1.3平行线 讲义 2025--2026学年浙教版七年级数学下册

本初中数学讲义聚焦“平行线”核心知识点，系统梳理同一平面内直线相交与平行的位置关系，明确平行线定义及“过直线外一点有且只有一条直线平行”的基本事实，通过“一贴二靠三推四画”的作图方法搭建从概念到操作的学习支架。 资料以分层例题与训练为特色，从基础辨析（如判断平行线说法）到实际应用（如城市公路规划作图），强化几何直观与空间观念，通过作图步骤概括与符号表达发展推理意识和数学语言能力。课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

数学七年级下册第1章相交线与平行线 1.3平行线 【知识重点】 1．在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交与平行． 2．平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．“平行”用符号“∥”表示． 3．平行线的基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 4．用三角尺和直尺画平行线的方法：一贴，二靠，三推，四画．(注意：作图题要写结论) 【经典例题】 例题1、下列说法正确的是（　　） A．在同一平面内，没有公共点的两条线段是平行线 B．在同一平面内，不重合的两条直线是平行线 C．在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线 D．不相交的两条直线是平行线 例题2、如图，已知直线l和直线外一点P。用三角尺和直尺画四条和直线l平行的直线，并要求其中有直线经过点P。 例题3、用符号“∥”表示图中平行四边形的两组分别平行的对边。 例题4、如图，用三角尺和直尺画直线b与已知直线a平行。请你按图示方法画一画。你能概括出这种画法的基本步骤吗? 例题5、如图，点P是∠ABC内一点.（以下作图工具不限） （1）过点P画直线l平行于BC； （2）过点P画直线PQ垂直AB，垂足为Q； （3）量出点P到AB的距离. （精确到 0.1cm） 例题6、如图，点M，N代表两个城市，MA，MB是两条公路。现规划建造两条经N市的公路，这两条公路分别与MA，MB平行，并在与MB，MA的交会处分别建一座立交桥。请在图中画出规划建造的两条公路及立交桥的位置。 例题7、找出图中各对互相平行的直线，并用符号“∥”把它们表示出来。 例题8、如图，在三角形ABC中，P是AC边上一点。过点P分别画AB，BC的平行线。 【基础训练】 1．过一点画已知直线的平行线（　　） A．有且只有一条 B．不存在 C．有两条 D．不存在或有且只有一条 2．下列说法中不正确的有（　　） ①过任意一点可作已知直线的一条平行线 ②同一平面内两条不相交的直线是平行线 ③过已知直线外一点只能画一条直线与已知直线平行 ④平行于同一直线的两直线平行． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．如图，过点 画直线 的平行线，能画　 　条，依据是：　 　. 4．如图， 在长方体 中， 与 平行的棱是　 　 5．直线l的同侧有A，B，C三点，如果A，B两点确定的直线l1与B，C两点确定的直线l2都与l平行，那么A，B，C三点在同一条直线上，理由是　 　 6．下列各图中的直线，用推三角尺的方法验证，其中的有　 　（填序号）． 7．如图， 观察长方体 ， 用符号“∥”或“ ”填空： （1） 　 　． （2） 　 　EH． （3） 　 　． （4） 　 　． 8．如图，P是∠ABC内一点，点Q在AB上。 （1）过点P画一条直线a平行于BC； （2）过点Q画一条直线b平行于BC。 9．已知直线l(如图)，任意画两条直线，使它们都和直线l平行。 10．如图， 是 内的一点. 按下列要求画图， 并回答问题. （1） 过点 画直线 ， 交直线 于点 . （2） 过点 画直线 ， 交直线 于点 . （3） 分别量出 的度数， 你有什么发现？ 【培优训练】 11．如图，在4×6的正方形网格中，点A，B，C，D，E，F都在格点上，连接C，D，E，F中任意两点得到的所有线段中，与线段AB平行的线段是　 　 12．观察如图所示的长方体，填空． （1）用符(号(“∥”或“⊥")表示下列两条棱的位置关系： A1B1　 　AB，A1A　 　AB， A1D1　 　CD，AD　 　BC； （2）A1B1与BC所在的直线是两条不相交的直线，它们　 　(填“是”或“不是”)平行线， 由此可知，在　 　内，两条不相交的直线才能叫做平行线． 13．如图，直线CD与直线AB相交于C，解答下列问题. （1）过点P画PQ∥CD，交AB于点Q； （2）过点P画PR⊥CD，垂足为R，连接PC，判断PC与PR的大小，并说明理由 14．按下列要求画图并填空． 如图，P是的边上一点， （1）过点P作射线的垂线，垂足为H； （2）过点P作射线的垂线，交于点C； （3）过点P作直线 （点D在点P的右侧）； （4）与的数量关系是_________． （5）线段，，这三条线段大小关系是________（用“”号连接），依据是________． 15．如图，在 的正方形网格中， 点 ， 都在格点上， 连结点 得到线段 ． （1） 连结 中的任意两点， 共可得到 条线段，在图中画出来； （2） 在 (1) 中所连得的线段中， 与 平行的线段是　 　 （3） 用三角尺或量角器度量、检验， 及 (1)中所连得的线段中， 互相垂直的线段有几对？（用“⊥”表示出来） 16．如图，在正方形网格中，点A，B，C，D，E，F，G，H，M，N均为网格线的交点，请按要求作图，作图过程仅使用无刻度的直尺，保留作图痕迹，无需说明理由． （1）如图1，在线段上找点，连结，使平分的面积； （2）如图2，在线段上找点，连结，使； （3）如图3，在直线上求作点，使得． 【期末常考】 17．下列说法中，正确的个数有（　　）个 （1）两点之间的所有连线中，线段最短； （2）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （3）同一平面内，两直线的位置关系是相交、平行和垂直 （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短； （5）直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【课后作业】 1．经过直线外一点，能画几条直线与这条直线平行（ ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 2．在同一个平面内的直线a，b，c，若，，则b与c的关系是（　　） A．平行 B．垂直 C．相交 D．不能确定 3．下列语句正确的有（　　）个 ①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行； ②过一点有且只有一条直线和已知直线平行； ③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④若直线， ，则． A．4 B．3 C．2 D．1 4．下列说法错误的是（　　） A．对顶角相等 B．平行于同一条直线的两直线平行 C．相等的角是对顶角 D．等角的余角相等 5．如图， 已知 ， 则点 在同一条直线上. 理由是　 　. 6．已知a， b是在同一个平面内的两条直线，根据以下的条件写出a， b的位置关系： （1）若a，b没有交点，则　 　 （2）若a，b都平行于直线c，则　 　 （3）若a，b有且仅有一个公共点，则　 　 （4）若a∥c，b∥d，且直线c与直线d不平行，则　 　 7．两条直线相交，交点的个数是　 　 ，两条直线平行，交点的个数是　 　 ． 8．在如图的网格纸中，AB∥　 　，AB⊥　 　. 9．如图， 过点 作直线 ， 过点 作直线 ． 10．如图， 是 边上一点， 按下列要求作图， 并回答问题： （1） 过点 画直线 ， 垂足为 ； （2） 过点 画直线 ， 交 于点 ； （3） 过点 画直线 ， 交 于点 ； （4） 过点 画直线 ， 猜想 与 有什么位置关系？ www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学七年级下册第1章相交线与平行线 1.3平行线 【知识重点】 1．在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交与平行． 2．平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．“平行”用符号“∥”表示． 3．平行线的基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 4．用三角尺和直尺画平行线的方法：一贴，二靠，三推，四画．(注意：作图题要写结论) 【经典例题】 例题1、下列说法正确的是（　　） A．在同一平面内，没有公共点的两条线段是平行线 B．在同一平面内，不重合的两条直线是平行线 C．在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线 D．不相交的两条直线是平行线 【答案】C 【解析】在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线，故A错误，不符合题意； 同一平面内，不相交的两条直线是平行线，故B错误，不符合题意； 同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线，故C正确，符合题意； 同一平面内，不相交的两条直线是平行线，故D错误，不符合题意； 故选：C． 例题2、如图，已知直线l和直线外一点P。用三角尺和直尺画四条和直线l平行的直线，并要求其中有直线经过点P。 【答案】解：如图， . 例题3、用符号“∥”表示图中平行四边形的两组分别平行的对边。 【答案】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴. 例题4、如图，用三角尺和直尺画直线b与已知直线a平行。请你按图示方法画一画。你能概括出这种画法的基本步骤吗? 【答案】解：步骤如下：一、一、把三角尺的斜边和直线重合； 二、把直尺的一边与三角尺的较短的一条直角边重合； 三、固定直尺，把三角尺沿直尺的方向向上平移到一个位置； 四、沿三角尺的斜边画直线；则所画直线与已知直线平行. 例题5、如图，点P是∠ABC内一点.（以下作图工具不限） （1）过点P画直线l平行于BC； （2）过点P画直线PQ垂直AB，垂足为Q； （3）量出点P到AB的距离. （精确到 0.1cm） 【答案】（1）解：如图 （2）解：如图 （3）解：1.2cm（1.1cm~1.3cm 都可以） 【解析】（1）可以把三角尺的一边与BC重合，然后把直尺的一边与三角尺的一边重合，然后推动三角尺，使三角尺的一边经过点P画出直线即可. （2） 将三角尺的一条直角边与AB重合，滑动使三角尺的另外一条直角边经过点P，沿该直角边画直线，垂足为Q即可. （3） 用刻度尺测量PQ的长度，精确到0.1cm即可. 例题6、如图，点M，N代表两个城市，MA，MB是两条公路。现规划建造两条经N市的公路，这两条公路分别与MA，MB平行，并在与MB，MA的交会处分别建一座立交桥。请在图中画出规划建造的两条公路及立交桥的位置。 【答案】解： 如图，过点N分别作直线NP∥MA，交MB于点P；作直线NQ∥MB，交MA于点Q。NP，NQ分别为规划建造的两条经N市的公路，立交桥应分别建在P，Q处. 【解析】过点N分别作直线NP∥MA，交MB于点P；作直线NQ∥MB，交MA于点Q，则NP，NQ分别为规划建造的两条经N市的公路，立交桥应分别建在P，Q处. 例题7、找出图中各对互相平行的直线，并用符号“∥”把它们表示出来。 【答案】解：。 例题8、如图，在三角形ABC中，P是AC边上一点。过点P分别画AB，BC的平行线。 【答案】解：如图所示，，直线即为所求。 【基础训练】 1．过一点画已知直线的平行线（　　） A．有且只有一条 B．不存在 C．有两条 D．不存在或有且只有一条 【答案】D 【解析】若点在直线上，过这点不能画已知直线的平行线； 若点在直线外，根据平行公理，有且只有一条直线与已知直线平行． 故答案为：D． 2．下列说法中不正确的有（　　） ①过任意一点可作已知直线的一条平行线 ②同一平面内两条不相交的直线是平行线 ③过已知直线外一点只能画一条直线与已知直线平行 ④平行于同一直线的两直线平行． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 3．如图，过点 画直线 的平行线，能画　 　条，依据是：　 　. 【答案】1；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【解析】过点A画直线l的平行线，能画一条， 依据是经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行， 故答案为：1；经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 4．如图， 在长方体 中， 与 平行的棱是　 　 【答案】棱， 棱， 棱 【解析】【解答】 在长方体 中， 与 平行的棱是 棱， 棱， 棱. 5．直线l的同侧有A，B，C三点，如果A，B两点确定的直线l1与B，C两点确定的直线l2都与l平行，那么A，B，C三点在同一条直线上，理由是　 　 【答案】过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】根据平行公理“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”进行分析. 6．下列各图中的直线，用推三角尺的方法验证，其中的有　 　（填序号）． 【答案】①②③ 【解析】可判定三个图形中的有①②③， 故答案为：①②③． 【分析】将三角板的一条直角边靠在直线上，另一条直角边靠着直尺，固定直尺不动，推动三角板即，能与另一直角边重合，即可判断平行． 7．如图， 观察长方体 ， 用符号“∥”或“ ”填空： （1） 　 　． （2） 　 　EH． （3） 　 　． （4） 　 　． 【答案】（1）∥（2）∥（3）∥（4）⊥ 【解析】由长方形的特点和平行、垂直的定义可得AB∥EF，BC∥EH，BF∥CG，BC⊥CD 故答案为：∥；∥；∥；⊥. 【分析】根据长方形的特征和平行、垂直的定义逐一判断即可. 8．如图，P是∠ABC内一点，点Q在AB上。 （1）过点P画一条直线a平行于BC； （2）过点Q画一条直线b平行于BC。 【答案】（1）作法：①将三角尺的斜边与BC重合； ②将直尺与三角尺的一条直角边紧贴在一起； ③沿直尺平移三角尺至点，使点经过三角尺的斜边； ④沿着三角尺的斜边画一条直线，所画直线平行于BC，如图所示。 （2）同（1）的作法，可得直线b平行于BC，如（1）图所示。 9．已知直线l(如图)，任意画两条直线，使它们都和直线l平行。 【答案】解：如图中所画直线。 10．如图， 是 内的一点. 按下列要求画图， 并回答问题. （1） 过点 画直线 ， 交直线 于点 . （2） 过点 画直线 ， 交直线 于点 . （3） 分别量出 的度数， 你有什么发现？ 【答案】（1）解：如图：直线PD就是所求作的直线； （2）解：如图：直线PC就是所求作的直线； （3）解：， 发现：两直线平行，同位角相等. 【培优训练】 11．如图，在4×6的正方形网格中，点A，B，C，D，E，F都在格点上，连接C，D，E，F中任意两点得到的所有线段中，与线段AB平行的线段是　 　 【答案】FD 【解析】如图所示：只有FD所在直线与AB所在直线不相交，故与AB平行的线段是FD. 故答案为：FD 12．观察如图所示的长方体，填空． （1）用符(号(“∥”或“⊥")表示下列两条棱的位置关系： A1B1　 　AB，A1A　 　AB， A1D1　 　CD，AD　 　BC； （2）A1B1与BC所在的直线是两条不相交的直线，它们　 　(填“是”或“不是”)平行线， 由此可知，在　 　内，两条不相交的直线才能叫做平行线． 【答案】（1）∥；⊥；⊥；∥ （2）不是；同一个平面 【解析】（1）∵长方体， ∴ A1B1 ∥AB，A1A⊥AB，A1D1⊥CD，AD∥BC； 故答案为：∥，⊥，⊥，∥. （2）A1B1与BC所在的直线是两条不相交的直线，它们不是平行线， 由此可知，在同一个平面内内，两条不相交的直线才能叫做平行线. 故答案为：不是，同一个平面内. 13．如图，直线CD与直线AB相交于C，解答下列问题. （1）过点P画PQ∥CD，交AB于点Q； （2）过点P画PR⊥CD，垂足为R，连接PC，判断PC与PR的大小，并说明理由 【答案】解：（1）如图，PQ∥CD，交AB于点Q； （2）如图PR⊥CD， PC与PR的大小为：PC＞PR，理由是：垂线段最短． 14．按下列要求画图并填空． 如图，P是的边上一点， （1）过点P作射线的垂线，垂足为H； （2）过点P作射线的垂线，交于点C； （3）过点P作直线 （点D在点P的右侧）； （4）与的数量关系是_________． （5）线段，，这三条线段大小关系是________（用“”号连接），依据是________． 【答案】（1）解：如图，即为所求作的垂线； （2）解：如图，即为所求作的垂线； （3）解：如图，即为所求作的平行线； （4）互余 （5）；垂线段最短 【解析】（4）∵，， ∴， ∴， ∴与互余； 解：（5）线段，，这三条线段大小关系是，依据是垂线段最短． 15．如图，在 的正方形网格中， 点 ， 都在格点上， 连结点 得到线段 ． （1） 连结 中的任意两点， 共可得到 条线段，在图中画出来； （2） 在 (1) 中所连得的线段中， 与 平行的线段是　 　 （3） 用三角尺或量角器度量、检验， 及 (1)中所连得的线段中， 互相垂直的线段有几对？（用“⊥”表示出来） 【答案】（1）解：6，如图， （2）FD （3）， 【解析】（2）与AB平行的线段是FD. 故答案是FD. （3）互相垂直的线段为，. 故答案为，. 16．如图，在正方形网格中，点A，B，C，D，E，F，G，H，M，N均为网格线的交点，请按要求作图，作图过程仅使用无刻度的直尺，保留作图痕迹，无需说明理由． （1）如图1，在线段上找点，连结，使平分的面积； （2）如图2，在线段上找点，连结，使； （3）如图3，在直线上求作点，使得． 【答案】（1）解：如图：点O即为所求； （2）解：如图：点Q即为所求； （3）解：如图：点P即为所求； 【期末常考】 17．下列说法中，正确的个数有（　　）个 （1）两点之间的所有连线中，线段最短； （2）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （3）同一平面内，两直线的位置关系是相交、平行和垂直 （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短； （5）直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【解析】（1）两点之间的所有连线中，线段最短，故（1）正确； （2）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故（2）正确； （3）同一平面内，两直线的位置关系是相交或平行，故（3）错误； （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故（4）正确； （5）直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故（5）错误； ∴说法正确的有（1）（2）（4）； 故答案为：B． 【课后作业】 18．经过直线外一点，能画几条直线与这条直线平行（ ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【答案】B 【解析】经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 故答案为：B． 19．在同一个平面内的直线a，b，c，若，，则b与c的关系是（　　） A．平行 B．垂直 C．相交 D．不能确定 【答案】A 【解析】根据“同一个平面内，平行于同一条直线的两条直线平行”可知， 在同一个平面内的直线a，b，c，若，， 则. 故答案为：A. 20．下列语句正确的有（　　）个 ①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行； ②过一点有且只有一条直线和已知直线平行； ③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④若直线， ，则． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 21．下列说法错误的是（　　） A．对顶角相等 B．平行于同一条直线的两直线平行 C．相等的角是对顶角 D．等角的余角相等 【答案】C 22．如图， 已知 ， 则点 在同一条直线上. 理由是　 　. 【答案】经过直线外一点， 有且只有一条直线与这条直线平行 【解析】 已知 ， 则点 在同一条直线上，理由是：经过直线外一点， 有且只有一条直线与这条直线平行. 故答案为：经过直线外一点， 有且只有一条直线与这条直线平行. 23．已知a， b是在同一个平面内的两条直线，根据以下的条件写出a， b的位置关系： （1）若a，b没有交点，则　 　 （2）若a，b都平行于直线c，则　 　 （3）若a，b有且仅有一个公共点，则　 　 （4）若a∥c，b∥d，且直线c与直线d不平行，则　 　 【答案】（1）a∥b（2）a∥b（3）a与b相交（4）a与b相交 【解析】（1）∵ a， b是在同一个平面内的两条直线，且a、b没有交点，∴a∥b； 故答案为：a∥b； （2）∵ a， b是在同一个平面内的两条直线，且a∥c，b∥c，∴a∥b； 故答案为：a∥b； （3）∵ a， b是在同一个平面内的两条直线，且a、b有且仅有一个公共点，∴a与b相交； 故答案为：a与b相交； （4）∵ a， b是在同一个平面内的两条直线，又 a∥c，b∥d，且直线c与直线d不平行 ，∴a与b相交. 故答案为：a与b相交. 24．两条直线相交，交点的个数是　 　 ，两条直线平行，交点的个数是　 　 ． 【答案】1；0 【解析】两条直线相交，交点的个数是1，两条直线平行，交点的个数是0． 25．在如图的网格纸中，AB∥　 　，AB⊥　 　. 【答案】CD；AE 【解析】由图可得，CD可由AB向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到； AE可由AB以A为顶点，逆时针旋转90°得到， 故答案为：CD；AE. 26．如图， 过点 作直线 ， 过点 作直线 ． 【答案】解：如图，PQ、PM即为所求， 27．如图， 是 边上一点， 按下列要求作图， 并回答问题： （1） 过点 画直线 ， 垂足为 ； （2） 过点 画直线 ， 交 于点 ； （3） 过点 画直线 ， 交 于点 ； （4） 过点 画直线 ， 猜想 与 有什么位置关系？ 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 （4）作图见解析，猜想 . 【解析】如图，（1）PG即为所求， （2）PD即为所求， （3）PE即为所求， （4）∵PE∥AB，CF∥AB ∴PE∥CF 故答案为PE∥CF. 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