2025-2026学年北京版九年级数学上册期末高频考点专练之二次函数和反比例函数

期末高频考点专练之二次函数和反比例函数2025-2026学年 北京版九年级上册 考点一：二次函数的定义 1.下列函数不属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．二次函数y=3x﹣5x2+1的二次项系数、一次项系数、常数项分别为________． 3．当m≠_____时，函数y=（m﹣1）x2+3x﹣5是二次函数． 考点二：二次函数的图象与性质 1．已知抛物线y＝－3（x－2）2＋5，若－1≤x≤1，则下列说法正确的是（    ） A．当x＝2时，y有最大值5 B．当x＝－1时，y有最小值－22 C．当x＝－1时，y有最大值32 D．当x＝1时，y有最小值2 2.在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（      ） A． B． C． D． 3．已知二次函数的图像上有三点A（1，），B（2，），C（-2，），则，，的大小关系为（         ） A． B． C． D． 4.已知二次函数y＝（m﹣1）x2+3x﹣1与x轴有交点，则m的取值范围是（　　） A．m B．m C．m且m≠1 D．m且m≠1 5．已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象可能正确的是（       ） A． B． C． D． 6. 如图，二次函数图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，，其中，，顶点纵坐标大于．下列结论：；；；若，（）是方程的两个根，则，．其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 7. 已知二次函数，则当时，的最大值与最小值的差为 . 8.如果二次函数的图象经过点，对称轴为，那么一元二次方程的解为______． 9. 若平面直角坐标系内的点满足横、纵坐标都为整数，则把这样的点叫做“整点”．例如：、都是“整点”．抛物线与x轴交于点M、N两点，若该抛物线在M、N之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则t的取值范围是______． 10.二次函数y=﹣x2+2x+k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k=0的一个解x1=3，另一个解x2=___． 考点三：二次函数应用题 1.某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为40米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米，围成的苗圃面积为y，则y关于x的函数关系式为（    ） A．y＝x（40－x） B．y＝x（18－x） C．y＝x（40－2x） D．y＝2x（40－x） 2.如图1，校运动会上，初一的同学们进行了投实心球比赛．我们发现，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线．如图2建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系是y=，则该同学此次投掷实心球的成绩是（    ） A．2m B．6m C．8m D．10m 3.某种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是，则这种礼炮在点火升空到最高点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为__________s； 4．如图，某广场有一喷水池，水从地面喷出，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝﹣2x2+8x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是　 　米． 5. 某商城在2025年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个元，标价为每个元． （1）商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个元的价格售出，求商城每次降价的百分率； （2）市场调研表明：当每个售价元时，平均每天能够售出个，当每个售价每降2元时，平均每天就能多售出个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城想要获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？ 考点四：反比例函数的定义 1.下列函数关系式中，y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 2.已知反比例函数，则它的图象不经过点（    ） A． B． C． D． 3．在函数中，自变量的取值范围是　 　. 4．若函数 是关于x的反比例函数，则n的值为　 　. 考点五：反比例函数的图象与性质 1.关于反比例函数，点在它的图像上，下列说法中错误的是（    ） A．当时，y随x的增大而增大 B．图象位于第二、四象限 C．点和都在该图像上 D．当时， 2.反比例函数 的图像的每一支上，y随着x的减小而增大，那么m的取值范围（   ） A． B． C． D． 3.若点，，，都在反比例函数的图象上，并且，则下列各式中正确的是（　　） A． B． C． D． 4.如图，已知抛物线（a，b均不为0）与双曲线的图象相交于，，三点．则满足不等式的解为（   ） A．或B．或或 C．或D．或或 5.如图，在平面直角坐标系中，点P在函数y＝（x＞0）的图像上从左向右运动，PA∥y轴，交函数y＝﹣（x＞0）的图像于点A，AB∥x轴交PO的延长线于点B，则△PAB的面积（    ） A．逐渐变大或变小 B．等于定值16 C．等于定值8 D．另有答案 6.如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k，b是常数，且k≠0）与反比例函数（c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，则关于x的不等式的解集是（　　） A．﹣3＜x＜2 B．x＜﹣3或x＞2 C．﹣3＜x＜0或x＞2 D．0＜x＜2 7.如图，矩形与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，连接．若四边形的面积为3，则 ． 考点六：反比例函数应用题 1．近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于500度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于120kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（　　） A．不小于 B．不小于 C．小于 D．小于 3.某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流(单位：)与电阻(单位：)的函数表达式为，当时，的值为 ． 4.按时饮水，对人体有很多好处，可以补充人体必需的水分，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，水温开始下降，水温y（℃）（min）成反比例关系，直至水温降至室温，重复上述过程．设某天水温和室温为20℃，接通电源后，回答下列问题： 时间 节次 上 午 7：20 到校 7：45～8：20 第一节 8：30～9：05 第二节 …… …… (1)分别求出当0≤x≤8和8＜x≤a时，y和x之间的关系式； (2)求出图中a的值； (3)下表是该小学的作息时间，若同学们希望在上午第一节下课8：20时能喝到不超过40℃的开水，已知第一节下课前无人接水，请直接写出生活委员应该在什么时间或时间段接通饮水机电源．（不可以用上课时间接通饮水机电源） 5.某空调生产厂的装配车间计划在一段时期内组装一批空调，计划是每天组装的数量y（台/天）与组装的时间x（天）之间的关系如下表： 组装的时间x（天） 30 45 60 每天组装的数量y（台/天） 300 200 150 (1)求y关于x的关系式； (2)某商场以进货价为每台2500元购进这批空调．调查发现，当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；当销售价每降低100元时，平均每天就能多售出4台．商场要想这批空调的销售利润平均每天达到3500元，且让顾客得到最大优惠，每台空调的定价为多少元？ 【答案】 期末高频考点专练之二次函数和反比例函数2025-2026学年 北京版九年级上册 考点一：二次函数的定义 1.下列函数不属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 2．二次函数y=3x﹣5x2+1的二次项系数、一次项系数、常数项分别为________． 【答案】﹣5、3、1 3．当m≠_____时，函数y=（m﹣1）x2+3x﹣5是二次函数． 【答案】m≠1 考点二：二次函数的图象与性质 1．已知抛物线y＝－3（x－2）2＋5，若－1≤x≤1，则下列说法正确的是（    ） A．当x＝2时，y有最大值5 B．当x＝－1时，y有最小值－22 C．当x＝－1时，y有最大值32 D．当x＝1时，y有最小值2 【答案】B 2.在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 3．已知二次函数的图像上有三点A（1，），B（2，），C（-2，），则，，的大小关系为（         ） A． B． C． D． 【答案】B 4.已知二次函数y＝（m﹣1）x2+3x﹣1与x轴有交点，则m的取值范围是（　　） A．m B．m C．m且m≠1 D．m且m≠1 【答案】D 5．已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象可能正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 6. 如图，二次函数图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，，其中，，顶点纵坐标大于．下列结论：；；；若，（）是方程的两个根，则，．其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 7. 已知二次函数，则当时，的最大值与最小值的差为 . 【答案】 8.如果二次函数的图象经过点，对称轴为，那么一元二次方程的解为______． 【答案】-1或3＃＃3或-1 9. 若平面直角坐标系内的点满足横、纵坐标都为整数，则把这样的点叫做“整点”．例如：、都是“整点”．抛物线与x轴交于点M、N两点，若该抛物线在M、N之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则t的取值范围是______． 【答案】 10.二次函数y=﹣x2+2x+k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k=0的一个解x1=3，另一个解x2=___． 【答案】－1 考点三：二次函数应用题 1.某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为40米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米，围成的苗圃面积为y，则y关于x的函数关系式为（    ） A．y＝x（40－x） B．y＝x（18－x） C．y＝x（40－2x） D．y＝2x（40－x） 【答案】C 2.如图1，校运动会上，初一的同学们进行了投实心球比赛．我们发现，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线．如图2建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系是y=，则该同学此次投掷实心球的成绩是（    ） A．2m B．6m C．8m D．10m 【答案】D 3.某种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是，则这种礼炮在点火升空到最高点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为__________s； 【答案】6 4．如图，某广场有一喷水池，水从地面喷出，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝﹣2x2+8x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是　 　米． 【答案】8 5. 某商城在2025年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个元，标价为每个元． （1）商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个元的价格售出，求商城每次降价的百分率； （2）市场调研表明：当每个售价元时，平均每天能够售出个，当每个售价每降2元时，平均每天就能多售出个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城想要获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）每个商品定价应为元时，有最大利润，且最大利润为元； 【小问1详解】 解：设商城每次降价的百分率为， 根据题意得， 解得：（舍去）， ∴商城每次降价的百分率为； 【小问2详解】 解：设降价元，每天的总利润为，则每天可售出个， 则， ∵， ∴当，即每个商品的定价应为元时，有最大利润，且最大利润为元； 考点四：反比例函数的定义 1.下列函数关系式中，y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 2.已知反比例函数，则它的图象不经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 3．在函数中，自变量的取值范围是　 　. 【答案】 4．若函数 是关于x的反比例函数，则n的值为　 　. 【答案】0 考点五：反比例函数的图象与性质 1.关于反比例函数，点在它的图像上，下列说法中错误的是（    ） A．当时，y随x的增大而增大 B．图象位于第二、四象限 C．点和都在该图像上 D．当时， 【答案】D 2.反比例函数 的图像的每一支上，y随着x的减小而增大，那么m的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 3.若点，，，都在反比例函数的图象上，并且，则下列各式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 4.如图，已知抛物线（a，b均不为0）与双曲线的图象相交于，，三点．则满足不等式的解为（   ） A．或B．或或 C．或D．或或 【答案】C 5.如图，在平面直角坐标系中，点P在函数y＝（x＞0）的图像上从左向右运动，PA∥y轴，交函数y＝﹣（x＞0）的图像于点A，AB∥x轴交PO的延长线于点B，则△PAB的面积（    ） A．逐渐变大或变小 B．等于定值16 C．等于定值8 D．另有答案 【答案】B 6.如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k，b是常数，且k≠0）与反比例函数（c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，则关于x的不等式的解集是（　　） A．﹣3＜x＜2 B．x＜﹣3或x＞2 C．﹣3＜x＜0或x＞2 D．0＜x＜2 【答案】C． 7.如图，矩形与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，连接．若四边形的面积为3，则 ． 【答案】6 考点六：反比例函数应用题 1．近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于500度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 2.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于120kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（　　） A．不小于 B．不小于 C．小于 D．小于 【答案】B． 3.某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流(单位：)与电阻(单位：)的函数表达式为，当时，的值为 ． 【答案】4 4.按时饮水，对人体有很多好处，可以补充人体必需的水分，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，水温开始下降，水温y（℃）（min）成反比例关系，直至水温降至室温，重复上述过程．设某天水温和室温为20℃，接通电源后，回答下列问题： 时间 节次 上 午 7：20 到校 7：45～8：20 第一节 8：30～9：05 第二节 …… …… (1)分别求出当0≤x≤8和8＜x≤a时，y和x之间的关系式； (2)求出图中a的值； (3)下表是该小学的作息时间，若同学们希望在上午第一节下课8：20时能喝到不超过40℃的开水，已知第一节下课前无人接水，请直接写出生活委员应该在什么时间或时间段接通饮水机电源．（不可以用上课时间接通饮水机电源） 【答案】(1) 当时，设， 将（0，20），（8，100）代入 得 ∴当时，； 当时，设 ， 将（8，100）代入 得 ∴当时，； ∴当时，； 当时，； (2) 将代入， 解得=40； (3) 要想喝到不超过40℃的热水，则： ∵， ∴ ∵≤40， ∴ 因为40分钟为一个循环， 所以8：20喝到不超过40℃的开水， 则需要在8：20﹣（40+20）分钟=7：20 或在（8：20﹣40分钟）﹣2分钟=7：38～7：45打开饮水机 故在7：20或7：38～7：45时打开饮水机． 5.某空调生产厂的装配车间计划在一段时期内组装一批空调，计划是每天组装的数量y（台/天）与组装的时间x（天）之间的关系如下表： 组装的时间x（天） 30 45 60 每天组装的数量y（台/天） 300 200 150 (1)求y关于x的关系式； (2)某商场以进货价为每台2500元购进这批空调．调查发现，当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；当销售价每降低100元时，平均每天就能多售出4台．商场要想这批空调的销售利润平均每天达到3500元，且让顾客得到最大优惠，每台空调的定价为多少元？ 【答案】(1)y关于x的关系式为； (2)每台空调的定价为2750元． 【详解】（1）解：∵， ∴y关于x的函数关系为反比例函数关系， 设y关于x的函数解析式为， 把，代入得，， 解得， ∴y关于x的关系式为； （2）解：设销售单价降低x元，则每台的销售利润为元，平均每天的销售量为台， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 让顾客得到最大优惠，销售单价应降低150元， ∴每台空调的定价为(元)． 答：每台空调的定价为2750元． 学科网（北京）股份有限公司 $