精品解析：安徽省马鞍山市和县部分学校2025-2026学年上学期八年级12月份绿色综合素养评价数学（沪科版）试题

2025~2026学年度第一学期八年级12月份绿色综合素养评价 数学试题 注意事项： 1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“答题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下面4组图形中，是全等图形的一组是（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 形如（k，b都是常数）的函数是一次函数 B. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 C. 直角三角形两锐角互余 D. 三角形的外角都大于它的任何一个内角 3. 在平面直角坐标系中， 轴，， 若点， 则点 B的坐标是（ ） A. ) B. C. 或 D. 或 4. 沙燕风筝是中国传统风筝的典型样式，被列入国家级非遗名录．在如图所示的“风筝”骨架图中，若，，则添加如下条件仍不能证明的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列长度的各组线段可以组成三角形的是（    ） A. 2，3，5 B. 5，7，4 C. 3，4，8 D. 3，3，6 6. 如图，在四边形中，，E为的中点，连接，，．若，，则的长为（ ） A. 11 B. 10 C. 5 D. 2 7. 如图，若相交于点E，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，称这样的三角形为格点三角形．那么图中与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是（　　） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 9. 如图所示，，点在轴正半轴上运动，点在轴负半轴上运动，且．若点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在长方形中，，E是边上一点，且，点P从点B出发，沿折线匀速运动，运动到点C停止．点P的运动速度为，运动时间为，的面积为，y与t的函数关系图象如图2所示，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 当时， 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 如果点在y轴上，那么点P的坐标为__________． 12. 如图，在中，，，若，，则_____． 13. 如图，中，，，点D在边上，交于点F，若，则的度数是 _________． 14. 如图，已知函数与轴交于，与交于B，C两点． （1）点的坐标是_______； （2）若一次函数与有交点，则的取值范围是______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 如图，．求证：． 16. 已知一个三角形两条边的长分别为5，2，设第三条边的长为． （1）的取值范围是 ． （2）若是奇数，求这个三角形的周长． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，，顶点A、C分别与顶点D、B对应，点E在边上，边与边相交于点F． （1）若，求线段的长； （2）若，求的度数 18. 如图，图1、图2均为由边长为1的小正方形组成的6×6的方格网络，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点之上． （1）在图1中，画出中边上的中线﹔ （2）在图2中，在小正方形的顶点上找到一点D，连接、，使以B、C、D为顶点的三角形与全等．（画出一种情况即可） 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，直线交轴和轴于点和点． （1）求点和点的坐标； （2）若点是直线上一点，，求点的坐标. 20. 如图，在四边形中，． （1）若，求证； （2）若E是的中点，，且，，求四边形的面积． 六、（本题满分12分） 21. 甲、乙两辆汽车同时从相距千米的，两地沿同一条公路相向而行（甲由A到B，乙由B到A），s（千米）表示汽车与A地的距离，t（分钟）表示汽车行驶的时间，如图，，分别表示两辆汽车的s与t的关系． （1）求，分别表示的两辆汽车的s与t（千米）的关系式； （2）行驶多长时间后，甲、乙两车相遇？ （3）行驶多长时间后，甲、乙两车相距千米？ 七、（本题满分12分） 22. 【问题探究】 （1）如图1，在中，，，为延长线上一点，点在边上，且，连接，． ①求证：； ②如图2，延长交于点，平分．求证：； 【拓展延伸】 （2）如图3，在中，，，，，垂足为，与相交于点．试探究线段与的数量关系，并说明理由． 八、（本题满分14分） 23. 综合与实践 如图1，在中，是的平分线，的延长线交外角的平分线于点． 【发现结论】 结论1：___________； 结论2：当图1中时，如图2所示，延长交于点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点．则与的数量关系是___________． 【应用结论】 （1）求证：； （2）在图2中连接，，延长交于点，补全图形，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期八年级12月份绿色综合素养评价 数学试题 注意事项： 1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“答题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下面4组图形中，是全等图形的一组是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等图形的概念，熟记全等图形的形状和大小都相同是解题的关键． 根据全等图形的概念，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、两个图形的大小不同，不是全等图形，不符合题意； B、两个图形的形状、大小都相同，是全等图形，符合题意； C、两个图形的形状不同，不是全等图形，不符合题意； D、两个图形的形状不同，不是全等图形，不符合题意； 故选：B． 2. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 形如（k，b都是常数）的函数是一次函数 B. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 C. 直角三角形两锐角互余 D. 三角形的外角都大于它的任何一个内角 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的定义、平行线的性质、直角三角形性质及三角形外角性质，根据一次函数的定义、平行线的性质、直角三角形性质及三角形外角性质需逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、当时，不是一次函数，是假命题，故本选项不符合题意； B、只有两条直线平行时，内错角才相等，是假命题，故本选项不符合题意； C、直角三角形两锐角之和为，则两锐角互余，是真命题，故本选项符合题意； D、三角形的外角不一定大于其相邻的内角，例如在直角三角形中，直角的外角与该内角相等，故该命题是假命题，不符合题意； 故选： C． 3. 在平面直角坐标系中， 轴，， 若点， 则点 B的坐标是（ ） A. ) B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查坐标与图形性质、两点的距离公式，熟记垂直于x轴(或平行于y轴)的直线上的点横坐标相等是解题关键． 根据题意可设，点B可能在点A的左侧，也可能在点A的右侧，利用两点间的距离公式列出方程求解即可． 【详解】轴，， 点A，B的横坐标相等，即点B的横坐标为， 设点， ， ， 解得∶或， 点 B的坐标是或， 故选：C． 4. 沙燕风筝是中国传统风筝的典型样式，被列入国家级非遗名录．在如图所示的“风筝”骨架图中，若，，则添加如下条件仍不能证明的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定条件，准确分析判断是解题的关键． 根据已知的条件，，加入选项中得条件判断即可； 【详解】解：，，， ，故选项不符合题意； ， ， ， ，，， ，故选项不符合题意； 当时，与，不能构成的判定条件，故符合条件； 当时，与，可以构成的判定条件，故不符合题意； 故选：． 5. 下列长度的各组线段可以组成三角形的是（    ） A. 2，3，5 B. 5，7，4 C. 3，4，8 D. 3，3，6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，根据三角形任意两边之和大于第三边逐项分析即可得解，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键． 【详解】解：A、，故2，3，5不能组成三角形，故不符合题意； B、，故5，7，4能组成三角形，故符合题意； C、，故3，4，8不能组成三角形，故不符合题意； D、，故3，3，6不能组成三角形，故不符合题意； 故选：B． 6. 如图，在四边形中，，E为的中点，连接，，．若，，则的长为（ ） A. 11 B. 10 C. 5 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，由“”可证，可得，，由线段垂直平分线的性质可得．难度适中，关键找出判定三角形等边的条件． 【详解】解：延长交的延长线于点F， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴， 故选：B 7. 如图，若相交于点E，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质、等边对等角、三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据全等三角形的性质得到，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 8. 如图，的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，称这样的三角形为格点三角形．那么图中与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是（　　） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理，按公共边的不同情况分类寻找全等格点三角形． 分别以、、为公共边，依据全等三角形判定条件，找出与全等的格点三角形，统计数量． 【详解】如图： 共7个点符合， 故选：C． 9. 如图所示，，点在轴正半轴上运动，点在轴负半轴上运动，且．若点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形，过点P作 轴于E，作轴于F，根据点P的坐标可得，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形性质得出，，然后求出，再写出点B的坐标即可． 【详解】解：过点P作轴于E，作轴于F，如图： ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点B的坐标为， 故选：D． 10. 如图1，在长方形中，，E是边上一点，且，点P从点B出发，沿折线匀速运动，运动到点C停止．点P的运动速度为，运动时间为，的面积为，y与t的函数关系图象如图2所示，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查动点问题的函数问题，先通过和计算出，根据计算a的值，b的值是除以速度加a的值，当时找到P点位置计算面积即可判断y值． 【详解】解：∵四边形为长方形， ∴，， A．当时点P运动到点E，此时，解得，则A正确，故本选项不符合题意； B．由，，得，结合点P的运动速度为，得，那么，则B正确，故本选项不符合题意； C．由，点P的运动速度为，得，则，C错误，故本选项符合题意； D．当时，，则D正确，故本选项不符合题意； 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 如果点在y轴上，那么点P的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据点在y轴上，横坐标为0，建立等式解答即可． 本题考查了点在y轴上的横坐标为0，熟练掌握坐标特点是解题的关键． 【详解】解：根据题意，点在y轴上， 故， 解得， 此时， 故答案为：． 12. 如图，在中，，，若，，则_____． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．证得后得到，再根据，，即可解决问题． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 13. 如图，中，，，点D在边上，交于点F，若，则的度数是 _________． 【答案】##108度 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质，熟练的利用全等三角形的性质解决问题是关键．由题意可得，进而可得，，据此即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 14. 如图，已知函数与轴交于，与交于B，C两点． （1）点的坐标是_______； （2）若一次函数与有交点，则的取值范围是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，求两直线的交点坐标，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）当时，，当时，，据此分别联立对应的直线解析式求解即可； （2）可推出直线经过定点，再分别求出直线恰好经过点A和点B时k的值即可得到答案． 【详解】解：（1）当时，，当时，， 联立，解得，则， 联立，解得，则， 故答案为：； （2）在中，当时，， ∴， ∵， ∴直线经过定点， 如图所示，当直线恰好经过点A时，则，解得， 当直线恰好经过点B时，则，解得， ∴当时，一次函数与有交点， 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 如图，．求证：． 【答案】 证明：， ， ， 在和中， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据全等三角形判定定理即可证明． 【详解】略 16. 已知一个三角形两条边的长分别为5，2，设第三条边的长为． （1）的取值范围是 ． （2）若是奇数，求这个三角形的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系． （1）从边的方面考查三角形形成的条件∶任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，利用三角形三边关系定理，可确定第三边的范围； （2）根据第三边的范围，进而就可以求出第三边的长，可求这个三角形的周长． 【小问1详解】 解∶ 三角形两条边的长分别为5，2， 根据三角形的三边关系知，，即． 【小问2详解】 解：由（1）可知，当是奇数， 则x为整数，为5． 这个三角形的周长为． 答：这个三角形的周长为． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，，顶点A、C分别与顶点D、B对应，点E在边上，边与边相交于点F． （1）若，求线段的长； （2）若，求的度数 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键． （1）由全等三角形的性质可得，再由进行计算即可得到答案； （2）由全等三角形的性质可得，再由三角形内角和定理可得，最后由进行计算即可． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ． 18. 如图，图1、图2均为由边长为1的小正方形组成的6×6的方格网络，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点之上． （1）在图1中，画出中边上的中线﹔ （2）在图2中，在小正方形的顶点上找到一点D，连接、，使以B、C、D为顶点的三角形与全等．（画出一种情况即可） 【答案】（1） 如图， （2） 如图，选D或或即可． 【解析】 【分析】本题主要考查基本作图，涉及利用三角形面积取直线的中点和全等三角形的性质， 根据网格的特点和三角形面积公式即可知，连接即可； 利用网格的特点即可得与和长相等的线段、，结合全等三角形的性质即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，直线交轴和轴于点和点． （1）求点和点的坐标； （2）若点是直线上一点，，求点的坐标. 【答案】（1）， （2）点的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）分别令，，即可得出、的坐标； （2）先求出，从而得出，设点的坐标为，则，求出的值即可得解． 【小问1详解】 解：在中，当时，， 当时，， 解得：， ，； 【小问2详解】 解：由（1）可得，， ，， ， ， ， 设点的坐标为， ，即， 解得：或， 当时，，即， 当时，，即， 综上所述：点的坐标为或． 20. 如图，在四边形中，． （1）若，求证； （2）若E是的中点，，且，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：如图，延长，相交于点G， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即． （2）20 【解析】 【分析】（1）延长，相交于点G，由，得，由，得，，所以，证出，进一步得到结论． （2）延长交的延长线于F，证明，得到，即可求出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：延长交的延长线于F， ∵， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，合理添加辅助线，对所求问题进行转化是解题的关键． 六、（本题满分12分） 21. 甲、乙两辆汽车同时从相距千米的，两地沿同一条公路相向而行（甲由A到B，乙由B到A），s（千米）表示汽车与A地的距离，t（分钟）表示汽车行驶的时间，如图，，分别表示两辆汽车的s与t的关系． （1）求，分别表示的两辆汽车的s与t（千米）的关系式； （2）行驶多长时间后，甲、乙两车相遇？ （3）行驶多长时间后，甲、乙两车相距千米？ 【答案】（1）； （2）行驶分钟，甲、乙两车相遇 （3）行驶分钟或分钟时间后，甲、乙两车相距千米 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的实际运用和读图能力．从图象中获得所需的信息是需要掌握的基本能力，还要会熟练地运用待定系数法求函数解析式，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）根据待定系数法去求解函数解析式，然后即可求解； （2）由题意时，，然后即可求解； （3）设经过x分钟，两车相距千米，得到或，然后即可求解； 【小问1详解】 解：由图可得点， 在上， 为，把点， 代入得：， 解得：，， ， 由图可得，点在上， 设为， 把点代入得， ， ∴， ； 【小问2详解】 解：由题意时，， ， 行驶分钟，甲、乙两车相遇； 【小问3详解】 解：由题意， 设经过x分钟，两车相距千米， 或， 或； 即行驶分钟或分钟时间后，甲、乙两车相距千米； 七、（本题满分12分） 22. 【问题探究】 （1）如图1，在中，，，为延长线上一点，点在边上，且，连接，． ①求证：； ②如图2，延长交于点，平分．求证：； 【拓展延伸】 （2）如图3，在中，，，，，垂足为，与相交于点．试探究线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】 （1）①证明：， ， 在△与△中， ， ， ； ②证明：由①知，， ， ，， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：， 理由：作于点，交的延长线于， ，， ， ， ，， 又， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）①根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；②由①知，，根据全等三角形的性质得到，求得，根据角平分线的定义得到，根据全等三角形的性质得到，于是得到； （2）作于点，交的延长线于，分别证明、，根据全等三角形的性质证明即可． 【详解】（1）①略 ②略 （2）略 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质、角平分线的定义，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 八、（本题满分14分） 23. 综合与实践 如图1，在中，是的平分线，的延长线交外角的平分线于点． 【发现结论】 结论1：___________； 结论2：当图1中时，如图2所示，延长交于点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点．则与的数量关系是___________． 【应用结论】 （1）求证：； （2）在图2中连接，，延长交于点，补全图形，求证：． 【答案】【发现结论】结论1：；结论2：相等（或）； 【应用结论】 （1）证明：∵过点作的垂线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵由结论2得：， ∴在和中， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接，，延长交于点， ∵过点作的垂线交于点， ∴， ∵由结论2得：，由（1）过程得：， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形外角的性质、等边对等角、等角对等边、勾股定理等知识，熟练掌握知识点推理证明是解题的关键． [发现结论]结论1：根据角平分线的定义、三角形外角的性质，推出， ，即可得出； 结论2：根据已知，和结论1 ，得出，根据角平分线的定义得出，进一步推出，利用证明，即可得出； [应用结论]（1）根据过点作的垂线交于点，得出，推出，结合结论2： ，利用证明，即可证明； （2）连接，，延长交于点，根据垂线的定义得出，由结论2得：，由（1）过程得：，根据等边对等角、勾股定理、全等三角形的性质，推出，，，根据对顶角相等得出 ，推出，进一步得出，，根据等角对等边得出，，即可证明． 【详解】解：[发现结论]结论1： ∵是的平分线，的延长线交外角的平分线于点， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； 结论2： ∵，由结论1得， ∴， ∵是的平分线，过点作的垂线交于点， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：相等（或）； [应用结论]（1）略 （2）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $