专题05 二次函数与几何综合5大题型（专项训练）数学冀教版九年级下册

专题05 二次函数与几何综合5大题型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、角度问题与二次函数 1 题型二、特殊三角形与二次函数 3 题型三、特殊四边形与二次函数 5 题型四、相似三角形与二次函数 7 题型五、二次函数的面积问题 10 B综合攻坚・能力跃升 题型一、角度问题与二次函数 1．（2025·四川南充·中考真题）抛物线与x轴交于，B两点，N是抛物线顶点． (1)求抛物线的解析式及点B的坐标． (2)如图1，抛物线上两点，，若，求m的值． (3)如图2，点，如果不垂直于y轴的直线l与抛物线交于点G，H，满足．探究直线l是否过定点？若直线l过定点，求定点坐标；若不过定点，请说明理由． 2．（2025·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式： (2)点P是射线下方抛物线上的一动点，连接与射线交于点Q，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点E在点D的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点M为点P的对应点，点N为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 题型二、特殊三角形与二次函数 1．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，已知直线与抛物线相交于，两点，其中抛物线的顶点坐标，点在轴上． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上（除第一象限外）的一点，当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标； (3)若抛物线与轴的负半轴的交点为，过点作直线交轴交于点，点为线段上的一点，点为线段上的一点，连接，并延长与线段交于点（点在第三象限），当且时，求出点及点的坐标． 2．（2025·江苏无锡·中考真题）已知二次函数图象的顶点为，与轴交于点，对称轴与轴交于点． (1)若该函数图象经过点，求点的横坐标； (2)若，点和在该函数图象上，证明：； (3)若是等腰三角形，求的值． 题型三、特殊四边形与二次函数 1．（2025·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以P为顶点的抛物线的解析式为，点A的坐标是，以原点为中心，把点A顺时针旋转，得到点． (1)直接写出点的坐标和抛物线的对称轴； (2)当时，y有最大值为，求抛物线的解析式； (3)在(2)的条件下，若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2024·甘肃甘南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，C两点，交y轴于点B，． (1)求此抛物线的表达式； (2)已知抛物线的对称轴上存在一点M，使得周长最小，请求出点M的坐标； (3)连接，点P是线段上一点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求当四边形为平行四边形时点P的坐标． 题型四、相似三角形与二次函数 1．（2024·四川巴中·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点，且在直线的上方． (1)求抛物线的表达式． (2)如图1，过点作轴，交直线于点，若，求点的坐标． (3)如图2，连接，与交于点，过点作交于点．记、、的面积分别为．当取得最大值时，求的值． 2．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点． (1)求二次函数的解析式及点的坐标； (2)点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为． ①为何值时线段的长度最大，并求出最大值； ②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 题型五、二次函数的面积问题 1．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点（点在点左侧），顶点为，连接． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图1，若是轴正半轴上一点，连接．当点的坐标为时，求证：； (3)如图2，连接，将沿轴折叠，折叠后点落在第四象限的点处，过点的直线与线段相交于点，与轴负半轴相交于点．当时，与是否相等？请说明理由． 2．（2025·四川巴中·中考真题）如图，计划用长为的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长）． (1)矩形围栏的面积为时，三边分别长多少？ (2)矩形围栏的面积最大时，三边分别长多少？ 1．（2025·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)问在抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； (3)将射线绕点逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点，再将抛物线沿直线平移，得到一条新的抛物线（其顶点为）．设这两条抛物线的交点为． ①求旋转角度的正切值； ②当时，求原抛物线平移的距离． 2．（2025·西藏·中考真题）已知抛物线过点，，与轴交于点．点是轴正半轴上的动点，点是抛物线在第四象限图象上的动点，连接，，且交轴于点，交于点． (1)当时，求抛物线的解析式； (2)如图1，在（1）的条件下，若，求直线的解析式； (3)要使得成立，请探索的取值范围（直接写出结果）； (4)如图2，，当为何值时，的长度等于1？ 3．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，已知二次函数图象的对称轴为轴，且过坐标原点及点，过点作射线平行于轴（点在点上方），点坐标为，连接并延长交抛物线于点，射线平分，过点作的垂线交轴于点． (1)求二次函数的表达式； (2)判断直线与二次函数的图象的公共点的个数，并说明理由； (3)点为轴上的一个动点，且为钝角，请直接写出实数的取值范围． 4．（2025·四川广安·中考真题）如图，二次函数（b，c为常数）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知点B的坐标为，点C的坐标为，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)若点P为抛物线上的一个动点，连接，当时，求点P的坐标． (3)将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线，点E在新抛物线上，点F是原抛物线对称轴上的一点，若以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标． 5．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像与轴交于、两点，交轴于点，对称轴为直线． (1)求二次函数关系式． (2)连接，抛物线上是否存在点，使，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由． (3)在轴上方的抛物线上找一点，作射线，使，点是线段上的一动点，过点作轴，垂足为点，连结，求的最小值． 6．（2025·黑龙江·模拟预测）综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中抛物线经过点和点，交y轴于C． (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)若P为y轴上的一动点，且的值最大，则点P坐标为______； (3)点E在第二象限抛物线上，且，求出点E的坐标； (4)如图2，连接、，点M在线段上（不与A、B重合），作，交线段于点N，是否存在这样的点M，使得为等腰三角形？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由； (5)点F在x轴下方，，则最小值为______． 7．（2025·山东·二模）二次函数的图象过点，，连接，点是抛物线上一个动点． (1)求二次函数的表达式； (2)若点在轴左侧的抛物线上运动，平移线段，使其一个端点与点重合，另一个端点恰好落在轴上，求点的坐标； (3)若点在轴右侧的抛物线上运动，作直线，交轴于点，将直线绕点逆时针旋转得直线，交轴于点，连接，若，求点的坐标． 8．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及点B，D的坐标； (2)点在直线AC上运动，当的周长最小时，求点的坐标； (3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由． 9．（2025·山东东营·中考真题）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，其中，． (1)求抛物线的表达式； (2)点为对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标； (3)点为对称轴上一点，点为抛物线上一点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 10．（2025·宁夏·中考真题）如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围； (3)如图2，抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，连接．抛物线上是否存在点（不与点重合），使得．若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题05二次函数与几何综合5大题型 目录 A题型建模·专项突破 题型一、角度问题与二次函数 题型二、特殊三角形与二次函数。 6 题型三、特殊四边形与二次函数… 11 题型四、相似三角形与二次函数 15 题型五、二次函数的面积问题 20 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、角度问题与二次函数 1.(2025四川南充中考真题)抛物线y=ax2+2ax- 15 4 a≠0)与x轴交于A(3,0),B两点，N是抛物线顶 点 M (图1) (图2) (I)求抛物线的解析式及点B的坐标. (2)如图1，抛物线上两点P(m,y),Qm+2,y2),若PQ∥BN,求m的值， (3)如图2，点M(-1,-5),如果不垂直于y轴的直线1与抛物线交于点G,H,满足∠GMN=∠HMN,探究 直线1是否过定点？若直线1过定点，求定点坐标；若不过定点，请说明理由 【皆10y+--50 (2)m=-4 3)存在定点T-1,-3 1/59 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】(1)解：把43,0)代入y=ar2+2ar-15, 41 .1 .a24 抛物线的解式为=4+，：了 4 115 令y=0,则二x2+。x- =0, 424 解得x1=-5,x2=3, B-5,0); (2)解：y=x+-4,N是抛物线顶点， N-1,-4), 设直线BN的解析式为y=kx+b, B-5,0,N-1,-4, 「-5k+b=0 k=-1 {长+h=4解得：么=5 :直线BN的解析式为y=-x-5, .PQ∥BN, 可设直线PQ为y=-x+n, 设点Pm子m+m-》, 、 -)oa+2m+2r+m+2-）: 1 m- 2 -m+n且m+2+m+2--(m+2+n 4 4 解得：m=-4. (3)解：存在定点T满足条件。 设直线1解析式y=c+b,直线1与抛物线相交于点Gx3,y),H(x4,y4), =x+x-5 4”24, y=kx+b ∴.x2+(2-4k)x-15-4b=0. △>0，x3+x4=4k-2,x3x4=-15-4b. 作GC⊥MN,HD⊥MN,GC=-1-x,MC=y3+5,HD=x4+1,MD=y4+5. 2/59 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A .∠GMN=∠HMN, H M (图2) .tan∠GMN=tan∠HMN. 即GC、HD MC MD 1-3=飞+1 y3+5 y4+5’ (x3+1(y4+5+x4+1(y3+5)=0, .(x,+1(kx4+b+5+(x4+1(kx,+b+5)=0. 2kxx+(k+b+5)(x,+x4+2b+10=0. 2k-15-4b+(k+b+5)(4k-2+2b+10=0. .-4k(b-k+3=0, :直线1不垂直于y轴， .k≠0， b-k+3=0, b=k-3, :直线l解析式y=k(x+)-3, :无论k为何值，x=-1,y=-3, .1过定点T(-1,-3),故存在定点T(-1,-3). 2.(2025·重庆.中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B(6,0)两点， 5 与y轴交于点C,抛物线的对称轴是直线x= 2 3/59 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)点P是射线BC下方抛物线上的一动点，连接OP与射线BC交于点Q,点D,E为抛物线对称轴上的动 点（点E在点D的下方），且DE=4,连接BD,PE.当%取得最大值时，求点P的坐标及BD+PE的 OO 最小值： ③)在(2)中%取得最大值的条件下，将抛物线y=广+br+c沿射线BC方向平移2N2个单位长度得到抛 09 物线y,点M为点P的对应点，点N为抛物线y上的一动点.若LNAB=LOPM-45°，请直接写出所有 符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程. 【答案】(1)y=x2-5x-6 (2)点P的坐标为(3，-12)，BD+PE的最小值为4√5 (3)点N的坐标为2，-12)或 5+V97 14+297 2 【详解】D解设提物线的解折式为-(-)。 把(6,0)代入得 +k=0, 4 解得6=程 (2)解：令x=0,则y=6, 点C的坐标为(0，-6)， 设直线BC的解析式为y=mx+n,把(6,0)和(0，-6)代入得： 6m+n=0 n=6，解得 m=1 n=-6' ∴y=x-6, 4/59 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 设点P的坐标为x,x2-5x-6),过点P作PFIy轴交BC于点F,交x轴于点H, 则点F的坐标为x,x-6), PF=x-6-x2-5x-6=-x2+6x, :PFIy轴， :∠PFQ=∠OCQ,∠FPQ=∠COQ, △QPF△QOC, 器8股创-- 2， 当x=3时， 二取得最大值为，这时点P的坐标为3，-12)， 9 把点P向上平移4个单位长度得到点G,点G的坐标为(3，-8)，连接GD, 则四边形DEPG是平行四边形， .DG=PE, 即BD+PE=BD+DG, 由4，B关于x=对称性可得点4的坐标为-1,0)， 连接AG,则BD+PE=BD+DG的最小值为AG长， 即AG=√AH2+HG2=V42+82=4V5, 即BD+PE的最小值为4V5; (3)解：：AB=AC=6, .∠ABC=∠ACB=45°， :.将抛物线y=x2+bx+c沿射线BC方向平移22个单位长度即为向左平移两个单位长度，向下平移两个单 位长度符到抛物线人，即了=c多+2- 4 -2=x2-x-14, 过点P作PQ⊥y轴于点Q,过点N作NK⊥x轴于点K,连接PM, 5/59 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 设点N的坐标为a,a2-a-14, 由平移得∠QPM=45°， ∴.∠NAB=∠OPM-45°=∠OPQ+∠QPM-45°=∠OPQ=∠POB, 如图所示，：tan∠NAB=tan∠OPQ, 即12=-(a-a-14 3 a-(-1) 解得a=-5(舍去)或a=2, 这时点N的坐标为2，-12)； 如图所示，则：tan∠NAB=tan∠OPQ, 。,解得a=5+7成=5-7（舍去)， 即2-a2-a-14 2 2 5+V97 这时点N的坐标为 2,l14+2V97 综上所述，点N的坐标为(2，-12)或 5+y97,14+207 2 K B 题型二、特殊三角形与二次函数 6/59 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.(2025江苏连云港模拟预测)如图，已知直线y=2x+m与抛物线y=ax2+bx+c相交于A,B两点， 其中抛物线的顶点坐标A1,-4),点B在x轴上. (1)求抛物线的解析式： (2)点Q是抛物线上（除第一象限外）的一点，当△BAQ是以AB为底边的等腰三角形时，求点Q的坐标； 3)若抛物线与x轴的负半轴的交点为E,过点B作直线y=-x+1交y轴交于点P,点H为线段BP上的一 点，点G为线段OB上的一点，连接HG,并延长HG与线段AE交于点F(点F在第三象限)，当 ∠PHG=3LPBO且FG=2HG时，求出点H及点F的坐标 【答案】(1)y=x2-2x-3 e,"" 》r可 【详解】(1)解：把x=1,y=-4代入y=2x+m得， -4=2×1+m, .m=-6, y=2x-6, 当y=0时，2x-6=0, x=3, B3,0), y=a(x-1)2-4过(3,0)， .0=4a-4, .a=1, :抛物线的解析式为：y=(x-1)2-4,即y=x2-2x-3; (2)解：设点Qn,n2-2n-3), 7/59 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :△BAQ是以AB为底边的等腰三角形 ..OA=OB :.OA2=OB (n-l)2+[n2-2n-3+4]2=(n-3)2+(n2-2n-3)2, 化简，得，2n2-3n-4=0, 3±√41 ∴.n= 4 当n=3+④时，y=1④ 4 8 当n=3④时，y=1+④， 4 8 o 4,8 4,8 (3)解：作AL⊥BE于L,作HK⊥BE于K,作FN⊥BE于N,在KB上截取KM=GK, KM B :HG=HM, D 由y=3x+1得，P0,1 当二次函数解析式y=x2-2x-3,函数值为0时，x2-2x-3=0, 解得x=3,x2=-1, E-1,0, 设HK=a, tan∠PBO=HK、OP1 BK OB3' :BK =3HK 3a, .0K=3-3a, :∠GKH=∠GNF=90°，∠HGK=∠FGN, 8/59 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴.△HGK∽a△FGN, NG_FN-FG-2. GK HK GH :FN 2a, 由A(1,-4,E(-1,0),B(3,0)得，AL=4,EL=2, :tan∠ABEL-f八=L-2, EN EL :EN =a, :0E=1,0B=3, .0N=4-3a-3-3a-a=1-a, NK=0N+0K=4-4a, :.KM=GK=1NK=4(1-a), 3 :∠PHG=∠PBO+∠HGB=3LPBO, ∠HGB=2∠PB0, 由HG=HM得，∠HMG=∠HGB=2LPB0, ∠BHM=∠PBO, h -M3-a). 由勾股定理得，HK2+KM2=HM2, +3--o. 解得，4=0（舍去），4=2 月 之《205江苏无锡中考真题》卫知二次函数)=+r+m子0)图象的顶成为4，与于锁交于点 2 B,对称轴与x轴交于点C. (1)若该函数图象经过点0，V3),求点A的横坐标： (2)若m<3,点P(2,y)和Q4,2)在该函数图象上，证明：>y2: (3)若ABC是等腰三角形，求m的值. 【答案】(1)点A的横坐标为3 (2)证明见解析 9/59 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3)m 25或m=-25 【详解】(D解：二=次函数y=-+m+5mm0图象过点0，)， 3 √ 3m=V5, 解得：m=3, :二次函数为y=-x2+3x+5, 2 3 X4=- =3 2× :点A的横坐标为3 解：点P2和Q4为在函数y=P+m女 3m(m≠0)图象上， y=-2+2m+ m,y2=-8+4m+ 3 -m, 3 m<3, 乃-y2=-2+2m+ 3m、 -8+4m+ 3 m =-2m-3>0, .>y 3解在函数y+r+ 3 m(m≠0)中， 当x=0时，y= -m3 3 (3m, y=- x2+mx+ 5 3m=-x-m2+m+5 m,二次函数图象的顶点为A,对称轴与x轴交于点C 2 3 ∴.Am m2V5】 2m,C(m,0, 23 5AB=m2+号 m2_m25 10/59