2025-2026学年北京版九年级数学上册期末高频考点专练之二次函数和反比例函数

期末高频考点专练之二次函数和反比例函数2025-2026学年 北京版九年级上册 考点一：二次函数的定义 1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ） A． B． C． D． 2．当函数 是二次函数时，的取值为（ ） A． B． C． D． 3.把 y＝(2x＋1)(3x－4) 展开成一般式，得到 y＝ __________，其一次项系数为 __________。 考点二：二次函数的图象与性质 1.关于二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3的最值，说法正确的是（　　） A．最小值为﹣1 B．最小值为3 C．最大值为1 D．最大值为3 2. 把抛物线的图象向左平移3个单位，再向上平移2个单位，所得的拋物线的函数关系式是( ) A. B. C. D. 3.若函数y＝x2﹣2x﹣m与x轴没有交点，则一次函数y＝（m+1）x+m﹣1的图象不经过第（　　）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 4.如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的右交点A（5，0），对称轴是直线x＝2，当ax2+bx+c＞16a时，x的取值范围是（　　） A．x＜﹣1或x＞5 B．﹣1＜x＜5 C．﹣3＜x＜7 D．x＜﹣3或x＞7 5.抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象大致如图所示，下列说法： ①2a+b＝0；②当﹣1＜x＜3时，y＜0；③若（x1，y1）（x2，y2）在函数图象上，当x1＜x2时，y1＜y2；④9a+3b+c＝0，其中正确的是（　　） A．①②④ B．①④ C．①②③ D．③④ 6.二次函数y＝（x﹣2）2+4的顶点坐标是 　 ． 7. 已知三点都在二次函数的图象上，则的大小关系为___________ 8. 对于抛物线y＝x2﹣4x+3． （1）它与x轴交点的坐标为 　 　，与y轴交点的坐标为 　 　，顶点坐标为 　 　； （2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线； x … … y … … （3）结合图象直接回答：当0＜x＜3时，则y的取值范围是 　 　． 考点三：二次函数应用题 1．小敏用一根长为8cm的细铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是（　　） A．4cm2 B．8cm2 C．16cm2 D．32cm2 2.三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（　　） A．4米 B．5米 C．2米 D．7米 3．烟花厂某种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为 s． 4．如图，桥洞的拱形是抛物线，其顶部离水面的距离为，水面宽为，以水平向右方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系，当点为原点时，抛物线表达式是，若选取点为坐标原点，则抛物线的表达式为 ． 5.为了提高巴中市民的生活质量，巴中市对老旧小区进行了美化改造．如图，在老旧小区改造中，某小区决定用总长27m的栅栏，再借助外墙围成一个矩形绿化带ABCD，中间用栅栏隔成两个小矩形，已知房屋外墙长9m． （1）当AB长为多少时，绿化带ABCD的面积为42m2？ （2）当AB长为多少时，绿化带ABCD的面积最大，最大面积是多少？ 6.某超市对进货价位元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量（千克）与销售价（元/千克）存在一次函数关系，如图所示． （1）求关于的函数关系式（不要求写出的取值范围）； （2）应怎样确定销售价，使该品种苹果的每天销售利润最大？最大利润是多少？ 考点四：反比例函数的定义 1.下列函数中，一定是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．已知函数y=（m-2）是反比例函数，则m的值为（　　） A．2 B．-2 C．2或-2 D．任意实数 3．函数中自变量的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．若反比例函数图象经过点，则k的值为（    ） A． B．6 C． D．3 考点五：反比例函数的图象与性质 1.关于反比例函数，点在它的图像上，下列说法中错误的是（    ） A．当时，y随x的增大而增大 B．图象位于第二、四象限 C．点和都在该图像上 D．当时， 2.表示关系式；；的图象依次是（   ） A．①②③ B．③①② C．②③① D．②①③ 3.若点、、都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 4.在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（　　） A． B． C． D． 5.一次函数的图象与反比例函数的图象交于，，则不等式的解集是（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 6.二次函数（是常数）的图象如图，则双曲线和直线的位置可能为（   ） A． B． C． D． 7.如图，P为反比例函数y＝的图象上一点，PA⊥x轴于点A，△PAO的面积为6，则k的值是（　　） A．6 B．12 C．﹣12 D．﹣6 8.如图，、两点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，交于点，若，的面积为1，则的值为 ． 9.如图，在直角坐标系中，点、分别在两坐标轴上，点在第二象限，四边形是矩形，反比例函数（）与相交于点，与相交于点，若，四边形的面积是9，则 ． 考点六：反比例函数应用题 1.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，已知每只玩具熊猫的成本为y元，若该厂每月生产x只（x取正整数），这个月的总成本为5000元，则y与x之间满足的关系为（　　） A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 2.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于120kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（　　） A．不小于 B．不小于 C．小于 D．小于 3.某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地，这是因为人和木板对湿地的压力F一定时，人和木板对地面的压强p（Pa）与木板面积S（m2）存在函数关系：（如图所示）若木板面积为0.2m2，则压强为 　 Pa． 4.一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t（h）与行驶速度v（km/h）满足函数关系：，其图象为如图所示的一段曲线且端点为A(40，1)和B(m，0.5)． (1)求k和m的值； (2)若行驶速度不得超过50km/h，则汽车通过该路段最少需要多少时间？ 【答案】 期末高频考点专练之二次函数和反比例函数2025-2026学年 北京版九年级上册 考点一：二次函数的定义 1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 2．当函数 是二次函数时，的取值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 3.把 y＝(2x＋1)(3x－4) 展开成一般式，得到 y＝ __________，其一次项系数为 __________。 [答案]6x²-5x-4；-5 考点二：二次函数的图象与性质 1.关于二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3的最值，说法正确的是（　　） A．最小值为﹣1 B．最小值为3 C．最大值为1 D．最大值为3 【答案】D． 2. 把抛物线的图象向左平移3个单位，再向上平移2个单位，所得的拋物线的函数关系式是( ) A. B. C. D. 【答案】A 3.若函数y＝x2﹣2x﹣m与x轴没有交点，则一次函数y＝（m+1）x+m﹣1的图象不经过第（　　）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】A． 4.如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的右交点A（5，0），对称轴是直线x＝2，当ax2+bx+c＞16a时，x的取值范围是（　　） A．x＜﹣1或x＞5 B．﹣1＜x＜5 C．﹣3＜x＜7 D．x＜﹣3或x＞7 【答案】C． 5.抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象大致如图所示，下列说法： ①2a+b＝0；②当﹣1＜x＜3时，y＜0；③若（x1，y1）（x2，y2）在函数图象上，当x1＜x2时，y1＜y2；④9a+3b+c＝0，其中正确的是（　　） A．①②④ B．①④ C．①②③ D．③④ 【答案】A． 6.二次函数y＝（x﹣2）2+4的顶点坐标是 　 ． 【答案】（2，4）． 7. 已知三点都在二次函数的图象上，则的大小关系为___________ 【答案】## 8. 对于抛物线y＝x2﹣4x+3． （1）它与x轴交点的坐标为 　 　，与y轴交点的坐标为 　 　，顶点坐标为 　 　； （2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线； x … … y … … （3）结合图象直接回答：当0＜x＜3时，则y的取值范围是 　 　． 【答案】（1）（1，0）（3，0）；（0，3）；（2，-1）；（2）见解析；（3）﹣1＜y3． 【详解】（1）将y=0代入y=x2−4x+3， ∴0=x2−4x+3， ∴x1=1，x2=3； ∴抛物线与x轴交点的坐标（1，0）（3，0）， 将x=0代入y=x2−4x+3， ∴y=3， ∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，3）， ∵=，， ∴抛物线顶点坐标为（2，-1）； （2）列表： 描点、连线，如图， （3）由（2）中的函数图象知，当0＜x＜3时，则y的取值范围是﹣1y3． 考点三：二次函数应用题 1．小敏用一根长为8cm的细铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是（　　） A．4cm2 B．8cm2 C．16cm2 D．32cm2 【答案】A 2.三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（　　） A．4米 B．5米 C．2米 D．7米 【答案】B 3．烟花厂某种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为 s． 【答案】5 4．如图，桥洞的拱形是抛物线，其顶部离水面的距离为，水面宽为，以水平向右方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系，当点为原点时，抛物线表达式是，若选取点为坐标原点，则抛物线的表达式为 ． 【答案】 5.为了提高巴中市民的生活质量，巴中市对老旧小区进行了美化改造．如图，在老旧小区改造中，某小区决定用总长27m的栅栏，再借助外墙围成一个矩形绿化带ABCD，中间用栅栏隔成两个小矩形，已知房屋外墙长9m． （1）当AB长为多少时，绿化带ABCD的面积为42m2？ （2）当AB长为多少时，绿化带ABCD的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】（1）当AB长为7m时，绿化带ABCD的面积为42m2 （2）当AB长为6m时，绿化带ABCD的面积最大，最大面积是54 m2 【解答】解：（1）设AB长为xm时，绿化带ABCD的面积为42m2， x（27﹣3x）＝42， 解得x1＝2，x2＝7， 当x＝2时，27﹣3x＝21＞9，不合题意，舍去； 当x＝7时，27﹣3x＝6，符合题意； 答：当AB长为7m时，绿化带ABCD的面积为42m2； （2）设绿化带ABCD的面积为Sm2，AB长为am， S＝a（27﹣3a）＝﹣3a2+27a＝﹣3（a﹣）2+， ∴该函数图象开口向下，对称轴为直线x＝， ∵， 解得6≤a＜9， ∴当a＝6时，S取得最大值，此时S＝54， 答：当AB长为6m时，绿化带ABCD的面积最大，最大面积是54 m2． 6.某超市对进货价位元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量（千克）与销售价（元/千克）存在一次函数关系，如图所示． （1）求关于的函数关系式（不要求写出的取值范围）； （2）应怎样确定销售价，使该品种苹果的每天销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）设y=kx+b，由图象可知，， 解得：，则y=-4x+160; （2）设销售利润为P，根据题意， 得：P=（x-20）（-4x+160） =-4x2+240x-3200， =-4（x-30）2+400， 则当x=30时，P最大值=400， 答：当售价为30元/千克时，该品种苹果的每天销售利润最大，最大利润是400元． 考点四：反比例函数的定义 1.下列函数中，一定是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 2．已知函数y=（m-2）是反比例函数，则m的值为（　　） A．2 B．-2 C．2或-2 D．任意实数 【答案】B 3．函数中自变量的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 4．若反比例函数图象经过点，则k的值为（    ） A． B．6 C． D．3 【答案】A 考点五：反比例函数的图象与性质 1.关于反比例函数，点在它的图像上，下列说法中错误的是（    ） A．当时，y随x的增大而增大 B．图象位于第二、四象限 C．点和都在该图像上 D．当时， 【答案】D 2.表示关系式；；的图象依次是（   ） A．①②③ B．③①② C．②③① D．②①③ 【答案】D 3.若点、、都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 4.在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 5.一次函数的图象与反比例函数的图象交于，，则不等式的解集是（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 6.二次函数（是常数）的图象如图，则双曲线和直线的位置可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 7.如图，P为反比例函数y＝的图象上一点，PA⊥x轴于点A，△PAO的面积为6，则k的值是（　　） A．6 B．12 C．﹣12 D．﹣6 【答案】C． 8.如图，、两点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，交于点，若，的面积为1，则的值为 ． 【答案】 9.如图，在直角坐标系中，点、分别在两坐标轴上，点在第二象限，四边形是矩形，反比例函数（）与相交于点，与相交于点，若，四边形的面积是9，则 ． 【答案】 考点六：反比例函数应用题 1.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，已知每只玩具熊猫的成本为y元，若该厂每月生产x只（x取正整数），这个月的总成本为5000元，则y与x之间满足的关系为（　　） A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 【答案】C． 2.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于120kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（　　） A．不小于 B．不小于 C．小于 D．小于 【答案】B． 3.某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地，这是因为人和木板对湿地的压力F一定时，人和木板对地面的压强p（Pa）与木板面积S（m2）存在函数关系：（如图所示）若木板面积为0.2m2，则压强为 　 Pa． 【答案】3000． 4.一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t（h）与行驶速度v（km/h）满足函数关系：，其图象为如图所示的一段曲线且端点为A(40，1)和B(m，0.5)． (1)求k和m的值； (2)若行驶速度不得超过50km/h，则汽车通过该路段最少需要多少时间？ 【答案】(1) 由题意得，函数经过点（40，1）， ，得k=40， ∴函数关系式为： 把（m，0．5）代入，得m=80； (2) 把v=50代入，得， ∵t随v的增大而减小， ∴汽车通过该路段最少需要小时． 学科网（北京）股份有限公司 $