第十三讲 一次函数的应用（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年八年级数学上册（北师大版2024）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版八年级数学上册 第十三讲 一次函数的应用 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：待定系数法确定一次函数的表达式 1. 用待定系数法求函数表达式的一般步骤 示例：已知一次函数的图象过M(1，3)，N(0，12)两点，求该一次函数的表达式。 知识点02：建立一次函数的模型解实际应用题 利用一次函数的图象解决实际问题，关键是找到图象中两个变量之间的数量关系，把实际问题抽象、升华为一次函数模型，即建模，再利用一次函数的相关性质解决实际问题，常见类型如下： (1)题目中已知一次函数的关系式，可直接运用一次函数的性质求解； (2)题目中没有给出一次函数的关系式，而是通过语言、表格或图象给出一次函数的情境，这时需要先根据题目给出的信息求出一次函数的关系式，再利用一次函数的性质解决实际问题. 知识点03：一次函数与一元一次方程的关系 一次函数与一元一次方程的关系 从“数”的方面看：当一次函数y=kx+b的函数值为0 时， 相应的自变量的值就是方程kx+b=0 的解 利用一次函数的图象解一元一次方程的步骤 (1)转化：将一元一次方程转化为一次函数； (2)画图象：画出一次函数的图象； (3)找交点：找出一次函数的图象与 x 轴的交点，交点的横坐标即为一元一次方程的解 知识点04：两个一次函数图象的应用 1. 在同一直角坐标系中，同时出现两个一次函数的图象，即两条直线，利用所给图象的位置关系、交点坐标、与x轴和y轴的交点坐标等读取其中所要表达的信息. 一般出现在比较产量、速度、资费等问题中，关键是要理解交点坐标的含义. 2. 两个一次函数图象的应用 考点1：一次函数的应用(行程问题) 【典型例题】 为迎接学校运动会，甲、乙两位同学在操场上练习长跑，他们跑动的路程（单位：m）与时间（单位：）之间的图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两人练习的长跑路程是 B．甲在乙之前到达终点 C．前，甲比乙每分钟快 D．后，乙跑在甲的前面 【变式训练1】 亮亮家上午8时自驾小汽车从家里出发，到某地游玩，该小汽车离家的距离（千米）与时间（时）之间的关系如图所示，根据图象信息，判断下列说法中正确的是（   ） A．亮亮到家的时间为17时 B．景点离亮亮的家120千米 C．小汽车返程的速度为80千米/时 D．10时至14时小汽车匀速行驶 【变式训练2】 如图，分别表示甲、乙两名运动员在自行车比赛中所骑行的路程与时间之间的关系，则他们骑行的速度关系是（   ） A．甲比乙快 B．乙比甲快 C．甲、乙两人一样快 D．无法确定 考点2：一次函数的应用(几何图形问题) 【典型例题】 在如图所示的平面直角坐标系中，P是直线上的动点，，是x轴上的两点，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C． D． 【变式训练1】 如图①，在长方形中，点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿的方向运动到点的面积与运动时间的函数关系如图②所示，当的面积为6时，的值为（   ） A．4 B．4.2 C．4.6 D．4.8 【变式训练2】 如图，正方形放置在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，已知点的坐标分别为，当直线与线段有交点时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点3：一次函数与一元一次方程 【典型例题】 如图表示的是一次函数（、为常数，）的图象，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 一次函数的图象如图所示，则关于的一元一次方程的解为（   ） A． B． C．2 D．0 【变式训练2】 如图，直线过点和点，则方程的解是（　　） A． B． C． D． 考点4：利用图象法解一元一次方程 【典型例题】 如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则的值为（    ） A． B． C．0 D．1 【变式训练1】 如图，一次函数（为常数，且）与正比例函数（k为常数，且）的图象交于点，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．一次函数图象如图，则关于x的方程的解为（    ） A． B． C． D． 2．为促进学生全面发展，学校研发具有特色校本课程．甲同学操控无人机从地面起飞，乙同学操控无人机从距离地面高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升．甲、乙同学的两架无人机所在的位置距离地面的高度y(单位∶)与无人机上升的时间x(单位∶)之间的关系如图所示．下列说法错误的是（    ） A．时，甲乙的无人机都上升了 B．时，两架无人机的高度差为 C．甲的无人机的上升速度是乙的2倍 D．时，乙的无人机距离地面的高度是 3．目前，全球淡水资源日益减少，提倡全社会节约用水已成为全球的共识．据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出滴水，每滴水约毫升．小康洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头按测试的速度滴水．设小康离开x分钟后，水龙头滴出y毫升的水，则y与x之间的关系式是（   ） A． B． C． D． 4．从地面竖直向上抛射一个物体，在落地之前，物体向上的速度是运动时间的一次函数，经测量，该物体的初速度（时物体的速度）为，后物体的速度为．当物体达到最高点（此时物体的速度为0）时，运动时间等（   ）s． A． B．3 C．10 D．30 5．已知等腰三角形的周长为20．则底边长关于腰长的函数图象为（    ） A． B． C． D． 6．空中气温与距离地面高度之间的函数关系如图所示．下列说法正确的是（    ） A．随着的增大而增大 B．地面的气温为 C．与的函数表达式为 D．当大于时，气温低于 7．已知一次函数的图象如图所示，则方程的解为（   ） A． B． C． D． 8．在物理实验课上，小明利用滑轮组及相关器材进行实验，他把得到的拉力F（单位：）和所悬挂物体的重力G（单位：）的几组数据用电脑绘制成如图所示的图象（不计绳重和摩擦），请你根据图象判断，以下结论正确的是（    ） A．物体的拉力随着重力的增大而减小 B．当物体的重力时，拉力F＝1.9 C．当拉力时，物体的重力G＝7.2 D．当滑轮组不悬挂物体时，拉力F＝0 二、填空题 9．一次函数，当时， ，这条直线与x轴的交点的坐标是 ，因此，方程的解是 ． 10．货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行．轿车出发后休息，直至与货车相遇后，以原速继续行驶．货车、轿车离甲地的路程y（单位：）与货车出发的时间x（单位：）的函数图象如图，当两车相距时，货车出发的时间x的值是 ．    11．已知关于x的方程的解为，则一次函数的图象与x轴的交点坐标为 ． 12．一辆轿车从A地驶向B地，设出发后，这辆轿车离B地路程为，已知与之间的函数表达式为，则轿车从A地到达B地所用时间是 h． 13．如图，直线与轴、轴分别交于点和点是轴上的一个动点，将沿所在直线折叠后，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为 ． 14．一次函数的图象如图所示，则关于的方程的解为 ． 15．如图，若正比例函数图象与四条直线，，，相交围成的长方形的边有公共点，则的取值范围是 ． 16．如图，在平面直角坐标系xOy中，点M是直线上的动点，过点M作轴，交直线于点N，当时，设点M的横坐标为m，则m的取值范围为 ． 三、解答题 17．如图，甲、乙两人分别从同一公路上的A、B两地同时出发骑车前往C地，两人行驶的路程与甲行驶的时间之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题： (1)求甲在的时间段内的函数关系式； (2)在的时间段内，当为何值时甲、乙两人相距5千米． 18．某旅游景区的票价为160元/张，一旅行社针对该景区推出两种优惠方案： 方案一：每人票价打九折； 方案二：10人以内（含10人）不优惠，超过10人的部分打八折． 设该旅行社组织（）人去该景区旅游，购票总金额为元． (1)分别写出方案一、方案二中与之间的函数关系式； (2)某单位共30人去该景区旅游，选择该旅行社哪种方案更优惠？请说明理由． 19．已知一次函数的图象如图所示． (1)关于x的方程的解是________； (2)关于x的方程的解是________； (3)关于x的方程的解是________． 20．如图，反映了某公司产品的销售收入（千元）与销售量x（吨）之间的关系，反映了该公司产品的销售成本（千元）与销售量x（吨）之间的关系，其中点A的坐标为，点P的坐标为． (1)当销售量________时，销售收入等于销售成本；当销售量x________时，该公司盈利（销售收入大于销售成本）． (2)求和的表达式． (3)当该公司盈利（销售收入销售成本）10千元时，销售量是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版八年级数学上册 第十三讲 一次函数的应用 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：待定系数法确定一次函数的表达式 1. 用待定系数法求函数表达式的一般步骤 示例：已知一次函数的图象过M(1，3)，N(0，12)两点，求该一次函数的表达式。 知识点02：建立一次函数的模型解实际应用题 利用一次函数的图象解决实际问题，关键是找到图象中两个变量之间的数量关系，把实际问题抽象、升华为一次函数模型，即建模，再利用一次函数的相关性质解决实际问题，常见类型如下： (1)题目中已知一次函数的关系式，可直接运用一次函数的性质求解； (2)题目中没有给出一次函数的关系式，而是通过语言、表格或图象给出一次函数的情境，这时需要先根据题目给出的信息求出一次函数的关系式，再利用一次函数的性质解决实际问题. 知识点03：一次函数与一元一次方程的关系 一次函数与一元一次方程的关系 从“数”的方面看：当一次函数y=kx+b的函数值为0 时， 相应的自变量的值就是方程kx+b=0 的解 利用一次函数的图象解一元一次方程的步骤 (1)转化：将一元一次方程转化为一次函数； (2)画图象：画出一次函数的图象； (3)找交点：找出一次函数的图象与 x 轴的交点，交点的横坐标即为一元一次方程的解 知识点04：两个一次函数图象的应用 1. 在同一直角坐标系中，同时出现两个一次函数的图象，即两条直线，利用所给图象的位置关系、交点坐标、与x轴和y轴的交点坐标等读取其中所要表达的信息. 一般出现在比较产量、速度、资费等问题中，关键是要理解交点坐标的含义. 2. 两个一次函数图象的应用 考点1：一次函数的应用(行程问题) 【典型例题】 为迎接学校运动会，甲、乙两位同学在操场上练习长跑，他们跑动的路程（单位：m）与时间（单位：）之间的图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两人练习的长跑路程是 B．甲在乙之前到达终点 C．前，甲比乙每分钟快 D．后，乙跑在甲的前面 【答案】C 【分析】本题考查了函数的图象，一次函数的应用，解题的关键是通过仔细观察图象，从中整理出解题时所需的相关信息． 根据纵轴表示他们长跑的路程可得两人练习的长跑路程是，可判断A；根据交点坐标可知甲、乙两人同时达到终点，可判断B；根据图象分别求出两人的速度可判断C；根据图象可判断D． 【详解】解：由图象可知： 甲、乙两人练习的长跑路程是，故选项A说法错误，不符合题意； 甲、乙两人同时达到终点，故选项B说法错误，不符合题意； 前2.5分钟，甲的速度是（米/分）， 乙的速度是（米/分））， （米）， 前2.5分钟，甲比乙每分钟快，故选项C说法正确，符合题意； 2.5分钟至4分钟前，甲跑在乙的前面，故选项D说法错误，不符合题意． 故选：C． 【变式训练1】 亮亮家上午8时自驾小汽车从家里出发，到某地游玩，该小汽车离家的距离（千米）与时间（时）之间的关系如图所示，根据图象信息，判断下列说法中正确的是（   ） A．亮亮到家的时间为17时 B．景点离亮亮的家120千米 C．小汽车返程的速度为80千米/时 D．10时至14时小汽车匀速行驶 【答案】A 【分析】本题考查了函数图象在实际行程问题中的应用．解题的关键是从图象中准确提取时间与离家距离的对应关系，结合行程问题中速度、时间和路程的关系（速度路程时间），对各选项进行分析判断． 根据图象信息，明确不同时间段对应的离家距离：8时离家0千米，时到时离家距离保持千米不变（停留景点），时后距离逐渐减少（返程），时离家千米．据此分析各选项：计算返程速度需明确返程的路程和时间；判断到家时间需根据返程速度和剩余路程推算；确定景点距离和行驶状态需结合图象中距离的变化情况． 【详解】解：由图象可知： 8时出发，时到达景点，此时离家距离为千米，且时至时离家距离不变，说明在景点停留． 时开始返程，时离家千米，即1小时内行驶了千米，返程速度为千米/时． 剩余返程路程为千米，按此速度还需小时，故到家时间为时． 对选项分析： 选项亮亮到家的时间为时，计算正确． 选项景点离亮亮的家千米，而非千米，说法错误． 选项小汽车返程速度为千米/时，而非千米/时，说法错误． 选项时至时小汽车离家距离不变，处于停留状态，并非匀速行驶，说法错误． 故选：A． 【变式训练2】 如图，分别表示甲、乙两名运动员在自行车比赛中所骑行的路程与时间之间的关系，则他们骑行的速度关系是（   ） A．甲比乙快 B．乙比甲快 C．甲、乙两人一样快 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查函数的图像，行程问题，理解函数图像是解题的关键． 根据函数的图像，即可解答． 【详解】解：由函数图像，可知 在骑行时间相同的时候，甲的路程比乙的多，即甲比乙快． 故选A． 考点2：一次函数的应用(几何图形问题) 【典型例题】 在如图所示的平面直角坐标系中，P是直线上的动点，，是x轴上的两点，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是最短线路问题，勾股定理，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键． 首先作出点A关于的对称点，从而得到，故此，由两点之间线段最短可知即为所求． 【详解】解：由题意知，作关于直线的对称点，交y轴于，连接，则，如图所示： ， 在和中 ∴， ∴， ∵点， ∴ ∴， 由两点之间线段最短可知：当点、P、B在一条直线上时，有最小值， ， ∴, 在中，，利用勾股定理得 ， 故选：C． 【变式训练1】 如图①，在长方形中，点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿的方向运动到点的面积与运动时间的函数关系如图②所示，当的面积为6时，的值为（   ） A．4 B．4.2 C．4.6 D．4.8 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的应用，动点图象问题，根据动点的变化，当点在边上运动时，，求得；当点在边上运动时，，，令，解方程即可． 【详解】解：根据题图可知， 当点在边上运动时，， 因为， 所以， 当点在边上运动时，， 所以， 令， 解得． 故选：A． 【变式训练2】 如图，正方形放置在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，已知点的坐标分别为，当直线与线段有交点时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质及一次函数的应用，过点作轴于点，过点作轴于点，先证明，，得出点的坐标为，点的坐标为，代入直线表达式求出结论． 【详解】解：如答图，过点作轴于点，过点作轴于点， 因为四边形为正方形， 所以． 因为， 所以． 在和中，， 所以， 同理可证，得， 所以， 所以， 所以点的坐标为，点的坐标为． 将点和分别代入， 解得和， 所以当时，直线与线段有交点， 故选：B． 考点3：一次函数与一元一次方程 【典型例题】 如图表示的是一次函数（、为常数，）的图象，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值． 观察图象找到当时的值即为本题的答案． 【详解】解：观察函数的图象知：的图象经过点， 即当时， 所以关于的方程的解为， 故选：A． 【变式训练1】 一次函数的图象如图所示，则关于的一元一次方程的解为（   ） A． B． C．2 D．0 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与方程，根据一次函数图象可得一次函数的图象经过点，进而得到方程的解． 【详解】解：根据图象可得，一次函数的图象经过点， 因此关于x的方程的解， 故选：D． 【变式训练2】 如图，直线过点和点，则方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，熟练掌握该知识点是关键． 先求出一次函数解析式，再计算时方程的解即可． 【详解】解：设直线解析式为，代入点得：， 解得， 直线解析式为， 方程转化为， 当时，， 解得． 故选：D． 考点4：利用图象法解一元一次方程 【典型例题】 如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则的值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】根据交点坐标为，分别代入两个解析式，构造等式，变形计算即可． 本题考查了直线的交点坐标，熟练掌握交点坐标的意义是解题的关键． 【详解】解：正比例函数的图象与一次函数的图象交于点， 故， 故， ， 故选：D． 【变式训练1】 如图，一次函数（为常数，且）与正比例函数（k为常数，且）的图象交于点，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数与一元一次方程的关系，掌握数形结合思想是解题的关键． 由的函数图象与函数的图象相交交点坐标横坐标为，从而可得到方程的解． 【详解】解：∵从图象可看出的函数图象与函数的图象相交的交点坐标横坐标为， ∴方程的解是． 故选：A． 一、单选题 1．一次函数图象如图，则关于x的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，对于一次函数，当时求得的自变量的值就是对应的一元一次方程的解，一次函数图象与轴的交点横坐标也是对应的一元一次方程的解，据此即可求解． 【详解】解：由图象可知：一次函数图象与轴的交点横坐标为， ∴关于的方程的解是． 故选：C． 2．为促进学生全面发展，学校研发具有特色校本课程．甲同学操控无人机从地面起飞，乙同学操控无人机从距离地面高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升．甲、乙同学的两架无人机所在的位置距离地面的高度y(单位∶)与无人机上升的时间x(单位∶)之间的关系如图所示．下列说法错误的是（    ） A．时，甲乙的无人机都上升了 B．时，两架无人机的高度差为 C．甲的无人机的上升速度是乙的2倍 D．时，乙的无人机距离地面的高度是 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程之间的关系是解题的关键． 观察图象即可判断选项A；根据速度路程时间和路程速度时间分别求出甲、乙同学的两架无人机所在的位置距离地面的高度与无人机上升的时间之间的关系式，将代入求出对应函数的函数值并求差即可判断选项B；根据选项B求得的两架无人机的上升速度计算即可判断选项C；根据乙无人机的速度即可求出高度，从而判断选项D． 【详解】解：时，甲的无人机上升了，乙的无人机上升了，A错误，符合题意； 甲的无人机上升速度为，乙的无人机上升速度为， 甲的无人机所在的位置距离地面的高度与无人机上升的时间之间的关系为，乙的无人机所在的位置距离地面的高度与无人机上升的时间之间的关系为， 当时，，， 时，两架无人机的高度差为，B正确，不符合题意； 由选项B可知，甲的无人机上升速度为，乙的无人机上升速度为， ， 甲的无人机的上升速度是乙的2倍，C正确，不符合题意； 由选项B可知，时，乙的无人机距离地面的高度是，D正确，不符合题意． 故选：A． 3．目前，全球淡水资源日益减少，提倡全社会节约用水已成为全球的共识．据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出滴水，每滴水约毫升．小康洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头按测试的速度滴水．设小康离开x分钟后，水龙头滴出y毫升的水，则y与x之间的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列一次函数解析式，解题关键是掌握列一次函数解析式的方法． 设小康离开x分钟后，水龙头滴出y毫升的水，根据“拧不紧的水龙头每分钟滴出滴水，每滴水约毫升”列出一次函数解析式． 【详解】解：设小康离开x分钟后，水龙头滴出y毫升的水， ∵拧不紧的水龙头每分钟滴出滴水，每滴水约毫升， ∴，即， 故选：B． 4．从地面竖直向上抛射一个物体，在落地之前，物体向上的速度是运动时间的一次函数，经测量，该物体的初速度（时物体的速度）为，后物体的速度为．当物体达到最高点（此时物体的速度为0）时，运动时间等（   ）s． A． B．3 C．10 D．30 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的应用，关键是根据题意列出关于的函数解析式．先根据待定系数法求出函数解析式，再令，解方程求出的值． 【详解】解：设与的函数表达式为， 将，和，代入解析式得： ， 解得， 与的函数表达式为， 当物体到达最高点时，速度为0，代入得， ， 解得， 经过，该物体到达最高点， 故选：B． 5．已知等腰三角形的周长为20．则底边长关于腰长的函数图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的定义以及函数关系式．根据周长等于三边之和可得出y和x的关系式，再利用三角形三边关系求得，据此判断即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 即， 观察四个选项，选项D符合题意， 故选：D． 6．空中气温与距离地面高度之间的函数关系如图所示．下列说法正确的是（    ） A．随着的增大而增大 B．地面的气温为 C．与的函数表达式为 D．当大于时，气温低于 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的应用，根据变量的变化规律写出函数关系式是解题的关键．对于选项AB观察图象即可；选项C根据变量的变化规律计算即可；选项D，当时，求出对应t的值，再根据该图象的增减性判断即可． 【详解】解：A．随着的增大而减小，A不正确，不符合题意； B．当时，，随着的增大而，B不正确，不符合题意； C．距离地面高度增加，气温下降，则与的函数表达式为，C不正确，不符合题意； D．当时，，随着的增大而减小，当大于时，气温低于，D正确，符合题意． 故选：D． 7．已知一次函数的图象如图所示，则方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，根据图象可得，一次函数的图象经过点， 即当时，自变量的值就是对应的一元一次方程的解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据图象可得，一次函数的图象经过点， ∴方程的解是， 故选：． 8．在物理实验课上，小明利用滑轮组及相关器材进行实验，他把得到的拉力F（单位：）和所悬挂物体的重力G（单位：）的几组数据用电脑绘制成如图所示的图象（不计绳重和摩擦），请你根据图象判断，以下结论正确的是（    ） A．物体的拉力随着重力的增大而减小 B．当物体的重力时，拉力F＝1.9 C．当拉力时，物体的重力G＝7.2 D．当滑轮组不悬挂物体时，拉力F＝0 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的应用，关键是数形结合思想的运用． 由函数图象可以直接判断A和D，设出拉力F与重力G的函数解析式用待定系数法求出函数解析式，根据解析式即可判断B，C． 【详解】解：A．由图象可知，拉力F随着重力的增加而增大，故说法错误，选项不符合题意； ∵拉力F是重力G的一次函数， ∴设拉力F与重力G的函数解析式为， 则， 解得， ∴拉力F与重力G的函数解析式为， B．当时，拉力，故B说法正确，选项符合题意； C．当时，拉力，解得，故C说法错误，选项不符合题意； D．由图象可知，当时，拉力，故D说法正确，选项不符合题意； 故选：B． 二、填空题 9．一次函数，当时， ，这条直线与x轴的交点的坐标是 ，因此，方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键．代入求出的值，进而可得出这条直线与轴的交点坐标，于是得到方程的解． 【详解】解：当时，， 解得：， 这条直线与轴的交点是． 方程的解是， 故答案为：；，． 10．货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行．轿车出发后休息，直至与货车相遇后，以原速继续行驶．货车、轿车离甲地的路程y（单位：）与货车出发的时间x（单位：）的函数图象如图，当两车相距时，货车出发的时间x的值是 ．    【答案】或． 【分析】本题考查了一次函数在行程问题中的应用，数形结合、分类讨论并明确行程问题的基本数量关系，是解题的关键． 先由函数图象点的坐标含义结合速度等于路程除以时间可得两车的速度；再分两种情况列方程求解即可：①当轿车休息前与货车相距时；②当轿车休息后与货车相距时． 【详解】解：轿车行驶的速度为，货车行驶的速度为， ①当轿车休息前与货车相距时， ， 解得； ②当轿车休息后与货车相距时， ， 解得， 答：当两车相距时，货车出发的时间为或． 11．已知关于x的方程的解为，则一次函数的图象与x轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数的图象与x轴的交点的横坐标为的解，由此可解． 【详解】解：关于x的方程的解为， 一次函数的图象与x轴的交点坐标为． 故答案为：． 12．一辆轿车从A地驶向B地，设出发后，这辆轿车离B地路程为，已知与之间的函数表达式为，则轿车从A地到达B地所用时间是 h． 【答案】2.5 【分析】本题考查一次函数的应用，正确理解题意是解题的关键．根据题意将代入解析式，直接求解即可． 【详解】解：由题意得，当时，， 解得：， 故答案为：． 13．如图，直线与轴、轴分别交于点和点是轴上的一个动点，将沿所在直线折叠后，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，勾股定理，折叠的性质，先求出两点的坐标，进而利用勾股定理求出的长，根据折叠，得到，再分为①当点在轴的负半轴上时，和②当点在轴的正半轴上时，分别求解即可． 【详解】解：在中， 令，则； 令，则， 所以， 所以． 在中，因为， 所以． 由折叠的性质，得． 由题可知，分两种情况： ①当点在轴的负半轴上时，如图①， 所以． 在中，因为， 所以， 即， 所以，所以点的坐标为； ②当点在轴的正半轴上时，如图②， 所以． 在中，因为， 所以， 即， 所以，所以点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或， 故答案为：或． 14．一次函数的图象如图所示，则关于的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，方程的解即为一次函数的函数值为0时对应的的值，利用数形结合的思维解答是解题的关键． 【详解】解：由图象知，当时， ∴关于的方程的解为， 故答案为：． 15．如图，若正比例函数图象与四条直线，，，相交围成的长方形的边有公共点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质．熟练掌握正比例函数的图象与性质是解题的关键． 根据，为正比例函数图象与长方形有交点的位置的临界点，以及正比例函数的图象与性质，进行求解作答即可． 【详解】解：由题意知，正比例函数图象越接近轴，越大， 当正比例函数图象经过时，即， 解得，， 当正比例函数图象经过时，即， ∴当时，根据图象可知，正比例函数图象与长方形有公共点， 故答案为：． 16．如图，在平面直角坐标系xOy中，点M是直线上的动点，过点M作轴，交直线于点N，当时，设点M的横坐标为m，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的相关知识，具体包括：一次函数上点的坐标特征，垂直于坐标轴的两点距离计算．求解出点M与点N的坐标是解决本题的关键． 首先根据点在直线上，点N在直线上且轴，用含m的式子表示出M、N两点的坐标，然后根据，求解m的取值范围． 【详解】解：因为点M是直线上的动点，且点M的横坐标为m， 将代入，可得， 所以点M的坐标为． 因为轴，且点N在直线上， 所以点N的横坐标也为m， 将代入，可得， 所以点N的坐标为． 因为，，两点横坐标相同， 所以． 当时，解得， 即点M的横坐标位于与2中间时，， 故m的取值范围是． 故答案为：． 三、解答题 17．如图，甲、乙两人分别从同一公路上的A、B两地同时出发骑车前往C地，两人行驶的路程与甲行驶的时间之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题： (1)求甲在的时间段内的函数关系式； (2)在的时间段内，当为何值时甲、乙两人相距5千米． 【答案】(1) (2)当为3小时或5小时时甲、乙两人相距5千米 【分析】本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想和分类讨论的思想是解答本题的关键． （1）根据函数图象中的数据，可以计算出甲在的时间段内y与x之间的函数关系式； （2）根据题意，可知存在两种情况甲、乙两人相距5千米，然后分别计算出即可． 【详解】（1）解：设甲在时，y与x之间的函数关系式是， ∵点在该函数图象上， ， 解得， 即甲在时，y与x之间的函数关系式是； （2）解：设乙在时，y与x之间的函数关系式是， ∵点在函数图象上， ∴， 解得． 即乙在时，y与x之间的函数关系式是， 相遇之前两人相距，则， 解得． 相遇之后且甲到达C地之前相距，则， 解得． 答：当为3小时或5小时时甲、乙两人相距5千米． 18．某旅游景区的票价为160元/张，一旅行社针对该景区推出两种优惠方案： 方案一：每人票价打九折； 方案二：10人以内（含10人）不优惠，超过10人的部分打八折． 设该旅行社组织（）人去该景区旅游，购票总金额为元． (1)分别写出方案一、方案二中与之间的函数关系式； (2)某单位共30人去该景区旅游，选择该旅行社哪种方案更优惠？请说明理由． 【答案】(1)； (2)选择方案二更优惠，见解析 【分析】（1）费用等于单价乘以人数，只需确定各自方案中的单价，然后列式解答即可； （2）根据解析式，分别计算两种方案的费用，比较解答即可． 本题考查了函数的表达式，函数值的计算与比较，熟练掌握函数的表达式，求函数值是解题的关键． 【详解】（1）解：票价为160元/张，方案一：每人票价打九折，此时单价为元， 故； 方案二：10人以内（含10人）不优惠，此时费用为元，超过10人的部分的费用为， 总费用为：． （2）解：当时，， ． ， 选择方案二更优惠． 19．已知一次函数的图象如图所示． (1)关于x的方程的解是________； (2)关于x的方程的解是________； (3)关于x的方程的解是________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了一次函数与方程，关键是正确利用数形结合的方法从图象中找到正确答案． （1）一次函数的图象与轴交点横坐标的值即为方程的解； （2）根据一次函数图象可得一次函数的图象经过点，进而得到方程的解； （3）根据一次函数图象可得一次函数的图象经过点，进而得到方程的解． 【详解】（1）解： 一次函数的图象与轴相交于点， 关于的方程的解是． 故答案为：； （2）解：根据图象可得，一次函数的图象经过点， 因此关于的方程的解， 故答案为：； （3）解：根据图象可得，一次函数的图象经过点， 因此关于的方程的解， 故答案为：． 20．如图，反映了某公司产品的销售收入（千元）与销售量x（吨）之间的关系，反映了该公司产品的销售成本（千元）与销售量x（吨）之间的关系，其中点A的坐标为，点P的坐标为． (1)当销售量________时，销售收入等于销售成本；当销售量x________时，该公司盈利（销售收入大于销售成本）． (2)求和的表达式． (3)当该公司盈利（销售收入销售成本）10千元时，销售量是多少？ 【答案】(1)6； (2)； (3)26吨 【分析】本题考查了函数图象的识别，一次函数解析式的求解，一元一次方程的求解，解决本题的关键是正确识别图象并会使用待定系数法求解函数解析式． （1）观察函数图象，根据函数图象即可求解； （2）设出一次函数解析式，将点代入函数解析式，使用待定系数法求解即可； （3）根据盈利即为销售收入销售成本列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据函数图象可知，与相交于点， ∴当销售量时，销售收入等于销售成本； 由函数图象可知，当位于上方时，公司盈利， 即当销售量时，该公司盈利（销售收入大于销售成本）； 故答案为：6；； （2）解：设的表达式为． 把点代入，得．解得． ∴的表达式为． 设的表达式为． 把点，代入， ，解得， ∴的表达式为． （3）解：由（2）知，，， ∴该公司盈利10千元时， 即． 解得． 答：当该公司盈利（销售收入-销售成本）10千元时，销售量是26吨． 学科网（北京）股份有限公司 $$