，，动点从点A出发沿方向匀速运动，速度为；动点从点C出发沿方向匀速运动，速度为．连接，设运动时间为，解答下列问题： （1）当为何值时，． （2）设的面积为，求S与 t的函数关系式； （3）当t为何值时，经过线段的中点？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质，矩形的性质，平行的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形面积问题等，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形，利用相似三角形的性质求解． （1）先计算相关线段，再由平行的传递性得到，得到，再利用相似的性质求解即可； （2）过点作，分别交于，连接，易得，进而得到，再利用勾股定理得到，接着根据即可求解； （3）设交于，可证，再由相似的性质求解即可． 【小问1详解】 在菱形中，对角线、互相垂直平分， ，， ，， ， 经过后，，， ， ， ， ，即，解得， 所以当时，； 【小问2详解】 如图，过点作，分别交于，连接， ，即， ， ， ，即，解得， ，， 又易得四边形为矩形， ， ， ， 所以； 【小问3详解】 设交于， 则为中点，故，， 由（2）知，，， ，， ， ，即， 解得， 所以当时，经过线段的中点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期阶段性教学质量检测九年级数学试题 一．选择题（每题3分，共36分） 1. 如图所示的六角螺栓，其主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 下列相似图形不是位似图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在的正方形网格图中，每个小正方形的边长均为1，、、均为格点，为上一点，，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，已知，那么的值为（　　） A. B. C. D. 5. 如图，，下列结论错误的是（ ） A. B. 平分 C. D. 6. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图像大致是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在第二象限，点B的坐标为，点C的坐标为，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形．若点A的对应点M的坐标为，点B的对应点N的坐标为，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ） A. 水温从加热到，需要4min B. 水温下降过程中，与的函数关系式是 C. 在一个加热周期内水温不低于的时间为 D. 上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水 9. 点均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C．下列结论： ①；②当时，y随x的增大而增大；③；④． 其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 11. 如图，函数y＝kx+b（k≠0）与y（m≠0）的图象交于点A（2，3），B（﹣6，﹣1），则不等式kx+b的解集为（　　） A. x＜﹣6或0＜x＜2 B. ﹣6＜x＜0或x＞2 C. x＞3或﹣1＜x＜0 D. x＞2 12. 如图，在中，AB=5，BC=8，∠ABC，∠BCD的角平分线分别交AD于E和F，BE与CF交于点G，则△EFG与△BCG面积之比是（ ） A. 5：8 B. 25：64 C. 1：4 D. 1：16 二、填空题（每题3分，共21分） 13. 若，那么的值为_______． 14. 若反比例函数的图象在第二、四象限，则的值是________． 15. 如图，河堤横断面迎水坡的坡度是，堤高，则坡面的长度是_______． 16. 当______时，是二次函数． 17. 如图，反比例函数的图象经过菱形的顶点，点在轴上，过点作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点．若，则点的坐标是 ____________________． 18. 如图，在边长为4的正方形中，点E是边上的一点，点F是点D关于直线对称的点，连接，若，则的长是______． 19. 一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的体积为______． 三、解答题 20. 计算： （1） ； （2） ． 21. 如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE=BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE． （1）求证：AB=DF； （2）若AD=10，AB=6，求tan∠EDF的值． 22. 某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． （1）求这个函数的解析式； （2）当气体体积为时，气压是多少？ （3）当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到） 23. 鄂州市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度．如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行50米至B处，测得正前方河流右岸D处的俯角为30°．线段的长为无人机距地面的铅直高度，点M、C、D在同一条直线上．其中米． （1）求无人机的飞行高度；（结果保留根号） （2）求河流的宽度．（结果精确到1米，参考数据：） 24. 如图，已知A（﹣5，n），B（3，﹣5）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）结合图象，直接写出不等式kx+b﹣＜0的解集． 25. 如图，在菱形中，对角线、相交于点，，，动点从点A出发沿方向匀速运动，速度为；动点从点C出发沿方向匀速运动，速度为．连接，设运动时间为，解答下列问题： （1）当为何值时，． （2）设的面积为，求S与 t的函数关系式； （3）当t为何值时，经过线段的中点？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $