1.2 二次根式的性质（2）（知识重点+经典例题+基础训练+培优训练+期末常考+课后作2025-2026学年浙教版数学八年级下册

数学八年级下册第1章二次根式 1.2 二次根式的性质（2） 【知识重点】 1.二次根式的性质：  （1） (a≥0，b≥0) （2）(a≥0，b>0) 2.最简二次根式 像、、这样，(1)被开方数不含分母；(2) 被开方数中不含开得尽方的因数或因式，这样的二次根式称为最简二次根式. 在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式或有理式. 【经典例题】 例题1、化简下列各式：（1）（2）（3） （4）（5）（6） 【答案】（1）解：=×=5×3=15. （2）解：==×=6×100=600. （3）解：==×=3×5=15. （4）解：==××=2××13= （5）解：原式==×=6 （6）解：原式===×=10-3×= 例题2、化简 （1） ； （2） ； （3）6 ； 【答案】（1）解：原式＝ ； （2）解：原式＝ ＝ ； （3）解：原式＝6× ＝2 ． 例题3、【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如： 等． 【猜想】（1）_______，并证明你的猜想； 【推理证明】（2）请你用一个正整数（为“穿墙”数，）表示含有上述规律的等式，并给出证明． 【创新应用】（3）按此规律，若（为正整数），则的值为_______． 【答案】解：（1），证明如下， ， 故答案为：； （2），证明如下， （3） 【解析】（3）， ，， ， ， 故答案为：． 例题4、阅读下列解题过程，按要求回答问题． 化简： 解：原式= ① =② =③ =④. （1）上面的解答过程是否正确？若不正确，指出是哪一步出现错误； （2）请写出你认为正确的解答过程． 【答案】（1）解：不正确， ∵y＜x＜0， ∴y-x<0， ∴=x-y， ∴②③出现错误； （2）解：原式===-x==. 【基础训练】 1．下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 2．在，，，，中，最简二次根式的个数为(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 3．下列根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为：A、 = ； B、 =2 ；D、 = |b|； 所以这三项都可化简，不是最简二次根式． 故选：C． 4．已知，则的值为（　　） A． B． C．2025 D．4050 【答案】B 【解析】∵有意义， ∴，解得：， ∴， ∴ 故答案为：B. 5．将化简，正确的结果是（　　） A．3 B．3 C．6 D． 【答案】C 【解析】 = =3× =6． 故选：C． 6．下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】A、，本选项符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、实数范围内被开方数不能为负数，， 本选项不符合题意； 故选：A． 7．把化为最简二次根式，结果是　 　． 【答案】 【解析】， 故答案为：. 8．若与最简二次根式是同类二次根式，则　 　． 【答案】 【解析】与最简二次根式是同类二次根式， 解得 故答案为：. 9． 阅读材料： 将等式 反过来，可得到 ． 根据这个思路，我们可以把根号外的因式 “移人”根号内， 用于根式的化简．例如： ．请你仿照上面的方法， 化简下列各式： （1） ．（2） ．（3） ． 【答案】（1）解：3== （2）解：​​​​​​​ （3）解：​​​​​​​ 10．化简 ：（1） ．（2） ．（3） ．（4） ． 【答案】（1）原式= （2）原式= （3）原式 （4）原式= 11． 如图， 等边三角形 的边长为 于点 ． （1）求 的长． （2）求 的面积． 【答案】（1）解：根据条件得AB=4cm，BD=2cm. 再根据勾股定理得. （2）解：. 12．观察下列各式，发现规律： ；；；…… （1）填空：　 　，　 　． （2）计算（写出计算过程）： （3）用含自然数n（）的等式把你所发现的规律表示出来． 【答案】（1）； （2）解： ； （3）解：（自然数） 【解析】（1）， . 故答案为：，； 【培优训练】 13． 下列各式不成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A、 ，成立，不符合题意； B、 ，成立 ，不符合题意； C、 ，不成立， 符合题意； D、 ，成立 ，不符合题意； 故答案为：C . 14．若是正整数，最小的正整数n是（　　） A．6 B．3 C．48 D．2 【答案】B 【解析】= ∵是正整数，即是正整数， ∴最小的正整数n是3． 故答案为：B． 15．已知=a，=b，则=（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ． ∵a，b，∴原式． 故答案为：D． 16．二次根式化简结果正确的为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵，， ∴， ∴原式 ， 故答案为：． 17．把的根号外的适当变形后移入根号内，得（　　） A． B． C． D． 【答案】D 18．设，则S最接近的数是（　　） A．2008 B．2009 C．2010 D．2011 【答案】B 【解析】设n为任意正整数， ∴=== ∴ = = ， 因此与s最接近的整数是2009． 故答案为：B． 19．观察下列各式：①；②；③；④；…，则第7个等式是　 　． 【答案】 【解析】第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：， … 第n个等式∶ 当时，． 故答案为： 20．观察下列等式，并回答问题： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… （1）请直接写出第5个等式　 　； （2）根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并证明； （3）计算：． 【答案】（1） （2）证明：​​​​​​​ （3）解：原式＝＝＝1 21．观察下列各式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；… 根据上述规律，解答下面的问题： （1）若；则______，______． （2）的值为_________． （3）请写出第n个等式（n是正整数，用含n的式子表示），并证明． 【答案】（1），； （2）； （3）第n个等式为：，即. 证明：左边=右边， ∴． 【解析】（1）由题意可得， ， ∴，， 故答案为：，； （2）由题意可得， ， 故答案为：； 22．观察下列等式∶ 第1个：； 第2个：； 第3个：； 第4个：； … 按照以上规律，解决下列问题∶ （1）写出你猜想的第个等式 ；（用含的等式表示） （2）根据上面的结论计算的结果． 【答案】（1） （2）解： = = = 【解析】（1）第1个：； 第2个：； 第3个：； 第4个：； … 第个等式， 故答案为：； 【期末常考】 23． 下列式子是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据二次根式的定义判断， 选项A：被开方数不含能开得尽方的因数或因式，不含分母，故选项A正确； 选项B：被开方数含有分母，故不是最简二次根式，选项B错误； 选项C：被开方数含有能开方的因数4，故不是最简二次根式，选项C错误； 选项D：被开方数中含有分母，故不是最简二次根式，选项D错误； 故答案为：A. 24．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】A. 不能再开方，是最简二次根式，故A符合题意； B.，故B不符合题意； C.，故C不符合题意； D.，故D不符合题意； 故答案为：A. 【课后作业】 1．下列二次根式中是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A、，故本选项不符合题意； B、是最简二次根式，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故答案为：B 2．与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 与 不是同类二次根式，不符合题意； 与 不是同类二次根式，不符合题意； 与 不是同类二次根式，不符合题意； 与 是同类二次根式，符合题意； 故答案为： D. 3．化简二次根式的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵有意义， ∴且， ， 故答案为：B． 4． 若是整数，则正整数的最小值是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】； 由是整数，得a最小值为6， 故答案为：C. 5． 化简 　 　， 　 　，　 　， 　 　，　 　，　 　 【答案】；；；；；20 【解析】第1空、. 故答案为：. 第2空、. 故答案为：. 第3空、 ，. 故答案为：. 第4空、 . 故答案为：. 第5空、. 故答案为：. 第6空、. 故答案为：20. 6．已知，化简　 　． 【答案】a 【解析】∵有意义， ∴， 又a2≥0 ∴b≤0， 又∵ab<0， ∴a>0，b<0， ∴. 故答案为：a. 7．已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值3×7=21. 设n为正整数，若是大于1的整数，求n的最小值和最大值 【答案】解：∵， 当的值越大时，即的值越大； 此时n取值越小； ∵是整数，n为正整数， ∴时，n的值最小； ∴n的最小值为3； 当的值越小时，即的值越小； 此时，n取值越大； 又∵是大于1的整数， ∴时，n的值最大； 此时， 解得：n=75； 故n的最小值是3，最大值是75. 8．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为为格点三角形． （1）求的三边的长； （2）判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）解：根据题意得： ， ， ； （2）解：是直角三角形， 理由如下： ∵，，， ∴， ∴是直角三角形． 9．观察下列等式及验证，解答后面的问题： 第1个等式：，验证：； 第2个等式：，验证：； 第3个等式：，验证：． （1）请写出第4个等式，并验证； （2）按照以上各等式反映的规律，猜想第个为正整数，且等式，并通过计算验证你的猜想． 【答案】（1）解：第4个等式： 验证： （2）第个等式： 验证： 10．阅读下面的解题过程，判断是否正确.若不正确，请写出正确的解答过程. 已知m为实数，化简 解：原式 【答案】解：不正确.正确的解答如下： ∵-m3≥0，，m≠0 ∴m＜0； 原式 = = = = =0. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学八年级下册第1章二次根式 1.2 二次根式的性质（2） 【知识重点】 1.二次根式的性质：  1. (a≥0，b≥0) 2. (a≥0，b>0) 2.最简二次根式 像、、这样，(1)被开方数不含分母；(2) 被开方数中不含开得尽方的因数或因式，这样的二次根式称为最简二次根式. 在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式或有理式. 【经典例题】 例题1、化简下列各式： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 例题2、化简 （1） ； （2） ； （3）6 ； 例题3、【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如： 等． 【猜想】（1）_______，并证明你的猜想； 【推理证明】（2）请你用一个正整数（为“穿墙”数，）表示含有上述规律的等式，并给出证明． 【创新应用】（3）按此规律，若（为正整数），则的值为_______． 例题4、 阅读下列解题过程，按要求回答问题． 化简： 解：原式= ① =② =③ =④. （1）上面的解答过程是否正确？若不正确，指出是哪一步出现错误； （2）请写出你认为正确的解答过程． 【基础训练】 1．下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．在，，，，中，最简二次根式的个数为(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 4．已知，则的值为（　　） A． B． C．2025 D．4050 5．将化简，正确的结果是（　　） A．3 B．3 C．6 D． 6．下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 7．把化为最简二次根式，结果是　 　． 8．若与最简二次根式是同类二次根式，则　 　． 9． 阅读材料： 将等式 反过来，可得到 ． 根据这个思路，我们可以把根号外的因式 “移人”根号内， 用于根式的化简．例如： ．请你仿照上面的方法， 化简下列各式： （1） ． （2） ． （3） ． 10．化简 ： （1） ． （2） ． （3） ． （4） ． 11． 如图， 等边三角形 的边长为 于点 ． （1）求 的长． （2）求 的面积． 12．观察下列各式，发现规律： ；；；…… （1）填空：　 　，　 　． （2）计算（写出计算过程）： （3）用含自然数n（）的等式把你所发现的规律表示出来． 【培优训练】 13． 下列各式不成立的是（　　） A． B． C． D． 14．若是正整数，最小的正整数n是（　　） A．6 B．3 C．48 D．2 15．已知=a，=b，则=（　　） A． B． C． D． 16．二次根式化简结果正确的为（　　） A． B． C． D． 17．把的根号外的适当变形后移入根号内，得（　　） A． B． C． D． 18．设，则S最接近的数是（　　） A．2008 B．2009 C．2010 D．2011 19．观察下列各式：①；②；③；④；…，则第7个等式是　 　． 20．观察下列等式，并回答问题： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… （1）请直接写出第5个等式　 　； （2）根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并证明； （3）计算：． 21．观察下列各式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；… 根据上述规律，解答下面的问题： （1）若；则______，______． （2）的值为_________． （3）请写出第n个等式（n是正整数，用含n的式子表示），并证明． 22．观察下列等式∶ 第1个：； 第2个：； 第3个：； 第4个：； … 按照以上规律，解决下列问题∶ （1）写出你猜想的第个等式 ；（用含的等式表示） （2）根据上面的结论计算的结果． 【期末常考】 23． 下列式子是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 24．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【课后作业】 25．下列二次根式中是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 26．与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 27．化简二次根式的结果是（　　） A． B． C． D． 28． 若是整数，则正整数的最小值是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 29． 化简 　 　， 　 　，　 　， 　 　，　 　，　 　 30．已知，化简　 　． 31．已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值3×7=21. 设n为正整数，若是大于1的整数，求n的最小值和最大值 32．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为为格点三角形． （1）求的三边的长； （2）判断的形状，并说明理由． 33．观察下列等式及验证，解答后面的问题： 第1个等式：，验证：； 第2个等式：，验证：； 第3个等式：，验证：． （1）请写出第4个等式，并验证； （2）按照以上各等式反映的规律，猜想第个为正整数，且等式，并通过计算验证你的猜想． 34．阅读下面的解题过程，判断是否正确.若不正确，请写出正确的解答过程. 已知m为实数，化简 解：原式 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $