第35讲：椭圆的方程及其几何性质【知识梳理+9个题型归纳+真题模拟精选】讲义-2026届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦椭圆的方程及其几何性质核心考点，按定义、标准方程、几何性质、通用性质的逻辑层次架构知识体系，通过考点梳理、方法指导、真题训练的教学流程，帮助学生突破定义理解、离心率计算等难点，体现复习教学的系统性和针对性。 资料以九大题型为载体，融合方法技巧与易错辨析，如焦点三角形问题用定义+余弦定理培养数学思维，离心率范围问题通过几何条件转不等式发展数学眼光。设置经典例题、分层练习及高考真题训练，确保复习效果，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供有力指导。

2025-2026年高三一轮复习常考题型归纳 【第35讲：椭圆的方程及其几何性质】 总览 题型梳理 一、椭圆的定义 1定义内容：平面内与两个定点、的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆·这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距· 2数学表达式：设平面内动点为，则（，其中为常数，为半焦距）· ▶易错辨析： 易错点1：忽略定义中“2a>2c”的条件·若，则动点轨迹为线段；若，则动点无轨迹· 易错点2：混淆“距离之和”与“距离之差”·椭圆是距离之和为定值，双曲线是距离之差的绝对值为定值，二者不可混淆· ▶重点记忆： 核心条件“2a>2c”是椭圆定义的关键，也是判断动点轨迹是否为椭圆的核心依据· ▶常考结论： 若椭圆上一点与两焦点、构成（焦点三角形），则的周长为（为定义中定值，为焦距）· 二、椭圆的标准方程 1焦点在x轴上的椭圆标准方程：（）· 其中：焦点坐标为、，且满足· 2焦点在y轴上的椭圆标准方程：（）· 其中：焦点坐标为、，且满足· ▶易错辨析： 易错点1：判断焦点位置时出错·焦点在标准方程中“分母较大的项对应的坐标轴”上，即谁的分母大，焦点就在谁的轴上，不可仅凭x、y的顺序判断· 易错点2：混淆a、b、c的关系·椭圆中是，而非（双曲线中是此关系），注意区分两种圆锥曲线中a、b、c的平方关系· 易错点3：标准方程中遗漏“a>b>0”的条件·若未明确a、b的大小关系，方程不一定表示椭圆· ▶重点记忆： 标准方程的核心结构：“平方和为1”，分母为正数且a>b>0· a、b、c的核心关系：（可记为“大平方减小平方等于小平方”，a为最大量）· 焦点坐标与坐标轴的对应关系：焦点在x轴上时，焦点坐标横坐标不为0；焦点在y轴上时，焦点坐标纵坐标不为0· ▶常考结论： 已知椭圆过两点求标准方程时，可先设椭圆的一般式方程：（、且），代入两点坐标求解A、B，再转化为标准方程，可避免讨论焦点位置· 若椭圆的焦距为2c，则，焦距对应的线段长度为，是焦点间的距离· 三、椭圆的几何性质（以标准方程（）为例） 1范围：，·椭圆位于由直线和围成的矩形内· ▶易错辨析： 混淆范围与a、b的对应关系·若椭圆焦点在y轴上（标准方程），范围应为，，不可直接套用焦点在x轴上的范围· ▶重点记忆： 范围由标准方程中x²、y²项的分母决定，分母越大，对应坐标轴上的取值范围越广· ▶常考结论： 椭圆上点的横、纵坐标的最值：焦点在x轴上时，x的最大值为a、最小值为-a，y的最大值为b、最小值为-b；焦点在y轴上时，y的最大值为a、最小值为-a，x的最大值为b、最小值为-b· 2对称性：椭圆关于x轴、y轴和原点都对称·x轴、y轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心（中心）· ▶易错辨析： 误认为椭圆的对称中心一定是原点·只有标准方程对应的椭圆对称中心在原点，若椭圆经过平移（如），对称中心为，而非原点· ▶重点记忆： 判断椭圆对称性的方法：将方程中的x换为-x、y换为-y、x和y同时换为-x和-y，方程均不变，则椭圆关于y轴、x轴、原点对称· ▶常考结论： 椭圆上任意一点关于对称轴或对称中心的对称点仍在椭圆上· 3顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点· 顶点坐标：、（长轴顶点），、（短轴顶点）· 相关概念：长轴长，短轴长；长半轴长为a，短半轴长为b· ▶易错辨析： 混淆长轴、短轴与坐标轴的对应关系·焦点在y轴上的椭圆，长轴顶点为，短轴顶点为，长轴在y轴上，短轴在x轴上· 误将a、b当作长轴、短轴的长度·a是长半轴长，长轴长为2a；b是短半轴长，短轴长为2b，注意区分“半轴长”与“轴长”· ▶重点记忆： 顶点是椭圆与对称轴的交点，共4个顶点· 长轴是椭圆中较长的对称轴，其长度为2a；短轴是较短的对称轴，长度为2b，且a>b，故长轴长始终大于短轴长· ▶常考结论： 椭圆的顶点构成的四边形为矩形，其长为2a、宽为2b，面积为· 4离心率： 定义：椭圆的焦距与长轴长的比值叫做椭圆的离心率，记为e（）· 公式：· ▶易错辨析： 离心率范围记忆错误·椭圆的离心率e满足，不可写成或（双曲线离心率，抛物线离心率）· 混淆离心率与椭圆形状的关系·误认为e越大椭圆越圆，实际e越大，越大，由可知，b越小，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆· ▶重点记忆： 离心率的核心公式，且· 离心率反映椭圆的扁平程度，e∈(0,1)是椭圆离心率的本质特征· ▶常考结论： 离心率的等价表达式：（由推导得出），可根据已知条件选择e的表达式进行求解· 若椭圆的离心率为e，则，此式可用于将椭圆方程中的b²用a和e表示，简化计算· 5准线：椭圆有两条准线，且关于原点对称· 准线方程：· ▶易错辨析： 准线方程记忆错误·焦点在y轴上的椭圆，准线方程为，注意准线与焦点所在坐标轴的对应关系· 混淆准线与a、c的关系·准线方程中是，而非，不可颠倒分子分母· ▶重点记忆： 准线是椭圆的重要辅助线，其位置由a和c决定，且准线与椭圆无交点，位于椭圆外部· ▶常考结论： 椭圆的第二定义：平面内与一个定点（焦点）的距离和到一条定直线（相应准线）的距离之比等于常数e（0<e<1）的点的轨迹叫做椭圆·其中，焦点与准线一一对应，即对应准线，对应准线· 四、椭圆的通用性质（适用于所有椭圆，包括非标准形式） 1椭圆的中心：椭圆的对称中心，标准椭圆的中心在原点，平移后的椭圆中心在· 2椭圆的基本量关系：无论椭圆如何平移，其核心量a、b、c的关系始终为，离心率（0<e<1）· 3椭圆上一点到两焦点距离之和：始终为2a，与椭圆的位置无关· ▶易错辨析： 认为椭圆平移后a、b、c的值会改变·椭圆的平移只改变其位置，不改变形状和大小，故a（长半轴长）、b（短半轴长）、c（半焦距）的值保持不变，离心率也不变· ▶重点记忆： a、b、c是椭圆的固有属性，仅与椭圆的形状和大小有关，与位置无关；平移只影响椭圆的顶点、焦点、准线等的坐标，不影响这些量的数值· ▶常考结论： 若椭圆的方程为（），则其对称中心为，焦点坐标为，准线方程为，顶点坐标为、· 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：求椭圆的轨迹方程】 【方法技巧】 1.核心方法： 1）定义法：若动点满足“到两定点距离之和为定值且定值大于两定点间距离”，直接用椭圆定义写轨迹方程.设两定点为、，，动点到两定点距离和为（），则轨迹方程为（，焦点位置由定点所在坐标轴决定）. 2）待定系数法：先判断焦点位置，设对应标准方程（焦点在轴：；焦点在轴：），代入已知条件求、. 3）相关点法（代入法）：若动点与已知椭圆上的点相关联，先表示出、，再代入的椭圆方程，化简得的轨迹方程. 2.易错辨析： 1）定义法忽略“”：若，轨迹为线段；若，无轨迹，需检验. 2）待定系数法漏讨论焦点位置：未明确焦点位置时，需设统一形式（），避免漏解. 3）相关点法忘记化简：代入后需整理为椭圆标准形式，不可保留中间变量. 3.重点记忆： 1）定义法是求椭圆轨迹最直接的方法，优先判断动点是否满足椭圆定义. 2）统一方程形式可覆盖所有椭圆（不含圆），无需提前讨论焦点位置. 4.常考结论： 1）若动点到定点的距离与到定直线的距离之比为常数（），则动点轨迹为椭圆（第二定义）. 2）若三角形一边长为定值，另两边长之和为定值且大于该边长，则第三顶点轨迹为椭圆（除去与边共线的点）. （2025·江苏南京·三模）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（   ）经典例题例题 A． B． C． D． （2025·湖北·三模）已知圆，圆，动圆M与圆，圆都相切，若动圆圆心M的轨迹是两个椭圆，且这两个椭圆的离心率分别为，则的值为（    ）小试牛刀1 A．2 B．4 C．6 D．8 （2025·四川成都·三模）已知动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆的圆心轨迹方程为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知曲线，从曲线上任意一点向轴作垂线，垂足为，且，则点的轨迹方程为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型2：椭圆上的点到焦点的距离和差问题】 【方法技巧】 1.核心方法： 1）椭圆定义法：利用“椭圆上任意点到两焦点、的距离和为”，即，转化距离和差（如）. 2）焦半径公式法： 焦点在轴上：，（，左加右减）； 焦点在轴上：，（上加下减）. 2.易错辨析： 1）焦半径公式混淆焦点位置：焦点在轴时，焦半径与相关，易误代入计算. 2）忽略焦半径范围：焦半径的取值范围是，结果需在此范围内，否则计算错误. 3.重点记忆： 1）焦半径公式的核心逻辑是“靠近焦点的距离用‘减’，远离焦点的距离用‘加’”. 2）椭圆定义是解决距离和差问题的“通法”，无需记忆焦半径公式也可推导. 4.常考结论： 1）椭圆上点到焦点的最大距离为（长轴端点），最小距离为（长轴另一端点）. 2）若，则为椭圆短轴顶点（此时，为原点）. （2025·河南·二模）已知椭圆的两焦点分别为，，点P为椭圆上任意一点，则的最大值为（   ）经典例题例题 A． B． C．3 D．6 （24-25高三下·云南昭通·月考）已知点P为椭圆上任意一点，直线与交于A，B两点，则的取值范围是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （23-24高二上·湖南长沙·月考）已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，则的最大值是（   ）小试牛刀2 A． B．9 C．16 D．25 （2023·河南周口·模拟预测）已知是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆的右焦点，则的取值范围为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型3：椭圆上的点到焦点与定点的距离和差问题】 【方法技巧】 1.核心方法： 1）定义转化法：利用，将“焦点距离+定点距离”转化为“另一焦点距离+定点距离”（如），再结合三角形三边关系（）求最值. 2）几何对称法：若定点与焦点在椭圆同侧，作定点关于椭圆的对称点，利用“两点之间线段最短”求距离和的最小值. 2.易错辨析： 1）转化时符号错误：如将转化为时，易漏写“”的符号. 2）忽略三角形三边关系的等号条件：当、、共线时，，需验证是否在椭圆上. 3.重点记忆： 1）核心思路是“用椭圆定义消去一个焦点距离，将问题转化为定点与另一焦点的距离问题”. 2）距离和的最小值（或最大值）往往出现在点共线的位置. 4.常考结论： 1）若定点在椭圆内，的最小值为，最大值为. 2）若定点在椭圆外，的最小值为（为与椭圆的交点）. （2025·陕西西安·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，且过点，为上一动点，则的最大值为（   ）经典例题例题 A． B． C． D． （2025·山东滨州·二模）已知椭圆和圆分别为椭圆和圆上的动点，若为椭圆的左焦点，则的最小值为（   ）小试牛刀1 A．6 B．5 C．9 D．8 （2024·湖南衡阳·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点为是椭圆上一动点，直线经过的定点为，则的最大值为（    ）小试牛刀2 A． B．2 C． D．6 （2023·江苏南通·三模）已知为椭圆：的右焦点，为上一点，为圆：上一点，则的最大值为（    ）小试牛刀3 A．5 B．6 C． D． 【题型4：与椭圆的有界性有关的范围问题】 【方法技巧】 1.核心方法： 1）直接利用椭圆范围：椭圆上点满足，，代入所求表达式求范围. 2）参数方程法：设（），将所求表达式转化为三角函数式，利用三角函数有界性（）求范围. 3）几何法：将范围问题转化为“点到直线的距离”“线段长度”等几何量，结合椭圆的顶点、焦点位置求范围. 2.易错辨析： 1）参数方程混淆、的对应关系：易将写为、写为，正确对应应为、. 2）忽略三角函数的相位：用辅助角公式化简时，易漏写相位角，导致范围计算错误. 3.重点记忆： 1）椭圆的有界性是解决范围问题的基础，优先考虑直接代入、的范围. 2）参数方程法适用于含、的齐次式或非线性表达式，转化为三角函数后更易求范围. 4.常考结论： 1）椭圆上点到原点的距离范围是，即. 2）椭圆上点到直线的距离最值为（用参数方程+辅助角公式推导）. （2023·河北·三模）已知复数（为虚数单位），则的最小值为（    ）经典例题例题 A．1 B． C．3 D． （25-26高二上·河北张家口·期中）已知点为椭圆上一点，直线过圆的圆心且与圆交于，两点，则的取值范围为 ．小试牛刀1 （2025·江西新余·二模）已知点是椭圆：上的动点，若，则的最小值为 .小试牛刀2 （23-24高三上·河北保定·月考）设是椭圆的左、右焦点，为坐标原点，为上一个动点，且的取值范围为，则椭C的长轴长为 ．小试牛刀3 【题型5：椭圆的焦点三角形问题】 【方法技巧】 1.核心方法： 1）定义+余弦定理：由和余弦定理（），联立得. 2）面积公式：焦点三角形面积，或（为的纵坐标）. 2.易错辨析： 1）面积公式记错符号：易将写为，需结合推导过程记忆. 2）忽略的范围：，其中为在短轴顶点时的角（）. 3.重点记忆： 1）焦点三角形的核心是“椭圆定义+余弦定理”的联立，所有结论均可由此推导. 2）面积公式更简洁，若已知的纵坐标，优先用此公式. 4.常考结论： 1）当在短轴顶点时，最大，此时焦点三角形面积最大（）. 2）若，则，面积，且点的轨迹为圆（与椭圆的交点）. （2025·福建福州·三模）设椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，为的平分线与轴的交点.若，则（   ）经典例题例题 A． B． C． D． （2025·广东深圳·模拟预测）设，为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则的面积为（     ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2024·全国·模拟预测）已知点分别为椭圆的左顶点、右焦点，点为上一点，且为的平分线，，则的内切圆的半径为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【多选题】（2025·浙江·三模）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，上顶点为A，且，P为C上位于第一象限内的点，且，的内角平分线交x轴于点M，则下列结论正确的是（   ）小试牛刀3 A．椭圆C的离心率 B． C．的内切圆半径为 D． 【题型6：椭圆的第三定义和中点弦问题】 【方法技巧】 1.核心方法： 1）第三定义：椭圆上任意不共线的两点、，若为原点，且，则；更常用的是“中点弦的第三定义”：若为椭圆的弦，为中点，则（为的斜率，为的斜率）. 2）点差法：设、，代入椭圆方程得，因式分解后结合中点坐标、，得. 2.易错辨析： 1）第三定义的符号错误：易将写为，正确符号为负. 2）点差法忽略适用前提：需保证弦与椭圆有两个交点（即），否则结论不成立. 3.重点记忆： 1）中点弦问题的核心是“点差法”，无需联立直线与椭圆方程，计算更简洁. 2）第三定义是点差法的直接结论，可快速由中点坐标求弦的斜率. 4.常考结论： 1）过椭圆内一点的中点弦方程为. 2）若椭圆的弦的中点为，则的垂直平分线方程可由求斜率后写出. （2025·湖北襄阳·模拟预测）如图，斜率为的直线与椭圆交于，两点，与轴、轴分别交于点，，若，则椭圆的焦距为 .经典例题例题 （24-25高二上·上海·期中）过椭圆：右焦点的直线：交于、两点，为AB的中点，且OP的斜率为，则椭圆的标准方程为 .小试牛刀1 （2024·福建龙岩·一模）斜率为的直线与椭圆交于两点，点是椭圆上的一点，且满足，点分别是的重心，点是的外心.记直线的斜率分别为，若，则椭圆的离心率为 .小试牛刀2 （24-25高三上·山西·期末）已知椭圆的离心率为，过点的直线与椭圆交于A，B两点，且满足，则直线的方程为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型7：求椭圆的离心率】 【方法技巧】 1.核心方法： 1）找、的关系：通过几何条件（如直角三角形、中位线、相似三角形）建立关于、、的等式，结合转化为的方程，即的方程. 2.易错辨析： 1）忽略的范围：解得后需验证，舍去不符合的解. 2）转化错误：将代入时，易写错符号，导致的方程错误. 3.重点记忆： 1）离心率的本质是，所有求的问题最终都要转化为关于的表达式. 2）常见的转化形式：，可将的关系转化为的关系. 4.常考结论： 1）若椭圆的长轴长是焦距的倍，则. 2）若焦点三角形为直角三角形，且直角在焦点处，则（短轴顶点到焦点的距离为，焦距为，由推导）. （2025·甘肃金昌·三模）已知椭圆C:的左、右焦点分别为，是椭圆上的点，且在第一象限，是的平分线，过点作的垂线，垂足为，若 ，,则椭圆的离心率是 .经典例题例题 （23-24高三下·云南昆明·月考）设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2025·甘肃武威·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点.直线与交于另一点，若，，则的离心率为（ ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2025·山东青岛·模拟预测）已知椭圆，过点作斜率为1的直线交椭圆于，两点，且，则椭圆的离心率为 .小试牛刀3 【题型8：椭圆离心率的取值范围问题】 【方法技巧】 1.核心方法： 1）几何条件转不等式：利用椭圆的性质（如焦半径范围、点的范围）或三角形三边关系，建立关于、、的不等式，结合转化为的不等式. 2）函数法：将表示为关于某一变量的函数，利用变量的范围求的范围. 2.易错辨析： 1）不等式方向错误：如由转化时，易将不等号写反. 2）忽略变量的限制：函数法中变量的范围（如）会影响的范围，需同步考虑. 3.重点记忆： 1）核心思路是“找到一个能限制、关系的不等条件”，常见来源是“三角形两边之和大于第三边”“点在椭圆内/外”等. 2）转化时优先用，将不等式化为仅含的形式. 4.常考结论： 1）若椭圆上存在点满足，则. 2）若椭圆的短轴长小于焦距，则. （23-24高二上·安徽亳州·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为、，若上存在点满足：，则的离心率的取值范围是 .经典例题例题 （2025·河南·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上异于长轴端点的一点，点M满足，，O为坐标原点，则C的离心率的取值范围是 .小试牛刀1 （2025·湖南·模拟预测）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为.已知椭圆的焦点在轴上，、为椭圆上任意两点，动点在直线上.若恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识，则椭圆离心率的取值范围为 .小试牛刀2 （2025·四川成都·三模）设椭圆的一个焦点为，为内一点，若上存在一点，使得，则椭圆离心率的取值范围是 ．小试牛刀3 【题型9：椭圆的性质综合题型】 【方法技巧】 1.核心方法： 1）分步拆解法：将综合题拆解为“定义应用、几何性质、中点弦、离心率”等单一题型，逐一解决后整合结果. 2）数形结合法：画出椭圆及相关点、线的图形，利用几何直观找到各量的关系，再结合代数方法计算. 2.易错辨析： 1）知识点混淆：如将椭圆的焦半径公式与双曲线的焦半径公式混淆，或误用第三定义的符号. 2）步骤遗漏：综合题需分步推导，易遗漏某一环节（如求中点弦方程时，未验证）. 3.重点记忆： 1）综合题的解题逻辑是“从条件出发，识别题型，选择对应方法”，无需记忆复杂结论，需熟练掌握基础题型的方法. 2）优先处理已知条件中“最明确的信息”（如已知中点，优先用点差法；已知焦点三角形，优先用定义+余弦定理）. 4.常考结论： 1）综合题常结合“中点弦+离心率+范围问题”，核心是利用中点弦的斜率关系建立、的等式，再结合范围求的范围. 2）涉及“直线与椭圆相交”的综合题，需先验证，避免出现无实数解的情况. 【多选题】（2025·陕西·模拟预测）已知椭圆：的离心率为．若点在上，，分别是的左、右焦点，则下列结论正确的是（   ）经典例题例题 A． B．若，则 C．椭圆内接矩形周长的最大值为 D．满足是直角三角形的点有4个 【多选题】（2025·广东·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点为，上顶点为M，直线l经过左焦点与C交于A、B两点，与y轴交于点N．则下列判断正确的是（    ）小试牛刀1 A．的周长为4 B．为等边三角形 C．的最小值为1 D．存在点N，使得 【多选题】（2025·广东·模拟预测）设为椭圆的左，右焦点，为椭圆上一点且在第一象限.若的面积为，则下列说法正确的是（    ）小试牛刀2 A．的周长为 B．以为直径的圆经过点 C．点的坐标为 D．直线的斜率为 【多选题】（2025·云南昭通·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，且，为上位于第一象限内的点，且，的内角平分线交轴于点，则下列结论正确的是（    ）小试牛刀3 A．椭圆的离心率 B． C．的内切圆半径为 D． 课后针对训练 一、单选题 1．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023·全国甲卷·高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．9 D．6 5．（2023·全国甲卷·高考真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 6．（2022·全国甲卷·高考真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．（2022·全国甲卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（    ） A． B． C． D． 8．（2019·全国I卷·高考真题）已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为 A． B． C． D． 9．（2024·湖南·三模）已知是椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，过作直线与C交于A，B两点，若，且的面积为，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 10．（2024·浙江温州·三模）已知是椭圆的左右焦点，上两点满足：，，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 11．（2024·云南昆明·一模）已知椭圆（）的左、右焦点为、，圆与的一个交点为，直线与的另一个交点为，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 12．（2023·江苏南京·二模）已知椭圆，为其左焦点，直线与椭圆交于点，，且．若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 13．（2024·河南·三模）已知椭圆的右焦点为，短轴长为，点在椭圆上，若的最大值是最小值的3倍，则椭圆的焦距为（    ） A．3 B．4 C．1 D．2 二、填空题 14．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是 ． 15．（2019·全国III卷·高考真题）设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为 . 16．（2021·浙江·高考真题）已知椭圆，焦点， ，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且轴，则该直线的斜率是 ，椭圆的离心率是 . 17．（2025·福建泉州·一模）设为坐标原点，为椭圆的上顶点，点在上，线段交轴于点．若，且，则的离心率等于 ． 18．（2023·福建宁德·模拟预测）已知椭圆的右焦点是，直线交椭圆于两点﹐直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026年高三一轮复习常考题型归纳 【第35讲：椭圆的方程及其几何性质】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 一、椭圆的定义 1定义内容：平面内与两个定点、的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆·这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距· 2数学表达式：设平面内动点为，则（，其中为常数，为半焦距）· ▶易错辨析： 易错点1：忽略定义中“2a>2c”的条件·若，则动点轨迹为线段；若，则动点无轨迹· 易错点2：混淆“距离之和”与“距离之差”·椭圆是距离之和为定值，双曲线是距离之差的绝对值为定值，二者不可混淆· ▶重点记忆： 核心条件“2a>2c”是椭圆定义的关键，也是判断动点轨迹是否为椭圆的核心依据· ▶常考结论： 若椭圆上一点与两焦点、构成（焦点三角形），则的周长为（为定义中定值，为焦距）· 二、椭圆的标准方程 1焦点在x轴上的椭圆标准方程：（）· 其中：焦点坐标为、，且满足· 2焦点在y轴上的椭圆标准方程：（）· 其中：焦点坐标为、，且满足· ▶易错辨析： 易错点1：判断焦点位置时出错·焦点在标准方程中“分母较大的项对应的坐标轴”上，即谁的分母大，焦点就在谁的轴上，不可仅凭x、y的顺序判断· 易错点2：混淆a、b、c的关系·椭圆中是，而非（双曲线中是此关系），注意区分两种圆锥曲线中a、b、c的平方关系· 易错点3：标准方程中遗漏“a>b>0”的条件·若未明确a、b的大小关系，方程不一定表示椭圆· ▶重点记忆： 标准方程的核心结构：“平方和为1”，分母为正数且a>b>0· a、b、c的核心关系：（可记为“大平方减小平方等于小平方”，a为最大量）· 焦点坐标与坐标轴的对应关系：焦点在x轴上时，焦点坐标横坐标不为0；焦点在y轴上时，焦点坐标纵坐标不为0· ▶常考结论： 已知椭圆过两点求标准方程时，可先设椭圆的一般式方程：（、且），代入两点坐标求解A、B，再转化为标准方程，可避免讨论焦点位置· 若椭圆的焦距为2c，则，焦距对应的线段长度为，是焦点间的距离· 三、椭圆的几何性质（以标准方程（）为例） 1范围：，·椭圆位于由直线和围成的矩形内· ▶易错辨析： 混淆范围与a、b的对应关系·若椭圆焦点在y轴上（标准方程），范围应为，，不可直接套用焦点在x轴上的范围· ▶重点记忆： 范围由标准方程中x²、y²项的分母决定，分母越大，对应坐标轴上的取值范围越广· ▶常考结论： 椭圆上点的横、纵坐标的最值：焦点在x轴上时，x的最大值为a、最小值为-a，y的最大值为b、最小值为-b；焦点在y轴上时，y的最大值为a、最小值为-a，x的最大值为b、最小值为-b· 2对称性：椭圆关于x轴、y轴和原点都对称·x轴、y轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心（中心）· ▶易错辨析： 误认为椭圆的对称中心一定是原点·只有标准方程对应的椭圆对称中心在原点，若椭圆经过平移（如），对称中心为，而非原点· ▶重点记忆： 判断椭圆对称性的方法：将方程中的x换为-x、y换为-y、x和y同时换为-x和-y，方程均不变，则椭圆关于y轴、x轴、原点对称· ▶常考结论： 椭圆上任意一点关于对称轴或对称中心的对称点仍在椭圆上· 3顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点· 顶点坐标：、（长轴顶点），、（短轴顶点）· 相关概念：长轴长，短轴长；长半轴长为a，短半轴长为b· ▶易错辨析： 混淆长轴、短轴与坐标轴的对应关系·焦点在y轴上的椭圆，长轴顶点为，短轴顶点为，长轴在y轴上，短轴在x轴上· 误将a、b当作长轴、短轴的长度·a是长半轴长，长轴长为2a；b是短半轴长，短轴长为2b，注意区分“半轴长”与“轴长”· ▶重点记忆： 顶点是椭圆与对称轴的交点，共4个顶点· 长轴是椭圆中较长的对称轴，其长度为2a；短轴是较短的对称轴，长度为2b，且a>b，故长轴长始终大于短轴长· ▶常考结论： 椭圆的顶点构成的四边形为矩形，其长为2a、宽为2b，面积为· 4离心率： 定义：椭圆的焦距与长轴长的比值叫做椭圆的离心率，记为e（）· 公式：· ▶易错辨析： 离心率范围记忆错误·椭圆的离心率e满足，不可写成或（双曲线离心率，抛物线离心率）· 混淆离心率与椭圆形状的关系·误认为e越大椭圆越圆，实际e越大，越大，由可知，b越小，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆· ▶重点记忆： 离心率的核心公式，且· 离心率反映椭圆的扁平程度，e∈(0,1)是椭圆离心率的本质特征· ▶常考结论： 离心率的等价表达式：（由推导得出），可根据已知条件选择e的表达式进行求解· 若椭圆的离心率为e，则，此式可用于将椭圆方程中的b²用a和e表示，简化计算· 5准线：椭圆有两条准线，且关于原点对称· 准线方程：· ▶易错辨析： 准线方程记忆错误·焦点在y轴上的椭圆，准线方程为，注意准线与焦点所在坐标轴的对应关系· 混淆准线与a、c的关系·准线方程中是，而非，不可颠倒分子分母· ▶重点记忆： 准线是椭圆的重要辅助线，其位置由a和c决定，且准线与椭圆无交点，位于椭圆外部· ▶常考结论： 椭圆的第二定义：平面内与一个定点（焦点）的距离和到一条定直线（相应准线）的距离之比等于常数e（0<e<1）的点的轨迹叫做椭圆·其中，焦点与准线一一对应，即对应准线，对应准线· 四、椭圆的通用性质（适用于所有椭圆，包括非标准形式） 1椭圆的中心：椭圆的对称中心，标准椭圆的中心在原点，平移后的椭圆中心在· 2椭圆的基本量关系：无论椭圆如何平移，其核心量a、b、c的关系始终为，离心率（0<e<1）· 3椭圆上一点到两焦点距离之和：始终为2a，与椭圆的位置无关· ▶易错辨析： 认为椭圆平移后a、b、c的值会改变·椭圆的平移只改变其位置，不改变形状和大小，故a（长半轴长）、b（短半轴长）、c（半焦距）的值保持不变，离心率也不变· ▶重点记忆： a、b、c是椭圆的固有属性，仅与椭圆的形状和大小有关，与位置无关；平移只影响椭圆的顶点、焦点、准线等的坐标，不影响这些量的数值· ▶常考结论： 若椭圆的方程为（），则其对称中心为，焦点坐标为，准线方程为，顶点坐标为、· 【题型1：求椭圆的轨迹方程】 【方法技巧】 1.核心方法： 1）定义法：若动点满足“到两定点距离之和为定值且定值大于两定点间距离”，直接用椭圆定义写轨迹方程.设两定点为、，，动点到两定点距离和为（），则轨迹方程为（，焦点位置由定点所在坐标轴决定）. 2）待定系数法：先判断焦点位置，设对应标准方程（焦点在轴：；焦点在轴：），代入已知条件求、. 3）相关点法（代入法）：若动点与已知椭圆上的点相关联，先表示出、，再代入的椭圆方程，化简得的轨迹方程. 2.易错辨析： 1）定义法忽略“”：若，轨迹为线段；若，无轨迹，需检验. 2）待定系数法漏讨论焦点位置：未明确焦点位置时，需设统一形式（），避免漏解. 3）相关点法忘记化简：代入后需整理为椭圆标准形式，不可保留中间变量. 3.重点记忆： 1）定义法是求椭圆轨迹最直接的方法，优先判断动点是否满足椭圆定义. 2）统一方程形式可覆盖所有椭圆（不含圆），无需提前讨论焦点位置. 4.常考结论： 1）若动点到定点的距离与到定直线的距离之比为常数（），则动点轨迹为椭圆（第二定义）. 2）若三角形一边长为定值，另两边长之和为定值且大于该边长，则第三顶点轨迹为椭圆（除去与边共线的点）. （2025·江苏南京·三模）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（   ）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，由题意，根据中点的坐标表示可得，代入圆的方程即可求解. 【详解】设点，则， 因为为的中点，所以，即， 又在圆上， 所以，即， 即点的轨迹方程为. 故选：A （2025·湖北·三模）已知圆，圆，动圆M与圆，圆都相切，若动圆圆心M的轨迹是两个椭圆，且这两个椭圆的离心率分别为，则的值为（    ）小试牛刀1 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】画出图形，当动圆M与圆内切，与圆外切，此时离心率为，当动圆M与圆，均内切，，求出答案. 【详解】，如图1，动圆M与圆内切，与圆外切， 此时，，， ， 故圆心M的轨迹为以为焦点的椭圆方程，此时， 故，故离心率为， 如图2，当动圆M与圆，均内切， ， 则 ， 故圆心M的轨迹为以为焦点的椭圆方程，此时， 故，故离心率为， . 故选：B （2025·四川成都·三模）已知动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆的圆心轨迹方程为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析出，确定圆心M的轨迹为椭圆，求出，得到轨迹方程. 【详解】设圆圆心且与圆切于点P，圆圆心与圆切于点Q， 由题意得：，，其中， 所以， 由椭圆定义可知：动圆圆心C的轨迹为以为焦点的椭圆，设， 则，解得：， 故动圆圆心C的轨迹方程为. 故选：A （2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知曲线，从曲线上任意一点向轴作垂线，垂足为，且，则点的轨迹方程为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出点的坐标，并表示出点，再代入已知曲线方程即可. 【详解】设点，由轴于点，且，得，则， 又点是曲线上的任意一点，因此， 所以点的轨迹方程为. 故选：A 【题型2：椭圆上的点到焦点的距离和差问题】 【方法技巧】 1.核心方法： 1）椭圆定义法：利用“椭圆上任意点到两焦点、的距离和为”，即，转化距离和差（如）. 2）焦半径公式法： 焦点在轴上：，（，左加右减）； 焦点在轴上：，（上加下减）. 2.易错辨析： 1）焦半径公式混淆焦点位置：焦点在轴时，焦半径与相关，易误代入计算. 2）忽略焦半径范围：焦半径的取值范围是，结果需在此范围内，否则计算错误. 3.重点记忆： 1）焦半径公式的核心逻辑是“靠近焦点的距离用‘减’，远离焦点的距离用‘加’”. 2）椭圆定义是解决距离和差问题的“通法”，无需记忆焦半径公式也可推导. 4.常考结论： 1）椭圆上点到焦点的最大距离为（长轴端点），最小距离为（长轴另一端点）. 2）若，则为椭圆短轴顶点（此时，为原点）. （2025·河南·二模）已知椭圆的两焦点分别为，，点P为椭圆上任意一点，则的最大值为（   ）经典例题例题 A． B． C．3 D．6 【答案】D 【分析】根据平面向量数量积的几何意义可得，当与同向时， 取得最大值，结合椭圆的性质求出最大值即可. 【详解】由向量数量积的几何意义，可知当与同向时，在上的投影向量的模最大， 即取得最大，此时的最大值为，而， 即为的最大值. 故选：D. （24-25高三下·云南昭通·月考）已知点P为椭圆上任意一点，直线与交于A，B两点，则的取值范围是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，结合椭圆焦半径的取值范围即可求解； 【详解】   ，即的圆心，半径为， 化为，可得直线l过定点， 椭圆方程中，，，，，则圆心为椭圆的右焦点， 线段为的直径(除去直线与圆M相交的直径）， 连接，因此， 点为椭圆上任意一点，则，， 即，所以， 故选：B. （23-24高二上·湖南长沙·月考）已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，则的最大值是（   ）小试牛刀2 A． B．9 C．16 D．25 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义及基本不等式可求答案. 【详解】解：由题意，，， ，当且仅当时，等号成立， 的最大值是25． 故选：D． （2023·河南周口·模拟预测）已知是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆的右焦点，则的取值范围为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆的对称性以及定义可得，即可得，利用二次函数的性质即可求解. 【详解】由对称性和椭圆定义可知，其中， 故， 又因为，设点，则， 所以， 当时，取得最小值，最小值为4，当时，取得最大值，最大值为64，所以， 故当时，取得最小值，最小值为51， 当时，取得最大值，最大值为， 故的取值范围是. 故选：C.    【题型3：椭圆上的点到焦点与定点的距离和差问题】 【方法技巧】 1.核心方法： 1）定义转化法：利用，将“焦点距离+定点距离”转化为“另一焦点距离+定点距离”（如），再结合三角形三边关系（）求最值. 2）几何对称法：若定点与焦点在椭圆同侧，作定点关于椭圆的对称点，利用“两点之间线段最短”求距离和的最小值. 2.易错辨析： 1）转化时符号错误：如将转化为时，易漏写“”的符号. 2）忽略三角形三边关系的等号条件：当、、共线时，，需验证是否在椭圆上. 3.重点记忆： 1）核心思路是“用椭圆定义消去一个焦点距离，将问题转化为定点与另一焦点的距离问题”. 2）距离和的最小值（或最大值）往往出现在点共线的位置. 4.常考结论： 1）若定点在椭圆内，的最小值为，最大值为. 2）若定点在椭圆外，的最小值为（为与椭圆的交点）. （2025·陕西西安·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，且过点，为上一动点，则的最大值为（   ）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题目条件求椭圆的方程，进而由椭圆的定义及两点间线段最短求两线段长度之和的最大值 【详解】设半焦距为，因为，故. 又过点，故. 由椭圆得，代入解得，.即，. 所以的方程为.    设的左焦点为，故. 根据椭圆的几何性质可知， 由于两点之间线段最短，所以. 因此. 当且仅当，，在一条直线上时，等号成立. 故选： （2025·山东滨州·二模）已知椭圆和圆分别为椭圆和圆上的动点，若为椭圆的左焦点，则的最小值为（   ）小试牛刀1 A．6 B．5 C．9 D．8 【答案】A 【分析】依题意将点到圆上点距离最值转化为点到圆心距离问题，再结合椭圆定义并利用三点共线求得点在处时，使得的最小值为6. 【详解】易知椭圆中，即可得， 又圆的圆心为，半径， 易知椭圆右焦点，显然在圆上，如下图：    易知椭圆上一点到圆上任意一点的最小距离为， 因此可将的最小值转化为求的最小值， 由椭圆定义可得； 此时点在处，使得的最小值为6. 故选：A （2024·湖南衡阳·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点为是椭圆上一动点，直线经过的定点为，则的最大值为（    ）小试牛刀2 A． B．2 C． D．6 【答案】B 【分析】由直线经过定点，结合椭圆的定义由求解. 【详解】由椭圆得， 因为点为椭圆上的点，则， 直线经过定点， 则， 当且仅当在线段上时取等号， 所以的最大值为2. 故选：B. （2023·江苏南通·三模）已知为椭圆：的右焦点，为上一点，为圆：上一点，则的最大值为（    ）小试牛刀3 A．5 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义、点和圆的位置关系等知识确定正确答案. 【详解】依题意，设椭圆的左焦点为， 圆的圆心为，半径为， ， 当三点共线，且在之间时等号成立. 而， 所以， 当四点共线，且在之间，是的延长线与圆的交点时等号成立. 故选：D    【题型4：与椭圆的有界性有关的范围问题】 【方法技巧】 1.核心方法： 1）直接利用椭圆范围：椭圆上点满足，，代入所求表达式求范围. 2）参数方程法：设（），将所求表达式转化为三角函数式，利用三角函数有界性（）求范围. 3）几何法：将范围问题转化为“点到直线的距离”“线段长度”等几何量，结合椭圆的顶点、焦点位置求范围. 2.易错辨析： 1）参数方程混淆、的对应关系：易将写为、写为，正确对应应为、. 2）忽略三角函数的相位：用辅助角公式化简时，易漏写相位角，导致范围计算错误. 3.重点记忆： 1）椭圆的有界性是解决范围问题的基础，优先考虑直接代入、的范围. 2）参数方程法适用于含、的齐次式或非线性表达式，转化为三角函数后更易求范围. 4.常考结论： 1）椭圆上点到原点的距离范围是，即. 2）椭圆上点到直线的距离最值为（用参数方程+辅助角公式推导）. （2023·河北·三模）已知复数（为虚数单位），则的最小值为（    ）经典例题例题 A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据复数的几何意义确定复数对应的点在椭圆上，由椭圆的性质可得． 【详解】设，又，则，消去得， 所以复数z对应的复平面上的点在椭圆上，其右焦点为，， 表示复数与对应的点间的距离，即椭圆的点到右焦点的距离， 则最小值为， 所以的最小值为． 故选：B. （25-26高二上·河北张家口·期中）已知点为椭圆上一点，直线过圆的圆心且与圆交于，两点，则的取值范围为 ．小试牛刀1 【答案】 【分析】根据题意，得到圆心为椭圆的右焦点,连接，化简得到，结合椭圆的几何性质，即可求解. 【详解】由圆，可得的圆心为，半径为， 又由椭圆，可得，，则， 所以所以圆心为椭圆的右焦点, 因为直线过圆的圆心且与圆交于两点， 所以是圆的直径，且为的中点，所以，所以， 如图所示，连接， 可得： 因为点为椭圆上任意一点，所以． 由，所以． 故答案为：．    （2025·江西新余·二模）已知点是椭圆：上的动点，若，则的最小值为 .小试牛刀2 【答案】/ 【分析】根据两点间的距离公式列关于的函数式，然后利用二次函数求出最值即可 【详解】由题意得，且 所以 当时，取得最小值为， 故答案为： （23-24高三上·河北保定·月考）设是椭圆的左、右焦点，为坐标原点，为上一个动点，且的取值范围为，则椭C的长轴长为 ．小试牛刀3 【答案】 【分析】根据给定条件，利用平面向量数量积的运算律，结合椭圆的范围求得，再列式计算即得. 【详解】椭圆的半焦距为c，为的中点， ，显然，于是， 因此，即，解得，，即， 所以椭圆C的长轴长为. 故答案为： 【题型5：椭圆的焦点三角形问题】 【方法技巧】 1.核心方法： 1）定义+余弦定理：由和余弦定理（），联立得. 2）面积公式：焦点三角形面积，或（为的纵坐标）. 2.易错辨析： 1）面积公式记错符号：易将写为，需结合推导过程记忆. 2）忽略的范围：，其中为在短轴顶点时的角（）. 3.重点记忆： 1）焦点三角形的核心是“椭圆定义+余弦定理”的联立，所有结论均可由此推导. 2）面积公式更简洁，若已知的纵坐标，优先用此公式. 4.常考结论： 1）当在短轴顶点时，最大，此时焦点三角形面积最大（）. 2）若，则，面积，且点的轨迹为圆（与椭圆的交点）. （2025·福建福州·三模）设椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，为的平分线与轴的交点.若，则（   ）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解法一：不妨设点位于第一象限，设，，根据题意得出关于、的方程组，解出这两个量的值，利用角平分线定理分析得出，结合三角形的面积公式可求出的值； 解法二：不妨设点位于第一象限，设，，根据题意得出关于、的方程组，解出这两个量的值，由结合三角形的面积公式可求出的值. 【详解】依题意，，， 解法一：不妨设点位于第一象限，设，，则①，且. 因为，所以，所以②. 由①②解得：，. 因为平分，由角平分线定理可得，故， 所以，即， 故，所以. 解法二：不妨设点位于第一象限，设，，则①，且. 因为，所以，所以②. 由①②解得：，. 由，得， 所以. 故选：B. （2025·广东深圳·模拟预测）设，为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则的面积为（     ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由椭圆标准方程可得，，，根据题意得或，结合图形，利用椭圆的定义求出的三边长，即可求得其面积 【详解】由椭圆：可得，， ， 因为上一点且在第一象限，则 由为等腰三角形，则可得或， 当时，， 此时的面积为：； 当时，，不合题意，舍去. 综上，可得的面积为. 故选：C．    （2024·全国·模拟预测）已知点分别为椭圆的左顶点、右焦点，点为上一点，且为的平分线，，则的内切圆的半径为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由椭圆的性质可求得,根据角平分线的性质可求得的值，由余弦定理可得,可求得的值，利用面积法可求内切圆的半径. 【详解】由题意可得，则． 如图．由角平分线定理，得． 令，则． 在中，由余弦定理，得， 即，解得（负值已舍去），则．    设的内切圆的半径为．根据三角形的面积公式有 ， 所以， 解得． 【多选题】（2025·浙江·三模）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，上顶点为A，且，P为C上位于第一象限内的点，且，的内角平分线交x轴于点M，则下列结论正确的是（   ）小试牛刀3 A．椭圆C的离心率 B． C．的内切圆半径为 D． 【答案】AC 【分析】对于A：根据椭圆定义可得，即可得离心率；对于B：利用余弦定理即可得结果；对于C：利用等面积法求内切圆半径；对于D：根据角平分线的性质分析判断. 【详解】对于选项A：设椭圆的焦距为，    由椭圆的对称性可知， 则，，所以，故A正确； 对于选项B：因为， 所以 ， 即，故B错误； 对于选项C：因为，， 则， 所以， 又因为的周长， 设内切圆半径为r，则，故C正确； 对于选项D：由角平分线定理得，故D错误； 故选：AC． 【题型6：椭圆的第三定义和中点弦问题】 【方法技巧】 1.核心方法： 1）第三定义：椭圆上任意不共线的两点、，若为原点，且，则；更常用的是“中点弦的第三定义”：若为椭圆的弦，为中点，则（为的斜率，为的斜率）. 2）点差法：设、，代入椭圆方程得，因式分解后结合中点坐标、，得. 2.易错辨析： 1）第三定义的符号错误：易将写为，正确符号为负. 2）点差法忽略适用前提：需保证弦与椭圆有两个交点（即），否则结论不成立. 3.重点记忆： 1）中点弦问题的核心是“点差法”，无需联立直线与椭圆方程，计算更简洁. 2）第三定义是点差法的直接结论，可快速由中点坐标求弦的斜率. 4.常考结论： 1）过椭圆内一点的中点弦方程为. 2）若椭圆的弦的中点为，则的垂直平分线方程可由求斜率后写出. （2025·湖北襄阳·模拟预测）如图，斜率为的直线与椭圆交于，两点，与轴、轴分别交于点，，若，则椭圆的焦距为 .经典例题例题 【答案】 【分析】设，得到，再根据点差法解决中点弦问题，可求出焦距. 【详解】设，又因为， 所以，则，则， 由，两式相减得， 即，因为，所以，所以， ，所以，解得， 所以，所以椭圆的焦距为. 故答案为：. （24-25高二上·上海·期中）过椭圆：右焦点的直线：交于、两点，为AB的中点，且OP的斜率为，则椭圆的标准方程为 .小试牛刀1 【答案】 【分析】先由直线方程求得右焦点坐标，得，再设，点坐标代入椭圆方程相减得出直线与直线斜率的关系，从而求得的关系，结合可求得得椭圆方程． 【详解】在中令得，所以椭圆右焦点为，即， 设，，， ∴，两式相减得， 所以，即，从而， ∴， 又，因此， ∴椭圆标准方程， 故答案为： （2024·福建龙岩·一模）斜率为的直线与椭圆交于两点，点是椭圆上的一点，且满足，点分别是的重心，点是的外心.记直线的斜率分别为，若，则椭圆的离心率为 .小试牛刀2 【答案】 【分析】取的中点，利用点差法可得，，结合已知求出即可求出离心率. 【详解】取的中点，依题意，点是中点，点分别在上， 设，由两式相减得， 直线斜率，直线斜率，则， 直线的斜率分别为，同理，又， 因此，解得， 所以椭圆的离心率. 故答案为： 【点睛】思路点睛：涉及直线被圆锥曲线所截弦中点及直线斜率问题，可以利用“点差法”，设出弦的两个端点坐标，代入曲线方程作差求解. （24-25高三上·山西·期末）已知椭圆的离心率为，过点的直线与椭圆交于A，B两点，且满足，则直线的方程为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用离心率先求出参数a，再利用点差法求出直线的斜率，即可得到答案. 【详解】由题设，，即，可得， 过的直线与椭圆交于且满足，则为线段的中点， 所以，，又，， 则，即， 所以， 故直线的方程为，即. 故选：C. 【题型7：求椭圆的离心率】 【方法技巧】 1.核心方法： 1）找、的关系：通过几何条件（如直角三角形、中位线、相似三角形）建立关于、、的等式，结合转化为的方程，即的方程. 2.易错辨析： 1）忽略的范围：解得后需验证，舍去不符合的解. 2）转化错误：将代入时，易写错符号，导致的方程错误. 3.重点记忆： 1）离心率的本质是，所有求的问题最终都要转化为关于的表达式. 2）常见的转化形式：，可将的关系转化为的关系. 4.常考结论： 1）若椭圆的长轴长是焦距的倍，则. 2）若焦点三角形为直角三角形，且直角在焦点处，则（短轴顶点到焦点的距离为，焦距为，由推导）. （2025·甘肃金昌·三模）已知椭圆C:的左、右焦点分别为，是椭圆上的点，且在第一象限，是的平分线，过点作的垂线，垂足为，若 ，,则椭圆的离心率是 .经典例题例题 【答案】/ 【分析】延长交于点，由椭圆定义求出，再利用中位线表示出，由已知的表达式，得到，从而求出离心率. 【详解】如图： 如图，延长交于点，可得， ，易知为的中点，为的中点， 所以，即， 所以. 故答案为： （23-24高三下·云南昆明·月考）设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据椭圆定义结合勾股定理解得，进而可得，在中，利用勾股定理列式求解即可. 【详解】设， 因为，则， 由椭圆的定义可得，， 因为，即， 在中，则，即， 解得，可得， 在△中，可得，即，整理得， 所以椭圆E的离心率为. 故选：B． （2025·甘肃武威·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点.直线与交于另一点，若，，则的离心率为（ ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量关系推导线段比例，结合椭圆的定义表示各线段长度，利用三角函数诱导公式推导直角三角形关系，最后结合勾股定理建立方程，求解离心率即可. 【详解】根据题意作图，已知椭圆，所以，则，. 由，得，由椭圆的定义可得，， 设，则，，，. 由，且， 所以，即， 所以，即为直角三角形，，则有为直角三角形， 所以，解得或（舍去）， 又，代入，整理得，所以离心率. 故选：C. （2025·山东青岛·模拟预测）已知椭圆，过点作斜率为1的直线交椭圆于，两点，且，则椭圆的离心率为 .小试牛刀3 【答案】/ 【分析】由题意可得直线的方程为，结合点在椭圆上，分析可得，设，根据可得，进而代入椭圆方程可得，进而求解即可. 【详解】由题意，直线的方程为，显然经过点，且在椭圆上， 当时，设， 则， 由，则，则，即， 将代入椭圆，得， 则，不满足题意，舍去； 则，设， 则， 由，则，则，即， 将代入椭圆，得， 则，即，即椭圆的离心率为. 故答案为：. 【题型8：椭圆离心率的取值范围问题】 【方法技巧】 1.核心方法： 1）几何条件转不等式：利用椭圆的性质（如焦半径范围、点的范围）或三角形三边关系，建立关于、、的不等式，结合转化为的不等式. 2）函数法：将表示为关于某一变量的函数，利用变量的范围求的范围. 2.易错辨析： 1）不等式方向错误：如由转化时，易将不等号写反. 2）忽略变量的限制：函数法中变量的范围（如）会影响的范围，需同步考虑. 3.重点记忆： 1）核心思路是“找到一个能限制、关系的不等条件”，常见来源是“三角形两边之和大于第三边”“点在椭圆内/外”等. 2）转化时优先用，将不等式化为仅含的形式. 4.常考结论： 1）若椭圆上存在点满足，则. 2）若椭圆的短轴长小于焦距，则. （23-24高二上·安徽亳州·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为、，若上存在点满足：，则的离心率的取值范围是 .经典例题例题 【答案】 【分析】由余弦定理结合基本不等式分析可知，当为椭圆短轴顶点时，最大，求出的最小值为，结合余弦函数的单调性可得出，求出的取值范围，可得出椭圆的离心率的取值范围，即可得解. 【详解】由椭圆的定义可得， 由余弦定理可得 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 又因为余弦函数在上单调递减， 故当时，即当为椭圆短轴顶点时，最大， 因为椭圆上存在点满足：，则，可得， 所以，，故椭圆的离心率的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. （2025·河南·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上异于长轴端点的一点，点M满足，，O为坐标原点，则C的离心率的取值范围是 .小试牛刀1 【答案】 【分析】设，，由，得，再根据求得，结合得，最后由可得结果. 【详解】设，，，， 由，可得，所以. 又，，由得， 整理得，由P在C上，得，即， 得，即，解得或（舍去）， 由，可得，即，又，所以，故C的离心率的取值范围是. 故答案为：. （2025·湖南·模拟预测）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为.已知椭圆的焦点在轴上，、为椭圆上任意两点，动点在直线上.若恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识，则椭圆离心率的取值范围为 .小试牛刀2 【答案】 【分析】分析可知，直线与圆相离，利用直线与圆的位置关系可求出的取值范围，再结合椭圆离心率公式可求得椭圆的离心率. 【详解】由题意可知，圆即为椭圆蒙日圆， 因为、为椭圆上任意两点，动点满足恒为锐角， 则点在圆外， 又因为动点在直线上，则直线与圆相离，    所以，，解得， 则，即， 因此，椭圆的离心率的取值范围是. 故答案为：. （2025·四川成都·三模）设椭圆的一个焦点为，为内一点，若上存在一点，使得，则椭圆离心率的取值范围是 ．小试牛刀3 【答案】 【分析】令椭圆的左焦点为，利用椭圆的定义可求出的最大值和最小值，即可得出的取值范围，即可求得椭圆的离心率的取值范围. 【详解】令椭圆的左焦点为，则， 由椭圆的定义知，则， 设直线交椭圆于、两点（如图）， 而，即， 当且仅当点、、共线时取等号. 当点与重合时，，则， 当点与重合时，，则， 所以，即，经检验，此时点在内， 所以. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 【题型9：椭圆的性质综合题型】 【方法技巧】 1.核心方法： 1）分步拆解法：将综合题拆解为“定义应用、几何性质、中点弦、离心率”等单一题型，逐一解决后整合结果. 2）数形结合法：画出椭圆及相关点、线的图形，利用几何直观找到各量的关系，再结合代数方法计算. 2.易错辨析： 1）知识点混淆：如将椭圆的焦半径公式与双曲线的焦半径公式混淆，或误用第三定义的符号. 2）步骤遗漏：综合题需分步推导，易遗漏某一环节（如求中点弦方程时，未验证）. 3.重点记忆： 1）综合题的解题逻辑是“从条件出发，识别题型，选择对应方法”，无需记忆复杂结论，需熟练掌握基础题型的方法. 2）优先处理已知条件中“最明确的信息”（如已知中点，优先用点差法；已知焦点三角形，优先用定义+余弦定理）. 4.常考结论： 1）综合题常结合“中点弦+离心率+范围问题”，核心是利用中点弦的斜率关系建立、的等式，再结合范围求的范围. 2）涉及“直线与椭圆相交”的综合题，需先验证，避免出现无实数解的情况. 【多选题】（2025·陕西·模拟预测）已知椭圆：的离心率为．若点在上，，分别是的左、右焦点，则下列结论正确的是（   ）经典例题例题 A． B．若，则 C．椭圆内接矩形周长的最大值为 D．满足是直角三角形的点有4个 【答案】AC 【分析】根据条件，先求出，对A，利用椭圆的定义，即可求解；对B，根据条件求出，再由余弦定理，即可求解；对C，令，，从而得，即可求解；对于D，利用，得以原点为圆心，为半径的圆与椭圆有4个交点，再结合椭圆的对称性，即可求解. 【详解】因为，则，又，，则 解得，， 对于A，由椭圆的定义可得，故A正确； 对于B，因为①，又②，由①②可得，， 在中，由余弦定理可得，故B错误； 对于C，因为椭圆方程为，令，， 则内接矩形周长，其中， 因为，取，则， 故当时，内接矩形周长的最大，最大值为，故C正确； 对于D，因为，，则，所以以原点为圆心，为半径的圆与椭圆有4个交点， 所以椭圆上有个点，使，如图所示， 又当或时，满足条件的点各有2个， 所以满足是直角三角形的点有8个，所以D错误． 故选：AC. 【多选题】（2025·广东·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点为，上顶点为M，直线l经过左焦点与C交于A、B两点，与y轴交于点N．则下列判断正确的是（    ）小试牛刀1 A．的周长为4 B．为等边三角形 C．的最小值为1 D．存在点N，使得 【答案】BC 【分析】根据给定的椭圆方程，利用椭圆的定义、性质逐项分析判断得解. 【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，直线过点， 对于A，的周长为，A错误； 对于B，点，则，为等边三角形，B正确； 对于C，当且仅当为椭圆左顶点时，取得最小值，C正确； 对于D，假设存在点，令，由，得， 则，显然此方程组无解，即不存在点，使得，D错误. 故选：BC 【多选题】（2025·广东·模拟预测）设为椭圆的左，右焦点，为椭圆上一点且在第一象限.若的面积为，则下列说法正确的是（    ）小试牛刀2 A．的周长为 B．以为直径的圆经过点 C．点的坐标为 D．直线的斜率为 【答案】ACD 【分析】先将椭圆方程转化为标准方程，求出的值，再根据椭圆定义、三角形面积公式、圆的标准方程、直线斜率公式逐一分析选项即可. 【详解】已知椭圆的方程为，两边同时除以2可得， 由此，，，，，，，； 对于A，根据椭圆的定义，椭圆上任意一点到两焦点距离之和等于， 因此的周长为，选项A正确； 对于B，设点的坐标为， 则， 将代入椭圆方程得，，，， 解得或（舍），因此点的坐标为， 两点的中点为原点，可得以为直径的圆的方程为， 将的坐标代入圆的方程的左边得， 因此以为直径的圆不经过点，选项B错误； 对于C，由选项B的分析过程可得点的坐标为，选项C正确； 对于D，点的坐标为，点的坐标为， 则直线的斜率为，选项D正确. 故选：ACD. 【多选题】（2025·云南昭通·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，且，为上位于第一象限内的点，且，的内角平分线交轴于点，则下列结论正确的是（    ）小试牛刀3 A．椭圆的离心率 B． C．的内切圆半径为 D． 【答案】AC 【分析】设椭圆的焦距为，由椭圆的对称性可知，从而得到离心率即可判断选项A；由余弦定理求出即可判断选项B；由三角形的面积公式求得得面积，利用等面积法求得内切圆半径即可判断选项C；由角平分线定理得，即可判断选项D. 【详解】对于A：如图，设椭圆的焦距为，    由椭圆的对称性可知，则，，所以，正确； 对于B：因为，，， 所以，即，错误； 对于C：因为，，则， 所以 ． 又的周长，设内切圆半径为，则，正确； 对于D：由，，解得，，由角平分线定理得，错误， 故选：AC． 课后针对训练 一、单选题 1．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】A 【分析】设点，由题意，根据中点的坐标表示可得，代入圆的方程即可求解. 【详解】设点，则， 因为为的中点，所以，即， 又在圆上， 所以，即， 即点的轨迹方程为. 故选：A 2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答. 【详解】由，得，因此，而，所以. 故选：A 3．（2023·全国甲卷·高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可得到点的坐标，从而得出的值； 方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，再结合中线的向量公式以及数量积即可求出； 方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，即可根据中线定理求出． 【详解】方法一：设，所以， 由，解得：， 由椭圆方程可知，， 所以，，解得：， 即，因此． 故选：B． 方法二：因为①，， 即②，联立①②， 解得：， 而，所以， 即． 故选：B． 方法三：因为①，， 即②，联立①②，解得：， 由中线定理可知，，易知，解得：． 故选：B． 【点睛】本题根据求解的目标可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速解出，也可以常规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可以直接用中线定理解决，难度不是很大． 4．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．9 D．6 【答案】C 【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案． 【详解】由题，，则， 所以（当且仅当时，等号成立）． 故选：C． 【点睛】 5．（2023·全国甲卷·高考真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可解出； 方法二：根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出． 【详解】方法一：因为，所以， 从而，所以． 故选：B. 方法二： 因为，所以，由椭圆方程可知，， 所以，又，平方得： ，所以． 故选：B. 6．（2022·全国甲卷·高考真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解. 【详解】[方法一]：设而不求 设，则 则由得：， 由，得， 所以，即， 所以椭圆的离心率，故选A. [方法二]：第三定义 设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知： 故， 由椭圆第三定义得：， 故 所以椭圆的离心率，故选A. 7．（2022·全国甲卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据离心率及，解得关于的等量关系式，即可得解. 【详解】解：因为离心率，解得，， 分别为C的左右顶点，则， B为上顶点，所以. 所以，因为 所以，将代入，解得， 故椭圆的方程为. 故选：B. 8．（2019·全国I卷·高考真题）已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可设，则，得，在中求得，再在中，由余弦定理得，从而可求解. 【详解】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有．在中，由余弦定理推论得．在中，由余弦定理得，解得． 所求椭圆方程为，故选B． 法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有．在和中，由余弦定理得，又互补，，两式消去，得，解得．所求椭圆方程为，故选B． 【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养． 9．（2024·湖南·三模）已知是椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，过作直线与C交于A，B两点，若，且的面积为，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，首先证明，结合题意算得解得，即可得三角形为等边三角形，进一步结合椭圆定义可得，，，即是的中点，结合勾股定理、离心率公式即可求解. 【详解】 我们首先来证明一个引理：若，则， 证明如下：设，则由余弦定理有 ，即， 所以， 所以，从而引理得证； 根据题意可得， ，解得， 因为，所以，解得， 由，，可得三角形为等边三角形， 所以，所以， 所以，所以是的中点， 所以，所以，即， 所以. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：关键在于得出三角形为等边三角形，进一步得出的齐次式关系即可求解. 10．（2024·浙江温州·三模）已知是椭圆的左右焦点，上两点满足：，，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据焦点三角形的边长关系，利用余弦定理即可求解. 【详解】由可知，设，则，,, 则由余弦定理可得 化简可得，故，（舍去）， 又, 所以，化简可得，故， 故选：D 11．（2024·云南昆明·一模）已知椭圆（）的左、右焦点为、，圆与的一个交点为，直线与的另一个交点为，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，设，由椭圆的定义可知，的表达式，再由的值，可，在中，可得，可得点为短轴的端点，在中，由余弦定理可得，的关系，即求出椭圆的离心率的值． 【详解】由题意知，圆过椭圆的两个焦点， 因为为圆与椭圆的交点，所以， 因为， 设，可得，， 所以， 所以， 在中，， 即，解得或， 解得或（舍去）， 此时点为椭圆短轴的顶点， 又，解得（负值舍去）， 且，， 在中，由余弦定理可得， 整理可得，所以． 故选：B． 【点睛】关键点点睛：涉及焦点三角形问题一般是利用椭圆的定义及余弦定理进行处理，本题关键是推导出为短轴顶点. 12．（2023·江苏南京·二模）已知椭圆，为其左焦点，直线与椭圆交于点，，且．若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设椭圆的右焦点为，连接，，设，根据余弦定理得到，计算得到离心率. 【详解】设椭圆的右焦点为，连接，，故四边形为平行四边形， 设，，则，， ，， 中，， 整理得到，即，故. 故选：A 13．（2024·河南·三模）已知椭圆的右焦点为，短轴长为，点在椭圆上，若的最大值是最小值的3倍，则椭圆的焦距为（    ） A．3 B．4 C．1 D．2 【答案】D 【分析】利用椭圆的几何性质得到关于的方程组，解之即可得解. 【详解】依题意，椭圆短轴长为，得，则， 又的最大值是最小值的3倍，即， 所以，所以，则其焦距为. 故选：D 二、填空题 14．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是 ． 【答案】13 【分析】利用离心率得到椭圆的方程为，根据离心率得到直线的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率，写出直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，利用弦长公式求得，得，根据对称性将的周长转化为的周长，利用椭圆的定义得到周长为. 【详解】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：， 判别式， ∴， ∴ ， 得， ∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为. 故答案为：13. 15．（2019·全国III卷·高考真题）设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为 . 【答案】 【分析】根据椭圆的定义分别求出，设出的坐标，结合三角形面积可求出的坐标. 【详解】由已知可得， 又为上一点且在第一象限,为等腰三角形， ．∴． 设点的坐标为，则， 又，解得， ，解得（舍去）， 的坐标为． 【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养． 16．（2021·浙江·高考真题）已知椭圆，焦点， ，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且轴，则该直线的斜率是 ，椭圆的离心率是 . 【答案】 【分析】不妨假设，根据图形可知，，再根据同角三角函数基本关系即可求出；再根据椭圆的定义求出，即可求得离心率． 【详解】 如图所示：不妨假设，设切点为， ， 所以, 由，所以，， 于是，即，所以． 故答案为：；． 17．（2025·福建泉州·一模）设为坐标原点，为椭圆的上顶点，点在上，线段交轴于点．若，且，则的离心率等于 ． 【答案】 【分析】根据所给的角确定B所在直线，设出B点坐标，再由三角形相似得出B点坐标代入椭圆方程，化简即可得解. 【详解】因为，所以直线的斜率为或， 不妨取，则如图， 设，过作轴于点， 由∽，，， 可得，即，故， 代入椭圆方程可得：， 即，解得， 所以. 故答案为： 18．（2023·福建宁德·模拟预测）已知椭圆的右焦点是，直线交椭圆于两点﹐直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】设椭圆的左焦点为，利用已知条件结合椭圆的对称性可得四边形为矩形，再利用勾股定理方程组求解即可. 【详解】设椭圆的左焦点为，连接，，，，    由直线交椭圆于两点﹐及， 结合椭圆的对称性可得， 所以，，均为直角三角形，所以四边形为矩形， 设，则，，， 所以在直角中，即①， 在直角中，即②， 由②解得， 将代入①得，即， 所以， 故答案为： 1 学科网（北京）股份有限公司 $