第四章 一次函数知识清单2025-2026学年北师大版数学八年级上册

该初中数学一次函数单元知识清单系统梳理了函数概念、一次函数定义、图象性质、与方程不等式联系及综合应用等核心内容，构建了从基础概念认知到图象性质分析，再到实际问题解决的递进式学习支架。 清单通过表格对比k,b符号对图象象限的影响，结合平移规律总结和例题解析，培养学生的抽象能力与几何直观。设计“函数与方程不等式联系表”和分层练习题，如行程问题中距离与时间关系分析，助力学生建立模型意识，不同水平学生可高效掌握。教师可利用其系统性进行分层教学，学生能自主梳理知识网络，提升学习效率。

第四章 一次函数 考点1: 函数的相关概念 一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值与之对应，那么称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量. [函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象法.] 考点2: 一次函数的相关概念 一次函数的一般形式为y＝kx＋b，其中k，b是常数，k≠0.特别地，当b＝0时，一次函数y＝kx＋b即y＝kx(k≠0)，是正比例函数. 考点3: 一次函数的图象及性质 1. 函数的图象：如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. · 直线y＝kx＋b可以看作由直线y＝kx平移|b|个单位长度而得到(当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移).说明通过平移，函数y＝kx＋b与函数y＝kx的图象之间可以相互转化. 2. 一次函数性质及图象特征：掌握一次函数的图象及性质(对比正比例函数的图象和性质) k，b的符号 k＞0 k＜0 b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0 图象 图象经过的象限 第一、二、三象限 第一、三象限 第一、二、四象限 第一、二、四象限 第二、四象限 第二、三、四象限 性质 y随x的增大而增大(图象是自左向右上升的↗) y随x的增大而减小(图象是自左向右下降的↘) 图象经过的特殊点 点(0，b)，点(－，0) · 理解k，b对一次函数y＝kx＋b的图象和性质的影响： (1)|k|决定图象的倾斜程度，b决定它与y轴交点的位置，k，b一起决定直线y＝kx＋b经过的象限． (2) 直线l1：y1＝k1x＋b1(k1≠0)和直线l2：y2＝k2x＋b2(k2≠0)的位置关系如下： k1，k2，b1，b2的关系 直线l1与l2的关系 k1≠k2 l1与l2相交 k1＝k2，b1≠b2 l1与l2平行 k1·k2＝－1 l1与l2垂直 (3)直线与一次函数图象的联系与区别：一次函数的图象是一条直线；特殊的直线x＝a、直线y＝b不是一次函数的图象. 练习1. 1. 下列图表示的变量关系中，y是x的一次函数的是( ). 2. 若一次函数y＝(k－2)x＋3的函数值y随自变量x的减小而增大，则k的取值范围是( ). A. k＜2 B. k＞2 C. k＜0 D. k＞3 3. 在直角坐标系中，已知点A(，m)，点B(3，n)是直线y＝－2x＋1上的两点，则m，n的大小关系是( ). A. m＜n B. m＞n C.m≥n D. m≤n 4. 一次函数y＝－x＋b(b＞0)的大致图象是( ). 5. 下列函数中，y的值随x增大而增大的是( ). A. y＝－2x＋1 B. y＝－x C. y＝2x＋1 D. y＝－x＋2 6. 已知正比例函数y＝－2x的图象经过点(－2，a)，(3，b)，则a与b的大小关系为( ). A. a＞b B. a＝b C. a＜b D. 无法确定 7. 将一次函数y＝3x的图象向右平移1个单位长度，平移后的图象经过坐标系的( ). A.第一、三象限 B.第二、四象限 C.第一、二、四象限 D.第一、三、四象限 8. 在平面直角坐标系中，将直线l1：y＝－2x－2平移后，得到直线l2：y＝－2x＋4，则下列平移作法正确的是( A ). A.将l1向右平移3个单位长度 B.将l1向右平移6个单位长度 C.将l1向上平移2个单位长度 D.将l1向上平移4个单位长度 9. 在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝2x＋m－1的图象向左平移3个单位长度后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为( ). A.－5 B.5 C.－6 D. 6 10. 将直线y＝－2x向下平移后得到直线l，若直线l经过点(a，b)，且2a＋b＝－7，则直线l的表达式为( ). A. y＝－2x－2 B. y＝－2x＋2 C. y＝－2x－7 D. y＝－2x＋7 11. 将直线y＝2x－1先向上平移3个单位，再向右平移1.5个单位得到的函数关系式是 12. 如图，平面直角坐标系中有A，B，C，D四个点，一次函数y＝kx＋1(0＜k＜1)的图象可能经过( ). A.点A B.点B C.点C D.点D 13. 请写出一个图象平行于直线y＝－5x，且过第一、二、四象限的一次函数的表达式 考点4: 用函数的观点看方程、方程组、不等式　 方程(组)、不等式问题 函 数 问 题 从“数”的角度看 从“形”的角度看 求关于x、y的一元一次方程 ax＋b＝0(a≠0)的解 x为何值时，函数y＝kx＋b的值为0？ 确定直线y＝kx＋b与x轴(即直线y＝0)交点的横坐标 求关于x、y的二元一次方程组 的解． x为何值时，函数y＝a1x＋b1 与函数y＝a2x＋b2的值相等？ 确定直线y＝a1x＋b1与 直线y＝a2x＋b2的交点的坐标 求关于x的一元一次不等式 ax＋b＞0(a≠0)的解集 x为何值时，函数y＝kx＋b的值大于0？ 确定直线y＝kx＋b在x轴(即直线y＝0)上方部分的所有点的横坐标的范围 练习2. 1. 如图，已知一次函数y＝ax＋b和y＝kx的图象相交于点P，则根据图象可得二元一次方程组的解是( ). A. B. C. D. 2. 一次函数y＝－x＋b和y＝3x的图象如图所示，则方程组的解是( ). A. B. C. D. 3. 关于x、y的二元一次方程组的解为，则直线AB：y＝kx＋b与直线CD：y＝mx＋n的交点坐标为 . 4. 若关于x的方程2x＋b＝0的解是x＝1，则直线y＝2x＋b一定经过点 . 考点5: 一次函数图象的应用 在直角坐标系中给出一个一次函数的图象，即一条直线(或一条线段或一条射线)，利用所给的特殊点的坐标，读取其中所要表达的信息. · 实际问题的函数图象一般是射线或线段，是由实际问题中自变量的取值范围确定的. 练习3. 1. 甲、乙两人沿同一直道从A地到B地，在整个行程中，甲、乙离A地的距离S与时间t之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是( ). A.甲比乙早1分钟出发 B.乙的速度是甲的速度的2倍 C.若甲比乙晚5分钟到达，则甲用时10分钟 D.若甲出发时的速度为原来的2倍，则甲比乙提前1分钟到达B地 2. 一条公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲、乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村，甲、乙之间的距离s(km)与骑行时间t(h)之间的函数关系如图所示，下列结论：①A，B两村相距10km；②出发1.25h后两人相遇；③甲每小时比乙多骑行8km；④相遇后，乙又骑行了15min或65min时两人相距2km.其中正确的是 .(填序号) 3. A，B两地相距480km，甲、乙两人开车沿同一条路从A地到B地，l1, l2分别表示甲、乙两人离开A地的距离s(km)与时间t(h)之间的关系，请结合图象回答下列问题： (1)当1≤t≤7时，求乙离开A地的距离s(km)与时间t(h)之间的关系式； (2)在行驶过程中，甲出发多少h后，两人相距40 km?(不考虑乙到达B地停止行驶后，甲乙相距40km的情况) 4. 某快递公司每天下午15:00~16:00为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，快件y(件)与时间x(分)之间的函数图象如图所示. (1)求出甲仓库揽收快件y(件)与时间x(分)之间的函数表达式； (2)若已知乙仓库用来派发快件y(件)与时间x(分)之间的函数表达式是y＝－4x＋240(0＜x＜60)，问经过多少分钟时，甲仓库比乙仓库的快件数量多200件?此时甲仓库的快件数量是多少? 5. 小明设想用电脑模拟台球游戏，为简单起见，约定：①每个球或球袋都视为一点，如不遇障碍，各球均沿直线前进；②A球击中B球，则B球被撞击后沿着A球原来的方向前进；③球撞击桌边后的反弹角等于入射角(即∠α＝∠β).如图，设桌面上只剩下白球A和6号球B，小明希望A球撞击桌边上C点后反弹，再击中B球.建立如图所示的坐标系，白球的坐标为A(40，60)，6号球的坐标为B(70，30). (1)若点A与点A'关于x轴对称，直接写出点A'坐标 ； (2)运用一次函数的知识，求出C点坐标； (3)设桌边RQ上有三个球袋，位置分别在R(0，120)、S(100，120)、Q(200，120)，判定6号球被从C点反弹出的白球撞击后，能否落入球袋中(假定6号球被撞击后的速度足够大)，写出球袋名称并说明理由. 考点6: 一次函数与几何综合 1. 关于一次函数y＝－x＋6，下列结论正确的是( ). A.图象不经过第二象限 B.图象与x轴的交点是(0，6) C.图象与坐标轴形成的三角形的面积为36 D.点(x1，y1)和(x2，y2)都在该函数图象上，若x1＜x2，则y1＞y2 2. 如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x＋4与直线l2：y＝－2x＋b交于点A，直线l1与x轴交于点B，直线l2：y＝－2x＋b过点(0，1)，点C是横轴上任意一点，满足：△ABC是等腰三角形的点C坐标是 3. 如图，直线y＝kx(k≠0)与y＝x＋4在第二象限交于点A，直线，y＝x＋4分别交x轴、y轴于B，C两点S△ABO: S△ACO＝1:2.则方程组的解为( ). A. B. C. D. 4. 如图①，P从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B.设点P运动的路程为x，＝y，图②是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形ABC的边长为( ). A.6 B.3 C.4 D.2 5. 小明在公园半圆形步道上练习长跑，如图，AB是半圆的直径，O是半圆的圆心，C是半圆上一点.他沿着O-A-C-B-O的路径匀速跑步，从他离开点O开始计时，则他到点O的距离s与跑步时间t之间的关系基本符合( ). 6. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋6交x轴于点A，交y轴于点B，求AB的长. 7. 如图，A，B分别是x轴上位于原点左，右两侧的点，点P(2，m)在第一象限，直线PA交y轴于点C(0，2)，直线PB交y轴于点D，△AOP的面积为6. (1)求△COP的面积； (2)求点A的坐标与m的值. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 一次函数 考点1: 函数的相关概念 一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值与之对应，那么称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量. [函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象法.] 考点2: 一次函数的相关概念 一次函数的一般形式为y＝kx＋b，其中k，b是常数，k≠0.特别地，当b＝0时，一次函数y＝kx＋b即y＝kx(k≠0)，是正比例函数. 考点3: 一次函数的图象及性质 1. 函数的图象：如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. · 直线y＝kx＋b可以看作由直线y＝kx平移|b|个单位长度而得到(当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移).说明通过平移，函数y＝kx＋b与函数y＝kx的图象之间可以相互转化. 2. 一次函数性质及图象特征：掌握一次函数的图象及性质(对比正比例函数的图象和性质) k，b的符号 k＞0 k＜0 b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0 图象 图象经过的象限 第一、二、三象限 第一、三象限 第一、二、四象限 第一、二、四象限 第二、四象限 第二、三、四象限 性质 y随x的增大而增大(图象是自左向右上升的↗) y随x的增大而减小(图象是自左向右下降的↘) 图象经过的特殊点 点(0，b)，点(－，0) · 理解k，b对一次函数y＝kx＋b的图象和性质的影响： (1)|k|决定图象的倾斜程度，b决定它与y轴交点的位置，k，b一起决定直线y＝kx＋b经过的象限． (2) 直线l1：y1＝k1x＋b1(k1≠0)和直线l2：y2＝k2x＋b2(k2≠0)的位置关系如下： k1，k2，b1，b2的关系 直线l1与l2的关系 k1≠k2 l1与l2相交 k1＝k2，b1≠b2 l1与l2平行 k1·k2＝－1 l1与l2垂直 (3)直线与一次函数图象的联系与区别：一次函数的图象是一条直线；特殊的直线x＝a、直线y＝b不是一次函数的图象. 练习1. 1. 下列图表示的变量关系中，y是x的一次函数的是( B ). 2. 若一次函数y＝(k－2)x＋3的函数值y随自变量x的减小而增大，则k的取值范围是( A ). A. k＜2 B. k＞2 C. k＜0 D. k＞3 3. 在直角坐标系中，已知点A(，m)，点B(3，n)是直线y＝－2x＋1上的两点，则m，n的大小关系是( B ). A. m＜n B. m＞n C.m≥n D. m≤n 4. 一次函数y＝－x＋b(b＞0)的大致图象是( C ). 5. 下列函数中，y的值随x增大而增大的是( C ). A. y＝－2x＋1 B. y＝－x C. y＝2x＋1 D. y＝－x＋2 6. 已知正比例函数y＝－2x的图象经过点(－2，a)，(3，b)，则a与b的大小关系为( A ). A. a＞b B. a＝b C. a＜b D. 无法确定 7. 将一次函数y＝3x的图象向右平移1个单位长度，平移后的图象经过坐标系的( D ). A.第一、三象限 B.第二、四象限 C.第一、二、四象限 D.第一、三、四象限 8. 在平面直角坐标系中，将直线l1：y＝－2x－2平移后，得到直线l2：y＝－2x＋4，则下列平移作法正确的是( A ). A.将l1向右平移3个单位长度 B.将l1向右平移6个单位长度 C.将l1向上平移2个单位长度 D.将l1向上平移4个单位长度 9. 在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝2x＋m－1的图象向左平移3个单位长度后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为( A ). A.－5 B.5 C.－6 D. 6 10. 将直线y＝－2x向下平移后得到直线l，若直线l经过点(a，b)，且2a＋b＝－7，则直线l的表达式为( C ). A. y＝－2x－2 B. y＝－2x＋2 C. y＝－2x－7 D. y＝－2x＋7 11. 将直线y＝2x－1先向上平移3个单位，再向右平移1.5个单位得到的函数关系式是 y＝2x－1 12. 如图，平面直角坐标系中有A，B，C，D四个点，一次函数y＝kx＋1(0＜k＜1)的图象可能经过( A ). A.点A B.点B C.点C D.点D 13. 请写出一个图象平行于直线y＝－5x，且过第一、二、四象限的一次函数的表达式 y＝－5x＋2(答案不唯一) 考点4: 用函数的观点看方程、方程组、不等式　 方程(组)、不等式问题 函 数 问 题 从“数”的角度看 从“形”的角度看 求关于x、y的一元一次方程 ax＋b＝0(a≠0)的解 x为何值时，函数y＝kx＋b的值为0？ 确定直线y＝kx＋b与x轴(即直线y＝0)交点的横坐标 求关于x、y的二元一次方程组 的解． x为何值时，函数y＝a1x＋b1 与函数y＝a2x＋b2的值相等？ 确定直线y＝a1x＋b1与 直线y＝a2x＋b2的交点的坐标 求关于x的一元一次不等式 ax＋b＞0(a≠0)的解集 x为何值时，函数y＝kx＋b的值大于0？ 确定直线y＝kx＋b在x轴(即直线y＝0)上方部分的所有点的横坐标的范围 练习2. 1. 如图，已知一次函数y＝ax＋b和y＝kx的图象相交于点P，则根据图象可得二元一次方程组的解是( D ). A. B. C. D. 2. 一次函数y＝－x＋b和y＝3x的图象如图所示，则方程组的解是( A ). A. B. C. D. 3. 关于x、y的二元一次方程组的解为，则直线AB：y＝kx＋b与直线CD：y＝mx＋n的交点坐标为 (2，1) . 4. 若关于x的方程2x＋b＝0的解是x＝1，则直线y＝2x＋b一定经过点 (1，0) . 考点5: 一次函数图象的应用 在直角坐标系中给出一个一次函数的图象，即一条直线(或一条线段或一条射线)，利用所给的特殊点的坐标，读取其中所要表达的信息. · 实际问题的函数图象一般是射线或线段，是由实际问题中自变量的取值范围确定的. 练习3. 1. 甲、乙两人沿同一直道从A地到B地，在整个行程中，甲、乙离A地的距离S与时间t之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是( C ). A.甲比乙早1分钟出发 B.乙的速度是甲的速度的2倍 C.若甲比乙晚5分钟到达，则甲用时10分钟 D.若甲出发时的速度为原来的2倍，则甲比乙提前1分钟到达B地 2. 一条公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲、乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村，甲、乙之间的距离s(km)与骑行时间t(h)之间的函数关系如图所示，下列结论：①A，B两村相距10km；②出发1.25h后两人相遇；③甲每小时比乙多骑行8km；④相遇后，乙又骑行了15min或65min时两人相距2km.其中正确的是 ①②③④ .(填序号) 3. A，B两地相距480km，甲、乙两人开车沿同一条路从A地到B地，l1, l2分别表示甲、乙两人离开A地的距离s(km)与时间t(h)之间的关系，请结合图象回答下列问题： (1)当1≤t≤7时，求乙离开A地的距离s(km)与时间t(h)之间的关系式； (2)在行驶过程中，甲出发多少h后，两人相距40 km?(不考虑乙到达B地停止行驶后，甲乙相距40km的情况) 答案：(1)当1≤t≤7时，乙离开A地的距离s(km)与时间t(h)之间的关系式为：s＝80t－80 (2)在行驶过程中，甲出发h，2h或6h后，两人相距40km. 4. 某快递公司每天下午15:00~16:00为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，快件y(件)与时间x(分)之间的函数图象如图所示. (1)求出甲仓库揽收快件y(件)与时间x(分)之间的函数表达式； (2)若已知乙仓库用来派发快件y(件)与时间x(分)之间的函数表达式是y＝－4x＋240(0＜x＜60)，问经过多少分钟时，甲仓库比乙仓库的快件数量多200件?此时甲仓库的快件数量是多少? 答案：(1)甲仓库揽收快件y(件)与时间x(分)之间的函数表达式为y＝6x＋40(0＜x＜60)； (2)经过40分钟时，甲仓库比乙仓库的快件数量多200件，此时甲仓库的快件数量是280件. 5. 小明设想用电脑模拟台球游戏，为简单起见，约定：①每个球或球袋都视为一点，如不遇障碍，各球均沿直线前进；②A球击中B球，则B球被撞击后沿着A球原来的方向前进；③球撞击桌边后的反弹角等于入射角(即∠α＝∠β).如图，设桌面上只剩下白球A和6号球B，小明希望A球撞击桌边上C点后反弹，再击中B球.建立如图所示的坐标系，白球的坐标为A(40，60)，6号球的坐标为B(70，30). (1)若点A与点A'关于x轴对称，直接写出点A'坐标 (40，－60) ； (2)运用一次函数的知识，求出C点坐标； (3)设桌边RQ上有三个球袋，位置分别在R(0，120)、S(100，120)、Q(200，120)，判定6号球被从C点反弹出的白球撞击后，能否落入球袋中(假定6号球被撞击后的速度足够大)，写出球袋名称并说明理由. 答案：(2)点C的坐标为(60，0)； (3) 能落入球袋S中，理由如下： 把y＝120代入直线BA'的解析式得：3x－180＝120，解得x＝100， ∴S(100，120)在直线BA'上， ∴能落人球袋S中 考点6: 一次函数与几何综合 1. 关于一次函数y＝－x＋6，下列结论正确的是( D ). A.图象不经过第二象限 B.图象与x轴的交点是(0，6) C.图象与坐标轴形成的三角形的面积为36 D.点(x1，y1)和(x2，y2)都在该函数图象上，若x1＜x2，则y1＞y2 2. 如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x＋4与直线l2：y＝－2x＋b交于点A，直线l1与x轴交于点B，直线l2：y＝－2x＋b过点(0，1)，点C是横轴上任意一点，满足：△ABC是等腰三角形的点C坐标是 (2，0)或 (3－4，0)或(－3－4，0)或(－1，0) 3. 如图，直线y＝kx(k≠0)与y＝x＋4在第二象限交于点A，直线，y＝x＋4分别交x轴、y轴于B，C两点S△ABO: S△ACO＝1:2.则方程组的解为( C ). A. B. C. D. 4. 如图①，P从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B.设点P运动的路程为x，＝y，图②是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形ABC的边长为( A ). A.6 B.3 C.4 D.2 5. 小明在公园半圆形步道上练习长跑，如图，AB是半圆的直径，O是半圆的圆心，C是半圆上一点.他沿着O-A-C-B-O的路径匀速跑步，从他离开点O开始计时，则他到点O的距离s与跑步时间t之间的关系基本符合( D ). 6. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋6交x轴于点A，交y轴于点B，求AB的长. 答案：AB＝2 7. 如图，A，B分别是x轴上位于原点左，右两侧的点，点P(2，m)在第一象限，直线PA交y轴于点C(0，2)，直线PB交y轴于点D，△AOP的面积为6. (1)求△COP的面积； (2)求点A的坐标与m的值. 答案：(1)S△COP＝2；(2)A的坐标为(－4，0)，m＝3. 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $