精品解析：江苏省徐州市睢宁县古邳初级中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025-2026学年度第一学期九年级数学第二次自我评价 一、单选题（每小题3分，共24分） 1. 下列两个图形一定相似的是（ ） A. 两个菱形 B. 两个矩形 C. 两个等腰梯形 D. 两个正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似图形的判断，根据相似多边形的定义：对应角相等且对应边成比例的两个图形相似，分析各选项，只有两个正方形满足一定相似的条件． 【详解】解：两个正方形的所有角均为，对应角相等，且所有边均相等，对应边成比例， 两个正方形一定相似； 其他选项不一定相似： A、两个菱形对应角不一定相等； B、两个矩形对应边不一定成比例； C、两个等腰梯形对应角和对应边都不一定对应成比例； 故选：D． 2. 如图，直线，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， 即， 解得：． 故选：B． 3. 如果，那么的值是（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，已知比例关系，可设参数表示变量，代入所求表达式计算即可． 【详解】解：∵， ∴设,（其中）， ∴， 故选：C． 4. 已知按顺序排列的四条线段是成比例线段，其中，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了成比例线段，理解成比例线段的定义和性质是解题关键．根据题意可得，然后代入数值并求解，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，线段，，，是成比例线段，且，，， 则有，即， 解得． 故选：C． 5. 在中，，，，则的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数解直角三角形，直接利用正弦函数的定义进行求解即可． 【详解】解：在中，，，， 则， 故选：D． 6. 若，则锐角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值． 根据已知正弦值，即可得锐角的度数． 【详解】解：∵ ， 为锐角， ∴ ． 故选：B． 7. 如图，半径为4的的弦，且于点，连接、，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，勾股定理，掌握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．连接，根据，可得，所以，由，可得，所以，利用勾股定理即可求出． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 8. 二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④有两个不相等的实数根．其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，充分利用数形结合思想是解本题的关键．根据题意，结合二次函数的图象与性质，解答即可得出答案． 【详解】解：由图象可知，，对称轴为直线， ，即， ，故①正确； 由对称轴可知， ，故②错误； 由图象可知，抛物线与轴有两个交点， ，故③正确； 由图象可知时，此时只有一个解， 方程有两个相同的实数根，故④错误， 综上所述，正确的结论有个， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共30分） 9. 在比例尺为的地图上，相距的两地实际距离是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例尺的相关计算，较为简单．根据比例尺的定义，地图上的距离与实际距离的比是，由此计算实际距离，并换算单位． 【详解】解：地图上距离为，比例尺为， 故实际距离为， 由于， 因此实际距离为， 故答案为：． 10. ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，直接根据记忆的三角函数值表求解即可，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：根据特殊角的三角函数值，， 故答案为：． 11. 两相似五边形的相似比为，它们面积之差为，那么较小的五边形的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了相似多边形的性质，相似多边形的面积比等于相似比的平方，由相似比得面积比，再根据面积差列方程求解． 【详解】解：∵两相似五边形的相似比为， ∴两相似五边形的面积比为， 设较大的五边形面积为，较小的五边形面积为． ∵它们面积之差为， ∴， 解得， ∴较小的五边形面积为． 故答案为：． 12. 在中，，如果，，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，利用正切的定义计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4． 13. 玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音阶．实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金分割比时，可以敲击出音阶“”．如图，若瓶高，且敲击时发出音阶“”，则液面高度为__________．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割及二次根式的应用，熟知黄金分割的定义是解题的关键． 根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：由题知， ． 因为， 所以． 故答案为：． 14. 已知∠A是锐角，且满足，则的大小为 ______． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 据题目所给的等式求出的值，即可求出的大小． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 15. 已知二次函数的图象过点，则的值为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的解析式，掌握待定系数法是解题的关键． 将点代入函数解析式，得到关于的方程，解方程即可． 【详解】∵二次函数的图象过点， ∴代入解析式，得， 即， 移项得， 解得． 故答案为：1． 16. 如图，在中，，，如果，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 由可得到，由可得到，从而可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ∴ 故答案为：． 17. 如图，二次函数与直线相交于点M、N，则当时，自变量x的取值范围是 ___________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是结合图象求解． 根据抛物线与直线交点坐标，结合图象求解． 【详解】解：∵抛物线与直线交点坐标为，， ∴当直线在抛物线的上方， 故当时，自变量x的取值范围是． 故答案为：． 18. 如图，是的弦，点C为内一点，，连接，若的半径是4，则长的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，能够正确做出辅助线是解题关键； 如图，作于点，连接，根据勾股定理求出的长，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长，然后再利用即可求解． 【详解】解：如图，作于点，连接，则，， ∵的半径是4， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值为：， 故答案为： ． 三、解答题 19. 用合适的方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解方程即可； （2）先移项，再利用因式分解法求解方程即可． 【小问1详解】 解： ， 或， ，； 【小问2详解】 整理得， ， 或， ，． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，， （1）画出与关于y轴对称的； （2）以原点O为位似中心，在第三象限画一个，使它与的相似比为； （3）求的面积为_______． 【答案】（1） 如图所示，即为所求： （2） 如图所示，即为所求： （3）8 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称、位似变换，根据题意正确作图是解题的关键． （1）根据关于y轴对称的点的坐标得到、、的坐标，然后描点连线即可得到； （2）把A、B、C的横纵坐标都乘以依次得到、、的坐标，然后描点连线即可得到； （3）利用割补法即可求出的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的面积， 故答案为：8． 21. 如图，在中，，平分交于点，点在上，且，以点为圆心，长为半径画． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求的直径． 【答案】（1） 证明：点在上，且， ， 平分交于点， ， ， ， ， 是的半径， 直线是的切线； （2）8 【解析】 【分析】此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定、三角函数等知识，推导出，进而证明是解题的关键． （1）由，得，而，则，所以，则，即可证明直线是的切线； （2）由，，，求得，则，所以的直径为8． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：，，， ， ， 的半径， ， 的直径为8． 22. 已知在梯形中，，； （1）求证：； （2）连接，若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：在梯形中，， ， ，， ， （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． （1）由可得，再由平角可得，由此可得，再根据相似三角形的判定定理证明即可； （2）先由边成比例得，即可得，可证明，即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， 由（1）知，， ，即， ， ， ，且， ， ， ， ． 23. 如图，已知矩形中，，．某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动． （1）经过多长时间，的面积等于矩形面积的？ （2）是否存在时刻，使以，，为顶点的三角形与相似？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）秒或秒 （2）存在，秒或秒 【解析】 【分析】（1）设经过秒，的面积等于矩形面积的，由题意得，，，先求得矩形的面积，再根据的面积等于矩形面积的，得到关于的一元二次方程求解； （2）由题意得，，，再分、两种情况，分别得到关于的方程求解即可． 【小问1详解】 解：设经过秒，的面积等于矩形面积的， 由题意得，，， ∵矩形中，， ∴，，， ∴矩形的面积为：， ∴的面积， ∴， 解得：，， 答：经过秒或秒，的面积等于矩形面积的； 【小问2详解】 由题意得，，， 若， 则有， ∴， 解得：， 若， 则有， ∴， 解得：， 答：当秒或秒时，以、、为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题考查了相似三角形——动点问题，利用相似三角形的性质求解，动态几何问题(一元二次方程的应用)，根据矩形的性质求线段长等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 24. 某超市销售一批成本为每件30元的香蕉，按单价不低于成本价，且不高于60元销售，经调查发现，香蕉每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，部分数据如表所示． （1）求香蕉每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间的函数关系式； （2）销售单价定为多少元时，才能使销售香蕉每天获得的利润w(元)最大？最大利润是多少元？ 销售单价x(元) 销售数量y(件) 【答案】（1）； （2）销售单价定为元时，才能使销售该商品每天获得的利润(元)最大，最大利润是元 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数与二次函数的应用； （1）将点、代入一次函数表达式，即可求解； （2）由题意得，根据的范围以及二次函数的性质，即可求解 【小问1详解】 解：设该香蕉每天的销售量(件)与销售单价(元)之间的函数关系式为， 将点、代入一次函数关系式得： 解得：． 函数关系式为； 【小问2详解】 解：由题意得： ， ，抛物线开口向下，， 当时，有最大值，此时． 答：销售单价定为元时，才能使销售该商品每天获得的利润元最大，最大利润是元． 25. 如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴分别交于A，B两点，点A的坐标是，与y轴交于点 （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点P是抛物线上一点，连接使得，求出点P坐标； （3）如图3，连接与交于点D，是否存在点P，满足，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）或或或 【解析】 【分析】本题考查二次函数与几何综合，涉及待定系数法求函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、坐标与图形等知识，熟练掌握数形结合与分类讨论思想，以及方程建模是解答的关键． （1）利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）过P作轴于H，证明是等腰直角三角形，得到，设，分P在x轴上方时和P在x轴下方时，利用坐标与图形性质列方程求解m值即可解答； （3）先利用待定系数法求得直线的函数表达式为，设，分当点D在线段上时，当点D在延长线上、当点D在延长线上，三种情况，过P作轴于H，交于Q，则轴，，证明得到，则，利用坐标与图形性质列方程求得m值即可解答． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为直线，与x轴分别交于A，B两点，点A的坐标是，与y轴交于点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：过P作轴于H，则， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， ∵抛物线的对称轴为直线，与x轴分别交于A，B两点，点A的坐标是， ∴， 当P在x轴上方时，有， 解得或（与B重合，舍去）， ， ∴； 当P在x轴下方时，有， 解得或（与B重合，舍去）， ， ∴， 综上，点P的坐标为或； 【小问3详解】 解：存在． 设直线的函数表达式为 ∵，， ∴，解得， ∴直线的函数表达式为， 设， 如图，当点D在线段上时，过P作轴于H，交于Q，则轴，， ∴， ∴，则， ∴， 解得或， ∴或， ∴或； 当点D在延长线上，如图， 同理可证， ∴，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴ ∴． 当点D在延长线上，如图， 同理可证， ∴，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴或， ∴． 综上，点P坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期九年级数学第二次自我评价 一、单选题（每小题3分，共24分） 1. 下列两个图形一定相似的是（ ） A. 两个菱形 B. 两个矩形 C. 两个等腰梯形 D. 两个正方形 2. 如图，直线，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 3. 如果，那么的值是（ ） A. B. 5 C. D. 4. 已知按顺序排列的四条线段是成比例线段，其中，则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，，，则的值是（　　） A. B. C. D. 6. 若，则锐角的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，半径为4的的弦，且于点，连接、，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 2 8. 二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④有两个不相等的实数根．其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（每小题3分，共30分） 9. 在比例尺为的地图上，相距的两地实际距离是_______． 10. ______． 11. 两相似五边形的相似比为，它们面积之差为，那么较小的五边形的面积是______． 12. 在中，，如果，，那么______． 13. 玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音阶．实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金分割比时，可以敲击出音阶“”．如图，若瓶高，且敲击时发出音阶“”，则液面高度为__________．（结果保留根号） 14. 已知∠A是锐角，且满足，则的大小为 ______． 15. 已知二次函数的图象过点，则的值为_____． 16. 如图，在中，，，如果，则_____． 17. 如图，二次函数与直线相交于点M、N，则当时，自变量x的取值范围是 ___________ ． 18. 如图，是的弦，点C为内一点，，连接，若的半径是4，则长的最小值为_______． 三、解答题 19. 用合适的方法解下列方程： （1） （2） 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，， （1）画出与关于y轴对称的； （2）以原点O为位似中心，在第三象限画一个，使它与的相似比为； （3）求的面积为_______． 21. 如图，在中，，平分交于点，点在上，且，以点为圆心，长为半径画． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求的直径． 22. 已知在梯形中，，； （1）求证：； （2）连接，若，，求的度数． 23. 如图，已知矩形中，，．某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动． （1）经过多长时间，的面积等于矩形面积的？ （2）是否存在时刻，使以，，为顶点的三角形与相似？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 24. 某超市销售一批成本为每件30元的香蕉，按单价不低于成本价，且不高于60元销售，经调查发现，香蕉每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，部分数据如表所示． （1）求香蕉每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间的函数关系式； （2）销售单价定为多少元时，才能使销售香蕉每天获得的利润w(元)最大？最大利润是多少元？ 销售单价x(元) 销售数量y(件) 25. 如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴分别交于A，B两点，点A的坐标是，与y轴交于点 （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点P是抛物线上一点，连接使得，求出点P坐标； （3）如图3，连接与交于点D，是否存在点P，满足，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $