精品解析：山东省聊城市冠县桑阿镇中学2025-2026学年九年级上学期数学第二阶段性检测（12月份）

九年级数学上学期第二次月考 一、单选题（本大题共10小题，共30分） 1. 如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，与是位似图形，点为位似中心，已知的周长为1，则的周长为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 3. 已知中，，，则的形状（　　） A. 一定是锐角三角形 B. 一定是直角三角形 C. 一定是钝角三角形 D. 无法确定 4. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点均在格点上，连接，，则的值是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分．如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且，．则的半径为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，、分别与相切于、两点，点在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 把方程化为的形式，则的值是（    ） A. 7 B. 3 C. D. 6 8. 天猫某店铺第2季度的总销售额为331万元，其中4月份的销售额是100万元，设5，6月份的平均月增长率为x，则可列方程为（ ） A. 100（1＋x）2＝331 B. 100＋100（1＋x）2＝331 C. 100＋100（1＋x）＋100（1＋x）2＝331 D. 100＋100x＋100（1＋x）2＝331 9. 若，则函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=(x＞0)的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N两点．△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是( ) A. B. 10 C. D. 二、填空题（本大题共5小题，共15分） 11. 函数中，自变量x的取值范围是_______． 12. 关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为______． 13. 若函数是反比例函数，则的值为____． 14. 如图①是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点，则花窗的面积为______．（结果保留） 15. 如图，在锐角中，，，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D运动的速度为1cm/s，点E运动的速度为2cm/s，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与相似时的运动时间为_____秒． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）解下列一元二次方程： ①（请用配方法）； ②． 17. 如图，在矩形中，分别是的中点，连接，若． （1）求证：； （2）若，求的长． 18. 如图，一艘轮船在海面上航行，准备要停靠到码头，当轮船航行到处时，测得码头在北偏东方向上，此时收到北偏东方向处的一发生故障渔船的求助信号，这艘轮船调整航向，沿着方向继续航行海里到达处对渔船进行了救助，又沿着南偏东方向航行到达码头． （1）求的度数； （2）求轮船从处到码头距离．（结果精确到海里．参考数据：，，，） 19. 如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，，平分交于点，连结． （1）求证：是的切线； （2）当时，求的长． 20. 关于x的方程． （1）求证：不论m取何值，方程总有两个实数根； （2）若方程有两个相等的实数根，请求出m的值并求此时方程的根． 21. 得天独厚的地理环境和自然条件使定西成为中国马铃薯最佳适种区之一，目前，定西已成为全国马铃薯三大主产区之一和全国最大的种薯繁育基地．如图，一农户要建一个矩形的马铃薯基地，基地的一边利用长为的墙，另外三边用长的建筑材料围成，为方便进出，在平行于墙的一边留一个宽的门，若矩形基地的面积为，求该基地的长和宽． 22. 小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图像，并把矩形直尺放在上面，如图． 请根据图中信息，求： （1）反比例函数表达式； （2）点C坐标． 23. 某种糖质工艺品制作材料从加热到自然降温的过程中，温度与时间的函数图象如图所示，其中加热阶段为一条线段，且该材料从加热到需要；自然降温阶段可以看成某反比例函数图象的一部分． （1）求材料加热到的时间． （2）求材料自然降温时，关于的函数表达式． （3）已知该工艺品操作时温度需保持在（包括，），为节约能源，工厂设计了两种方案（见表格）．仅从工作时间和加热成本考虑，设一天工作小时（包括加热升温阶段时间），请通过计算说明，哪一种方案更节约成本？ 方案 恒温工作 间歇加热工作 过程 ①从加热到； ②保持进行加工． ①从加热到； ②自然降温到； ③再次加热到； 循环②③两个阶段． 加热成本 加热升温阶段每分钟需花费元；恒温阶段每分钟需花费元．（注：自然降温阶段不产生成本） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学上学期第二次月考 一、单选题（本大题共10小题，共30分） 1. 如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．先根据得出，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：， ， A、 ，故本选项不符合题意； B、，与的大小无法判定， 无法判定，故本选项符合题意； C、， ，故本选项不符合题意； D、， ，故本选项不符合题意； 故选：B． 2. 如图，与是位似图形，点为位似中心，已知的周长为1，则的周长为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质；根据题意求出位似比，然后根据位似图形的周长比等于相似比可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 又∵与是位似图形， ∴与的周长为， ∴的周长为， 故选：B． 3. 已知中，，，则的形状（　　） A. 一定是锐角三角形 B. 一定是直角三角形 C. 一定是钝角三角形 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由三角函数值求锐角、三角形的内角和，根据特殊角的三角函数值得、，再利用三角形的内角和即可求解，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：由，得， ，得， ， 故是钝角三角形， 故选：C． 4. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点均在格点上，连接，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了网格与勾股定理，锐角三角函数的计算，合理构造直角三角形是关键． 如图所示，在线段上取格点，得到是正方形方格的对角线，，由勾股定理得到，根据余弦值的计算即可求解． 【详解】解：如图所示，在线段上取格点， 根据网格格点得到，是正方形方格的对角线， ∴， 根据网格得到，， ∴， 故选：D ． 5. 如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分．如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且，．则的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，掌握垂径定理成为解题的关键． 由根据垂径定理可得，则，在中，有，然后求解即可解答． 【详解】解：如图：连接, ∵M是中弦的中点， ∴， 又∵， ∴， 设圆的半径是x米，， 在中，有， 即：，解得： ， 所以圆的半径长是． 故选：B． 6. 如图，、分别与相切于、两点，点在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了四边形内角和定理、切线的性质、圆周角定理．首先连接、，根据切线的性质可知，根据四边形内角和定理可以求出，根据点在圆上的位置，求的度数． 【详解】解：连接、， ∵、分别与相切于、两点， ∴， 又∵， ∴ 当在劣弧上时 当在优弧上时 故选A.． 7. 把方程化为的形式，则的值是（    ） A. 7 B. 3 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程．根据一移，二配，三变形的方法，进行配方后，求出的值，即可．掌握配方法的步骤是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ∴， ∴， ∴． 故选B． 8. 天猫某店铺第2季度的总销售额为331万元，其中4月份的销售额是100万元，设5，6月份的平均月增长率为x，则可列方程为（ ） A. 100（1＋x）2＝331 B. 100＋100（1＋x）2＝331 C. 100＋100（1＋x）＋100（1＋x）2＝331 D. 100＋100x＋100（1＋x）2＝331 【答案】C 【解析】 【分析】设5，6月份的平均月增长率为x，则5月、5月的销售额分别为100（1＋x）和100（1＋x）2，最后根据第2季度的总销售额为331万元即可列出方程． 【详解】解：设5，6月份的平均月增长率为x，则5月、6月的销售额分别为100（1＋x）和100（1＋x）2 则根据题意有：100＋100（1＋x）＋100（1＋x）2＝331． 故答案为C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用-增长率问题，根据题意表示出5、6两月的销售额是解答本题的关键． 9. 若，则函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与反比例函数图象综合，根据题意可得，再根据一次函数和反比例函数经过的象限分别求出对应选项中的符号，看是否一致即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴； A、反比例函数图象经过第一、三象限，则，一次函数经过第二、三、四象限，则，不符合题意； B、反比例函数图象经过第一、三象限，则，一次函数经过第一、二、四象限，则，符合题意； C、反比例函数图象经过第二、四象限，则，一次函数经过第一、二、四象限，则，不符合题意； D、反比例函数图象经过第二、四象限，则，一次函数经过第一、二、三象限，则，不符合题意； 故选：B． 10. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=(x＞0)的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N两点．△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是( ) A. B. 10 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵正方形OABC的边长是6，∴点M的横坐标和点N的纵坐标为6，∴M（6，），N（，6），∴BN=6﹣，BM=6﹣．∵△OMN的面积为10，∴6×6﹣×6×﹣×6×﹣×=10，∴k=24，∴M（6，4），N（4，6）．作M关于x轴的对称点M′，连接NM′交x轴于P，则NM′的长=PM+PN的最小值．∵AM=AM′=4，∴BM′=10，BN=2，∴NM′= = =．故选C． 二、填空题（本大题共5小题，共15分） 11. 函数中，自变量x的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件． 【详解】要使在实数范围内有意义， 必须且． 故答案为x≥-1且x≠2 【点睛】本题考查了1．函数自变量的取值范围；2．二次根式和分式有意义的条件． 12. 关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，一元二次方程的定义，把，代入方程，结合一元二次方程的二次项系数不为0，进行求解即可. 【详解】解：把，代入方程，得：， 解得：， ∵， ∴； 故答案为： 13. 若函数是反比例函数，则的值为____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的定义：形如(为常数，)的函数就叫做反比例函数，解题的关键是掌握反比例函数的定义． 根据反比例函数的定义列出关于方程或不等式，求解即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， 且， 解得：， ∴的值为2． 故答案为：2． 14. 如图①是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点，则花窗的面积为______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积，正确表示花窗的面积是解题的关键；根据花窗的面积为求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵点C，D分别是的中点， ， ， ∴花窗的面积为， 故答案为：． 15. 如图，在锐角中，，，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D运动的速度为1cm/s，点E运动的速度为2cm/s，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与相似时的运动时间为_____秒． 【答案】3或4.8 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题关键是应用分类讨论的思想方法．本题先设运动t秒，再分两种情况，与，利用其性质列出方程即可求解． 【详解】解：设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与相似， 则． ①当点D与点B对应时，有． ∴， ∴， ∴； ②当点D与点C对应时，有． ∴， ∴， ∴． 所以当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是3秒或秒． 故答案为：3或． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）解下列一元二次方程： ①（请用配方法）； ②． 【答案】（1）；（2）①，；②， 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，解一元二次方程，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义，绝对值的意义，负整数幂运算法则，特殊角的三角函数值进行计算即可； （2）①用配方法解一元二次方程即可； ②用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：（1） ； （2）①， 移项得， 配方得，即， ∴， ∴，； ②， ∴，，， ∴， ∴， ∴，． 17. 如图，在矩形中，分别是的中点，连接，若． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（）由矩形的性质可得，利用余角性质得，进而由相似三角形的判定即可求证； （）由相似三角形的性质可得，进而可得，即得，据此即可求解； 本题考查了矩形的性质，余角性质，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（）得， ∴， ∵分别是的中点，且， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 18. 如图，一艘轮船在海面上航行，准备要停靠到码头，当轮船航行到处时，测得码头在北偏东方向上，此时收到北偏东方向处的一发生故障渔船的求助信号，这艘轮船调整航向，沿着方向继续航行海里到达处对渔船进行了救助，又沿着南偏东方向航行到达码头． （1）求的度数； （2）求轮船从处到码头距离．（结果精确到海里．参考数据：，，，） 【答案】（1） （2）轮船从处到码头距离约为海里 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题、平行线的性质、三角形的内角和等知识点，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）如图，过点作，交于点，先求解，，再利用三角形的内角和定理可得答案； （2）如图，过点作于，在中，求出，然后在中，求出，进而即可求解的长． 【小问1详解】 解：如图，过点作，交于点， 则， ， ， ， ； 【小问2详解】 如图，过点作于， 在中，，， ， ， 在中，， ， （海里）， 答：轮船从处到码头距离约为海里． 19. 如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，，平分交于点，连结． （1）求证：是的切线； （2）当时，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据相似三角形的判定和性质定理得到，求得，连接，根据角平分线的定义得到，求得，得到，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ， ， 连接， 平分， ， ， ， 是的直径， ， ． 20. 关于x的方程． （1）求证：不论m取何值，方程总有两个实数根； （2）若方程有两个相等的实数根，请求出m的值并求此时方程的根． 【答案】（1） 证明：， ∵无论m取何值时，恒大于或等于0， ∴原方程总有两个实数根； （2）， 【解析】 【分析】(1)根据一元二次方程根的判别式，即可证得； (2)首先根据一元二次方程根的判别式，即可求得m的值，再解方程，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵原方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， 将代入原方程得， 得， 解得， ∴原方程的根为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及解法，熟练掌握和运用一元二次方程根的判别式及解法是解决本题的关键． 21. 得天独厚的地理环境和自然条件使定西成为中国马铃薯最佳适种区之一，目前，定西已成为全国马铃薯三大主产区之一和全国最大的种薯繁育基地．如图，一农户要建一个矩形的马铃薯基地，基地的一边利用长为的墙，另外三边用长的建筑材料围成，为方便进出，在平行于墙的一边留一个宽的门，若矩形基地的面积为，求该基地的长和宽． 【答案】该基地的长为，宽为 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；设该基地的宽为，则长为，然后可得方程，进而求解即可． 【详解】解：设该基地的宽为，则长为，由题意得： 整理得：， 解得：， ∵， ∴， ∴，则； 答：该基地的长为，宽为． 22. 小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图像，并把矩形直尺放在上面，如图． 请根据图中信息，求： （1）反比例函数表达式； （2）点C坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数、锐角三角函数： （1）设反比例函数表达式为，将点A的坐标代入表达式求出k值即可； （2）设点C的坐标为，则，，根据平行线的性质得，进而根据求出m的值即可． 【小问1详解】 解：由图可知点A的坐标为， 设反比例函数表达式为， 将代入，得：，解得， 因此反比例函数表达式为； 【小问2详解】 解：如图，作轴于点E，轴于点D， 由图可得，， 设点C的坐标为，则，， ， 矩形直尺对边平行， ， ， ，即， 解得或， 点C在第二象限， ，， 点C坐标为． 23. 某种糖质工艺品制作材料从加热到自然降温的过程中，温度与时间的函数图象如图所示，其中加热阶段为一条线段，且该材料从加热到需要；自然降温阶段可以看成某反比例函数图象的一部分． （1）求材料加热到的时间． （2）求材料自然降温时，关于的函数表达式． （3）已知该工艺品操作时温度需保持在（包括，），为节约能源，工厂设计了两种方案（见表格）．仅从工作时间和加热成本考虑，设一天工作小时（包括加热升温阶段时间），请通过计算说明，哪一种方案更节约成本？ 方案 恒温工作 间歇加热工作 过程 ①从加热到； ②保持进行加工． ①从加热到； ②自然降温到； ③再次加热到； 循环②③两个阶段． 加热成本 加热升温阶段每分钟需花费元；恒温阶段每分钟需花费元．（注：自然降温阶段不产生成本） 【答案】（1）20分钟 （2） （3） 由题意可知，加热时长为分钟． 恒温阶段（分钟）， 费用为：（元）， 间歇加热工作：对于，令，得， 除第一次加热到需要分钟，后续加热到，自然降温到一轮需要分钟，一天小时中，加热时间为（分钟）， 费用为：（元）， ∵， ∴仅从可工作时间和加热成本考虑，间歇加热工作更节约成本． 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数与一次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法求出解析式，然后把时代入即可求解； （）利用待定系数法即可求解； （）根据反比例函数与一次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：由图可知加热时，关于的函数为一次函数， ∴可设解析式为， 将点，代入，得 ，解得， ∴关于的函数解析式为， 当时，，解得， ∴第一次加热到时间为分钟； 【小问2详解】 解：由题意可设加热后关于的表达式为， 将代入，得， ∴关于的表达式为； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $