精品解析：2024年湖北省十堰市东风高级中学学科特长招生考试数学试卷

2024年东风高级中学自主招生考试数学试题 注意事项： 1．本卷共有4页，19小题，满分150分，考试时限120分钟． 2．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡指定的位置，并认真核对条形码上的准考证号和姓名，在答题卡规定的位置贴好条形码． 3．选择题必须使用2B铅笔在指定位置填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔答题，不得使用铅笔或圆珠笔等笔作答．求字体工整，笔迹清晰．按照题目序号在答题卡对应的各题目的答题区域内作答，超出答题卡区域的答案和在试卷、草稿纸．上答题无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷、答题卡和草稿纸均不得带出考场． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. “世界是对称的，对称是美的，但是绝对对称是没有的．”下列图形是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 设，则的大于0的值等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 两个矩形的位置如图所示，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 有一组样本数据，，，，，，，其中是最小值，是最大值．下列结论正确的是（） A. ，，，，的众数等于，，，，，，的众数 B. ，，，，的中位数等于，，，，，，的中位数 C. ，，，，的方差小于，，，，，，的方差 D. ，，，，的极差不小于，，，，，，的极差 5. 已知关于x的分式方程无解，且关于y的不等式组有且只有三个偶数解，则符合条件的整数m有（　　）个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 如图，在中，，，，设与、分别相切于点、，平分，连接，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 关于的方程有两个实数根分别为，，且，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则或3 C. 若，，则 D. 存在实数，使得 8. 东风高中举办校庆活动需要一批志愿者，高一、高二、高三这三个年级报名参加志愿活动的学生人数比例为，学校从每个年级报名人数中按照高一，高二，高三的比率选出一批学生成为志愿者．从所有被选出的志愿者中随机抽取一人，则该生来自高一年级的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分． 9. 在平面直角坐标系中，过原点的直线与两函数，的图象分别交于，两点，过作轴的垂线，垂足为，连接交轴于点，连接交轴于点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是的直径，，点是圆上不与，重合的点，平分，交于，平分，交于．下列结论正确的是（ ） A. 点是定点 B. 的最大值为15 C. 为的外心 D. 线段长度的最小值为 11. 抛物线（，，是常数，）经过，，三点，且．下列结论正确的是（ ） A. ； B. ； C. 当时，若点在该抛物线上，则； D. 若关于的一元二次不等式恒成立，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 化简：____． 13. 若，，为正实数，，，则____． 14. 组合数学常应用于计算机编程，计算机中著名的康威生命问题与开关问题有相似的地方．为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关一次，将导致自身和周围所有相邻的开关改变状态，例如，按将导致，，，改变状态．如果要求只改变的状态，则需按开关的最少次数为____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 灵山秀水新十堰，如图是十堰的一座山，其高为100米，一辆汽车在水平的公路上沿直线从往匀速行驶，在处测得山顶的仰角为，经过30秒后汽车到达处，这时测得山顶的仰角为，且． （1）求这辆汽车的速度； （2）若汽车从往行驶了10秒时到达处，求此时山顶与汽车的距离． 16. 按要求完成下列各题： （1）若实数满足，求的值； （2）解关于的不等式：； （3）求方程的所有整数解． 17. 某生活超市有一专柜预代理销售甲乙两家公司的一种可相互替代的日常生活用品．经过一段时间分别单独试销甲乙两家公司的商品，从销售数据中随机各抽取50天，统计每日的销售数量，得到如下的频数分布条形图．甲乙两家公司给该超市的日利润方案为：甲公司给超市每天基本费用为90元，另外每销售一件提成1元；乙公司给超市每天的基本费用为130元，每日销售数量不超过83件没有提成，超过83件的部分每件提成10元． （1）求乙公司给超市的日利润y（单位：元）与日销售数量n的函数关系； （2）若将频率视为概率，回答下列问题： ①求甲公司产品销售数量不超过87件的概率； ②如果仅从日均利润的角度考虑，请你利用所学过的统计学知识为超市作出抉择，选择哪家公司的产品进行销售？并说明理由． 18. 如图1，已知是等腰直角三角形，，正方形与有公共顶点，当绕点旋转时，边分别与（或延长线，如图2）、（或延长线，如图2）相交于点，连接， （1）如图1，证明：； （2）如图1，若正方形的边长为1，设，请用表示的长； （3）如图2，结论是否成立，如不成立，写出三线段的数量关系，并证明． 19. 抛物线交轴于，两点（在的左边）． （1）的顶点在轴的正半轴上，顶点在轴右侧的抛物线上． ①如图（1），若点的坐标是，点的横坐标是，直接写出点，的坐标； ②如图（2），若点在抛物线上，且的面积是12，求点的坐标； （2）如图（3），是原点关于抛物线顶点的对称点，不平行轴的直线分别交线段，（不含端点）于，两点，若直线与抛物线只有一个公共点，求证的值是定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年东风高级中学自主招生考试数学试题 注意事项： 1．本卷共有4页，19小题，满分150分，考试时限120分钟． 2．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡指定的位置，并认真核对条形码上的准考证号和姓名，在答题卡规定的位置贴好条形码． 3．选择题必须使用2B铅笔在指定位置填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔答题，不得使用铅笔或圆珠笔等笔作答．求字体工整，笔迹清晰．按照题目序号在答题卡对应的各题目的答题区域内作答，超出答题卡区域的答案和在试卷、草稿纸．上答题无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷、答题卡和草稿纸均不得带出考场． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. “世界是对称的，对称是美的，但是绝对对称是没有的．”下列图形是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意， 故选：C． 2. 设，则的大于0的值等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】因为，所以其中有一个，三个小于0．由于大于0，所以，一个小于0． 3. 两个矩形的位置如图所示，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的余弦函数值，矩形的性质，根据三角形外角的性质以及矩形的性质得出，进而求得根据特殊角的余弦函数值即可得． 【详解】解：如图， ∵， ∴, ∴, ∴， 故选：B． 4. 有一组样本数据，，，，，，，其中是最小值，是最大值．下列结论正确的是（） A. ，，，，的众数等于，，，，，，的众数 B. ，，，，的中位数等于，，，，，，的中位数 C. ，，，，的方差小于，，，，，，的方差 D. ，，，，的极差不小于，，，，，，的极差 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了众数、中位数、方差、极差．根据众数、中位数、方差、极差的定义和性质，通过反例和直接推导判断各选项的正确性． 【详解】解：对于A：设数据为，，，，，，，则到的众数为，到的众数为和，两者不相等，∴A错误． 对于B：假设将到按从小到大排列，中位数为；到也从小到大排列，中位数也为，两者相等，∴B正确． 对于C：若所有数据相等（如均为），则两组数据的方差均为，相等而非小于，∴C错误． 对于D：设，，，，，，，是按从小到大排列的数据， 到的极差为，到的极差为，∵，，∴，∴D错误． 故选：B． 5. 已知关于x的分式方程无解，且关于y的不等式组有且只有三个偶数解，则符合条件的整数m有（　　）个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由分式方程无解确定出的m值，不等式组整理后表示出解集，由不等式组有且只有三个偶数解确定出的范围，进而求出符合条件的所有m的和即可． 【详解】解：分式方程去分母得：mx+2x﹣12＝3x﹣6， 移项合并得：（m﹣1）x＝6， 当m﹣1＝0，即m＝1时，方程无解； 当m﹣1≠0，即m≠1时，解得：x＝ ， 由分式方程无解，得到＝2或＝6， 解得：m＝4或m＝2， 不等式组整理得：，即﹣8≤y＜m﹣4， 由不等式组有且只有三个偶数解，得到整数解为﹣8，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣3， 可得﹣4＜m﹣4≤﹣2，即0＜m≤2， 则符合题意m的值为1、2． 故选：C． 【点睛】此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 6. 如图，在中，，，，设与、分别相切于点、，平分，连接，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接、，过点作，垂足为，设与、分别交于点、，由切线性质可得，，结合可证四边形是正方形，可得，设的半径为，则，，，由角平分线的性质得，可得与相切于点，进而由切线长定理得，，由勾股定理得，列方程即可求出半径，由角平分线的判定定理得平分，结合可得，由即可得出． 【详解】解：如图，连接、，过点作，垂足为，设与、分别交于点、， ∵与、分别相切于点、， ∴，， 又∵，， ∴四边形是正方形， ∴， 设的半径为，则，，， ∵平分，，， ∴，， ∴与相切于点， 又∵与、分别相切于点、， ∴，， 在中， ， ∴， ∴， 解得， ∵，，， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C 【点睛】本题考查了切线的性质、切线长定理、角平分线的性质与判定、扇形面积公式等，利用切线长定理结合勾股定理求出圆的半径是解题的关键． 7. 关于的方程有两个实数根分别为，，且，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则或3 C. 若，，则 D. 存在实数，使得 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的性质及不等式条件、一元二次不等式的求解．根据判别式、根与系数关系及函数图象分析各选项即可． 【详解】解：∵方程有两个实数根且， ∴，即． 且． 选项A： 若，则， ，满足，解得，故A错误． 选项B： 若，结合， 解得，或，， 但都不满足，故B错误． 选项C： 若且，则： 对称轴，即， 且时的函数值，即， 判别式，即或； 综上，，故C正确． 选项D： 若，则，得， 但，不满足，故不存在实数，符合题意，故D错误． 故选：C． 8. 东风高中举办校庆活动需要一批志愿者，高一、高二、高三这三个年级报名参加志愿活动的学生人数比例为，学校从每个年级报名人数中按照高一，高二，高三的比率选出一批学生成为志愿者．从所有被选出的志愿者中随机抽取一人，则该生来自高一年级的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查概率的计算，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键．设报名总人数为，根据报名人数比例和选拔比例，计算各年级志愿者人数和总志愿者人数，然后根据概率公式即可求解． 【详解】解：设报名总人数为，则高一、高二、高三报名人数分别为. ∴ 高一志愿者人数为, 高二志愿者人数为, 高三志愿者人数为, ∴ 总志愿者人数为. ∴ 从所有被选出的志愿者中随机抽取一人，则该生来自高一年级的概率为． 故选：D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分． 9. 在平面直角坐标系中，过原点的直线与两函数，的图象分别交于，两点，过作轴的垂线，垂足为，连接交轴于点，连接交轴于点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】本题主要通过反比例函数的性质、相似三角形的判定与性质来对各个结论进行判断．先根据反比例函数的几何意义求出的面积，再通过作辅助线构造相似三角形，利用相似三角形的性质求出线段比例关系和三角形面积，进而判断各个结论的正误． 【详解】解：A：设，，则，故A正确； B：过点作轴于点， 则， ∴， ∵与选项A同理可求， ∴， 故，故B正确； C：∵轴， ∴，， ∴， ∵，∴， ∴，故C错误； D： 则 则 ∵， ∴， ∴， ∴ 故D错误； 故选：AB． 10. 如图，是的直径，，点是圆上不与，重合的点，平分，交于，平分，交于．下列结论正确的是（ ） A. 点是定点 B. 的最大值为15 C. 为的外心 D. 线段长度的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A、在同圆或等圆中，根据圆周角相等，则弧相等即可判断； B、先根据勾股定理得：，再由完全平方公式：可得，再根据，代入计算即可判断； C、证明，即可判断； D、连接，，则有，计算出，即可判断． 【详解】解：A、∵平分， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴点是半圆的中点，即点是定点； 故选项符合题意； B、∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即的最大值为； 故选项不符合题意； C、∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴为的外心； 故C选项符合题意； D、如图，连接，， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的外心, ∴点在以为圆心，为半径的圆上， ∴当点在上时，的最小值为， ∴长度的最小值为； 故D选项符合题意． 故选：ACD． 【点睛】本题主要考查了圆的性质，圆周角定理，勾股定理，角平分线的定义，点与圆上的点的距离的最值问题，熟练掌握相应知识是解题的关键． 11. 抛物线（，，是常数，）经过，，三点，且．下列结论正确的是（ ） A. ； B. ； C. 当时，若点在该抛物线上，则； D. 若关于的一元二次不等式恒成立，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】本题考查抛物线的性质、一元二次方程根与系数的关系、一元二次函数的图象性质．A：作出满足条件的抛物线的图象，得到，将代入抛物线的解析式，根据a、c正负即可判断b的正负；B：判断抛物线对称轴的位置，比较和抛物线顶点的高低即可；C：比较和的高低即可；D：将不等式化为，结合二次函数图象的性质列出不等式组．将不等式中的进行代换即可得到a与c的关系，再结合韦达定理即可判断． 【详解】解：A：∵ ∴抛物线与轴的交点在负半轴上． ∵抛物线经过三点，且， ∴抛物线如图： 其开口向下，． 把代入，得，即． ∵，．故A错误． B：∵， ， ∴方程的两根之积大于0，即， ， ， ∴， ∴抛物线的对称轴在直线的右侧， ∴抛物线的顶点在点的右侧， ∴， ∵， ，故B正确． C：∵抛物线的对称轴在直线1.5的右侧，点在抛物线上， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∵，抛物线开口向下， ∴距离抛物线的对称轴越近的函数值越大， ∴，故C正确； D：不等式可变形为， ∵恒成立， ∴， ∵在上， ∴，即， ∴， 即， ， ∵， ∴， ， 在抛物线上， ∴为方程的两个根， ∴， ∵， ， ， 3， ∴，故D正确． 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 化简：____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的运算，通过有理化分母，将每个分式化为相邻平方根的差，然后利用裂项相消求和即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 13. 若，，为正实数，，，则____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，零指数幂．通过设，将，，表示为的幂形式，然后利用指数运算性质计算，结合已知条件，得到 【详解】解：设，则，，，所以， 又∵ 因此． 故答案为：1 14. 组合数学常应用于计算机编程，计算机中著名的康威生命问题与开关问题有相似的地方．为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关一次，将导致自身和周围所有相邻的开关改变状态，例如，按将导致，，，改变状态．如果要求只改变的状态，则需按开关的最少次数为____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的合情推理；要只改变的状态，则只有在及周边按动开关才可以实现开关的次数最少，借助表格分析即可. 【详解】解：根据题意可知：只有在及周边按动开关，才可以使按开关的次数最少，具体原因如下： 假设开始按动前所有开关均为关闭状态，要只改变的状态，在按动后，，也改变； 下一步可同时恢复或逐一恢复，同时恢复需按动，但会导致周边的，也改变，因此会按动开关更多的次数；所以接下来逐一恢复，至少需按开关3次；这样沿着周边的开关再按动，可以实现最少的开关次数，即按动5次可以满足要求； 如下表所示： 按动 开 开 关 开 关 关 关 关 关 按动 开 关 开 开 关 开 关 关 关 按动 开 关 关 开 开 关 关 关 开 按动 开 关 关 开 关 关 开 开 关 按动 开 关 关 关 关 关 关 关 关 则需按开关的最少次数为5次. 故答案为：5. 四、解答题：本题共5小题，共77分．答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 灵山秀水新十堰，如图是十堰的一座山，其高为100米，一辆汽车在水平的公路上沿直线从往匀速行驶，在处测得山顶的仰角为，经过30秒后汽车到达处，这时测得山顶的仰角为，且． （1）求这辆汽车的速度； （2）若汽车从往行驶了10秒时到达处，求此时山顶与汽车的距离． 【答案】（1）这辆汽车的速度为 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用， （1）先求出，，得出，即可求出结论； （2）先求出点为上靠近的三等分点，过点作的垂线，垂足为，求出，，得出点是上靠近的三等分点，证明，根据线段垂直平分线的性质求出结论即可． 【小问1详解】 解：根据题意得，，，，平面， 所以在中，， 在中，， ， ， 所以在中，， 所以这辆汽车的速度为． 【小问2详解】 解：汽车从往行驶10秒时到达处， 此时， 在中，， 所以点为上靠近的三等分点， 过点作的垂线，垂足为， ， 解得：， ， 所以点是上靠近的三等分点， ， ， ， ． 16. 按要求完成下列各题： （1）若实数满足，求的值； （2）解关于的不等式：； （3）求方程的所有整数解． 【答案】（1）11 （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）设，，得出，，然后利用完全平方公式的变形求解即可； （2）设二次函数，反比例函数，联立求出交点坐标为，，，然后画出图象求解即可； （3）首先得到，然后根据方程的解x是整数，得到是完全平方数，设（m是整数），得到是完全平方数，设（n是整数），表示出，然后分情况讨论求出，，然后代入求出，然后代入求解即可． 【小问1详解】 解：设，， ∵， ∴，， ∵， ∴ ∴； 【小问2详解】 解：设二次函数，反比例函数 联立得， ∴或 ∴或或 ∴将或或分别代入得，或或 ∴二次函数，反比例函数的交点坐标为，，，如图所示， ∴由图象可得，当或时，二次函数图象在反比例函数图象下方 ∴的解集为或； 【小问3详解】 解：∵ ∴ ∴ ∵方程的解x是整数， ∴是完全平方数 设（m是整数） ∴ ∴ ∵方程的解y是整数， ∴是完全平方数 设（n是整数） ∴ ∴ ∵，且和的奇偶性相同 ∴当时，解得，不符合题意； 当时，解得，不符合题意； 当时，解得，不符合题意； 当时，解得，不符合题意； 当时，解得，不符合题意； 当时，解得； 当时，解得，不符合题意； ∴当，时，代入 得， ∴ ∴ ∴或 ∴（舍去）或 ∴将代入得， ∴ ∴或 解得或 ∴方程的所有整数解为或． 【点睛】此题考查了完全平方公式的变形求值，二次函数和反比例函数的图象和性质，解二元二次方程，一元二次方程的判别式的应用等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 17. 某生活超市有一专柜预代理销售甲乙两家公司的一种可相互替代的日常生活用品．经过一段时间分别单独试销甲乙两家公司的商品，从销售数据中随机各抽取50天，统计每日的销售数量，得到如下的频数分布条形图．甲乙两家公司给该超市的日利润方案为：甲公司给超市每天基本费用为90元，另外每销售一件提成1元；乙公司给超市每天的基本费用为130元，每日销售数量不超过83件没有提成，超过83件的部分每件提成10元． （1）求乙公司给超市的日利润y（单位：元）与日销售数量n的函数关系； （2）若将频率视为概率，回答下列问题： ①求甲公司产品销售数量不超过87件的概率； ②如果仅从日均利润的角度考虑，请你利用所学过的统计学知识为超市作出抉择，选择哪家公司的产品进行销售？并说明理由． 【答案】（1）y＝；（2）①；②超市应代理销售乙公司的产品较为合适． 【解析】 【分析】（1）由题意得到，当0≤n≤83时，y＝130元，当n＞＝130+（n﹣83）×10＝10n﹣700，由此能出乙公司给超市的日利润y与销售数量n的函数关系； （2）①根据概率公式即可得到结论； ②求出甲公司给超市的日利润的平均数和乙公司给超市的日利润的平均数，由此能求出代理销售乙公司的产品较为合适． 【详解】解：（1）由题意得到，当0≤n≤83时，y＝130元，当n＞83时，y＝130+（n﹣83）×10＝10n﹣700， ∴乙公司给超市的日利润y（单位：元）与日销售数量n的函数关系为：y＝； （2）①甲公司产品销售数量不超过87件的概率为：＝； ②设甲公司的给超市的日利润为x元， 则x的所有可能的值为：171，174，177，180，183， ＝（171×5+174×10+177×5+180×20+183×10）＝178.2（元）， 设乙公司的给超市的日利润为y元， 则y的所有可能的值为：130，140，170，200，230， ＝×（130×50+0×5+10×5+40×10+70×15+100×15）＝190（元）， ∵＜， ∴超市应代理销售乙公司的产品较为合适． 【点睛】本题主要考查一次函数的实际应用、数据统计及概率的综合问题，熟练掌握各个知识点是解题的关键，注意通过题目的条件及图表求出函数表达式，然后根据数据统计的相关知识点进行求解即可． 18. 如图1，已知是等腰直角三角形，，正方形与有公共顶点，当绕点旋转时，边分别与（或延长线，如图2）、（或延长线，如图2）相交于点，连接， （1）如图1，证明：； （2）如图1，若正方形的边长为1，设，请用表示的长； （3）如图2，结论是否成立，如不成立，写出三线段的数量关系，并证明． 【答案】（1） 证明：如图，延长到，使，连接， ∵四边形是正方形， ，， 在和中， ， ； ； （2） （3） 解：不成立，三线段的数量关系是， 证明：如图，在上取，连接， 在和中 ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． （1）根据正方形性质得出，根据全等三角形的判定推出即可； （2）设，则，得，，在中由勾股定理得，代入相关数据进行整理可得结论； （3）不成立，，理由是：在上取，连接，证，即可 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则，得，， 在中，由勾股定理得， 设，则， 整理得，， 即 所以， 【小问3详解】 略 19. 抛物线交轴于，两点（在的左边）． （1）的顶点在轴的正半轴上，顶点在轴右侧的抛物线上． ①如图（1），若点的坐标是，点的横坐标是，直接写出点，的坐标； ②如图（2），若点在抛物线上，且的面积是12，求点的坐标； （2）如图（3），是原点关于抛物线顶点的对称点，不平行轴的直线分别交线段，（不含端点）于，两点，若直线与抛物线只有一个公共点，求证的值是定值． 【答案】（1）①，；②点的坐标是． （2）方法一：证明：依题意，得，，∴ 设直线解析式为，则，解得． ∴直线的解析式为． 同理，直线的解析式为． 设直线的解析式为． 联立，消去得． ∵直线与抛物线只有一个公共点， ∴，． 联立，且，解得，， 同理，得． ∵，两点关于轴对称，∴． ∴． ∴的值为． 方法二：证明：同方法一得直线的解析式为． 设直线的解析式为，与抛物线唯一公共点为． 联立，消去得，∴． 解得．∴直线的解析式为． 联立，且，解得． ∴点坐标为．同理，点坐标为． ∵，∴． ∴的值为． 【解析】 【分析】（1）①根据函数图象与x轴的交点，令y=0，求出，点E在抛物线上，求出纵坐标为，再根据平行四边形的性质，求出； ②连，过点作轴垂线，垂足为，过点作，垂足为，设点坐标为，点坐标为，根据平行四边形的性质，与点在抛物线上，得到，再由则，列出方程求解； （2）方法一：先求出G、H两点的横坐标，再利用求解即可；方法二：先用待定系数法求出直线与直线l的表达式，根据直线l与抛物线有唯一的交点，求出点坐标为，点坐标为，再求出结果． 【详解】（1）解：①∵抛物线交轴于，两点（在的左边）， ∴令=0，解得：，， ∴， ∵点E在抛物线上，点的横坐标是， ∴， ∵四边形ACDE是平行四边形， ∴ ∴； ②设点坐标为，点坐标为． ∵四边形是平行四边形， ∴将沿平移可与重合，点坐标为． ∵点在抛物线上，∴． 解得，，所以． 连，过点作轴垂线，垂足为，过点作，垂足为． 则， ∵，， ∴． ∴，解得，（不合题意，舍去）． ∴点的坐标是． （2）略 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查二次函数、一次函数、三角形面积、方程组等知识点，解题的关键是学会利用参数，学会用方程组求两个函数图象的交点坐标，学会把问题转化为方程解决，属于压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $