1.3 二次根式的运算（1）讲义 2025--2026学年浙教版八年级数学下册
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摘要：
本讲义聚焦二次根式的运算核心知识点，系统梳理乘法法则（a≥0,b≥0）、除法法则（a≥0,b＞0）及分母有理化，包括定义、有理化因式确定方法与步骤，构建从概念性质到运算技能的学习支架，为后续混合运算奠定基础。
资料设计分层训练体系，基础题巩固法则应用，培优题提升推理能力，结合高空抛物时间计算等现实情境题培养数学眼光，通过几何求高、代数式表示等问题发展数学思维与语言表达，课中辅助分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。
内容正文：
数学八年级下册第1章二次根式
1.3 二次根式的运算（1）
【知识重点】
一、二次根式的运算法则：
（1）乘法法则：(a≥0，b≥0)；
（2）除法法则： (a≥0，b＞0).
二、分母有理化
1.定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化.
2.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式.有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：利用来确定，如：，，与等分别互为有理化因式；②两项二次根式：利用平方差公式来确定.如与，，分别互为有理化因式.
3．分母有理化的方法与步骤：
（1）先将分子、分母化成最简二次根式；
（2）将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；
（3）最后结果必须化成最简二次根式或有理式.
【经典例题】
例题1、计算：（1）（2）（3）
（4）（5）
【答案】（1）解：原式==
（2）解：原式==18
（3）解：×===
（4）解：原式===
（5）解：原式==2000
例题2、计算：
（1） ； （2） ； （3） （4）
【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式=
（3）解： 原式=
（4）解： 原式=
例题3、计算：．
【答案】解：==．
例题4、如图，在中，是斜边上的高，，，，求高的长．
【答案】解：是斜边上的高，
为直角三角形，，
，
，
解得：．
【基础训练】
1．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】A、，故此选项不合题意；
B、，故此选项不合题意；
C、，故此选项符合题意；
D、，故此选项不合题意；
故答案为：C．
2．的计算结果是（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】B
【解析】
故答案为：B.
3．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从高空抛物到落地所需时间为，从高空抛物到落地所需时间为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得：，，
∴，
故答案为：A．
4．等式 成立的条件是( ).
A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-1
【答案】A
【解析】解答：由二次根式的概念可知，被开方数非负，于是 ，解得 x≥1 .
故答案为：A
5．下列各等式成立的是（ ）
A．4×2=8 B．5×4=20 C．4×3=7 D．5×4=20
【答案】D
【解析】A、4×2=8×5=40，故选项错误；
B、5×4=20=20，故选项错误；
C、4×3=12=12，故选项错误；
D、5×4=20=20，故选项正确．
故选D．
6．计算 = .
【答案】
【解析】
故答案为 .
7．化简的结果是 ．
【答案】
【解析】
故答案为：.
8．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
（2）解： ==
9． 简化：
【答案】解：原式=
=
=
=
10．如图，在中，过点A作，交于点D．
（1）若，求的长；
（2）在（1）的条件下，，求的面积；
【答案】（1）解：，，
，
，
∵，
∴，
解得：（负值舍去），
．
（2）解：作于E，
，
，
∴，
，
，
，
∴，
．
【培优训练】
11．估计的值应在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【答案】B
【解析】，
∵，
∴，
∴，
即的值应在2和3之间，
故选：B
12．已知，，则用a，b表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】.
故选：D.
13．在解决问题“已知=a，=b，用含a，b的代数式表示”时，甲的结果是；乙的结果是；丙的结果是，则下列说法正确的是（ ）
A．只有甲对 B．只有乙、丙对
C．只有甲、乙对 D．甲、乙、丙都对
【答案】D
【解析】∵=a，=b，
∴.
，
，
，
∴甲、乙、丙都对.
故答案为：D.
14．如图，将面积分别为2、3、6的三个正方形放置在一起，则三个正方形共同重叠的阴影部分面积S为 ．
【答案】
【解析】∵三个正方形的面积分别为2、3、6，
∴三个正方形边长分别为：，阴影部分长为，宽为，
S阴影部分=，
故答案为：
15．方程 的解为 .
【答案】x=-1
【解析】
∴
∴
∴
16．若是整数，写出一个符合条件的整数n的值： ．
【答案】1，4，16（答出其中一个即可）
【解析】当n=1时，==4
当n=4时，===2，
当n=16时，==1，
若是整数，则整数n的值可以是1，4，16（答案不唯一）．
故答案为：1（答案不唯一）．
17．计算： ．
【答案】
【解析】∵，，
∴b>0，a≠0.
∴
故答案为：.
18．如果 是整数， 那么整数 的值是 .
【答案】18或2
【解析】，
∵是整数，
∴x的值为18或2.
故答案为：18或2.
19．对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“⊕”如下：
，如．
（1）填空， ．
（2）若，则x= ．
【答案】（1）3
（2）∵，∴，
∵，
∴，
解得，
故x的值为．
【解析】【解答】
解：（1）∵，
∴，
故答案为：3．
20．三角形的三边长分别为、、，求其面积的问题，中外数学家曾进行过深入研究，古希腊的数学家海伦给出的海伦公式，其中；我国古代数学家秦九韶提出的秦九韶公式.现已知△ABC三边长为1，，3．则△ABC的面积为 ．
【答案】
【解析】将1，，3，代入公式得出：
故答案为：．
【期末常考】
21． 计算（ ）
A． B．4 C．2 D．1
【答案】C
【解析】
故答案为：C.
22．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算正确，符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故答案为：C．
23．方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，
未知数项的系数化为1，得.
故答案为：C.
24．计算：=
【答案】
【解析】
故答案为：
【课后作业】
1．已知 ，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】m=（- ）×（-2 ），
= ，
= ×3 =2
= ，
∵ ，
∴5＜ ＜6，
即5＜m＜6，
故答案为：A．
2．估计的值在（ ）
A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间
【答案】B
【解析】==；
∵，
∴，
∴
∴，
即在4到5之间．
故答案为：B．
3．计算 ÷3 × 的结果正确的是（ ）
A．1 B．2.5 C．5 D．6
【答案】A
【解析】 ÷3 × ＝3 ÷3 × ＝ ＝1，
故答案为：A.
4．已知 ，用含 的代数式表示 ，这个代数式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，
，
故答案为：D.
5．估计 的值应在（ ）
A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间
【答案】B
【解析】，
∵，
∴，
∴，即，
故选：B.
6．据研究，高空抛物下落的时间（单位：s）和高度（单位：m）近似满足公式：，从60m高空抛物到落地的时间为 s.
【答案】
【解析】当h=60时， ，
故答案为：.
7．计算的结果是 .
【答案】
【解析】.
故答案为：.
8．计算：
（1） .（2）
（3） .（4） .
【答案】（1）6（2）6（3）（4）
【解析】（1）原式=；故答案为：6.
（2）原式===6；故答案为：6.
（3）原式===；故答案为：
（4）原式=.故答案为：
9．计算：（1） .（2） .（3） .（4） .
【答案】（1）（2）5（3）（4）
【解析】（1）原式=；（2）原式=；
（3）原式=；（4）原式==.
10． 如图， 在 Rt 中， ， 求斜边 上的高 ．
【答案】解：在Rt△ABC中，
∴
∵
∴
∴
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数学八年级下册第1章二次根式
1.3 二次根式的运算（1）
【知识重点】
一、二次根式的运算法则：
（1）乘法法则：(a≥0，b≥0)；
（2）除法法则： (a≥0，b＞0).
二、分母有理化
1.定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化.
2.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式.有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：利用来确定，如：，，与等分别互为有理化因式；②两项二次根式：利用平方差公式来确定.如与，，分别互为有理化因式.
3．分母有理化的方法与步骤：
（1）先将分子、分母化成最简二次根式；
（2）将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；
（3）最后结果必须化成最简二次根式或有理式.
【经典例题】
例题1、35．计算：
（1） （2） （3）
（4） （5）
36．计算：（1） ； （2） ； （3） （4）
37．计算：．
38．如图，在中，是斜边上的高，，，，求高的长．
【基础训练】
1．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．的计算结果是（ ）
A． B．3 C． D．
3．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从高空抛物到落地所需时间为，从高空抛物到落地所需时间为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．等式 成立的条件是( ).
A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-1
5．下列各等式成立的是（ ）
A．4×2=8 B．5×4=20 C．4×3=7 D．5×4=20
6．计算 = .
7．化简的结果是 ．
8．计算：
（1） （2）
9． 简化：
10．如图，在中，过点A作，交于点D．
（1）若，求的长；
（2）在（1）的条件下，，求的面积；
【培优训练】
11．估计的值应在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
12．已知，，则用a，b表示为（ ）
A． B． C． D．
13．在解决问题“已知=a，=b，用含a，b的代数式表示”时，甲的结果是；乙的结果是；丙的结果是，则下列说法正确的是（ ）
A．只有甲对 B．只有乙、丙对
C．只有甲、乙对 D．甲、乙、丙都对
14．如图，将面积分别为2、3、6的三个正方形放置在一起，则三个正方形共同重叠的阴影部分面积S为 ．
15．方程 的解为 .
16．若是整数，写出一个符合条件的整数n的值： ．
17．计算： ．
18．如果 是整数， 那么整数 的值是 .
19．对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“⊕”如下：
，如．
（1）填空， ．
（2）若，则x= ．
20．三角形的三边长分别为、、，求其面积的问题，中外数学家曾进行过深入研究，古希腊的数学家海伦给出的海伦公式，其中；我国古代数学家秦九韶提出的秦九韶公式.现已知△ABC三边长为1，，3．则△ABC的面积为 ．
【期末常考】
21． 计算（ ）
A． B．4 C．2 D．1
22．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
23．方程的解为（ ）
A． B． C． D．
24．计算：=
【课后作业】
1．已知 ，则有（ ）
A． B． C． D．
2．估计的值在（ ）
A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间
3．计算 ÷3 × 的结果正确的是（ ）
A．1 B．2.5 C．5 D．6
4．已知 ，用含 的代数式表示 ，这个代数式是（ ）
A． B． C． D．
5．估计 的值应在（ ）
A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间
6．据研究，高空抛物下落的时间（单位：s）和高度（单位：m）近似满足公式：，从60m高空抛物到落地的时间为 s.
7．计算的结果是 .
8．计算：
（1） .（2）
（3） .（4） .
9．计算：
（1） .（2） .
（3） .（4） .
10． 如图， 在 Rt 中， ， 求斜边 上的高 ．
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