精品解析：湖南省长沙市华益中学2025-2026学年八年级上学期第三次月考数学试卷

八年级上学期数学（三） 时量：120分钟 分值：120分 一、选择题（本题共10小题，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. “我欲因之梦寥廓，芙蓉国里尽朝晖．”毛主席的诗句将“芙蓉国”写入新中国语境，使之由文人雅称变成全民熟知的湖南名片．荷花又称“水芙蓉”，外指锦绣山河，内含“心怀天下、敢为人先”的担当．其花粉直径约米，这里“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键，根据科学记数法的表示方法：绝对值小于1时，指数为负，其绝对值等于小数点向右移动的位数，即可得到答案． 【详解】解：∵的小数点向右移动5位得到8.3， ∴， ∴ 故选：A． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的加减乘除运算法则进行计算即可． 【详解】解：A、不能合并，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算正确，符合题意； 故选：D． 3. 以下列各组数为三边的三角形中不是直角三角形的是（ ） A. B. 6，8，10 C. D. 4，5，6 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握若一个三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、因为，所以能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意； B、因为，所以能够作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意； C、因为，所以能够作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意； D、因为，所以不能够作为直角三角形的三边长，故本选项符合题意； 故选：D． 4. 下列各选项中因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查因式分解的正确性，选项A使用平方差公式，正确；选项B未完全分解，错误；选项C分解不完全，错误；选项D公式错误，熟练掌握因式分解的方法是解题关键． 【详解】解：选项A：，符合平方差公式，正确； 选项B： 应分解为 ，而选项为 ，不是因式分解形式，错误； 选项C：，但 可继续分解为 ，分解不完全，错误； 选项D： 应分解为 ，而选项为 ，不正确，错误。 故选：A． 5. 2025年“数字中国”建设峰会讨论了多种数据加密方式，若以下运算为数据加密方式：，那么的值为（ ） A. 1 B. 4 C. －2 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据定义的运算，先利用平方差公式简化表达式，再代入数值计算. 本题考查了二次根式的计算，掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：∵ , 且 , ∴ . 代入 : ∴ ， 故选：B． 6. 如果把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的3倍 D. 扩大为原来的6倍 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质，正确计算是解题的关键． 将x和y分别扩大3倍后代入分式，化简后与原分式相同，故分式的值不变． 【详解】解：∵新分式为，与原分式相等， ∴分式的值不变． 故选：A． 7. 下列说法正确的是（ ） A. 当时，分式有意义 B. 分式与的最简公分母是 C. 当分式时， D. 无论x为何值，的值总为正数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件、最简公分母的确定、分式值为零的条件及分式值的正负判断，解题的关键是熟练掌握分式的相关概念与性质． 判断分式有意义需分母不为零；确定最简公分母取系数最小公倍数与字母因式最高次幂的积；分式值为零需分子为零且分母不为零；判断分式值的正负需分析分母的取值范围． 【详解】解：A、分式有意义的条件是，并非，此选项不符合题意； B、分式与的最简公分母是，并非，此选项不符合题意； C、当时，由得，但即，故，此选项不符合题意； D、因，故，此选项符合题意； 故选：D． 8. 某服装厂接到一学校的订单，生产一段时间后，还剩960套校服未生产，厂家因更换设备（所用时间忽略不计），生产效率比更换设备前提高了，结果刚好提前6天完成订单任务．设该厂家更换设备前每天生产x套校服，则可列分式方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了列分式方程．根据题意，原计划生产剩余校服的时间等于提高效率后生产时间加上提前的天数，据此列方程，即可作答． 【详解】解：设更换设备前每天生产套， 依题意，原计划生产剩余套，花费时间为天， ∵生产效率提高， ∴提高后每天生产套，生产时间为天， ∵提前6天完成， ∴， 故选：D． 9. 清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形的方法证明了勾股定理．如图，四边形为正方形，若的斜边，则图中线段的长为（ ） A. 6 B. C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，勾股定理，由勾股定理可求的长，由全等三角形的性质可求，，进一步可得答案． 【详解】解：如图，标注顶点， 在中，， ， ，， ， ． 故选：D． 10. 已知，，是的三条边长，记，其中为正整数．下列结论正确的有（ ） ①若为等边三角形，则； ②若，，则为直角三角形； ③若，，，，为三个连续整数，且，则满足条件的的个数为7． A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，勾股定理逆定理，三角形的三边关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键： 结论①根据等边三角形性质直接计算；结论②利用勾股定理逆定理判断；结论③通过设参数n并解不等式，结合三角形三边关系确定n的取值范围，验证个数是否为7即可． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵为正整数； ∴；故①正确； 当，时，则：， ∴， ∴， ∴为直角三角形；故②正确； 当时，则， ∵， ∴， ∴； ∵a、b、c是三个相邻的正整数，， ∴不妨设，则剩下两个数分别为（n为正整数）， ∵， ∴， 解得， ∴符合题意的n的值有2、3、4、5、6、7，共6个， ∴符合题意的a、b、c的取值一共有6组， ∴满足条件的的个数为6，故③错误； 故正确的只有①②； 故选A． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数为非负数是关键，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零． 【详解】解：若在实数范围内有意义， ∴， 解得，， 故答案为：． 12. 方程的解为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程，熟练掌握其解法是解题的关键． 将分式方程化为整式方程，然后求解并检验． 【详解】解：方程两边同时乘以 ，得 ， 移项得 ，即 ， 经检验， 时原方程分母均不为零，符合题意， 故原方程的解为 ． 故答案为： ． 13. 已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，将所求式子因式分解，再将，代入分解后的式子计算即可，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法解答． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 14. 若一个长方形的长为，宽为，则这个长方形的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式在长方形面积计算中的应用，明确二次根式乘法运算法则及如何化为最简二次根式是解题的关键．根据长方形面积公式，面积等于长乘以宽，将长和宽相乘，利用二次根式的乘法法则计算． 【详解】解：长方形的面积公式为， 所以． 计算过程： ， ， 因此． 故答案为：． 15. 如图，在中，，分别以，，的长为直径作半圆，面积分别记为，，，若，则的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和圆的面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 先根据勾股定理得出，然后利用圆的面积公式表示出，，，得出即可． 【详解】解：∵在中，， ∴． ∵， ， ， ∴． ∴． 故答案是：4． 16. 如图，在中，，，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在的圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线分别与边，BC相交于点D，E，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质及勾股定理的应用．连接，根据线段垂直平分线的性质得出，，，再由已知条件利用勾股定理的逆定理证得为直角三角形，设，则，利用勾股定理列出方程求解x的值，并最终求得的长． 【详解】解：如图，连接， 由题意知，为的垂直平分线， ∴，， 由线段垂直平分线的性质可知，， ∵，，， ∴， ∴， 设， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴，解得， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 3 【解析】 【分析】先进行乘方，负整数指数幂，零指数幂，化简二次根式，去绝对值运算，再进行加减运算即可． 本题考查实数的混合运算，二次根式的运算，掌握运算法则是解题关键． 【详解】原式． 18. 先化简，再求值：，其中a=﹣2，b=1． 【答案】，2 【解析】 【分析】先约分再做加法．然后代入a=﹣2，b=1求值． 【详解】解：原式= 当a=﹣2，b=1时， 原式= 【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题关键． 19. 如图，． （1）点A表示的数是______，点A表示的数______（填“”、“”或“”）； （2）在数轴上作出所对应的点（保留作图痕迹）； （3）这种研究和解决问题的方式，体现了______的数学思想． A.数形结合   B.方程  C.分类讨论   D.化归 【答案】（1）； （2） 点表示的数即为； （3）A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，无理数的大小估算等知识点． （1）根据勾股定理得到，即可求解点A表示的数，再根据无理数的估算方法比较大小； （2）以点为圆心画弧，交原点右侧数轴于点，则可得，那么点表示的数即为； （3）根据题干以及解析即可确定解题思想． 【小问1详解】 解：∵，且在原点左侧， ∴点A表示的数是， ∵，即 ∴， 点A表示的数， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：这种研究和解决问题的方式，体现了数形结合的数学思想， 故答案为：A． 20. 小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“m”看不清楚：． （1）她把这个数“m”猜成5，请你帮小华解这个分式方程； （2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：原分式方程无解．”请你求出原分式方程中“m”代表的数是多少． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，分式方程无解问题，熟练掌握解分式方程的步骤，是解题的关键： （1）去分母，将方程化为整式方程，求解后，进行检验即可； （2）去分母，将方程化为整式方程，根据方程无解，得到方程有增根，进行求解即可． 【小问1详解】 解：， 去分母，得， 解得； 检验：当时，， ∴是原方程的解； 【小问2详解】 ， 去分母，得， ∵分式方程无解， ∴分式方程有增根， ∴，解得， 把代入，得，解得． 21. 如图，四边形是长方形，把长方形沿对角线折叠，点B落在点E处，与相交于点O．（长方形的对边相等，每个内角都是直角） （1）求证：； （2）若，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质知， ，， ∴，， 在和中， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理、含的直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据矩形的对边相等可得，，再根据折叠的性质可得，，然后求出，，进而证明即可； （2）根据全等三角形对应边相等可得，结合勾股定理和三角形的面积公式计算即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 22. 中国高铁以其庞大的网络规模、先进的技术和快速便捷的服务，成为世界上最长的高速铁路网络，连接了国内众多城市，极大地促进了区域经济的发展和人员流动的便利．从地到地，路程为，某趟动车行驶的平均速度比普通列车快，所需时间比普通列车少，求该动车行驶的平均速度． （1）根据题意填空． ①小明设_____为，列出尚不完整的方程：_____； ②小华设_____为，列出尚不完整的方程：； （2）请选择其中一名同学的设法，写出完整的解答过程． 【答案】（1）①普通列车的平均速度，；②动车的行驶时间， （2） ①设普通列车的平均速度为，列出的方程为：， 解得， 经检验是方程的根且符合题意， 此时， 答：该动车行驶的平均速度． ②设动车的行驶时间为y h，列出的方程为： 解得， 经检验是方程的根且符合题意， 此时 km/h， 答：该动车行驶的平均速度． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，列出分式方程是解题的关键． (1) ①设普通列车的平均速度为，则动车的平均速度为，根据所需时间比普通列车少，即可列出关于的分式方程，此题得解．②设动车的行驶时间为，根据动车行驶的平均速度比普通列车快，列出方程即可； (2) 解（1）中列出的方程并检验即可． 【小问1详解】 解：①小明设普通列车的平均速度为，列出的方程为：， 故答案为：普通列车的平均速度， ②小华设动车的行驶时间为，列出的方程为：； 故答案为：动车的行驶时间， 【小问2详解】 略 23. 如图，在正方形中，E是的中点，将沿对折至，延长交于点G，连结． （1）求证：． （2）求的大小． （3）若，求的长． 【答案】（1） 证明：在正方形中，， ∵沿对折至， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） （3）2 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识，证明三角形全等是关键； （1）由折叠的性质易证，从而得； （2）由折叠得，再结合即可求解； （3）由（1）知，由折叠知，在中由勾股定理建立方程即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵沿对折至， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵E是的中点，正方形的边长为6， ∴， 由折叠知， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 故． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，动点P从原点开始沿着x轴负半轴运动，运动的过程中始终以线段为一边，在其下方作等边三角形．当点P在原点O处时，记Q的位置为B． （1）①求点B的坐标；②当时，求的度数； （2）求证：当点P在x轴负半轴运动时（P不与O重合），始终等于； （3）是否存在点P，使得是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①；② （2） 证明：∵和为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）存在；点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）①过点B作轴，根据为等边三角形求出点B的坐标即可； ②根据勾股定理求出，得出，根据等腰三角形的性质求出； （2）根据等边三角形的性质得出，，，证明，得出即可； （3）根据，得出，，说明点Q在过点B垂直于的直线上，求出，得出当为直角三角形时，只能或，然后分两种情况，根据勾股定理求出结果即可． 【小问1详解】 解：①过点B作轴于点C，如图所示： ∵，为等边三角形， ∴，， ∴， 故． ②∵，，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：存在； 根据解析（2）可得：， ∴，， ∴点Q在过点B垂直于的直线上， ∵在等边中，， ∴， ∴当为直角三角形时，只能或， 当时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴此时点P的坐标为； 当时，∵， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值舍去， ∴此时点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 25. 通过对第16章《整式的乘法》等相关章节的学习，我们知道对于关于x的二次整式总可以化简成这种形式，也可以通过配方化成这种形式，其中a，b，c，h，k为常数；我们不妨约定：这种形式叫做二次整式的“华结构”，这种形式叫做二次整式的“益分身”．根据约定，结合所学，完成下面问题 （1）已知关于x的二次整式，请直接写出二次整式的“华结构”＝_________；以及“益分身”＝_________； （2）已知关于x的二次整式的“华结构”是，“益分身”是． ①请用含有a，b，c的代数式分别表示h和k； ②当，，求t的值； ③已知，若与均是关于x，y的二元一次方程的解，求p的最小值． 【答案】（1）， （2） ，；2025；3 【解析】 【分析】（1）去括号得“华结构”，配方法得“益分身” （2）将展开，比对系数即可求解， 算出，的取值，根据求出来的关系式即可求解， 根据二元一次方程的性质得到和的关系式，求出关于的表达式，即可求最小值． 本题主要考查了整式的乘法，配方法以及二元一次的解，熟练运用配方法是解题关键． 【小问1详解】 由题可知，展开得, 所以“华结构”为 , 所以“益分身”为． 故答案为：,． 【小问2详解】 由题可知，, , ,, , 故答案为：, ， 故答案为：2025． 与均是关于x，y的二元一次方程的解， ， ,, , , 时，取最小值为3． 故答案为3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级上学期数学（三） 时量：120分钟 分值：120分 一、选择题（本题共10小题，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. “我欲因之梦寥廓，芙蓉国里尽朝晖．”毛主席的诗句将“芙蓉国”写入新中国语境，使之由文人雅称变成全民熟知的湖南名片．荷花又称“水芙蓉”，外指锦绣山河，内含“心怀天下、敢为人先”的担当．其花粉直径约米，这里“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 以下列各组数为三边的三角形中不是直角三角形的是（ ） A. B. 6，8，10 C. D. 4，5，6 4. 下列各选项中因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 2025年“数字中国”建设峰会讨论了多种数据加密方式，若以下运算为数据加密方式：，那么的值为（ ） A. 1 B. 4 C. －2 D. 9 6. 如果把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的3倍 D. 扩大为原来的6倍 7. 下列说法正确的是（ ） A. 当时，分式有意义 B. 分式与的最简公分母是 C. 当分式时， D. 无论x为何值，的值总为正数 8. 某服装厂接到一学校的订单，生产一段时间后，还剩960套校服未生产，厂家因更换设备（所用时间忽略不计），生产效率比更换设备前提高了，结果刚好提前6天完成订单任务．设该厂家更换设备前每天生产x套校服，则可列分式方程为（ ） A. B. C. D. 9. 清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形的方法证明了勾股定理．如图，四边形为正方形，若的斜边，则图中线段的长为（ ） A. 6 B. C. 8 D. 10. 已知，，是的三条边长，记，其中为正整数．下列结论正确的有（ ） ①若为等边三角形，则； ②若，，则为直角三角形； ③若，，，，为三个连续整数，且，则满足条件的的个数为7． A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是____． 12. 方程的解为___________． 13. 已知，，则______． 14. 若一个长方形的长为，宽为，则这个长方形的面积为__________． 15. 如图，在中，，分别以，，的长为直径作半圆，面积分别记为，，，若，则的值为______． 16. 如图，在中，，，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在的圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线分别与边，BC相交于点D，E，则线段的长为______． 三、解答题（本大题共9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中a=﹣2，b=1． 19. 如图，． （1）点A表示的数是______，点A表示的数______（填“”、“”或“”）； （2）在数轴上作出所对应的点（保留作图痕迹）； （3）这种研究和解决问题的方式，体现了______的数学思想． A.数形结合   B.方程  C.分类讨论   D.化归 20. 小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“m”看不清楚：． （1）她把这个数“m”猜成5，请你帮小华解这个分式方程； （2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：原分式方程无解．”请你求出原分式方程中“m”代表的数是多少． 21. 如图，四边形是长方形，把长方形沿对角线折叠，点B落在点E处，与相交于点O．（长方形的对边相等，每个内角都是直角） （1）求证：； （2）若，求的面积． 22. 中国高铁以其庞大的网络规模、先进的技术和快速便捷的服务，成为世界上最长的高速铁路网络，连接了国内众多城市，极大地促进了区域经济的发展和人员流动的便利．从地到地，路程为，某趟动车行驶的平均速度比普通列车快，所需时间比普通列车少，求该动车行驶的平均速度． （1）根据题意填空． ①小明设_____为，列出尚不完整的方程：_____； ②小华设_____为，列出尚不完整的方程：； （2）请选择其中一名同学的设法，写出完整的解答过程． 23. 如图，在正方形中，E是的中点，将沿对折至，延长交于点G，连结． （1）求证：． （2）求的大小． （3）若，求的长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，动点P从原点开始沿着x轴负半轴运动，运动的过程中始终以线段为一边，在其下方作等边三角形．当点P在原点O处时，记Q的位置为B． （1）①求点B的坐标；②当时，求的度数； （2）求证：当点P在x轴负半轴运动时（P不与O重合），始终等于； （3）是否存在点P，使得是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 通过对第16章《整式的乘法》等相关章节的学习，我们知道对于关于x的二次整式总可以化简成这种形式，也可以通过配方化成这种形式，其中a，b，c，h，k为常数；我们不妨约定：这种形式叫做二次整式的“华结构”，这种形式叫做二次整式的“益分身”．根据约定，结合所学，完成下面问题 （1）已知关于x的二次整式，请直接写出二次整式的“华结构”＝_________；以及“益分身”＝_________； （2）已知关于x的二次整式的“华结构”是，“益分身”是． ①请用含有a，b，c的代数式分别表示h和k； ②当，，求t的值； ③已知，若与均是关于x，y的二元一次方程的解，求p的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $