精品解析：天津市蓟州别山镇科科中学2025-2026学年上学期第二次月考九年级数学试卷

九年级数学（上） 期末达标性测试题 （时间：120分钟 满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 2. 若关于x 的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　） A. B. C. 且 D. 且 3. 如图，点在二次函数的图象上，则方程解的一个近似值可能是（ ） A. 2.18 B. 2.68 C. -0.51 D. 2.45 4. 如图所示，已知是半圆的直径，O为圆心，点C在上，于点D．若，则的长为（） A. 8 B. 10 C. 4 D. 5 5. 如图所示，半径为1的圆中，圆心角为的扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为（　　） A. 40° B. 35° C. 30° D. 45° 7. 一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过（秒）时球距离地面的高度（米）适用公式，那么球弹起后又回到地面所花的时间（秒）是（ ） A. 5 B. 10 C. 1 D. 2 8. 如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 抛物线的函数表达式为，若将轴向上平移2个单位长度，将轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，3)．若将OA绕原点O逆时针旋转180°得到OA’，则点A’在平面直角坐标系中的位置是在(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 11. 先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是（ ） A. B. C. D. 12. 二次函数的部分图象如图所示，图象的对称轴为直线，且经过点，以下结论：①；②；③；④（m为常数）．其中正确的有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（18分） 13. 抛物线y＝2（x＋1）2的开口_____，顶点坐标为_____． 14. 如图，是的直径，，，则__． 15. 不透明袋子中装有7个球，其中有2个绿球、5个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是黄球的概率是________． 16. 秋意渐浓，气温骤降．某校有1名学生患流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，问：每轮传染中平均一个人传染了几个人？设：每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为______________． 17. 如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转，使点C落在边上的点E处，点B落在点D处，连接． （1）的长为_________； （2）的长为_________． 18. 如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，经过格点，，． （1）的度数是______； （2）请用无刻度的直尺在图中画出圆心，并简要说明是如何找到的（不要求证明）______ 三、解答题（本大题共7小题，共66分，解答题应写出文字说明、验算步骤或推理过程） 19. 解方程 （1）； （2） 20. 如图所示，在三角板中，，三角板绕直角顶点C按顺时针方向旋转得到三角形． （1）求的长； （2）在这个旋转过程中，三角板边扫过的扇形的面积是多少？ 21. 有一个不透明口袋，装有分别标有数字1，2，3，4的4个小球（小球除数字不同外，其余都相同），另有3张背面完全一样、正面分别写有数字1，2，3的卡片．小敏从口袋中任意摸出一个小球，小颖从这3张背面朝上的卡片中任意摸出一张，然后计算小球和卡片上的两个数的积． （1）请你用列表或画树状图的方法，求摸出的这两个数的积为6的概率； （2）小敏和小颖做游戏，她们约定：若这两个数的积为奇数，小敏赢；否则，小颖赢．你认为该游戏公平吗？为什么？ 22. 已知：△ABC是边长为4的等边三角形，点O在边AB上，⊙O过点B且 分别与边AB，BC相交于点D，E，EF⊥AC，垂足为F. （1）求证：直线EF是⊙O的切线； （2）当直线DF与⊙O相切时，求⊙O的半径. 23. 如图，在中，，，，点从点开始沿边向点移动，速度为；点从点开始沿边向点移动，速度为，点分别从点同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动． （1）几秒后，的长度为； （2）几秒后，的面积为； （3）的面积能否为？请说明理由． 24. 某商店销售一种成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出，销售价每涨1元，月销售量就减少． （1）当销售单价定为52元时，月销售量为________；销售利润为________元； （2）设售价为元，当定为多少元时会获得最大利润？并求最大利润． 25. 已知抛物线（为常数）与轴相交于，两点，与轴相交于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）若是该抛物线上一点， ①当点在轴上方，且时，求点的坐标； ②当点在下方，且取得最大值时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学（上） 期末达标性测试题 （时间：120分钟 满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，求得的值即可求解． 【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称， ∴， ， 故选C． 【点睛】本题考查了关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，代数式求值，掌握关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数是解题的关键． 2. 若关于x 的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根；由题意可得且，求解即可，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得且， 故选：D． 3. 如图，点在二次函数的图象上，则方程解的一个近似值可能是（ ） A. 2.18 B. 2.68 C. -0.51 D. 2.45 【答案】D 【解析】 【分析】根据自变量两个取值所对应的函数值是-0.51和0.54，可得当函数值为0时，x的取值应在所给的自变量两个值之间． 【详解】解：∵图象上有两点分别为A（2.18，-0.51）、B（2.68，0.54）， ∴当x=2.18时，y=-0.51；x=2.68时，y=0.54， ∴当y=0时，2.18＜x＜2.68， 只有选项D符合， 故选：D． 【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，用到的知识点为：点在函数解析式上，点的横纵坐标适合这个函数解析式；二次函数值为0，就是函数图象与x轴的交点，跟所给的接近的函数值对应的自变量相关． 4. 如图所示，已知是半圆的直径，O为圆心，点C在上，于点D．若，则的长为（） A. 8 B. 10 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】设半圆的半径为，则，圆心到点的距离，利用勾股定理列方程，解方程求半径，求的长度． 【详解】解：设半圆的半径为，则，圆心到点的距离， ， ， 连接， ， ∴是直角三角形， 根据勾股定理： ， 代入已知，得： ， 解得，， ， ∴． 故答案为：B． 5. 如图所示，半径为1的圆中，圆心角为的扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查扇形的面积，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键，根据扇形的面积公式代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴根据扇形面积公式：， 故选：C． 6. 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为（　　） A. 40° B. 35° C. 30° D. 45° 【答案】C 【解析】 【分析】连接，即，又，故，所以；又因为为切线，利用切线与圆的关系即可得出结果． 【详解】解：连接BD， ∵∠DAB=180°﹣∠C=60°， ∵AB是直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠ABD=90°﹣∠DAB=30°， ∵PD是切线， ∴∠ADP=∠ABD=30°， 故选C． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，直径对圆周角等于直角，弦切角定理，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角求解． 7. 一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过（秒）时球距离地面的高度（米）适用公式，那么球弹起后又回到地面所花的时间（秒）是（ ） A. 5 B. 10 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据球弹起后又回到地面时，得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：球弹起后又回到地面时，即， 解得（不合题意，舍去），， ∴球弹起后又回到地面所花的时间（秒）是2， 故选：D 【点睛】此题考查了求二次函数自变量的值，读懂题意，得到方程是解题的关键． 8. 如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由旋转可知，即可求出，由于，则可判断，即A选项错误；由旋转可知，由于，即推出，即B选项错误；由三角形三边关系可知，即可推出，即C选项错误；由旋转可知，再由，即可证明为等边三角形，即推出．即可求出，即证明 ，即D选项正确； 【详解】由旋转可知， ∵点A，D，E在同一条直线上， ∴， ∵， ∴，故A选项错误，不符合题意； 由旋转可知， ∵为钝角， ∴， ∴，故B选项错误，不符合题意； ∵， ∴，故C选项错误，不符合题意； 由旋转可知， ∵， ∴为等边三角形， ∴． ∴， ∴，故D选项正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查旋转的性质，三角形三边关系，等边三角形的判定和性质以及平行线的判定．利用数形结合的思想是解答本题的关键． 9. 抛物线的函数表达式为，若将轴向上平移2个单位长度，将轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将题意中的平移方式转换成函数图像的平移，再求解析式即可． 【详解】解：若将轴向上平移2个单位长度， 相当于将函数图像向下平移2个单位长度， 将轴向左平移3个单位长度， 相当于将函数图像向右平移3个单位长度， 则平移以后的函数解析式为： 化简得：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数图像的平移，将题意中的平移方式转换为函数图像的平移是解决本题的关键． 10. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，3)．若将OA绕原点O逆时针旋转180°得到OA’，则点A’在平面直角坐标系中的位置是在(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题的关键是掌握各象限内点坐标的特征.象限内点(m,n)的坐标特征为:第一象限(+,+),即m＞0,n＞0;第二象限(-,+),即m＜0,n＞0;第三象限(-,-),即m＜0,n＜0;第四象限(+,-),即m＞0,n＜0.反之亦成立.本题根据点A的坐标,再结合以上知识点即可判断A′点的位置 【详解】解：∵ 将OA绕原点O逆时针旋转180°得到OA，点A（2，3）， ∴点A和点 A’关于原点对称 ∴点A’（-2，-3） ∴点 A’ 在第三象限 故答案为C 【点睛】此题考查坐标与图形变化-旋转，解题关键在于掌握其性质. 