一次函数的应用：方案选择问题、利润问题、行程问题专项训练-2025-2026学年 北师大版八年级数学上册

一次函数的应用：方案选择问题、利润问题、行程问题专项训练 一次函数的应用：方案选择问题、利润问题、行程问题专项训练 考点目录 一次函数的应用：方案选择问题 一次函数的应用：利润问题 一次函数的应用：行程问题 考点一 一次函数的应用：方案选择问题 例1．（25-26八年级上·安徽淮北·月考）为鼓励学生加强锻炼，增强体质，某校准备购买若干套健身器材供学生使用，经调查，某公司有，两种健身器材可供选择，每套型健身器材售价为万元，每套型健身器材售价为万元，经协商，该公司承诺：每套型健身器材在售价的基础上减免万元；每套型健身器材在售价的基础上打七折．学校想购进，两种健身器材共套，若型健身器材买套，共花费万元． (1)请求出与的函数关系式； (2)若型健身器材的数量不超过套，学校应如何购买才能使总费用最少？ 【答案】(1) (2)购买型健身器材套，型健身器材套才能使总费用最少 【详解】（1）解：若型健身器材买套，则型健身器材套， 由题意得：， 即与的函数关系式为（，且x为整数）； （2）解：由题意可知，，由可知，总费用为：， 随的增大而减小， 当时，有最小值， 即若型健身器材买套， 则型健身器材买套， 答：购买型健身器材套，型健身器材套才能使总费用最少． 例2．（25-26八年级上·山西太原·月考）项目式：智慧出行 【背景】“绿途”共享单车公司为满足不同用户的长距离骑行需求，推出了两种计时计费套餐： 畅骑套餐：收费公式为：； 随心套餐：收费公式为：； 其中，y代表骑行的总费用（元），x代表用户的骑行时长（分钟）． 【理解模型】 （1）请解释“畅骑套餐”公式中的“0.3”和“15”以及“随心套餐”公式中的“0.7”在实际计费中分别表示什么意义； 【应用模型】 （2）小航周末计划骑行去郊外景区，往返预计骑行总时长为80分钟，且在景区周边还会产生约20分钟的额外骑行时长，根据计算，他应该选择哪个套餐更省钱？ 【答案】（1）“0.3”表示每骑行1分钟的费用是0.3元，“15”表示骑行的起步费用是15元，随心套餐中，“0.7”表示每骑行1分钟的费用是0.7元； （2）他应该选择“畅骑套餐”更省钱 【详解】解：（1）畅骑套餐中，“0.3”表示每骑行1分钟的费用是0.3元，“15”表示骑行的起步费用是15元，随心套餐中，“0.7”表示每骑行1分钟的费用是0.7元． （2）由题意知，骑行总时长为（分钟）， 当时，即骑行总时长为100分钟时，，， ∵， ∴， ∴他应该选择“畅骑套餐”更省钱． 例3．（25-26八年级上·广东佛山·期中）某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有甲、乙两家印刷社，制作此种宣传单的收费标准如下表．甲、乙印刷社收费（元）与印制数（张）的函数关系如下表： 甲印刷社 0.15元/张 乙印刷社 500张以内（含500张） 0.20元/张 超过500张部分 0.10元/张 (1)若该小组在甲、乙两家印刷社共印制400张宣传单，用去65元，问甲、乙两家印刷社各印多少张？ (2)若印刷费用为元，请直接写甲、乙两家印刷社费用与宣传单张数之间的函数关系式，并说明宣传单张数为600时选择哪家印刷社比较划算． 【答案】(1)在甲印刷社印刷300张，在乙印刷社印刷100张 (2)，，选择甲印刷社划算 【详解】（1）解：设甲、乙两家印刷各印了、张宣传单， ， 解得， 答：在甲印刷社印刷300张，在乙印刷社印刷100张； （2）根据题意得，， 当时， 当时， ∴， 当时， ∵ ∴选择甲印刷社划算． 例4．（25-26八年级上·重庆·期中）某旅游景区的票价为150元/张，一旅行社针对该景区推出两种优惠方案； 方案一：每人票价打九折； 方案二：10人以内含10人不优惠，超过10人的部分打八折． 设该旅行社组织人去该景区旅游，方案一中购票总金额为元，方案二中购票总金额为元． (1)分别写出方案一、方案二中，与x之间的关系式； (2)某单位共38人去该景区旅游，选择该旅行社哪种方案更优惠？请说明理由． 【答案】(1)；； (2)选方案二更优惠，理由见解析． 【详解】（1）解：由题意，； ； ；； （2）选方案二更优惠，理由如下： 当时，；； ， 选方案二更优惠． 变式1．（24-25八年级上·广东佛山·期中）在“综合与实践”活动课时，小明关注了佛山移动公司手机资费两种套餐： A套餐：月租0元，市话通话费每分钟元； B套餐：月租费48元，免费市话通话时间48分钟，超出部分每分钟元． 设A套餐每月市话话费为元，B套餐每月市话话费为元，月市话通话时间为x分钟． (1)分别写出，与x的函数关系式； (2)小明爸爸每月市话通话时间为200分钟，请说明选择哪种套餐更合算． 【答案】(1) (2)选择B种套餐更合算 【详解】（1）解：根据题意得：，； （2）解：当时， ， ， 选择B种套餐更合算． 变式2．（25-26八年级上·重庆·期中）某公司计划组织员工一日游．经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人200元．且提供的服务完全相同．针对组团的游客，甲旅行社表示，每人都按八折收费；乙旅行社表示，若人数不超过20人，每人都按九折收费，超过20人，其中20人按九折收费，超出部分每人按七折收费．假设组团参加一日游的人数为x人． (1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团一日游的总费用（元），（元），与x（人）之间的函数关系式； (2)若公司组团参加一日游的共有32人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助公司选择收取总费用较少的一家． 【答案】(1)甲旅行社：； 乙旅行社：当时，，当时，； (2)选择甲旅行社． 【详解】（1）解：甲旅行社：每人八折收费，报价200元，折扣后为 元/人，故 ； 乙旅行社：若，每人九折收费， 元/人，故 ；若，前20人九折收费，费用为 元，超出部分七折收费， 元/人，故； （2）解：当时， （元）， （元）， ∵， ∴选择甲旅行社． 变式3．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）某旅游景区的票价为150元/张，一旅行社针对该景区推出两种优惠方案： 方案一：每人票价打九折； 方案二：10人以内（含10人）不优惠，超过10人的部分打八折． 设该旅行社组织人去该景区旅游，方案一中购票总金额为元，方案二中购票总金额为元． (1)分别写出方案一、方案二中，与之间的关系式； (2)某单位共34人去该景区旅游，选择该旅行社哪种方案更优惠？请说明理由． 【答案】(1) (2)选择方案二更优惠，见解析 【详解】（1）解：票价为150元/张，方案一：每人票价打九折，此时单价为元， 故； 方案二：10人以内（含10人）不优惠，此时费用为元，超过10人的部分的费用为， 总费用为：． （2）解：当时，， ． ， 选择方案二更优惠． 考点二 一次函数的应用：利润问题 例1．（25-26八年级上·河南平顶山·月考）小美打算在“母亲节”买一束百合和康乃馨组合的鲜花送给妈妈．已知买2支百合和1支康乃馨共需花费14元，3支康乃馨的价格比2支百合的价格多2元． (1)求买一支康乃馨和一支百合各需多少元？ (2)小美准备买康乃馨和百合共11支，且康乃馨不多于9支，设买康乃馨x支，买这束鲜花所需总费用为w元． ①求w与x之间的函数关系式； ②请你帮小美设计一种使费用最少的买花方案，并求出最少费用． 【答案】(1)买一支康乃馨需4元，一支百合需5元 (2)①，且为整数；②购买康乃馨9支，百合2支时，购买费用最少，最少费用为46元 【详解】（1）解：设买一支康乃馨需m元，一支百合需n元，由题意得： ， 解得：； 答：买一支康乃馨需4元，一支百合需5元． （2）解：①由题意得： ， ∵康乃馨不多于9支， ∴且为整数； ②由①可知：， ∴w随x的增大而减小， ∴当时，w有最小值，最小值为； 答：购买康乃馨9支，百合2支时，购买费用最少，最少费用为46元． 例2．（25-26八年级上·广东深圳·月考）某车间有50名工人，每人每天可加工16个甲种零件或15个乙种零件，安排其中一部分工人加工甲种零件，其余工人加工乙种零件，已知每加工一个甲种零件可获利20元，每加工一个乙种零件可获利24元． (1)若该车间某天获利17000元，问这天加工甲种零件的工人有多少人？ (2)由于生产需要，每天都需要加工两种零件，设加工甲种零件的人数为m，该车间每天的获利为w元，若，当m为何值时，该车间一天的获利w最大？最大为多少元？ 【答案】(1)这天加工甲种零件的工人有25人 (2)当时，该车间一天的获利最大，最大为17200元 【详解】（1）解：设这天加工甲种零件的工人有x人，则加工乙种零件的工人有人， ∴，解得：， ∴这天加工甲种零件的工人有25人； （2）解：由题意可得：， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∵， ∴当时，， ∴当时，该车间一天的获利最大，最大为17200元． 例3．（25-26八年级上·辽宁锦州·月考）某纪念品店准备购进一批北京冬残奥运会纪念品．购进2件A纪念品和6件B纪念品共需180元，购进4件A纪念品和3件B纪念品共需135元． (1)求A、B两种纪念品每件的进价． (2)该店计划将2500元全部用于购进A、B两种纪念品，设购进A纪念品x件，该店进货时，厂家要求A纪念品的购进数量不超过40件．已知A纪念品每件售价为20元，B纪念品每件售价为30元．设该店全部售出这两种纪念品可获利W元，应该如何进货才能使该店获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)A种纪念品每件的进价为15元，B种纪念品每件的进价为25元 (2)当该商店购进A纪念品40件，B纪念品76件时，该店获利最大，最大利润是580元 【详解】（1）解：设A种纪念品每件的进价为元，B种纪念品每件的进价为元， 则，解得：， 答：A种纪念品每件的进价为15元，B种纪念品每件的进价为25元 （2）解：设购进A纪念品x件，则， 由题意得：， ， 随的增大而增大， 当时，有最大值为， 此时购进B纪念品件， 答：当该商店购进A纪念品40件，B纪念品76件时，该店获利最大，最大利润是580元． 例4．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）某商店销售台型和台型电脑的利润为元，销售台型和台型电脑的利润为元． (1)求每台型电脑和型电脑的销售利润； (2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共台，其中型电脑进货量不少于台不多于台，设购进型电脑台，这台电脑的销售总利润为元．该商店购进型、型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)每台型电脑的销售利润为元，型电脑的销售利润为元 (2)该商店购进型电脑台、型电脑台，才能使销售总利润最大；最大利润是元 【详解】（1）解：设每台型电脑的销售利润为元，型电脑的销售利润为元， 则， 解得， 答：每台型电脑的销售利润为元，型电脑的销售利润为元； （2）解：设购进型电脑台，则购进型电脑台， 则， 型电脑进货量不少于台不多于台， ， ， 一次函数的函数值随着的增大而减小， 即当时，这台电脑的销售总利润有最大值，此时（元）， 则型电脑有（台）， 答：该商店购进型电脑台、型电脑台，才能使销售总利润最大；最大利润是元． 变式1．（25-26八年级上·江苏南京·月考）某商场购进甲、乙两种商品共250件进行销售，其中甲商品的件数不大于乙商品的件数，且不小于60件，甲、乙两种商品的进价、售价如表： 甲 乙 进价（元/件） 140 120 售价（元/件） 195 170 请利用所学知识解决下列问题： (1)设商场购进甲商品的件数为件，购进甲、乙两种商品全部售出后获得利润为元，求和之间的函数关系式，并写出的取值范围； (2)在（1）的条件下，要使商场获得最大利润，该公司应购进甲多少件，最大利润是多少？ (3)在（1）的条件下，商场决定在销售活动中每售出一件甲，就从一件甲的利润中拿出元捐给慈善基金，则该商场应购进甲多少件方可获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)（且整数） (2)当公司应购进甲125件时，利润最大，最大利润为元 (3)该商场应购进甲商品件方可获得最大利润，最大利润为元 【详解】（1）解：由题意可得， ， ∵甲商品的件数不大于乙商品的件数，且不小于60件，， ， 解得， 即与之间的函数关系式是（且整数）； （2）解：与之间的函数关系式是，， 随的增大而增大， ∴当时，y最大，最大值为， 即当公司应购进甲125件时，利润最大，最大利润为元； （3）解：设最后获得的利润为元， 由题意可得：， ∵， ， 随的增大而减小， ∵， 当时，取得最大值，此时， 答：该商场应购进甲商品件，方可获得最大利润，最大利润为元． 变式2．（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，于2025年9月3日在天安门广场举行“九三阅兵”．在本次阅兵中首次展示了多种新型武器，展现了我们国家捍卫和平的能力与力量.某商家在此契机下购进了“歼35”和“歼”两种隐形战机模型共80件进行销售，已知购进3件“歼35”模型和2件“歼”模型共需540元，购进2件“歼35”模型和3件“歼”模型共需560元． (1)求购进这两种模型的单价分别为多少元？ (2)设购进“歼”模型件（），购买这两种模型80件共花费元，求与之间的函数关系式； (3)在（2）的条件下，若“歼35”模型的售价为120元/件，“歼”模型的售价为150元/件．该商家计划购进这批模型所花的总费用不超过8900元，要使这批模型全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 【答案】(1)购进“歼35”模型的单价是100元，购进“歼20S”模型的单价120元 (2) (3)购进“歼35”模型35件，购进“歼20S”模型45件可使商家获得最大利润，最大利润是2050元 【详解】（1）解：设购进“歼35”模型的单价是a元，购进“歼20S”模型的单价b元. 根据题意，得， 解得. 答：购进“歼35”模型的单价是100元，购进“歼20S”模型的单价120元. （2）设购进“歼20s”模型年（），则购进“歼35”模型件 根据题意，得. 答：y与x之间的函数关系式为. （3）根据题意，得， 解得， ∵， ∴， 设商家获得的利润是W元，则， ∵， ∴W随x的增大而增大， ∵， ∴当时，W值最大， ，（套）. 答：购进“歼35”模型35件，购进“歼20S”模型45件可使商家获得最大利润，最大利润是2050元. 变式3．（25-26八年级上·陕西西安·月考）某无人机配件销售公司有A和B两种配件，其进价和售价如表． 种类 A配件 B配件 进价（元件） a 80 售价（元件） 300 100 已知用12800元可购进A配件40件和B配件30件． (1)求的值； (2)若该无人机配件销售公司某次购进A种配件和B种配件共300件，并全部售出，且本次销售获得的总利润为y元，购进的A种配件为x件． （）请写出y与x之间的函数表达式；（利润售价－进价） （）根据市场销售分析，B种配件购进件数不低于A种配件的2倍，问怎样购进配件才能使本次销售获得的总利润最大？最大总利润是多少元？ 【答案】(1)a的值为260 (2)（）；（）购进A种配件100件、B种配件200件才能使本次销售获得的总利润最大，最大总利润是8000元 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， 答：a的值为260． （2）解：（）根据题意，得， 所以y与x之间的函数表达式为； （）根据题意，得， 解得， 由（）知， 因为， 所以y随x的增大而增大， 因为， 所以当时，值最大，，（件）， 答：购进A种配件100件、B种配件200件才能使本次销售获得的总利润最大，最大总利润是8000元． 考点三 一次函数的应用：行程问题 例1．（25-26八年级上·江苏淮安·月考）越来越多的人喜欢选择自行车作为出行工具．小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以m米/分的速度到达图书馆，小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程y（米）与时间x（分钟）的关系如图，请结合图象，解答下列问题： (1)______，______； (2)若小军的速度是120米/分，求小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离； (3)在（2）的条件下，爸爸自第二次出发后至到达图书馆前，何时与小军相距100米，此时小军骑行的时间为______分钟． 【答案】(1)15；200 (2)距图书馆的距离是750米 (3)或20 【详解】（1）解：（分钟）， （分钟）， （米/分）， 即，，， 故答案为： 15；200； （2）解：线段所在直线的函数解析式为； 线段所在的直线的函数解析式为， 联立两函数解析式成方程组，， 解得：， ∴（米）， 答：小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离是750米； （3）解：根据题意得：， 解得：，， 答：爸爸自第二次出发至到达图书馆前，17.5分钟或20分钟时与小军相距100米． 故答案为：或20． 例2．（25-26八年级上·河北张家口·月考）综合与实践 【情境再现】“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：兔子和乌龟从起点同时出发，领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，在路边小树处睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟先到达终点． 【图象分析】嘉嘉用x表示兔子和乌龟从起点出发所行的时间，，分别表示兔子和乌龟所行的路程，画出了能大致表示上面故事情节的图象，如图1． （1）根据图1回答下列问题： ①乌龟在这次比赛中的速度是______米/分钟； ②图中线段的实际意义是______； 【故事改编】淇淇对童话故事进行了改编：兔子输了比赛，心里很不服气，它们约定再次赛跑，兔子让乌龟从路边小树处（兔子第一次睡觉的地方）起跑，乌龟、兔子的速度及赛场均和上次一致，它们同时出发，结果兔子先到达了终点，淇淇根据故事情节绘制如图2的图象． （2）图2中，x表示兔子和乌龟所行的时间，，分别表示兔子和乌龟所行的路程， ①求兔子追上乌龟时，它们到小树处的距离； ②兔子到达终点后，将在终点等待乌龟，直接写出当乌龟和兔子相距120米时x的值． 【答案】（1）①20；②兔子在距起点400米的地方，睡了40分钟 （2）①400米；②14或26或34 【详解】解：（1）①由图象可得赛跑的全程是1200米，乌龟花了60分钟， ∴乌龟在这次比赛中的平均速度是米/分钟； ②由图象知，， 即线段的实际意义是兔子在距出发地400米的地方，睡了40分钟； （2）①由（1）得， ， 解得， ∴（米）． 答：兔子追上乌龟时，它们到小树处的距离是400米． ②由图可知，兔子距起点的路程（米）， 乌龟距起点的路程为（米）， ∵乌龟和兔子相距120米， ∴或， 当时， ， ∴， 解得：或； 当时， ， ， 解得：； 综上，当乌龟和兔子相距120米时，或或． 例3．（25-26八年级上·山西运城·月考）如图①所示，李华的家、公园、超市依次在同一条直线上，公园距离李华家，超市距离李华家．李华从家里出发，匀速步行了到公园，他在公园停留了一段时间，之后他匀速步行了到超市，在超市停留购买商品后，再匀速骑行了返回家．下面图②中（单位：）表示李华离开家的时间，（单位：）表示李华离家的距离．图象反映了这个过程中李华离家的距离与他离开家的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)填表： 李华离开家的时间（单位：） 李华离家的距离（单位：） (2)填空：①超市到公园的距离为________； ②李华在公园停留的时间为________； ③李华从超市返回家的速度为________． (3)当时，请求出李华离家的距离关于时间的函数解析式． 【答案】(1)；； (2)①；②；③； (3)． 【详解】（1）解：当时，李华的速度是， 李华离开家时离家的距离 ∴； 由图象可知，当时，在区间中，， ∴． 故答案：，． （2）①根据“李华家到超市的距离李华家到公园的距离超市到公园的距离”， 由图可知，李华家到超市的距离，李华家到公园的距离 ∴超市到公园的距离， 故答案为：； ②李华在公园停留的时间在区间， ∴李华在公园停留的时间， 故答案为：； ③∵李华返回家的时间在区间， ∴李华返回家的时间 根据“李华返回家的速度＝李华家到超市的距离÷李华从超市返回家的时间”，得 李华返回家的速度． 故答案为：． （3） （i）当时，设正比例解析式为， 代入点，得：，即， ∴当时，解析式为：； （ii）当时，解析式为：； （iii）当时，设一次函数解析式为， 代入点、，得： ， 由②－①得：，即， 将代入①中得：， 解得：， ∴当时，解析式为：； 综上：． 例4．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）甲、乙两车从A地出发沿同一路线驶向B地，甲车先出发匀速驶向B地，40分钟后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时，由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了50千米/时，结果与甲车同时到达B地．甲、乙两车距A地的路程（单位：千米），（单位：千米）与乙车行驶时间x（单位：小时）之间的函数图象如图所示． 请结合图象信息解答下列问题： (1)a的值为________，甲车的速度为________千米/时； (2)求乙车减速前的速度，以及图中线段所表示的y与x的函数关系式； (3)当时，直接写出乙车出发多少小时与甲车相距15千米． 【答案】(1) (2)90千米/小时； (3) 【详解】（1）解：根据题意得：， 40分钟小时， 设甲车的速度为千米／小时， 则 ∴甲车的速度（千米／小时）； 故答案为：； （2）解：设乙开始的速度为千米／小时， 则， 解得（千米／小时）， ， 则， 设直线的解析式为， 把代入得， 解得． ∴线段所表示的与的函数关系式为； （3）解：由（1）知，，故． 甲车前40分钟的路程为千米，则， 设直线的解析式为， 把代入得，解得， ∴直线的解析式为， 设甲乙两车中途相遇点为，由，解得小时，即乙车出发小时后，甲乙两车相遇， ∵， 故乙车在段时，由，解得，介于之间，符合题意． ∴当时，乙车出发小时乙与甲车相距15千米． 变式1．（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）某景区的同一线路上依次有，，三个景点（如图1），小兴从景点出发，步行米去景点，共用时分钟；同时，桐桐以每分钟米的速度从景点出发，步行米到达景点，休息分钟后，桐桐改成骑电动车去景点，结果桐桐比小兴早分钟到达景点．两人行走时均为匀速运动，设小兴步行的时间为（分），两人各自距景点的路程（米）与（分）之间的函数图象如图2所示． (1)________，并说出的实际意义________________； (2)求桐桐骑车时距景点的路程（米）与（分）之间的函数表达式（不必写出的取值范围）； (3)桐桐到达景点，休息分钟再次出发后，当________时，两人相距米． 【答案】(1)，桐桐步行从景点到达景点所用的时间 (2) (3)或或 【详解】（1）解：桐桐以每分钟米的速度从景点出发，步行米到达景点， （分钟）， 的实际意义为桐桐步行从景点到达景点所用的时间， 故答案为：，桐桐步行从景点到达景点所用的时间； （2）桐桐开始骑车的时间为第（分钟）， 桐桐骑车到达景点的时间为第（分钟）， 设桐桐骑车时距景点的路程（米）与（分）之间的函数表达式为， 将，代入得， 解得， ； （3）设小兴距景点的路程（米）与（分）之间的函数解析式为，将代入得， 解得， ， 桐桐到达A景点之前，两人相距米， 则， 解得或， 即当或时，两人相距米； 桐桐到达A景点之后，两人相距米， 则， 解得：； 故答案为：或或． 变式2．（2025·天津·一模）甲、乙两人骑自行车同时从A地出发沿同一路线去B地，甲骑行后因事停留了，然后继续按原速骑行到达B地；乙骑行直接到达B地，已知A，B两地相距．下面图中x表示时间，y表示离A地的距离，图象反映了这个过程中甲离A地的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填空： ①图中_______，_______； ②甲出发离A地的距离是______； ③乙骑行的速度为______． (2)请直接写出甲离A地的距离y关于时间x的函数解析式，并指出x的取值范围； (3)当甲乙相距时，甲出发的时间是多少？（直接写出结果即可） 【答案】(1)①40，5；②7.5；③0.2； (2)； (3)或． 【详解】（1）解：①甲骑行后因事停留了，然后继续按原速骑行到达B地， ； ∵甲骑行的速度为，甲骑行的路程为， ∴． 故答案为：40，5． ②甲骑行的速度为， 甲出发离A地的距离是， 故答案为：7.5； ③乙骑行的速度为， 故答案为：0.2； （2）解：当时，设函数解析式为， 将代入得：，求得， 当时，函数解析式为； 当时，函数解析式为； 当时，设函数解析式为， 将代入得： ，解得， 当时， 综上，甲离A地的距离y关于时间x的函数解析式为； （3）解：设乙的解析式为，把代入，得， 解得， ∴， 乙离A地的距离y关于时间x的函数解析式为． 根据题意，乙离A地的距离与时间的图象如图所示： 当时，，解得（舍去）； 当时，，解得（舍去）或； 当时，，解得或（舍去）； 当时，，解得（舍去）或（舍去）； 综上，或70． ∴当甲乙相距时，甲出发的时间是或． 变式3．（25-26八年级上·四川成都·期中）汽车出发前油箱有油，行驶若干小时后，在加油站加油若干升．图象表示的是从出发后，油箱中剩余油量与行驶时间之间满足如下函数图象． (1)汽车行驶______后加油，中途加油______； (2)求加油前油箱剩余油量与行驶时间的函数关系式； (3)已知加油前、后汽车都以匀速行驶，如果加油站距目的地，那么要到达目的地，油箱中的油是否够用？若够，请说明理由；若不够，请求出还应再加油多少升？ 【答案】(1)， (2) (3)油箱中的油不够用，还应再加油 【详解】（1）解：由图可知，汽车行驶后加油，中途加油， 故答案为：，； （2）解：设加油前油箱剩余油量与行驶时间的函数关系式为， 将点，代入得， 解得， 加油前油箱剩余油量与行驶时间的函数关系式为； （3）解：汽车每小时耗油， 汽车从加油站到目的地耗油， ， 如果加油站距目的地，那么要到达目的地，油箱中的油不够用， ， 还应再加油． 变式4．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）甲、乙两车沿同一条道路从A地出发向1200千米外的B地行驶，甲在途中休息了3小时，休息后以新的速度匀速驶向B地，最后两车同时到达B地，如图，为甲、乙两车距A地的路程y（单位：千米）与乙车行驶时间x（单位：小时）之间的函数图象． (1)甲车休息前的行驶速度为______千米/小时，乙车的速度为______千米/小时； (2)求甲车休息后距A地的路程y与x之间的函数关系式； (3)①求两车第一次相遇的时候x的值； ②直接写出第二次相遇后多长时间甲车与乙车相距40千米． 【答案】(1)， (2) (3)①；②第二次相遇后或小时甲车与乙车相距40千米 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴甲车休息前的行驶速度为千米/小时； 乙车的速度为千米/小时； （2）解：（小时）， 当时，设甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴甲车休息后距A地的路程y与x之间的函数关系式； （3）解：①由题意可得：， 解得：， ∴两车第一次相遇的时候x的值为； ②由图象可得，当时，两车第二次相遇， 当甲车还在休息时甲车与乙车相距40千米，（小时）， 当甲车再次出发时甲车与乙车相距40千米，， 解得：， （小时）， 综上所述，第二次相遇后或小时甲车与乙车相距40千米． 2 学科网（北京）股份有限公司 $一次函数的应用：方案选择问题、利润问题、行程问题专项训练 一次函数的应用：方案选择问题、利润问题、行程问题专项训练 考点目录 一次函数的应用：方案选择问题 一次函数的应用：利润问题 一次函数的应用：行程问题 考点一 一次函数的应用：方案选择问题 例1．（25-26八年级上·安徽淮北·月考）为鼓励学生加强锻炼，增强体质，某校准备购买若干套健身器材供学生使用，经调查，某公司有，两种健身器材可供选择，每套型健身器材售价为万元，每套型健身器材售价为万元，经协商，该公司承诺：每套型健身器材在售价的基础上减免万元；每套型健身器材在售价的基础上打七折．学校想购进，两种健身器材共套，若型健身器材买套，共花费万元． (1)请求出与的函数关系式； (2)若型健身器材的数量不超过套，学校应如何购买才能使总费用最少？ 例2．（25-26八年级上·山西太原·月考）项目式：智慧出行 【背景】“绿途”共享单车公司为满足不同用户的长距离骑行需求，推出了两种计时计费套餐： 畅骑套餐：收费公式为：； 随心套餐：收费公式为：； 其中，y代表骑行的总费用（元），x代表用户的骑行时长（分钟）． 【理解模型】 （1）请解释“畅骑套餐”公式中的“0.3”和“15”以及“随心套餐”公式中的“0.7”在实际计费中分别表示什么意义； 【应用模型】 （2）小航周末计划骑行去郊外景区，往返预计骑行总时长为80分钟，且在景区周边还会产生约20分钟的额外骑行时长，根据计算，他应该选择哪个套餐更省钱？ 例3．（25-26八年级上·广东佛山·期中）某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有甲、乙两家印刷社，制作此种宣传单的收费标准如下表．甲、乙印刷社收费（元）与印制数（张）的函数关系如下表： 甲印刷社 0.15元/张 乙印刷社 500张以内（含500张） 0.20元/张 超过500张部分 0.10元/张 (1)若该小组在甲、乙两家印刷社共印制400张宣传单，用去65元，问甲、乙两家印刷社各印多少张？ (2)若印刷费用为元，请直接写甲、乙两家印刷社费用与宣传单张数之间的函数关系式，并说明宣传单张数为600时选择哪家印刷社比较划算． 例4．（25-26八年级上·重庆·期中）某旅游景区的票价为150元/张，一旅行社针对该景区推出两种优惠方案； 方案一：每人票价打九折； 方案二：10人以内含10人不优惠，超过10人的部分打八折． 设该旅行社组织人去该景区旅游，方案一中购票总金额为元，方案二中购票总金额为元． (1)分别写出方案一、方案二中，与x之间的关系式； (2)某单位共38人去该景区旅游，选择该旅行社哪种方案更优惠？请说明理由． 变式1．（24-25八年级上·广东佛山·期中）在“综合与实践”活动课时，小明关注了佛山移动公司手机资费两种套餐： A套餐：月租0元，市话通话费每分钟元； B套餐：月租费48元，免费市话通话时间48分钟，超出部分每分钟元． 设A套餐每月市话话费为元，B套餐每月市话话费为元，月市话通话时间为x分钟． (1)分别写出，与x的函数关系式； (2)小明爸爸每月市话通话时间为200分钟，请说明选择哪种套餐更合算． 变式2．（25-26八年级上·重庆·期中）某公司计划组织员工一日游．经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人200元．且提供的服务完全相同．针对组团的游客，甲旅行社表示，每人都按八折收费；乙旅行社表示，若人数不超过20人，每人都按九折收费，超过20人，其中20人按九折收费，超出部分每人按七折收费．假设组团参加一日游的人数为x人． (1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团一日游的总费用（元），（元），与x（人）之间的函数关系式； (2)若公司组团参加一日游的共有32人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助公司选择收取总费用较少的一家． 变式3．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）某旅游景区的票价为150元/张，一旅行社针对该景区推出两种优惠方案： 方案一：每人票价打九折； 方案二：10人以内（含10人）不优惠，超过10人的部分打八折． 设该旅行社组织人去该景区旅游，方案一中购票总金额为元，方案二中购票总金额为元． (1)分别写出方案一、方案二中，与之间的关系式； (2)某单位共34人去该景区旅游，选择该旅行社哪种方案更优惠？请说明理由． 考点二 一次函数的应用：利润问题 例1．（25-26八年级上·河南平顶山·月考）小美打算在“母亲节”买一束百合和康乃馨组合的鲜花送给妈妈．已知买2支百合和1支康乃馨共需花费14元，3支康乃馨的价格比2支百合的价格多2元． (1)求买一支康乃馨和一支百合各需多少元？ (2)小美准备买康乃馨和百合共11支，且康乃馨不多于9支，设买康乃馨x支，买这束鲜花所需总费用为w元． ①求w与x之间的函数关系式； ②请你帮小美设计一种使费用最少的买花方案，并求出最少费用． 例2．（25-26八年级上·广东深圳·月考）某车间有50名工人，每人每天可加工16个甲种零件或15个乙种零件，安排其中一部分工人加工甲种零件，其余工人加工乙种零件，已知每加工一个甲种零件可获利20元，每加工一个乙种零件可获利24元． (1)若该车间某天获利17000元，问这天加工甲种零件的工人有多少人？ (2)由于生产需要，每天都需要加工两种零件，设加工甲种零件的人数为m，该车间每天的获利为w元，若，当m为何值时，该车间一天的获利w最大？最大为多少元？ 例3．（25-26八年级上·辽宁锦州·月考）某纪念品店准备购进一批北京冬残奥运会纪念品．购进2件A纪念品和6件B纪念品共需180元，购进4件A纪念品和3件B纪念品共需135元． (1)求A、B两种纪念品每件的进价． (2)该店计划将2500元全部用于购进A、B两种纪念品，设购进A纪念品x件，该店进货时，厂家要求A纪念品的购进数量不超过40件．已知A纪念品每件售价为20元，B纪念品每件售价为30元．设该店全部售出这两种纪念品可获利W元，应该如何进货才能使该店获利最大？最大利润是多少元？ 例4．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）某商店销售台型和台型电脑的利润为元，销售台型和台型电脑的利润为元． (1)求每台型电脑和型电脑的销售利润； (2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共台，其中型电脑进货量不少于台不多于台，设购进型电脑台，这台电脑的销售总利润为元．该商店购进型、型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？ 变式1．（25-26八年级上·江苏南京·月考）某商场购进甲、乙两种商品共250件进行销售，其中甲商品的件数不大于乙商品的件数，且不小于60件，甲、乙两种商品的进价、售价如表： 甲 乙 进价（元/件） 140 120 售价（元/件） 195 170 请利用所学知识解决下列问题： (1)设商场购进甲商品的件数为件，购进甲、乙两种商品全部售出后获得利润为元，求和之间的函数关系式，并写出的取值范围； (2)在（1）的条件下，要使商场获得最大利润，该公司应购进甲多少件，最大利润是多少？ (3)在（1）的条件下，商场决定在销售活动中每售出一件甲，就从一件甲的利润中拿出元捐给慈善基金，则该商场应购进甲多少件方可获得最大利润，最大利润是多少？ 变式2．（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，于2025年9月3日在天安门广场举行“九三阅兵”．在本次阅兵中首次展示了多种新型武器，展现了我们国家捍卫和平的能力与力量.某商家在此契机下购进了“歼35”和“歼”两种隐形战机模型共80件进行销售，已知购进3件“歼35”模型和2件“歼”模型共需540元，购进2件“歼35”模型和3件“歼”模型共需560元． (1)求购进这两种模型的单价分别为多少元？ (2)设购进“歼”模型件（），购买这两种模型80件共花费元，求与之间的函数关系式； (3)在（2）的条件下，若“歼35”模型的售价为120元/件，“歼”模型的售价为150元/件．该商家计划购进这批模型所花的总费用不超过8900元，要使这批模型全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 变式3．（25-26八年级上·陕西西安·月考）某无人机配件销售公司有A和B两种配件，其进价和售价如表． 种类 A配件 B配件 进价（元件） a 80 售价（元件） 300 100 已知用12800元可购进A配件40件和B配件30件． (1)求的值； (2)若该无人机配件销售公司某次购进A种配件和B种配件共300件，并全部售出，且本次销售获得的总利润为y元，购进的A种配件为x件． （）请写出y与x之间的函数表达式；（利润售价－进价） （）根据市场销售分析，B种配件购进件数不低于A种配件的2倍，问怎样购进配件才能使本次销售获得的总利润最大？最大总利润是多少元？ 考点三 一次函数的应用：行程问题 例1．（25-26八年级上·江苏淮安·月考）越来越多的人喜欢选择自行车作为出行工具．小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以m米/分的速度到达图书馆，小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程y（米）与时间x（分钟）的关系如图，请结合图象，解答下列问题： (1)______，______； (2)若小军的速度是120米/分，求小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离； (3)在（2）的条件下，爸爸自第二次出发后至到达图书馆前，何时与小军相距100米，此时小军骑行的时间为______分钟． 例2．（25-26八年级上·河北张家口·月考）综合与实践 【情境再现】“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：兔子和乌龟从起点同时出发，领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，在路边小树处睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟先到达终点． 【图象分析】嘉嘉用x表示兔子和乌龟从起点出发所行的时间，，分别表示兔子和乌龟所行的路程，画出了能大致表示上面故事情节的图象，如图1． （1）根据图1回答下列问题： ①乌龟在这次比赛中的速度是______米/分钟； ②图中线段的实际意义是______； 【故事改编】淇淇对童话故事进行了改编：兔子输了比赛，心里很不服气，它们约定再次赛跑，兔子让乌龟从路边小树处（兔子第一次睡觉的地方）起跑，乌龟、兔子的速度及赛场均和上次一致，它们同时出发，结果兔子先到达了终点，淇淇根据故事情节绘制如图2的图象． （2）图2中，x表示兔子和乌龟所行的时间，，分别表示兔子和乌龟所行的路程， ①求兔子追上乌龟时，它们到小树处的距离； ②兔子到达终点后，将在终点等待乌龟，直接写出当乌龟和兔子相距120米时x的值． 例3．（25-26八年级上·山西运城·月考）如图①所示，李华的家、公园、超市依次在同一条直线上，公园距离李华家，超市距离李华家．李华从家里出发，匀速步行了到公园，他在公园停留了一段时间，之后他匀速步行了到超市，在超市停留购买商品后，再匀速骑行了返回家．下面图②中（单位：）表示李华离开家的时间，（单位：）表示李华离家的距离．图象反映了这个过程中李华离家的距离与他离开家的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)填表： 李华离开家的时间（单位：） 李华离家的距离（单位：） (2)填空：①超市到公园的距离为________； ②李华在公园停留的时间为________； ③李华从超市返回家的速度为________． (3)当时，请求出李华离家的距离关于时间的函数解析式． 例4．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）甲、乙两车从A地出发沿同一路线驶向B地，甲车先出发匀速驶向B地，40分钟后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时，由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了50千米/时，结果与甲车同时到达B地．甲、乙两车距A地的路程（单位：千米），（单位：千米）与乙车行驶时间x（单位：小时）之间的函数图象如图所示． 请结合图象信息解答下列问题： (1)a的值为________，甲车的速度为________千米/时； (2)求乙车减速前的速度，以及图中线段所表示的y与x的函数关系式； (3)当时，直接写出乙车出发多少小时与甲车相距15千米． 变式1．（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）某景区的同一线路上依次有，，三个景点（如图1），小兴从景点出发，步行米去景点，共用时分钟；同时，桐桐以每分钟米的速度从景点出发，步行米到达景点，休息分钟后，桐桐改成骑电动车去景点，结果桐桐比小兴早分钟到达景点．两人行走时均为匀速运动，设小兴步行的时间为（分），两人各自距景点的路程（米）与（分）之间的函数图象如图2所示． (1)________，并说出的实际意义________________； (2)求桐桐骑车时距景点的路程（米）与（分）之间的函数表达式（不必写出的取值范围）； (3)桐桐到达景点，休息分钟再次出发后，当________时，两人相距米． 变式2．（2025·天津·一模）甲、乙两人骑自行车同时从A地出发沿同一路线去B地，甲骑行后因事停留了，然后继续按原速骑行到达B地；乙骑行直接到达B地，已知A，B两地相距．下面图中x表示时间，y表示离A地的距离，图象反映了这个过程中甲离A地的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填空： ①图中_______，_______； ②甲出发离A地的距离是______； ③乙骑行的速度为______． (2)请直接写出甲离A地的距离y关于时间x的函数解析式，并指出x的取值范围； (3)当甲乙相距时，甲出发的时间是多少？（直接写出结果即可） 变式3．（25-26八年级上·四川成都·期中）汽车出发前油箱有油，行驶若干小时后，在加油站加油若干升．图象表示的是从出发后，油箱中剩余油量与行驶时间之间满足如下函数图象． (1)汽车行驶______后加油，中途加油______； (2)求加油前油箱剩余油量与行驶时间的函数关系式； (3)已知加油前、后汽车都以匀速行驶，如果加油站距目的地，那么要到达目的地，油箱中的油是否够用？若够，请说明理由；若不够，请求出还应再加油多少升？ 变式4．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）甲、乙两车沿同一条道路从A地出发向1200千米外的B地行驶，甲在途中休息了3小时，休息后以新的速度匀速驶向B地，最后两车同时到达B地，如图，为甲、乙两车距A地的路程y（单位：千米）与乙车行驶时间x（单位：小时）之间的函数图象． (1)甲车休息前的行驶速度为______千米/小时，乙车的速度为______千米/小时； (2)求甲车休息后距A地的路程y与x之间的函数关系式； (3)①求两车第一次相遇的时候x的值； ②直接写出第二次相遇后多长时间甲车与乙车相距40千米． 2 学科网（北京）股份有限公司 $