精品解析：吉林省四平市铁西区2025-2026学年八年级上学期期末考试数学试题

八年级数学学科期末能力检测 （2025—2026学年度第一学期） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照要求在答题卡上的指定区域内作答，在草纸上、试题上作答无效． 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列分式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（　　） A. B. C. D. 6. 将一根长14厘米的铁棒截成三段，首尾相连焊接成一个等腰三角形，如图，如果第一次在4厘米处（剪刀处）截断，那么第二次可以在（ ）处截断． A. ①或② B. ①或③ C. ②或③ D. ③或④ 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 若代数式有意义，则实数的取值范围是________． 8. 古代数学著作《九章算术》的注疏中，数学家刘徽曾提及一种用于测量微小长度的单位“忽”，经现代换算，1忽约等于0.0000033米．则0.0000033用科学记数法表示为___． 9. 若是一个完全平方式，则a的值为______． 10. 如图，在四边形中，，，，，按以下步骤作图：以点为圆心，的长为半径作弧，交于点；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线．若点在射线上，则线段的长度为_______． 11. 已知关于的分式方程解为正数，则的取值范围是____． 三、解答题（共87分） 12. 计算： （1）； （2）． 13. 因式分解： （1）； （2）． 14. 解方程：． 15. 课堂上有这样一个分式的计算题：，甲、乙两位同学完成的过程分别如下： 甲同学： 第一步 第二步 第三步 第四步 乙同学： 第一步 第二步 第三步 第四步 老师发现这两位同学的解答都有错误． 请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正． （1）我选择___________同学的解答过程进行分析．（填“甲”或“乙”） 该同学的解答从第___________步开始出现错误，错误的原因是___________________； （2）请重新写出完成此题的正确解答过程． 解： 16. 小亮同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，摆动过程中绳子的伸长不考虑且绳子始终是绷直的．如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，过点作于点，测得，．（图中的、、、在同一平面上），求证此时． 17. 已知为正整数，求证：能被24整除． 18. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标是，． （1）作关于y轴对称的图形； （2）写出顶点坐标； （3）如果与全等，则请直接写出点D坐标． 19. 如图，在中，，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，作直线． （1）求证：垂直平分； （2）若，，，直接写出的长． 20. 观察图形，解决问题： （1）如图①所示，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积： 方法一：______，方法二：______；结合以上两种方法可以得到数学公式______； （2）当时，求的值； （3）如图②所示，两个正方形，的边长分别为m，n．若，，求图中阴影部分的面积． 21. 《花卉装点校园》项目学习方案： 项目情景 为了装扮校园，某中学计划购买花卉．同学们需完成了解花卉知识（包括花语等知识），购买花卉，插花，摆放盆栽等任务． 素材一 采购小组到市场上了解到每枝A种花卉比每枝B种花卉贵4元，用480元购买的A种花卉数量为用200元购买的B种花卉数量的2倍． 任务一 小组成员甲设①_______的单价为x元，由题意得方程： 小组成员乙设购买B种花卉的数量为y枝，由题意得方程：②_______， 素材二 插花时，技术小组成员丙发现自己单位时间内可完成a盆小盆栽的插花任务或完成盆大盆栽的插花任务，并且完成32盆小盆栽所用时间与完成16盆大盆栽的时间相同． 任务二 求a的值． （1）任务一中横线①处应填_______，横线②处应填________；B种花卉每枝________元； （2）列出关于a的方程，并完成任务二，求出a的值． 22. 在平面直角坐标系中，直线过原点且经过第一、第三象限，与x轴所夹锐角为，点，，以为边在x轴上方作等边三角形，过点Q作x轴的垂线，垂足为点E，点Q关于直线l的对称点为P，连接，． （1）如图1，若 ①则________°； ②求出此时点P的纵坐标； （2）若 ①连接，判断与的数量关系，并说明理由； ②不改变的大小，把沿x轴向右移动，当点P的横坐标为时，请直接写出此时点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学学科期末能力检测 （2025—2026学年度第一学期） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照要求在答题卡上的指定区域内作答，在草纸上、试题上作答无效． 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的识别．在同一平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形是轴对称图形．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，不合题意； B．不是轴对称图形，不合题意； C．不是轴对称图形，不合题意； D．是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘；积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解． 本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：B． 3. 下列分式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用分式的基本性质逐项判断即可． 本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 【详解】解：，则A不符合题意； 无法进行约分，则B不符合题意； ，则C不符合题意； ，则D符合题意； 故选：D． 4. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键．根据因式分解的概念：将多项式写成几个整式积的形式，依据此对各个选项进行分析即可求出答案． 【详解】解：A. ，是整式的乘法，不是因式分解，故本项不符合题意； B. ， 该等式右边不是整式积的形式，故本项不符合题意； C. ，符合因式分解的定义，故本项符合题意； D. ，该等式右边含有分式，故本项不符合题意； 故选：C． 5. 如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由图形可知三角形的两角和夹边，于是根据即可画出一个与原来完全一样的三角形． 【详解】解：已知三角形的两角和夹边， ∴两个三角形全等的依据是， 故选：C． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法． 6. 将一根长14厘米的铁棒截成三段，首尾相连焊接成一个等腰三角形，如图，如果第一次在4厘米处（剪刀处）截断，那么第二次可以在（ ）处截断． A. ①或② B. ①或③ C. ②或③ D. ③或④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，分4厘米为等腰三角形的腰和底讨论即可． 【详解】解：当4厘米为腰时，则底为厘米， 此时能组成三角形， ∴第二次可以在②处截断； 当当4厘米为底时，则腰为厘米， 此时能组成三角形， ∴第二次可以在③处截断； 综上， 第二次可以在②或③处截断， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 若代数式有意义，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是牢记分母不等于0．根据分母不等于0解答． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴ 即 故答案为：． 8. 古代数学著作《九章算术》的注疏中，数学家刘徽曾提及一种用于测量微小长度的单位“忽”，经现代换算，1忽约等于0.0000033米．则0.0000033用科学记数法表示为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，左起第一个不为零的数为，前面有个零，故，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 9. 若是一个完全平方式，则a的值为______． 【答案】或． 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式的性质，解题的关键是熟记完全平方式的结构，明确中间项与首尾两项的关系，进而列方程求解． 先确定完全平方式的首尾项：首项和尾项的底数；再根据中间项等于首项底数x尾项底数，列出关于的方程；最后解方程得到的两个值． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴中间项，即． 当时，，，解得； 当时，，，解得． 故答案为：或． 10. 如图，在四边形中，，，，，按以下步骤作图：以点为圆心，的长为半径作弧，交于点；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线．若点在射线上，则线段的长度为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图作角的平分线、平行线的性质、等角对等边，由尺规作图可知平分，可得，根据平行线的性质可证，根据等角对等边可知． 【详解】解：由作图可知平分， ， ， ， ， ． 故答案为：． 11. 已知关于的分式方程解为正数，则的取值范围是____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查利用分式方程的解的情况求参数，掌握分式方程的解法是解题的关键． 先解分式方程可得，再根据解为正数，结合方程的增根建立关于的不等式组，求解即可． 【详解】解： 去分母，得， 解得：， 分式方程的增根为： ∵分式方程的解为正数， ∴， 解得：，且． 故答案为：且． 三、解答题（共87分） 12. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘法运算，熟练掌握单项式乘多项式法则、积的乘方法则以及单项式乘单项式法则是解题的关键． （1）利用单项式乘多项式法则，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加； （2）先根据积的乘方法则计算乘方，再利用单项式乘单项式法则计算乘法． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 13. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是根据具体问题选择恰当的方法进行因式分解； （1）利用提公因式法与公式法进行因式分解即可； （2）用十字相乘法进行因式分解 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：将常数分解为与的乘积，且，恰为一次项系数 ． 14. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的解法，解题关键是通过变形统一分母，再去分母转化为整式方程求解，最后需注意验根（本题解符合分母不为的条件）．根据分式的基本性质，将右边分母转化为的形式，再去分母化简求解． 【详解】解： 检验：当时，， 原分式方程的解为． 15. 课堂上有这样一个分式的计算题：，甲、乙两位同学完成的过程分别如下： 甲同学： 第一步 第二步 第三步 第四步 乙同学： 第一步 第二步 第三步 第四步 老师发现这两位同学的解答都有错误． 请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正． （1）我选择___________同学的解答过程进行分析．（填“甲”或“乙”） 该同学的解答从第___________步开始出现错误，错误的原因是___________________； （2）请重新写出完成此题的正确解答过程． 解： 【答案】（1）答案不唯一，见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查分式的混合运算， （1）根据分式的混合运算顺序和运算法则即可判断； （2）根据分式的混合运算顺序和运算法则重新计算可得． 【小问1详解】 解：选甲：一，理由合理即可，如：第一个分式的变形不符合分式的基本性质，分子漏乘； 选乙：二，理由合理即可，如：与等式的性质混淆了，丢掉了分母； 【小问2详解】 16. 小亮同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，摆动过程中绳子的伸长不考虑且绳子始终是绷直的．如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，过点作于点，测得，．（图中的、、、在同一平面上），求证此时． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质．证明，得出，根据，求出，即可证明结论； 【详解】证明：∵于D，于E， ∴， 又∵根据题意得：，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即， ∴． 17. 已知为正整数，求证：能被24整除． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，利用平方差公式因式分解计算即可． 【详解】证明： ． ∵为正整数， ∴和是连续的正整数， ∴和中一定有一个是偶数， ∴一定是24的倍数， ∴能被24整除． 18. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标是，． （1）作关于y轴对称的图形； （2）写出顶点坐标； （3）如果与全等，则请直接写出点D坐标． 【答案】（1）见解析 （2）， （3）或或 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，全等三角形的判定： （1）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同得到A、B、C对应点的坐标，描出，再顺次连接即可； （2）根据（1）所求即可得到答案； （3）根据全等三角形的判定定理结合网格的特点求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：∵与关于y轴对称，，， ∴，． 【小问3详解】 解：如图所示，点即为所求． 19. 如图，在中，，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，作直线． （1）求证：垂直平分； （2）若，，，直接写出的长． 【答案】（1） 证明：∵直线分别为的垂线， ∴. ∴ 在和中， ， ∴． ∴． 又∵， ∴点A，P都在线段的垂直平分线上. ∴垂直平分. （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，勾股定理；利用全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，利用线段垂直平分线的判定即可证明； （2）由勾股定理求出，利用面积关系：即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，， 由勾股定理得：； ∵， ∴； ∵， ∴， 即， ∴． 20. 观察图形，解决问题： （1）如图①所示，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积： 方法一：______，方法二：______；结合以上两种方法可以得到数学公式______； （2）当时，求的值； （3）如图②所示，两个正方形，的边长分别为m，n．若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）；； （2）2 （3）10 【解析】 【分析】本题考查了乘法公式的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据直接求和间接求阴影部分的面积进行计算； （2）令，结合完全平方公式进行变形，化简，即可作答； （3）先根据条件得出的值，然后根据进行计算． 【小问1详解】 解：方法一：阴影部分正方形的边长为：， ∴正方形的面积为：； 方法二：如图： 阴影部分的面积大正方形的面积； 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：令， 则，， 则， ∴， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ， ， ， ， ， 或（不符合题意，舍去）， ． 21. 《花卉装点校园》项目学习方案： 项目情景 为了装扮校园，某中学计划购买花卉．同学们需完成了解花卉知识（包括花语等知识），购买花卉，插花，摆放盆栽等任务． 素材一 采购小组到市场上了解到每枝A种花卉比每枝B种花卉贵4元，用480元购买的A种花卉数量为用200元购买的B种花卉数量的2倍． 任务一 小组成员甲设①_______的单价为x元，由题意得方程： 小组成员乙设购买B种花卉的数量为y枝，由题意得方程：②_______， 素材二 插花时，技术小组成员丙发现自己单位时间内可完成a盆小盆栽的插花任务或完成盆大盆栽的插花任务，并且完成32盆小盆栽所用时间与完成16盆大盆栽的时间相同． 任务二 求a的值． （1）任务一中横线①处应填_______，横线②处应填________；B种花卉每枝________元； （2）列出关于a的方程，并完成任务二，求出a的值． 【答案】（1）种花卉；；20 （2）； 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出分式方程是解题的关键： （1）任务一：由题意，可知：表示用480元购买的A种花卉数量，表示用200元购买的B种花卉数量，可得①处的答案；根据小组成员乙设购买B种花卉的数量为y枝，结合单价之间的数量关系可得方程，可得②处的答案，再求解即可； （2）任务二：根据完成32盆小盆栽所用时间与完成16盆大盆栽的时间相同，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：依题意，表示用480元购买的A种花卉数量为用200元购买的B种花卉数量的2倍， ∴表示用480元购买的A种花卉数量，表示用200元购买的B种花卉数量， ∴小组成员甲设的是种花卉的单价为元； ∴①处填种花卉； 小组成员乙设购买B种花卉的数量为y枝，由题意得方程： ； ∴②处填：， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， 种花卉的单价为（元）； 故答案为：种花卉；；20； 【小问2详解】 解：由题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴． 22. 在平面直角坐标系中，直线过原点且经过第一、第三象限，与x轴所夹锐角为，点，，以为边在x轴上方作等边三角形，过点Q作x轴的垂线，垂足为点E，点Q关于直线l的对称点为P，连接，． （1）如图1，若 ①则________°； ②求出此时点P的纵坐标； （2）若 ①连接，判断与的数量关系，并说明理由； ②不改变的大小，把沿x轴向右移动，当点P的横坐标为时，请直接写出此时点M的坐标． 【答案】（1）①45；② （2）①，见解析；②． 【解析】 【分析】（1）①根据对称的原理，得，由点，，是等边三角形，得到，，继而得到，结合，解答即可； ②过点P作轴于点F，证明，根据等边三角形的性质，勾股定理，得到，解答即可． （2）①连接，设与直线的交点为H，得到，根据对称的原理，得，，继而得到，最后代换后得到． ②过点P作轴于点S，连接，设直线与直线交于点R，与轴交于点，与轴交于点，根据勾股定理，解得，设，则，，得到，，过点Q作轴于点U，，继而得到，整理得到，解答即可． 本题考查了对称的原理，等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，解方程，熟练掌握判定和性质，对称和勾股定理是解题的关键． 【小问1详解】 ①解：如图， ∵， ∴根据对称的原理，得， ∵点，，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：45； ②解：过点P作轴于点F， 根据对称的原理，得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴此时点P的纵坐标为． 【小问2详解】 ①解：与的数量关系是，理由如下： 连接，设与直线的交点为H， ∵， 由上可知：， 根据对称的原理，得， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴． ②解：过点P作轴于点S，连接， ∵点P的横坐标为， ∴， 设直线与直线交于点R，与轴交于点，与轴交于点， 根据对称的性质，得，，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 根据勾股定理，得， ∴ 解得，负的舍去， ∴， 设， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点Q作轴于点U， ∵的大小不改变， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，舍去， ∴， ∴， 故此时点M的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $