第四章一次函数章节复习（13知识点回顾+36题型巩固）讲义-2025-2026学年北师大版八年级数学上册满分全攻略备考系列

第四章 一次函数 章节（13知识点回顾+36题型巩固） 目录 知识梳理 1.函数的定义 2.函数的三种表示方法 3.函数的自变量与函数值 4.“均匀”变化现象 5.一次函数与正比例函数 6.根据情境列一次函数关系式 7.函数的图象 8.正比例函数的图象和性质 9.一次函数的图象和性质 10.确定一次函数表达式 11.建立一次函数的模型解实际应用题 12.一次函数与一元一次方程的关系 13.两个一次函数图象的应用 题型巩固 一、函数的概念 二、求自变量的取值范围 三、求自变量的值或函数值 四、函数解析式 五、函数图象识别 六、从函数的图象获取信息 七、动点问题的函数图象 八、正比例函数的定义 九、识别一次函数 十、根据一次函数的定义求参数 十一、求一次函数自变量或函数值 十二、列一次函数解析式并求值 十三、正比例函数的图象 十四、正比例函数的性质 十五、判断一次函数的图象 十六、根据一次函数解析式判断其经过的象限 十七、已知函数经过的象限求参数范围 十八、一次函数图象与坐标轴的交点问题 十九、用描点法画函数图象 二十、画一次函数图象 二十一、一次函数图象平移问题 二十二、一次函数图象与对称问题 二十三、判断一次函数的增减性 二十四、根据一次函数增减性求参数 二十五、根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 二十六、比较一次函数值的大小 二十七、一次函数的规律探究问题 二十八、分配方案问题(一次函数的实际应用) 二十九、最大利润问题(一次函数的实际应用) 三十、行程问题(一次函数的实际应用) 三十一、梯度计价问题 三十二、其他问题(一次函数的实际应用) 三十三、一次函数与几何综合 三十四、已知直线与坐标轴交点求方程的解 三十五、由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 三十六、利用图象法解一元一次方程 知识梳理 知识点1.函数的定义 函数：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量.例如y=2 x， y= 等， y 是 x 的函数 . 说明：(1)在函数中定义的两个变量x，y是有主次之分的，变量x的变化是主动的，称之为自变量，而变量y是随x的变化而变化的，是被动的，称之为因变量(即自变量的函数)； (2)函数不是数，函数的实质是两个变量的对应关系. 知识点2.函数的三种表示方法 1. 函数的三种表示方法 表示方法 定义 优点 缺点 列表法 通过列出自变量的值与对应函数值的表格表示函数关系的方法叫做列表法 一目了然，对表格中已有自变量的每一个值，可直接查出与它对应的函数值 列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数的变化规律 关系式法 用数学式子表示函数关系的方法叫做关系式法. 其中的等式叫做函数关系式 能准确地反映整个变化过程中自变量与函数值的对应关系 从函数关系式很难直观看出函数的变化规律，而且有些函数不能用关系式法表示出来 图象法 用图象表示两个变量间的函数关系的方法叫做图象法 直观、形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质 从自变量的值常常难以找到对应函数的准确值 2. 列函数关系式 根据实际问题列函数关系式的方法类似于列方程解应用题，只要找出自变量与函数值之间存在的等量关系，列出等式即可. 但要整理成用含自变量的代数式表示函数值的形式. 知识点3.函数的自变量与函数值 1. 函数自变量的取值范围：使函数有意义的自变量的取值的全体叫做函数的自变量的取值范围 . 2. 确定自变量的取值范围需要从两个方面考虑 (1)使函数表达式本身有意义； (2)实际问题中还需要使实际问题有意义 . 3. 常见函数自变量取值范围的确定 类型 特点 举例 自变量的取值范围 自变量在整式中 等号右边是整式 y=2x2－1 全体实数 自变量在分母中 等号右边的自变量在分母的位置上 使分母不为 0 的实数 自变量在二次根号下 等号右边是开平方的式子 使被开方数大于或等于 0 的实数 4. 函数值：对于自变量在可取值范围内的一个确定的值 a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于 a 时的函数值 . 知识点4.“均匀”变化现象 1. 生活中随处可见“均匀”变化的现象，比如汽车在道路上匀速行驶，意味着每隔一段相同的时间，汽车行驶的距离相同。所谓“均匀”变化是指：一个变量增加固定的数值时， 另一个变量的改变量是相同的。 2. 如果一个变量y 随另一个变量x 变化，那么将关系式 y =ax+b (式中a，b 为常数)，说成是y 随x 均匀变化，即y 关于x 的变化率为a，a 不变(变化率不变)。 知识点5.一次函数与正比例函数 1. 定义：若两个变量x，y间的对应关系可以表示成y＝kx＋b(k，b为常数，k ≠ 0)的形式，则称y是x的一次函数．特别地，当b＝0 时，称y是x的正比例函数. 例如： y=4 x+5 是一次函数， y=4 x 是正比例函数 . 2. 一次函数与正比例函数的关系 (1)正比例函数y＝kx(k 为常数， k ≠ 0)是一次函数y＝kx＋b(k， b 为常数， k ≠ 0)中b＝0的特例，即正比例函数都是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数. (2)若已知y与x成正比例，则可设函数关系式为y＝kx (k ≠ 0)；若已知y是x的一次函数，则可设函数关系式为y＝kx＋b(k，b是常数，k ≠ 0). 知识点6.根据情境列一次函数关系式 列一次函数关系式的步骤 (1)认真分析，理解题意； (2)同列方程解应用题的思路，找出等量关系； (3)写出一次函数的关系式； (4)注意自变量x的取值范围，对于实际问题，还要考虑自变量的取值要使实际问题有意义. 知识点7.函数的图象 1. 函数的图象：把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象. 横坐标 自变量 函数的 图象 组成的 图形 对应 描点 函数 纵坐标 函数值 2. 画函数图象的一般步骤 步骤 内容 注意 列表 列表给出一些自变量的值及其对应的函数值 根据自变量的取值范围取值时，要从小到大或自中间向两边选取，并且取值要有代表性，以便全面地反映函数图象的全貌 描点 以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出相应的各点 描点时取点越多，图象就越准确 连线 按照各点横坐标由小到大的顺序把这些点依次连接起来 要用平滑的线将所描的点顺次连接起来 知识点8.正比例函数的图象和性质 1.正比例函数的图象及其画法 图象 正比例函数 y=kx的图象是一条经过原点(0，0)的直线，我们称它为直线 y=kx 特别解读： 有些正比例函数的图象因其自变量取值范围的限制， 并不一定是一条直线， 可能是一条射线、 一条线段或一些点 画法 因为两点确定一条直线，所以可用两点法画正比例函数 y=kx 的图象 . 一般选(0，0)和(1， k)两点比较简便 特别解读：正比例函数 y=kx中， |k| 越大，直线与 x 轴相交所成的锐角越大，直线越陡； |k| 越小，直线与 x 轴相交所成的锐角越小，直线越缓 2.正比例函数的性质 类别 k>0 k<0 图象 续表 k>0 k<0 图象形状 过原点，从左向右是上升的直线(↗) 过原点，从左向右是下降的直线(↘) 经过的象限 第一、三象限 第二、四象限 增减性 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 知识点9.一次函数的图象和性质 1.一次函数的图象及其画法 图象 一次函数 y=kx+b的图象是一条直线，它与正比例函数y=kx 的图象相互平行，我们称它为直线 y=kx+b 画法 (1) 两点法： 由于两点确定一条直线，所以一般选取直线y=kx+b 与两坐标轴的交点，即(0， b)与(－ ，0 )画直线 (2) 平移法： 一次函数 y=kx+b的图象可以由正比例函数y=kx沿 y 轴向上( b>0)或向下( b<0)平移｜b｜个单位得到；反之，正比例函数y=kx的图象也可以通过沿y 轴平移一次函数y=kx+b 的图象得到 2.一次函数的图象和性质 一次函数y＝kx＋b的图象和性质与k，b 的符号间的关系： k，b 的符号 k>0 k<0 b>0 b<0 b＝0 b>0 b<0 b＝0 图象的 位置 续表 增减性 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 与y轴交点的位置 正半轴 负半轴 原点 正半轴 负半轴 原点 经过的 象限 第一、二、三象限 第一、三、四象限 第一、三象限 第一、二、四象限 第二、三、四象限 第二、四象限 3. 一次函数图象的平移规律 原直线表达式 平移方式 平移后的新直线表达式 简记 y＝kx＋b 向上平移n (n>0)个单位 y＝kx＋b＋n 上加下减 向下平移n (n>0)个单位 y＝kx＋b－n 向左平移n (n>0)个单位(拓展) y=k(x+n)+b 左加右减 向右平移n (n>0)个单位(拓展) y=k(x－n)+b 拓展：同一平面直角坐标系中两直线(：y =x+( ≠ 0)，:y =x+( ≠ 0) )的位置关系： ，，， 的关系 与的关系 ≠ 与相交 ≠ ，= 与 相交于y 轴上的同一点(0，)或(0，) =， ≠ 与平行 =，= 与重合 知识点10.确定一次函数表达式 1. 用待定系数法求一次函数表达式所需的条件 类型 函数表达式 待定系数 所需的条件 正比例函数 y=kx k 已知函数图象上一点(非原点)的坐标 一次函数 y=kx+b k， b 已知函数图象上两点的坐标 或与k，b 有关的具体条件等 2. 用待定系数法求函数表达式的一般步骤 示例：已知一次函数的图象过M(1，3)，N(0，12)两点，求该一次函数的表达式。 根据函数的图象设函数表达式的技巧 (1)若直线过原点，则所设函数表达式为y =kx(k ≠ 0)； (2)若直线不过原点，则所设函数表达式为y =kx+b(k ≠ 0)。 知识点11.建立一次函数的模型解实际应用题 利用一次函数的图象解决实际问题，关键是找到图象中两个变量之间的数量关系，把实际问题抽象、升华为一次函数模型，即建模，再利用一次函数的相关性质解决实际问题，常见类型如下： (1)题目中已知一次函数的关系式，可直接运用一次函数的性质求解； (2)题目中没有给出一次函数的关系式，而是通过语言、表格或图象给出一次函数的情境，这时需要先根据题目给出的信息求出一次函数的关系式，再利用一次函数的性质解决实际问题. 知识点12.一次函数与一元一次方程的关系 一次函数与一元一次方程的关系 从“数”的方面看：当一次函数y=kx+b的函数值为0 时， 相应的自变量的值就是方程kx+b=0 的解 从“形”的方面看：如图，一次函数y=kx+b的图象与x 轴交点的横坐标就是方程kx+b=0 的解 利用一次函数的图象解一元一次方程的步骤 (1)转化：将一元一次方程转化为一次函数； (2)画图象：画出一次函数的图象； (3)找交点：找出一次函数的图象与 x 轴的交点，交点的横坐标即为一元一次方程的解 知识点13.两个一次函数图象的应用 1. 在同一直角坐标系中，同时出现两个一次函数的图象，即两条直线，利用所给图象的位置关系、交点坐标、与x轴和y轴的交点坐标等读取其中所要表达的信息. 一般出现在比较产量、速度、资费等问题中，关键是要理解交点坐标的含义. 观察图象获取相关信息用表格表示如下： 看图象 获取信息 两个一次函数，当自变量的值为时，函数值都为或当函数值为时，自变量的值都为 当自变量的值x>时，函数值>，即对同一自变量x的值，图象在上面的函数值大 当自变量的值x<时，函数值<，即对同一自变量x的值，图象在下面的函数值小 2. 两个一次函数图象的应用 两个一次函数图象的交点表示两条直线的公共点，即点同时在两条直线上 几何意义 图象交点的含义 两个一次函数图象的交点满足两个函数表达式，即把交点的横、纵坐标分别代入两个表达式都成立 代数意义 不同的实际问题，横、纵坐标代表的量不同，交点表示的含义也不同 实际意义 题型巩固 题型一、函数的概念 1．（25-26八年级上·辽宁丹东·期中）下列各曲线中表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数的概念 【分析】本题考查了函数图像的读图能力和函数的概念．解题的关键是理解和掌握函数的概念．函数的意义反映在图像上简单的判断方法是：作垂直于x轴的直线在左右平移的过程中，与函数图像只会有一个交点．根据函数的定义：一般在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数；据此即可求出答案． 【详解】解：根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，所以D正确． 故选：D． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图中的每个图是由若干盆花组成的四边形图案，每条边（包括两个顶点）有盆花，每个图案中花盆的总数是，按此规律推断，是的函数吗？如果是，你能用一个数学式子表示吗？ 【答案】是， 【知识点】图形类规律探索、函数的概念 【分析】本题考查了图形规律，函数的概念，根据图形的规律，得到S与n的关系式是解题关键；根据图形的规律，得到S与n的关系式，进而即可得解． 【详解】解：是的函数． 第1个图形中，每条边上有2盆花，共有（盆）花， 第2个图形中，每条边上3盆花，共有（盆）花， 第3个图形中，每条边上4盆花，共有（盆）花， ……， ． 题型二、求自变量的取值范围 3．（2025八年级上·全国·专题练习）汽车油箱内有油，每行驶耗油，若不再加油，则行驶过程中油箱内剩余油量与行驶路程之间的函数关系式为 ，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】函数解析式、求自变量的取值范围 【分析】本题考查用关系式表示变量之间的关系，理解数量关系是得出关系式的前提．求出的耗油量，再根据余油量=原有油量耗油量，从而得出关系式． 【详解】解：每行驶耗油，则每行驶耗油为：，由余油量=原有油量耗油量得， ， 油可行驶， ∴自变量的取值范围为， 故答案为：，． 题型三、求自变量的值或函数值 4．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）某地的气温与海拔高度之间的关系可以近似的用来表示，根据这个关系式，当海拔高度为时，此地的气温为 ． 【答案】7 【知识点】求自变量的值或函数值 【分析】本题主要考查求函数值，将代入关系式计算即可． 【详解】解：当时，， 故答案为：7． 题型四、函数解析式 5．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）一棵树现在高，每个月长高，个月后这棵树的高度为()，与之间的关系式为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数解析式 【分析】本题考查了列函数关系式，根据树的高度随时间的增长而增长，初始高度为，每月增长，即可列出关系式求解． 【详解】解：∵树现在高，每月长高， ∴经过个月，树的高度为初始高度加上增长的高度， 即：。 故选：A． 6．（25-26八年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，长方形的四个顶点在互相平行的两条直线上，，当线段在平行线上向右匀速运动时，长方形的面积发生了变化． (1)在这个变化过程中，常量是______，变量是______． (2)若长方形的长为，则请用含x的式子表示长方形的面积 (3)当长方形的长从变到时，长方形的面积会怎么变化？ 【答案】(1)的长度；的长度 (2) (3)当长方形的长从变到时，长方形的面积从变到 【知识点】函数解析式、求自变量的值或函数值、用关系式表示变量间的关系 【分析】本题考查了常量与变量，函数关系式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据常量与变量的意义，即可解答； （2）根据长方形的面积公式进行计算，即可解答； （3）利用（2）的结论进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：在这个变化过程中，常量是的长度，变量是的长度， 故答案为：的长度；的长度； （2）解：由题意得：； （3）解：当时，； 当时，； 当长方形的长从变到时，长方形的面积从变到． 题型五、函数图象识别 7．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）下列图象中，表示y是x的函数的是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数图象识别 【分析】本题考查了函数的定义，掌握函数的定义是解决本题的关键． 函数通常表示为一个变量（自变量）与另一个变量（因变量）之间的映射关系据此解答即可． 【详解】解：A、由图可得，任意一个x对应着两个y的值，不能表示y是x的函数，不符合题意； B、由图可得，在时，x对应着两个y的值，不能表示y是x的函数，不符合题意； C、由图可得，任意一个x对应着一个y的值，能表示y是x的函数，符合题意； D、由图可得，在中心阶段，任意一个x对应着三个y的值，不能表示y是x的函数，不符合题意． 故选C． 题型六、从函数的图象获取信息 8．（25-26八年级上·全国·单元测试）甲，乙两人在直线跑道上同起点，同终点，同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒，在跑步过程中，甲，乙两人的距离（米）与乙出发的时间（秒）之间的关系如图所示，则的值为 ． 【答案】223 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了行程问题中的数量关系的应用，追击问题在生活中的应用．由图可知，甲2秒跑了8米，可以求出甲的速度，根据乙100秒跑完了全程可知乙的速度，可求得b的值，根据经过时间a秒，乙追上了甲，可列出方程解出a的值，再求得c的值即可． 【详解】解：甲的速度为（米/秒）； 乙的速度为500（米/秒）； （米）； ， 解得， （秒）， 故． 故答案为：223． 9．（25-26八年级上·云南昆明·期中）如图1，在长方形中，，为边中点．动点从点开始，以的速度沿路线运动，到点停止．图2是点出发秒后，的面积随时间变化的图象．根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)______； (2)当点在上运动时，求的面积为时的值； (3)如图3，当点从点出发时，动点同时以的速度从点出发，沿边运动，当点运动到点时，、两点停止运动．当为何值时，与全等，请直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】从函数的图象获取信息、动点问题的函数图象、全等三角形综合问题 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，全等三角形的性质，三角形的面积公式． （1）根据图1和图2，结合点P运动时，面积的变化情况，进行解答即可； （2）根据，点P在上运动，的面积为，求出，得出，最后求出结果即可； （3）分和根据全等三角形的性质得出线段相等，进而建立方程组，解方程组，即可求解； 【详解】（1）解：∵，E为边中点， ∴， 根据图2可知，当点P运动时，的面积达到最大值，根据图1可知，当点P从点B开始运动，到达点C时，的面积达到最大值， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，点P在上运动，的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴当与全等时，有两种情况， ①时，， ∴， 解得：； ②时，， ∴， 解得：； 综上分析可知：当或时，与全等． 题型七、动点问题的函数图象 10．（22-23八年级上·陕西榆林·期中）如图1，在矩形中，动点从点出发，沿方向运动至点处停止．设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图像如图2所示，则矩形的面积是（    ）    A．35 B．24 C．60 D．84 【答案】A 【知识点】动点问题的函数图象 【分析】由函数图像可知，，即可获得答案． 【详解】解：由题意可知，，， ∴矩形的面积是． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了函数的图像的知识，解题的关键在于从函数图像中获取正确的信息． 题型八、正比例函数的定义 11．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）下列函数关系式中，是的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题考查正比例函数的定义，牢记正比例函数的定义形式是解题的关键．根据正比例函数的定义（，其中为常数且）判断各选项． 【详解】解：正比例函数的形式为（为常数，且）， A、，符合，且， 是正比例函数，选项符合题意； B、，不符合， 不是正比例函数，选项不符合题意； C、，的指数为，不是， 不是正比例函数，选项不符合题意； D、，有常数项， 不是正比例函数，选项不符合题意； 故选：A． 12．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）若函数是正比例函数，则的值是 ． 【答案】 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题考查正比例函数的定义，根据正比例函数的定义，函数形式应为，即常数项为零且比例系数非零． 【详解】解：由正比例函数的定义，得且． 解，得，即或． 当时，，不符合比例系数非零的条件，舍去． 故． 故答案为：． 题型九、识别一次函数 13．（25-26八年级上·山东·阶段练习）在一次函数中，一次项系数和常数的值分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】识别一次函数 【分析】本题考查了一次函数的概念，将化成的形式即可求解； 【详解】解：∵， ∴一次项系数和常数的值分别是， 故选：C． 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）写出下题中与之间的关系式，并判断是否是的一次函数：在速度为的匀速运动中，路程与时间的关系． （2）已知一个长方形的长为，宽为，周长为，求与之间的关系式，并判断是否为的一次函数． 【答案】（1），是的一次函数；（2），是的一次函数 【知识点】识别一次函数、用关系式表示变量间的关系 【分析】本题考查了列函数关系式、一次函数的识别，理解题意正确列出函数关系式是解题的关键． （1）根据公式：路程速度时间，列出关系式，再判断是否为的一次函数即可； （2）根据长方形的周长公式列出关系式，再判断是否为的一次函数即可． 【详解】解：（1）由题意得，， ∴是的一次函数； （2）∵一个长方形的长为，宽为，周长为， ∴与之间的函数关系式为； ∴是的一次函数． 题型十、根据一次函数的定义求参数 15．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段练习）关于的函数是一次函数，则的值为 ． 【答案】 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，根据一次函数的定义即可求解，熟知一次函数的定义是解题的关键，一般地，形如，且是常数的函数叫做一次函数． 【详解】解：∵关于的函数是一次函数， ∴，解得：， 故答案为：． 16．（25-26八年级上·全国·课后作业）当为何值时，函数是一次函数． 【答案】 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，解题的关键是熟练掌握一次函数的定义，并列出关于m的方程．根据一次函数的定义列出关于m的方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，得且， 解得：． 题型十一、求一次函数自变量或函数值 17．（25-26八年级上·甘肃白银·期中）已知函数． (1)当为何值时，是的一次函数？ (2)若函数是一次函数，则为何值时，的值为3？ 【答案】(1) (2) 【知识点】根据一次函数的定义求参数、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查的是根据一次函数求函数中参数的值以及根据函数值求自变量的值，掌握一次函数的定义是解决此题的关键． （1）根据一次函数的定义即可列出关于m的方程和不等式，从而求出m的值； （2）将代入一次函数中，即可求出x的值． 【详解】（1）解：由是一次函数得， 解得． 故当时，是一次函数； （2）解：由（1）可知． 当时，，解得． 故当时，y的值为3． 题型十二、列一次函数解析式并求值 18．（24-25八年级上·福建宁德·期中）某电信公司手机的A套餐收费标准为：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费18元，另外，通话费按元/计；B套餐收费标准为：不收月租费，但通话费用按元/计． (1)写出两种套餐收费标准的每月应缴费用y（元）与通话时间x（）之间的关系； (2)若每月平均通话时间为，你选择哪种套餐？并说明理由． 【答案】(1)A套餐：，B套餐： (2)选B套餐，理由见解析 【知识点】列代数式、列一次函数解析式并求值 【分析】本题主要考查列函数关系式、代数式求值等知识点，正确列出关系式是解题关键． （1）根据题意直接写两种套餐收费标准的每月应缴费用y（元）与通话时间之间的关系式即可； （2）将分别代入两个关系式求得话费，然后比较大小即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得：A套餐，B套餐， 所以A、B两种套餐收费标准的每月应缴费用y（元）与通话时间之间的关系分别为：，． （2）解：当时， A套餐：（元）， B套餐：（元）， 因为， 所以选B套餐更优惠． 题型十三、正比例函数的图象 19．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知函数经过点，则的值为（   ） A．6 B． C．3 D． 【答案】B 【知识点】正比例函数的图象 【分析】本题考查函数图象上点的坐标特征，代入解析式求解即可． 将点坐标代入函数解析式，解方程即可。 【详解】点在函数上， ， ； 故选． 题型十四、正比例函数的性质 20．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个函数表达式； (2)判断点，点是否在这个函数图象上； (3)图象上的两点，如果，比较的大小． 【答案】(1) (2)点不在函数图象上，点在函数图象上 (3) 【知识点】正比例函数的性质 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，涉及待定系数法求解析式，一次函数的性质与系数的关系，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． （1）利用待定系数法求解析式即可； （2）将点A或点横坐标代入函数解析式，求出纵坐标，即可判断点A或点是否在这个函数图象上； （3）根据正比例函数的增减性，即可比较，的大小． 【详解】（1）解：将点代入， 得， 解得， ∴这个函数解析式为； （2）解：当时，， ∴点不在这个函数图象上； 当时，， ∴点在这个函数图象上； （3）解：∵， ∴y随着x增大而减小， ∵图象上的两点，，且， ∴． 题型十五、判断一次函数的图象 21．（25-26八年级上·全国·期末）关于一次函数的图象，正确的是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【知识点】判断一次函数的图象 【分析】本题考查了一次函数图象，根据一次函数的图象在y轴右侧，且是一条射线，据此即可解答． 【详解】解：一次函数的图象在y轴右侧，且是一条射线， 则只有选项C符合题意． 故选：C． 题型十六、根据一次函数解析式判断其经过的象限 22．（25-26八年级上·全国·期中）若，直线不经过第四象限，则直线一定不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；由条件和直线不经过第四象限，推导出a、b、c的符号关系，判断所经象限即可． 【详解】解：∵直线不经过第四象限，， ∴且， ∴由得a与b同号； 由得，即c与a异号， 若，则，，此时，与矛盾； 故，，， ∴直线中，，， ∴直线一定不经过第二象限； 故选B． 题型十七、已知函数经过的象限求参数范围 23．（25-26八年级上·广东深圳·阶段练习）已知一次函数的图象如图所示，则，的取值范围是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，根据一次函数图象经过的象限，利用一次函数图象与系数的关系可得出，，此题得解． 【详解】解：观察图形可知：一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴，． 故选：B． 题型十八、一次函数图象与坐标轴的交点问题 24．（2025八年级上·全国·专题练习）已知y关于x的函数解析式为（m为常数）． (1)若y是x的正比例函数，求m的值； (2)若，求该函数图象与x轴的交点坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】正比例函数的定义、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查的是正比例函数的定义，一次函数与x轴的交点坐标，熟练掌握以上知识点是关键． （1）由y是x的正比例函数，可得，再进一步求解即可； （2）由，可得．令，即，从而可得答案． 【详解】（1）解：由题意可知， 解得． （2）解：∵，则． 令， 解得， ∴该函数图象与x轴的交点坐标为． 题型十九、用描点法画函数图象 25．（2025八年级上·全国·专题练习）在学习一次函数时，我们经历了探究函数的图象与性质的过程，下面是小颖探究函数的图象与性质的过程，请结合学习函数的经验，将探究过程补充完整． 0 1 2 3 4 5 4 3 2 3 4    (1)列表，填空：_______； (2)根据（1）中结果，请在给出的平面直角坐标系中，描点并画出该函数的图象；根据函数图象可得，该函数的最小值为______； (3)若点在该函数的图象上，且，观察图象并写出，的大小关系：______； (4)观察函数的图象，请写出该函数的两条性质． 【答案】(1)5 (2)图象见解析，2 (3) (4)①该函数图象的对称轴为直线；②当时，的值随值的增大而减小；当时，的值随值的增大而增大 【知识点】求自变量的值或函数值、从函数的图象获取信息、用描点法画函数图象 【分析】本题考查了求函数值，画函数图象，根据函数图象获取信息，正确作出函数图象是解题的关键． （1）将代入即可求解； （2）根据描点，连线即可作图，即可从图象求解函数最小值； （3）根据函数图象即可求解； （4）根据函数图象即可获取信息． 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：； （2）解：函数图象如图：    由图象可得该函数的最小值为2； （3）解：∵点在该函数的图象上，且， ∴从图象可得， 故答案为：； （4）解：从图象可得：①该函数图象的对称轴为直线；②当时，的值随值的增大而减小；当时，的值随值的增大而增大． 题型二十、画一次函数图象 26．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）已知一次函数（k，b是常数，）的图象如图所示，请你在平面直角坐标系中分别作一次函数的图象，并有必要的标注与文字说明． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】画一次函数图象 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象，及画一次函数图象的方法与技巧是解决问题的关键． （1）根据的图象与的图象平行，且过坐标原点，即可画出函数的图象； （2）依题意得与y轴的交点坐标为，与x轴的交点坐标为，则，，进而得函数经过第一，二，三象限，与y轴交于，与x轴的交点坐标为，由此可画出函数的图象； （3）依题意得，进而得函数经过第二，三，四象限，与直线平行，且与y轴交于点，由此可画出函数的图象． 【详解】（1）解：∵的图象与的图象平行，且过坐标原点， ∴函数的图象如图所示： （2）解：根据函数的图象在坐标系中位置可知：， 与y轴的交点坐标为，与x轴的交点坐标为， ∴，， ∴函数经过第一，二，三象限， 与y轴的交点坐标为，与x轴的交点坐标为， ∴函数的图象如图所示： （3）解：根据函数的图象在坐标系中位置可知：， 与y轴的交点坐标为，与x轴的交点坐标为， ∴， ∴函数经过第二，三，四象限，与直线平行，且与y轴交于点， ∴函数的图象如图所示： 题型二十一、一次函数图象平移问题 27．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期中）将直线向上平移2个单位长度，平移后直线的解析式为 ． 【答案】 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】本题主要考查了正比例函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将直线向上平移2个单位长度后的直线的解析式为． 故答案为 ． 题型二十二、一次函数图象与对称问题 28．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段练习）将一次函数的图象以y轴为对称轴翻折，翻折后的图象函数表达式是 ． 【答案】 【知识点】一次函数图象与对称问题 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，坐标与图形变化—轴对称，设点为翻折后的函数图象上一点，则点是一次函数的图象上一点，再把代入中求出n关于m的函数关系式即可得到答案． 【详解】解：设点为翻折后的函数图象上一点，则点是一次函数的图象上一点， ∴， ∴翻折后的图象函数表达式是， 故答案为：． 题型二十三、判断一次函数的增减性 29．（25-26八年级上·安徽亳州·阶段练习）函数中，y 随x的增大而 ． 【答案】减小 【知识点】判断一次函数的增减性 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，在一次函数中，当时，y 随x的增大而增大，当时，y 随x的增大而减小，据此可得答案． 【详解】解：∵在函数中，， ∴y 随x的增大而减小， 故答案为：减小． 30．（23-24八年级·辽宁鞍山·阶段练习）在一次函数的学习中，我们经历了“画出函数的图象——根据图象研究函数的性质——运用函数的性质解决问题”的学习过程，结合上面的学习过程，解决下面的问题：对于函数． (1)列表：下表是列出的几组、的对应值； 0 1 2 3 4 2 1 0 0 1 a 表中___________； (2)据表中的数值，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出函数的图象； (3)性质探究： ①观察图象，当___________时，函数有最小值为___________； ②除了上述性质外，请你再写出一条该函数的性质． 【答案】(1) (2)图见详解 (3)①0，；②当时，随着的增大而增大（答案不唯一） 【知识点】画一次函数图象、判断一次函数的增减性 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据表格可代值进行求解即可； （2）根据描点连线可作函数图象； （3）根据（2）中函数图象可进行求解． 【详解】（1）解：由表格可得： ； 故答案为2； （2）解：根据表格可得图象如下： （3）解：由（2）中图象可得： ①当时，函数有最小值为； ②除了上述性质外，该函数当时，随着的增大而增大． 题型二十四、根据一次函数增减性求参数 31．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知一次函数（为常数）．若随的增大而增大，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查一次函数的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据一次函数的性质，当一次项系数大于0时，y随x的增大而增大． 【详解】解：∵ y随x的增大而增大， ∴， 解得． 故答案为：． 题型二十五、根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 32．（22-23八年级上·江苏淮安·期末）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图像与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整． (1)列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 1 0 a b 1 … 则_________， _________． (2)描点并画出该函数的图像； (3)①请写出一条关于函数的性质：__________________； ②观察函数图像，当时，x的取值范围是_________； ③观察图像，直接写出函数的最小值_________． 【答案】(1)，0 (2)见解析 (3)①当时，y随x的增大而增大（答案不唯一）；②或；③ 【知识点】求自变量的值或函数值、从函数的图象获取信息、用描点法画函数图象、根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【分析】（1）直接将、分别代入函数中求解即可； （2）根据描点法画函数出图像即可； （3）①可根据图像的对称性、增减性等方面得出函数的性质即可； ②根据图像的增减性可求解； ③根据图像的最低点可求得该函数的最小值． 【详解】（1）解：由表格知，当时，， 当时，， 故答案为：，0； （2）解：根据所给表格数据，在平面直角坐标系中描点、连线， 则函数图像如图所示：    （3）解：①根据图像，当时，y随x的增大而增大，或函数关于直线对称，等， 故答案为：当时，y随x的增大而增大（答案不唯一）； ②根据图像，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， 当时，由得或， 当时，由得或， ∴当时，x的取值范围是或， 故答案为：或； ③由图像知，当时，函数取得最小值，最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数的图像与性质，理解题意，能从函数图像得出所需信息是解答的关键． 题型二十六、比较一次函数值的大小 33．（25-26八年级上·甘肃白银·期中）已知点，，都在直线上，且，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 先根据题意判断出函数的增减性，进而可得出结论． 【详解】解：一次函数中，， 随的增大而增大， ， ． 故选：D． 34．（25-26八年级上·内蒙古包头·期中）若点，在一次函数的图像上，则 ．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 根据一次函数的性质，当时，函数值随自变量增大而增大，比较两点横坐标大小即可判断纵坐标关系即可． 【详解】解：根据题意得，一次函数， 由于，则该函数图象经过一、二、三象限，函数值随自变量增大而增大， 由于，即， 因此． 故答案为：． 题型二十七、一次函数的规律探究问题 35．（25-26八年级上·山东青岛·期中）正方形，，，…，按如图所示的方式放置，点、、和点、、…分别在直线和轴上，则点的横坐标是 ． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索、一次函数的规律探究问题 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型：点的坐标，根据点的坐标的变化找出变化规律的横坐标是，纵坐标是是解题的关键．依据题意，利用一次函数图象上点的坐标特征及正方形的性质可得出点，，，，的坐标，即可根据正方形的性质得出，，，，的纵坐标，根据点的坐标的变化可找出变化规律点的横坐标是：，再代入即可得出结论． 【详解】解：当时，， ∴点的坐标为， ∵四边形为正方形， ∴点的坐标为， 当时，， ∴点的坐标为， ∵为正方形， ∴点的坐标为， 同理，可知：点的坐标为， 点的坐标为， ∴的横坐标是：，纵坐标是：， ∴点的坐标为， 故答案为：． 题型二十八、分配方案问题(一次函数的实际应用) 36．（25-26八年级上·全国·随堂练习）周末，小丽和爸爸、妈妈一家三口去杨梅园游玩．已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克40元．为满足游客需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案： 甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的杨梅按原价的六折收费； 乙方案：游客进园不需要购买门票，采摘的杨梅质量在10千克以内按原价收费，超过10千克后，超过部分按原价的五折收费． 设采摘量为千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元． (1)当采摘量超过10千克时，分别求出，与之间的函数关系式； (2)当采摘多少千克时，两种方案的价格相同？ (3)若采摘量为30千克，选择哪种方案更划算？请说明理由． 【答案】(1)，． (2)1.875千克或42.5千克 (3)甲方案更划算，理由见解析 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用)、分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，理解题意，正确列出函数关系式是解答的关键． （1）根据两种方案分别求函数关系式即可； （2）分当时和当时两种情况，令，分别解一元一次方程即可求解； （3）分别求出时的，，比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解：当采摘量超过10千克时，， 根据题意，得； ； （2）解：当时，， 令，则，解得； 当时，令，则，解得， 答：当采摘1.875千克或42.5千克时，两种方案的价格相同． （3）解：选择甲方案更划算．理由如下： 当时，． 因为，所以选择甲方案更划算． 题型二十九、最大利润问题(一次函数的实际应用) 37．（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·开学考试）某商店销售A，B两种商品，种商品的进价为每件20元，售价为每件30元；种商品的进价为每件35元，售价为每件50元．该商店计划购进A，B两种商品共100件，且购进的种商品不少于60件．设购进种商品件，销售完这100件商品的总利润为元． (1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)该商店如何进货才能使销售完这100件商品所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)； (2)购进种商品60件，种商品40件，利润最大，最大利润为1200元 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，求出函数关系式是解题的关键； （1）根据总利润等于两种商品利润和即可列出函数关系式； （2）根据函数式及一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：， 整理得：， 由于购进A，B两种商品共100件，且购进的种商品不少于60件，则； ∴与的函数关系式为，自变量的取值范围为； （2）解：，且， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，函数取得最大利润，且最大利润为（元）， 此时购进B种商品为（件）； 答：购进种商品60件，种商品40件，利润最大，最大利润为1200元． 题型三十、行程问题(一次函数的实际应用) 38．甲、乙两人从同一地点出发，沿同一方向跑步，速度分别为米/秒和米/秒，开始时甲先跑米后乙再追赶，则从乙出发开始追上甲这一过程中，甲、乙两人之间的距离（米）与甲跑步所用时间（秒）之间的函数关系式为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】C 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，熟练掌握根据行程问题中的追及关系列出一次函数关系式是解题的关键． 先明确甲、乙运动的时间关系，再分别表示出甲、乙的路程，最后根据两人距离与路程的关系得出函数关系式并确定时间范围． 【详解】解：由甲先跑，乙后出发，甲跑步所用时间为秒，得乙跑步所用时间为秒，则甲跑的路程为米，乙跑的路程为米． 由题意可得． 当乙追上甲时，，即， 解得； 当乙刚要出发时， ，所以的取值范围是． 所以甲、乙两人之间的距离（米）与甲跑步所用时间（秒）之间的函数关系式为（）， 故选：C． 题型三十一、梯度计价问题 39．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）为了保护资源节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”．计费方法如表： 每户每月用水量 水价 不超过 元 超过但不超过的部分 元 超过的部分 元 设每户每月用水量为，水费为元，当时，则关于的函数关系式为 ． 【答案】 【知识点】梯度计价问题 【分析】本题考查了列函数关系式；根据阶梯水价规则，当用水量在到立方米时，水费由前立方米的固定费用和超出部分的费用组成． 【详解】解：当时，前立方米水费为元，超出部分为立方米，按元立方米计费， 因此． 故答案为：． 题型三十二、其他问题(一次函数的实际应用) 40．（25-26八年级上·河北张家口·期中）如图，一个楼梯有n个台阶，每个台阶宽30cm、高16cm．设这个楼梯的竖直高度为ycm，侧面宽度为xcm． (1)直接写出x与n之间的关系式； (2)直接写出y与n之间的关系式； (3)求y与x之间的关系式． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，分别根据各个量之间的关系写出对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据楼梯的侧面宽度=每个台阶的宽度×台阶数量作答即可； （2）根据楼梯的竖直高度=每个台阶的高度×台阶数量作答即可； （3）由得，代入，消去n，即可得出y与x之间的关系式． 【详解】（1）解：x与n之间的关系式为； （2）解：y与n之间的关系式为； （3）解：∵， ∴， 将代入，得：． 题型三十三、一次函数与几何综合 41．（25-26八年级上·辽宁·期中）例如：在平面直角坐标系中，点到x轴和y轴的距离相等，故是x轴和y轴的关联点．在平面直角坐标系中，直线 ：交x轴于点，交y轴于点A，点C为x轴上一个点； (1)直线经过点， ①______，若在直线上，则比较t与6的大小：t_____6； ②如图1，当点C坐标为时，点B恰好为的关联点，求直线的解析式； (2)若，D为中点，点P为线段上一点，且为x轴和y轴的关联点，将绕点P逆时针旋转至，求证:轴． 【答案】(1)①6，；② (2)见解析 【知识点】求点到坐标轴的距离、一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，点的坐标，全等三角形的判定与性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，图形旋转的性质，弄懂定义是解题的关键． （1）将代入，求的值，将代入中，可得； 作于，则，由等积法可得，求出，得到点，将点代入中，求出的值即可求解析式； （2）由题意可得，，将点代入中，求得，则直线的解析式为：，设，求出，过点作轴交于点，过点作交的延长线于点，连接，证明，得到，可知轴． 【详解】（1）解：将代入， ， 将代入中， ， ， ， 故答案为：6，； ，， ， 作于， 点恰好为的关联点， ， ，， ， ， ， ， ， 将点代入中，， 解得， ； （2）证明：， ， 为的中点， ， 将点代入中，， 解得， 直线的解析式为：， 设， ， ， ， 过点作轴交于点，过点作交的延长线于点，连接， ，， 绕点逆时针旋转至， ，， ， ∴， ，， ， ， ， 轴． 题型三十四、已知直线与坐标轴交点求方程的解 42．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，已知直线，则关于的方程的解是 ． 【答案】 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，熟练掌握函数图象法是解题关键．根据一次函数的图象可得当时，，由此即可得． 【详解】解：由一次函数的图象可知，当时，， 则关于的方程的解为， 故答案为：． 43．（25-26八年级上·山东枣庄·期中）已知一次函数， (1)为何值时，图象过原点． (2)已知随增大而增大，求的取值范围． (3)函数图象与轴交点在轴上方，求的取值范围． (4)图象过一、二、四象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)且 (4) 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、根据一次函数增减性求参数、已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数中，当，时，函数图象过二、一、四象限是解答此题的关键． （1）根据函数图象过原点可知，，求出的值即可； （2）根据y随x增大而增大可知，求出的取值范围即可； （3）由于函数图象与y轴交点在轴上方，故，进而可得而出的取值范围； （4）根据图象过一、二、四象限列出关于的方程组，求出的取值范围． 【详解】（1）解：函数图象过原点， ，即； （2）随增大而增大， ，解得； （3）函数图象与轴交点在轴上方， 且，解得且； （4）图象过一、二、四象限， ∴，解得． 题型三十五、由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 44．（22-23八年级上·河南郑州·阶段练习）已知方程的解是，则函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【分析】根据方程的解得出函数与x轴的交点坐标，然后判断即可． 【详解】解：∵方程的解是， ∴函数与x轴的交点坐标是， 满足条件的只有D． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，理解一元一次方程的解与函数图象和x轴交点坐标的关系是解题的关键． 45．（24-25八年级·河北唐山·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求点A，B的坐标； (2)求的长及点O到直线l的距离； (3)将直线l向下平移20个单位长度得到直线，直接写出l与之间的距离． 【答案】(1)， (2)， (3)12 【知识点】一次函数图象平移问题、由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点、用勾股定理解三角形 【分析】此题考查了一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，一次函数图象与几何变换，正确把握变换规律是解题关键． （1）令和时，代入解析式得出坐标即可； （2）利用勾股定理求得，然后利用三角形面积公式即可求得点O到直线l的距离； （3）根据三角形面积公式即可得到结论． 【详解】（1）直线l：与x轴交于点A，与y轴交于点B， 将代入，得到：， ∴， 将代入，得到， 解得：， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， 设点O到直线l的距离为h，则， ∴， ∴， ∴点O到直线l的距离为；； （3）如图，过O作于C，反向延长交于D， 将直线l向下平移20个单位长度得到直线， ∴直线为，， 当时，，解得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴直线l与之间的距离为12． 题型三十六、利用图象法解一元一次方程 46．（24-25八年级上·河北保定·期中）一次函数的图象如图所示，则方程的解为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用图象法解一元一次方程 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，解题的关键是知道通过图象怎么求方程的解． 关于的方程一元一次方程的解就是一次函数当函数值为时的值，据此可以直接得到答案． 【详解】解：从图象上可知，一次函数与轴交点的横坐标为， 关于的方程的解为：， 故选：C． 47．（24-25八年级上·河南郑州·期中）请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题． (1)填空：①当时， ． ②当时， ． ③当时， ． (2)在平面直角坐标系中作出函数的图象 (3)进一步探究函数图象发现： ①函数图象与x轴有_____个交点，方程有____个解： ②方程有_____个解： ③若关于x的方程无解，则a的取值范围是 ． 【答案】(1)①；②；③ (2)见解析 (3)①2，2；②1；③ 【知识点】求一次函数自变量或函数值、画一次函数图象、利用图象法解一元一次方程 【分析】此题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数与方程的关系，正确数形结合分析是解题关键． （1）直接利用绝对值的性质进而化简得出答案； （2）直接利用（1）中所求得出函数函数解析式，即可画出图象； （3）直接利用函数图象得出答案． 【详解】（1）解：①当时，； ②当时，； ③当时，； 故答案为：；，； （2）解：函数的图象，如图所示： （3）解：从函数图象得到： ①函数图象与轴有2个交点，方程有2个解； ②方程有1个解； ③若关于的方程无解，则的取值范围是． 故答案为：2，2；1；. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 一次函数 章节（13知识点回顾+36题型巩固） 目录 知识梳理 1.函数的定义 2.函数的三种表示方法 3.函数的自变量与函数值 4.“均匀”变化现象 5.一次函数与正比例函数 6.根据情境列一次函数关系式 7.函数的图象 8.正比例函数的图象和性质 9.一次函数的图象和性质 10.确定一次函数表达式 11.建立一次函数的模型解实际应用题 12.一次函数与一元一次方程的关系 13.两个一次函数图象的应用 题型巩固 一、函数的概念 二、求自变量的取值范围 三、求自变量的值或函数值 四、函数解析式 五、函数图象识别 六、从函数的图象获取信息 七、动点问题的函数图象 八、正比例函数的定义 九、识别一次函数 十、根据一次函数的定义求参数 十一、求一次函数自变量或函数值 十二、列一次函数解析式并求值 十三、正比例函数的图象 十四、正比例函数的性质 十五、判断一次函数的图象 十六、根据一次函数解析式判断其经过的象限 十七、已知函数经过的象限求参数范围 十八、一次函数图象与坐标轴的交点问题 十九、用描点法画函数图象 二十、画一次函数图象 二十一、一次函数图象平移问题 二十二、一次函数图象与对称问题 二十三、判断一次函数的增减性 二十四、根据一次函数增减性求参数 二十五、根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 二十六、比较一次函数值的大小 二十七、一次函数的规律探究问题 二十八、分配方案问题(一次函数的实际应用) 二十九、最大利润问题(一次函数的实际应用) 三十、行程问题(一次函数的实际应用) 三十一、梯度计价问题 三十二、其他问题(一次函数的实际应用) 三十三、一次函数与几何综合 三十四、已知直线与坐标轴交点求方程的解 三十五、由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 三十六、利用图象法解一元一次方程 知识梳理 知识点1.函数的定义 函数：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量.例如y=2 x， y= 等， y 是 x 的函数 . 说明：(1)在函数中定义的两个变量x，y是有主次之分的，变量x的变化是主动的，称之为自变量，而变量y是随x的变化而变化的，是被动的，称之为因变量(即自变量的函数)； (2)函数不是数，函数的实质是两个变量的对应关系. 知识点2.函数的三种表示方法 1. 函数的三种表示方法 表示方法 定义 优点 缺点 列表法 通过列出自变量的值与对应函数值的表格表示函数关系的方法叫做列表法 一目了然，对表格中已有自变量的每一个值，可直接查出与它对应的函数值 列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数的变化规律 关系式法 用数学式子表示函数关系的方法叫做关系式法. 其中的等式叫做函数关系式 能准确地反映整个变化过程中自变量与函数值的对应关系 从函数关系式很难直观看出函数的变化规律，而且有些函数不能用关系式法表示出来 图象法 用图象表示两个变量间的函数关系的方法叫做图象法 直观、形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质 从自变量的值常常难以找到对应函数的准确值 2. 列函数关系式 根据实际问题列函数关系式的方法类似于列方程解应用题，只要找出自变量与函数值之间存在的等量关系，列出等式即可. 但要整理成用含自变量的代数式表示函数值的形式. 知识点3.函数的自变量与函数值 1. 函数自变量的取值范围：使函数有意义的自变量的取值的全体叫做函数的自变量的取值范围 . 2. 确定自变量的取值范围需要从两个方面考虑 (1)使函数表达式本身有意义； (2)实际问题中还需要使实际问题有意义 . 3. 常见函数自变量取值范围的确定 类型 特点 举例 自变量的取值范围 自变量在整式中 等号右边是整式 y=2x2－1 全体实数 自变量在分母中 等号右边的自变量在分母的位置上 使分母不为 0 的实数 自变量在二次根号下 等号右边是开平方的式子 使被开方数大于或等于 0 的实数 4. 函数值：对于自变量在可取值范围内的一个确定的值 a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于 a 时的函数值 . 知识点4.“均匀”变化现象 1. 生活中随处可见“均匀”变化的现象，比如汽车在道路上匀速行驶，意味着每隔一段相同的时间，汽车行驶的距离相同。所谓“均匀”变化是指：一个变量增加固定的数值时， 另一个变量的改变量是相同的。 2. 如果一个变量y 随另一个变量x 变化，那么将关系式 y =ax+b (式中a，b 为常数)，说成是y 随x 均匀变化，即y 关于x 的变化率为a，a 不变(变化率不变)。 知识点5.一次函数与正比例函数 1. 定义：若两个变量x，y间的对应关系可以表示成y＝kx＋b(k，b为常数，k ≠ 0)的形式，则称y是x的一次函数．特别地，当b＝0 时，称y是x的正比例函数. 例如： y=4 x+5 是一次函数， y=4 x 是正比例函数 . 2. 一次函数与正比例函数的关系 (1)正比例函数y＝kx(k 为常数， k ≠ 0)是一次函数y＝kx＋b(k， b 为常数， k ≠ 0)中b＝0的特例，即正比例函数都是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数. (2)若已知y与x成正比例，则可设函数关系式为y＝kx (k ≠ 0)；若已知y是x的一次函数，则可设函数关系式为y＝kx＋b(k，b是常数，k ≠ 0). 知识点6.根据情境列一次函数关系式 列一次函数关系式的步骤 (1)认真分析，理解题意； (2)同列方程解应用题的思路，找出等量关系； (3)写出一次函数的关系式； (4)注意自变量x的取值范围，对于实际问题，还要考虑自变量的取值要使实际问题有意义. 知识点7.函数的图象 1. 函数的图象：把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象. 横坐标 自变量 函数的 图象 组成的 图形 对应 描点 函数 纵坐标 函数值 2. 画函数图象的一般步骤 步骤 内容 注意 列表 列表给出一些自变量的值及其对应的函数值 根据自变量的取值范围取值时，要从小到大或自中间向两边选取，并且取值要有代表性，以便全面地反映函数图象的全貌 描点 以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出相应的各点 描点时取点越多，图象就越准确 连线 按照各点横坐标由小到大的顺序把这些点依次连接起来 要用平滑的线将所描的点顺次连接起来 知识点8.正比例函数的图象和性质 1.正比例函数的图象及其画法 图象 正比例函数 y=kx的图象是一条经过原点(0，0)的直线，我们称它为直线 y=kx 特别解读： 有些正比例函数的图象因其自变量取值范围的限制， 并不一定是一条直线， 可能是一条射线、 一条线段或一些点 画法 因为两点确定一条直线，所以可用两点法画正比例函数 y=kx 的图象 . 一般选(0，0)和(1， k)两点比较简便 特别解读：正比例函数 y=kx中， |k| 越大，直线与 x 轴相交所成的锐角越大，直线越陡； |k| 越小，直线与 x 轴相交所成的锐角越小，直线越缓 2.正比例函数的性质 类别 k>0 k<0 图象 续表 k>0 k<0 图象形状 过原点，从左向右是上升的直线(↗) 过原点，从左向右是下降的直线(↘) 经过的象限 第一、三象限 第二、四象限 增减性 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 知识点9.一次函数的图象和性质 1.一次函数的图象及其画法 图象 一次函数 y=kx+b的图象是一条直线，它与正比例函数y=kx 的图象相互平行，我们称它为直线 y=kx+b 画法 (1) 两点法： 由于两点确定一条直线，所以一般选取直线y=kx+b 与两坐标轴的交点，即(0， b)与(－ ，0 )画直线 (2) 平移法： 一次函数 y=kx+b的图象可以由正比例函数y=kx沿 y 轴向上( b>0)或向下( b<0)平移｜b｜个单位得到；反之，正比例函数y=kx的图象也可以通过沿y 轴平移一次函数y=kx+b 的图象得到 2.一次函数的图象和性质 一次函数y＝kx＋b的图象和性质与k，b 的符号间的关系： k，b 的符号 k>0 k<0 b>0 b<0 b＝0 b>0 b<0 b＝0 图象的 位置 续表 增减性 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 与y轴交点的位置 正半轴 负半轴 原点 正半轴 负半轴 原点 经过的 象限 第一、二、三象限 第一、三、四象限 第一、三象限 第一、二、四象限 第二、三、四象限 第二、四象限 3. 一次函数图象的平移规律 原直线表达式 平移方式 平移后的新直线表达式 简记 y＝kx＋b 向上平移n (n>0)个单位 y＝kx＋b＋n 上加下减 向下平移n (n>0)个单位 y＝kx＋b－n 向左平移n (n>0)个单位(拓展) y=k(x+n)+b 左加右减 向右平移n (n>0)个单位(拓展) y=k(x－n)+b 拓展：同一平面直角坐标系中两直线(：y =x+( ≠ 0)，:y =x+( ≠ 0) )的位置关系： ，，， 的关系 与的关系 ≠ 与相交 ≠ ，= 与 相交于y 轴上的同一点(0，)或(0，) =， ≠ 与平行 =，= 与重合 知识点10.确定一次函数表达式 1. 用待定系数法求一次函数表达式所需的条件 类型 函数表达式 待定系数 所需的条件 正比例函数 y=kx k 已知函数图象上一点(非原点)的坐标 一次函数 y=kx+b k， b 已知函数图象上两点的坐标 或与k，b 有关的具体条件等 2. 用待定系数法求函数表达式的一般步骤 示例：已知一次函数的图象过M(1，3)，N(0，12)两点，求该一次函数的表达式。 根据函数的图象设函数表达式的技巧 (1)若直线过原点，则所设函数表达式为y =kx(k ≠ 0)； (2)若直线不过原点，则所设函数表达式为y =kx+b(k ≠ 0)。 知识点11.建立一次函数的模型解实际应用题 利用一次函数的图象解决实际问题，关键是找到图象中两个变量之间的数量关系，把实际问题抽象、升华为一次函数模型，即建模，再利用一次函数的相关性质解决实际问题，常见类型如下： (1)题目中已知一次函数的关系式，可直接运用一次函数的性质求解； (2)题目中没有给出一次函数的关系式，而是通过语言、表格或图象给出一次函数的情境，这时需要先根据题目给出的信息求出一次函数的关系式，再利用一次函数的性质解决实际问题. 知识点12.一次函数与一元一次方程的关系 一次函数与一元一次方程的关系 从“数”的方面看：当一次函数y=kx+b的函数值为0 时， 相应的自变量的值就是方程kx+b=0 的解 从“形”的方面看：如图，一次函数y=kx+b的图象与x 轴交点的横坐标就是方程kx+b=0 的解 利用一次函数的图象解一元一次方程的步骤 (1)转化：将一元一次方程转化为一次函数； (2)画图象：画出一次函数的图象； (3)找交点：找出一次函数的图象与 x 轴的交点，交点的横坐标即为一元一次方程的解 知识点13.两个一次函数图象的应用 1. 在同一直角坐标系中，同时出现两个一次函数的图象，即两条直线，利用所给图象的位置关系、交点坐标、与x轴和y轴的交点坐标等读取其中所要表达的信息. 一般出现在比较产量、速度、资费等问题中，关键是要理解交点坐标的含义. 观察图象获取相关信息用表格表示如下： 看图象 获取信息 两个一次函数，当自变量的值为时，函数值都为或当函数值为时，自变量的值都为 当自变量的值x>时，函数值>，即对同一自变量x的值，图象在上面的函数值大 当自变量的值x<时，函数值<，即对同一自变量x的值，图象在下面的函数值小 2. 两个一次函数图象的应用 两个一次函数图象的交点表示两条直线的公共点，即点同时在两条直线上 几何意义 图象交点的含义 两个一次函数图象的交点满足两个函数表达式，即把交点的横、纵坐标分别代入两个表达式都成立 代数意义 不同的实际问题，横、纵坐标代表的量不同，交点表示的含义也不同 实际意义 题型巩固 题型一、函数的概念 1．（25-26八年级上·辽宁丹东·期中）下列各曲线中表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图中的每个图是由若干盆花组成的四边形图案，每条边（包括两个顶点）有盆花，每个图案中花盆的总数是，按此规律推断，是的函数吗？如果是，你能用一个数学式子表示吗？ 题型二、求自变量的取值范围 3．（2025八年级上·全国·专题练习）汽车油箱内有油，每行驶耗油，若不再加油，则行驶过程中油箱内剩余油量与行驶路程之间的函数关系式为 ，自变量的取值范围是 ． 题型三、求自变量的值或函数值 4．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）某地的气温与海拔高度之间的关系可以近似的用来表示，根据这个关系式，当海拔高度为时，此地的气温为 ． 题型四、函数解析式 5．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）一棵树现在高，每个月长高，个月后这棵树的高度为()，与之间的关系式为(    ) A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，长方形的四个顶点在互相平行的两条直线上，，当线段在平行线上向右匀速运动时，长方形的面积发生了变化． (1)在这个变化过程中，常量是______，变量是______． (2)若长方形的长为，则请用含x的式子表示长方形的面积 (3)当长方形的长从变到时，长方形的面积会怎么变化？ 题型五、函数图象识别 7．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）下列图象中，表示y是x的函数的是（    ） A．B． C． D． 题型六、从函数的图象获取信息 8．（25-26八年级上·全国·单元测试）甲，乙两人在直线跑道上同起点，同终点，同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒，在跑步过程中，甲，乙两人的距离（米）与乙出发的时间（秒）之间的关系如图所示，则的值为 ． 9．（25-26八年级上·云南昆明·期中）如图1，在长方形中，，为边中点．动点从点开始，以的速度沿路线运动，到点停止．图2是点出发秒后，的面积随时间变化的图象．根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)______； (2)当点在上运动时，求的面积为时的值； (3)如图3，当点从点出发时，动点同时以的速度从点出发，沿边运动，当点运动到点时，、两点停止运动．当为何值时，与全等，请直接写出的值． 题型七、动点问题的函数图象 10．（22-23八年级上·陕西榆林·期中）如图1，在矩形中，动点从点出发，沿方向运动至点处停止．设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图像如图2所示，则矩形的面积是（    ）    A．35 B．24 C．60 D．84 题型八、正比例函数的定义 11．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）下列函数关系式中，是的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 12．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）若函数是正比例函数，则的值是 ． 题型九、识别一次函数 13．（25-26八年级上·山东·阶段练习）在一次函数中，一次项系数和常数的值分别是（   ） A． B． C． D． 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）写出下题中与之间的关系式，并判断是否是的一次函数：在速度为的匀速运动中，路程与时间的关系． （2）已知一个长方形的长为，宽为，周长为，求与之间的关系式，并判断是否为的一次函数． 题型十、根据一次函数的定义求参数 15．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段练习）关于的函数是一次函数，则的值为 ． 16．（25-26八年级上·全国·课后作业）当为何值时，函数是一次函数． 题型十一、求一次函数自变量或函数值 17．（25-26八年级上·甘肃白银·期中）已知函数． (1)当为何值时，是的一次函数？ (2)若函数是一次函数，则为何值时，的值为3？ 题型十二、列一次函数解析式并求值 18．（24-25八年级上·福建宁德·期中）某电信公司手机的A套餐收费标准为：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费18元，另外，通话费按元/计；B套餐收费标准为：不收月租费，但通话费用按元/计． (1)写出两种套餐收费标准的每月应缴费用y（元）与通话时间x（）之间的关系； (2)若每月平均通话时间为，你选择哪种套餐？并说明理由． 题型十三、正比例函数的图象 19．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知函数经过点，则的值为（   ） A．6 B． C．3 D． 题型十四、正比例函数的性质 20．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个函数表达式； (2)判断点，点是否在这个函数图象上； (3)图象上的两点，如果，比较的大小． 题型十五、判断一次函数的图象 21．（25-26八年级上·全国·期末）关于一次函数的图象，正确的是（    ） A．B．C． D． 题型十六、根据一次函数解析式判断其经过的象限 22．（25-26八年级上·全国·期中）若，直线不经过第四象限，则直线一定不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型十七、已知函数经过的象限求参数范围 23．（25-26八年级上·广东深圳·阶段练习）已知一次函数的图象如图所示，则，的取值范围是（   ） A．， B．， C．， D．， 题型十八、一次函数图象与坐标轴的交点问题 24．（2025八年级上·全国·专题练习）已知y关于x的函数解析式为（m为常数）． (1)若y是x的正比例函数，求m的值； (2)若，求该函数图象与x轴的交点坐标． 题型十九、用描点法画函数图象 25．（2025八年级上·全国·专题练习）在学习一次函数时，我们经历了探究函数的图象与性质的过程，下面是小颖探究函数的图象与性质的过程，请结合学习函数的经验，将探究过程补充完整． 0 1 2 3 4 5 4 3 2 3 4    (1)列表，填空：_______； (2)根据（1）中结果，请在给出的平面直角坐标系中，描点并画出该函数的图象；根据函数图象可得，该函数的最小值为______； (3)若点在该函数的图象上，且，观察图象并写出，的大小关系：______； (4)观察函数的图象，请写出该函数的两条性质． 题型二十、画一次函数图象 26．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）已知一次函数（k，b是常数，）的图象如图所示，请你在平面直角坐标系中分别作一次函数的图象，并有必要的标注与文字说明． (1)； (2)； (3)． 题型二十一、一次函数图象平移问题 27．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期中）将直线向上平移2个单位长度，平移后直线的解析式为 ． 题型二十二、一次函数图象与对称问题 28．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段练习）将一次函数的图象以y轴为对称轴翻折，翻折后的图象函数表达式是 ． 题型二十三、判断一次函数的增减性 29．（25-26八年级上·安徽亳州·阶段练习）函数中，y 随x的增大而 ． 30．（23-24八年级·辽宁鞍山·阶段练习）在一次函数的学习中，我们经历了“画出函数的图象——根据图象研究函数的性质——运用函数的性质解决问题”的学习过程，结合上面的学习过程，解决下面的问题：对于函数． (1)列表：下表是列出的几组、的对应值； 0 1 2 3 4 2 1 0 0 1 a 表中___________； (2)据表中的数值，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出函数的图象； (3)性质探究： ①观察图象，当___________时，函数有最小值为___________； ②除了上述性质外，请你再写出一条该函数的性质． 题型二十四、根据一次函数增减性求参数 31．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知一次函数（为常数）．若随的增大而增大，则的取值范围是 ． 题型二十五、根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 32．（22-23八年级上·江苏淮安·期末）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图像与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整． (1)列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 1 0 a b 1 … 则_________， _________． (2)描点并画出该函数的图像； (3)①请写出一条关于函数的性质：__________________； ②观察函数图像，当时，x的取值范围是_________； ③观察图像，直接写出函数的最小值_________． 题型二十六、比较一次函数值的大小 33．（25-26八年级上·甘肃白银·期中）已知点，，都在直线上，且，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 34．（25-26八年级上·内蒙古包头·期中）若点，在一次函数的图像上，则 ．（填“>”“<”或“=”） 题型二十七、一次函数的规律探究问题 35．（25-26八年级上·山东青岛·期中）正方形，，，…，按如图所示的方式放置，点、、和点、、…分别在直线和轴上，则点的横坐标是 ． 题型二十八、分配方案问题(一次函数的实际应用) 36．（25-26八年级上·全国·随堂练习）周末，小丽和爸爸、妈妈一家三口去杨梅园游玩．已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克40元．为满足游客需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案： 甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的杨梅按原价的六折收费； 乙方案：游客进园不需要购买门票，采摘的杨梅质量在10千克以内按原价收费，超过10千克后，超过部分按原价的五折收费． 设采摘量为千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元． (1)当采摘量超过10千克时，分别求出，与之间的函数关系式； (2)当采摘多少千克时，两种方案的价格相同？ (3)若采摘量为30千克，选择哪种方案更划算？请说明理由． 题型二十九、最大利润问题(一次函数的实际应用) 37．（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·开学考试）某商店销售A，B两种商品，种商品的进价为每件20元，售价为每件30元；种商品的进价为每件35元，售价为每件50元．该商店计划购进A，B两种商品共100件，且购进的种商品不少于60件．设购进种商品件，销售完这100件商品的总利润为元． (1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)该商店如何进货才能使销售完这100件商品所获利润最大？最大利润是多少？ 题型三十、行程问题(一次函数的实际应用) 38．甲、乙两人从同一地点出发，沿同一方向跑步，速度分别为米/秒和米/秒，开始时甲先跑米后乙再追赶，则从乙出发开始追上甲这一过程中，甲、乙两人之间的距离（米）与甲跑步所用时间（秒）之间的函数关系式为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 题型三十一、梯度计价问题 39．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）为了保护资源节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”．计费方法如表： 每户每月用水量 水价 不超过 元 超过但不超过的部分 元 超过的部分 元 设每户每月用水量为，水费为元，当时，则关于的函数关系式为 ． 题型三十二、其他问题(一次函数的实际应用) 40．（25-26八年级上·河北张家口·期中）如图，一个楼梯有n个台阶，每个台阶宽30cm、高16cm．设这个楼梯的竖直高度为ycm，侧面宽度为xcm． (1)直接写出x与n之间的关系式； (2)直接写出y与n之间的关系式； (3)求y与x之间的关系式． 题型三十三、一次函数与几何综合 41．（25-26八年级上·辽宁·期中）例如：在平面直角坐标系中，点到x轴和y轴的距离相等，故是x轴和y轴的关联点．在平面直角坐标系中，直线 ：交x轴于点，交y轴于点A，点C为x轴上一个点； (1)直线经过点， ①______，若在直线上，则比较t与6的大小：t_____6； ②如图1，当点C坐标为时，点B恰好为的关联点，求直线的解析式； (2)若，D为中点，点P为线段上一点，且为x轴和y轴的关联点，将绕点P逆时针旋转至，求证:轴． 题型三十四、已知直线与坐标轴交点求方程的解 42．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，已知直线，则关于的方程的解是 ． 43．（25-26八年级上·山东枣庄·期中）已知一次函数， (1)为何值时，图象过原点． (2)已知随增大而增大，求的取值范围． (3)函数图象与轴交点在轴上方，求的取值范围． (4)图象过一、二、四象限，求的取值范围． 题型三十五、由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 44．（22-23八年级上·河南郑州·阶段练习）已知方程的解是，则函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 45．（24-25八年级·河北唐山·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求点A，B的坐标； (2)求的长及点O到直线l的距离； (3)将直线l向下平移20个单位长度得到直线，直接写出l与之间的距离． 题型三十六、利用图象法解一元一次方程 46．（24-25八年级上·河北保定·期中）一次函数的图象如图所示，则方程的解为（   ）． A． B． C． D． 47．（24-25八年级上·河南郑州·期中）请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题． (1)填空：①当时， ． ②当时， ． ③当时， ． (2)在平面直角坐标系中作出函数的图象 (3)进一步探究函数图象发现： ①函数图象与x轴有_____个交点，方程有____个解： ②方程有_____个解： ③若关于x的方程无解，则a的取值范围是 . 学科网（北京）股份有限公司 $