11. 先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】整个实验分两步完成，每步有两个等可能结果，用列表法或树状图工具辅助处理． 【详解】 如图，所有结果有4种，满足要求的结果有1种，故概率为. 故选：A 【点睛】本题考查概率的计算，运用树状图或列表工具是解题的关键． 12. 二次函数的部分图象如图所示，图象的对称轴为直线，且经过点，以下结论：①；②；③；④（m为常数）．其中正确的有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解答关键是根据应用数形结合思想解题． 由抛物线开口向下得到；由抛物线的对称轴为直线得到，得到；由抛物线与y轴的交点在x轴的上方得到，则；观察图象得到当时，，代入得到；当时，，即；根据二次函数的最值问题得到时，y有最大值，则，变形得到． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴ ∴，故②正确； ∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ∴， ∴，故①正确； 当时，， ∴ ∴，即，故③正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴时，y有最大值， ∴（m为常数）， ∴（m为常数），故④正确． 综上所述，其中正确的有①②③④，共4个． 故选：A． 二、填空题（18分） 13. 抛物线y＝2（x＋1）2的开口_____，顶点坐标为_____． 【答案】 ①. 向上 ②. （﹣1，0） 【解析】 【分析】可根据二次项系数的符号确定开口方向，根据顶点式求得对称轴及顶点坐标． 【详解】解：抛物线开口向上，顶点坐标是（﹣1，0）， 故答案为：向上，（﹣1，0）． 【点睛】本题考查了二次函数解析式的顶点式与其性质的联系，根据二次项系数的符号确定开口方向，根据顶点式确定顶点坐标及对称轴． 14. 如图，是的直径，，，则__． 【答案】75 【解析】 【分析】此题考查了弧与圆心角的关系．注意在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．由，根据弧与圆心角的关系，可得，继而求得答案． 【详解】解：， ， ． 故答案为：75． 15. 不透明袋子中装有7个球，其中有2个绿球、5个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是黄球的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 用黄球的个数除以球的总个数即可得． 【详解】解：从袋子中随机取出1个球，则它是黄球的概率是， 故答案为：． 16. 秋意渐浓，气温骤降．某校有1名学生患流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，问：每轮传染中平均一个人传染了几个人？设：每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，先根据题意列出第一轮传染后患流感的人数，再根据题意列出第二轮传染后患流感的人数，而已知第二轮传染后患流感的人数，故可得方程． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 第一轮传染后患流感的人数是：， 第二轮传染后患流感的人数是：， 而已知经过两轮传染后共有人患了流感，则可得方程：． 故答案为：． 17. 如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转，使点C落在边上的点E处，点B落在点D处，连接． （1）的长为_________； （2）的长为_________． 【答案】 ①. 10 ②. 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，旋转的性质，掌握旋转的性质是解题关键．由勾股定理可得，由旋转的性质，得出，，，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）在中，，，， ； 故答案为：10； （2）由旋转的性质可知，，，，， ，， ， 故答案为：． 18. 如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，经过格点，，． （1）的度数是______； （2）请用无刻度的直尺在图中画出圆心，并简要说明是如何找到的（不要求证明）______ 【答案】 ①. ②. 解：如图所示： 为直径，故圆心必在上，再做的中垂线，其与交点便为圆心 【解析】 【分析】本题考查了作图，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键． （1）连接，可求出、、的长度，可得其恰好符合勾股定理，得出的度数； （2）因为点，，是圆上三点，故作的外心（即边长中垂线的交点）即可确定圆心； 【详解】解：（1）连接，如下图： 可得，，， ∵，故为直角三角形， ∴， 故答案为：． （2）略 三、解答题（本大题共7小题，共66分，解答题应写出文字说明、验算步骤或推理过程） 19. 解方程 （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用配方法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解： ， 解得； 【小问2详解】 解： ∵， ∴， ∴， 解得． 20. 如图所示，在三角板中，，三角板绕直角顶点C按顺时针方向旋转得到三角形． （1）求的长； （2）在这个旋转过程中，三角板边扫过的扇形的面积是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，弧长的求解，扇形面积的求解． （1）先解求出，然后由旋转的性质得到，再由弧长公式求解即可； （2）由扇形面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵三角板绕直角顶点C按顺时针方向旋转得到三角形 ∴，， ∴的长为； 【小问2详解】 解：边扫过的扇形的面积为：． 21. 有一个不透明口袋，装有分别标有数字1，2，3，4的4个小球（小球除数字不同外，其余都相同），另有3张背面完全一样、正面分别写有数字1，2，3的卡片．小敏从口袋中任意摸出一个小球，小颖从这3张背面朝上的卡片中任意摸出一张，然后计算小球和卡片上的两个数的积． （1）请你用列表或画树状图的方法，求摸出的这两个数的积为6的概率； （2）小敏和小颖做游戏，她们约定：若这两个数的积为奇数，小敏赢；否则，小颖赢．你认为该游戏公平吗？为什么？ 【答案】（1）； （2）游戏不公平，因为积为偶数的有8种情况，所以概率是，而积为奇数的有4种情况，概率是，获胜的概率是不相等的． 游戏规则可改为：若积为3的倍数，小敏赢，否则，小颖赢． 注：修改游戏规则，应不改变已知数字和小球、卡片数量．其他规则，凡正确均给分． 【解析】 【详解】试题分析：（1）列表列出所有等可能结果，根据概率公式解答即可； （2）由积为偶数的有8种情况，而积为奇数的有4种情况，即可判断． 试题解析：解：（1）列表如下： ∵总结果有12种，其中积为6的有2种，∴P（积为6）=． （2）略 点睛：本题主要考查游戏的公平性及概率的计算，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=，注意本题是放回实验．解决本题的关键是得到相应的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 22. 已知：△ABC是边长为4的等边三角形，点O在边AB上，⊙O过点B且 分别与边AB，BC相交于点D，E，EF⊥AC，垂足为F. （1）求证：直线EF是⊙O的切线； （2）当直线DF与⊙O相切时，求⊙O的半径. 【答案】 （1）证明：连接OE，则OB=OE． ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=∠C=60°. ∴△OBE是等边三角形. ∴∠OEB=∠C=60°. ∴OE∥AC． ∵EF⊥AC，∴∠EFC=90°． ∴∠OEF=∠EFC=90°． ∴EF是⊙O的切线； （2）⊙O的半径是． 【解析】 【详解】（1）略 （2）连接DF, ∵DF是⊙O的切线， ∴∠ADF=90°． 设⊙O的半径为r，则BE=r，EC=，AD=． 在Rt△ADF中，∵∠A=60°， ∴AF=2AD=． ∴FC=． 在Rt△CEF中 ，∵∠C=60°， ∴EC=2FC， ∴=2（）， 解得， ∴⊙O的半径是． 23. 如图，在中，，，，点从点开始沿边向点移动，速度为；点从点开始沿边向点移动，速度为，点分别从点同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动． （1）几秒后，的长度为； （2）几秒后，的面积为； （3）的面积能否为？请说明理由． 【答案】（1）后，的长度为 （2）或后，的面积等于 （3） 的面积不可能等于，理由如下： 当时，即， ∴，整理得，， ∵， ∴方程没有实数根， ∴的面积不可能等于． 【解析】 【分析】本题主要考查动点与几何图形的综合，理解动点的运动规律，掌握几何图形的面积计算方法，一元二次方程根的判别式等知识是解题的关键． （1）设点运动的时间为，则，，，在中，根据勾股定理即可求解； （2）根据，解方程即可求解； （3）根据，得关于的一元二次方程，运用一元二次方程根的判别式判定方程是否有实数解即可． 【小问1详解】 解：设点运动的时间为，则，，，， ∴在中，根据勾股定理，得，， ∴，解得或（舍去）， ∴后，的长度为． 【小问2详解】 解：同（1）中所设，设点运动的时间为，则，，，， ∴，即， 解得或， ∴或后，的面积等于． 【小问3详解】 略 24. 某商店销售一种成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出，销售价每涨1元，月销售量就减少． （1）当销售单价定为52元时，月销售量为________；销售利润为________元； （2）设售价为元，当定为多少元时会获得最大利润？并求最大利润． 【答案】（1）480；5760 （2）当销售定价为70元时获得最大利润9000元 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，得出二次函数解析式是解答本题的关键． （1）由题意得月销售量为，销售利润为（元），即可求解； （2）设最大利润为w元，由题意得，即可求解， 【小问1详解】 解：由题意得：月销售量为，销售利润为（元）， 故答案为：480，5760； 【小问2详解】 解：设最大利润为w元， 由题意得：， ∵， ∴有最大值， 故当元时会获得最大利润，最大利润为9000元． 25. 已知抛物线（为常数）与轴相交于，两点，与轴相交于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）若是该抛物线上一点， ①当点在轴上方，且时，求点的坐标； ②当点在下方，且取得最大值时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）①或；② 【解析】 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）①先求出点坐标，再求出，进而可求出，设点的纵坐标为，表示出，最后根据面积关系列出方程即可求解；②如图，过点作轴于点，交于点，设点，利用待定系数法求出直线的函数解析式，进而求出点坐标，可得，最后根据得到与的二次函数解析式，根据二次函数性质解答即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，二次函数性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：把，代入函数解析式得， ， 解得， ∴该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：①当时，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设点的纵坐标为，则， ∵， ∴， ∴， ∴点的纵坐标为， 把代入得，， 解得，， ∴点的坐标为或； ②如图，过点作轴于点，交于点， 设点，直线的函数解析式为， 把、代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 把代入得，， ∴点， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取最大值， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $