专题06 二次函数实际应用8大题型（专项训练）数学冀教版九年级下册

专题06 二次函数实际应用8大题型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、图形问题（实际问题与二次函数） 1 题型二、图形运动问题(实际问题与二次函数） 4 题型三、拱桥问题（实际问题与二次函数） 8 题型四、销售问题(实际问题与二次函数） 12 题型五、投球问题(实际问题与二次函数） 14 题型六、喷水问题（实际问题与二次函数） 17 题型七、增长率问题（实际问题与二次函数） 20 题型八、其他问题（实际问题与二次函数） 21 B综合攻坚・能力跃升 题型一、图形问题（实际问题与二次函数） 1．如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为．有下列结论：①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积的最大值为；④当时，菜园面积为．其中，正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：设边长为 ，则边长为， 当时，， 解得， 的长不能超过， ，故①不正确； 菜园的面积为， , 整理得 解得，（不合题意，舍去）或， 的长有一个值满足菜园的面积为 ，故②不正确； 设矩形菜园的面积为， 根据题意，得， ， 当时 ，有最大值，最大值为200，故③正确； 当时，，解得，，故正确； 正确的有2个， 故选：． 2．用总长为米的材料做成如图1的矩形窗框，设窗框的宽为米，窗框的面积为米，关于的函数图象如图2，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：设窗框的长为， 根据函数图象，可知当时，窗框的面积最大，最大值为， 即 故答案为：． 3．【模型呈现】 （1）如图1，中，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，求证：； 【模型应用】 （2）如图2，将图1放置在平面直角坐标系中，若点的坐标为，则点的坐标是______； （3）如图3，直线分别交轴、轴于点A、B．点的坐标为，点为直线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，请直接写出的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， ， 在和中， ； （2）解：点的坐标为， ，， 同（1）可证， ，， 点的坐标是， 故答案为：； （3）过点D作轴，过点E作轴， 设，则，， 轴，轴， ， ， ， ， ， 在和中， ， ，， ， ， ，， ， ， 的最小值为． 题型二、图形运动问题(实际问题与二次函数） 1．如图1，在矩形中，，是边上的一个动点，，交于点，设，，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【详解】解：矩形， ， ， ，， ． ， ． ． ， ， 设，则， 整理得， 由图象可知，关于的函数图象经过， 代入得，， ， ． 故选：A． ．综合与实践 2.如图1，是以为斜边的等腰直角三角形，四边形是矩形，点，，，在同一条直线上，，将沿射线向左平移，得到，点，，的对应点分别为点，，．平移的速度为1个单位长度/秒． 设平移的时间为秒，与矩形重叠部分的面积为． 特例感知 当时，的值恰好变为0． （1）的长为______________． 规律探究 （2）①求出与之间的函数解析式，并直接写出的取值范围； ②在如图2所示的平面直角坐标系中，画出①中所求得函数（含自变量取值范围）的图象． 数学思考 （3）请直接写出满足的所有的值． 【答案】（1）4；（2）①；②见解析；（3）的值为或． 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用．解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． （1）根据题意得到，进一步计算即可求解； （2）①分四种情况讨论，画出图形，利用三角形或梯形面积公式列式即可求解； ②画出函数图象即可； （3）分和两种情况讨论，根据，分别列出一元二次方程，求解即可． 【详解】解：（1）∵当时，的值恰好变为0， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4； （2）①当时，； 当时，如图，设交于点， 由题意得， ∴； 当时，如图， ； 当时，如图，设交于点， 由题意得，， ∴； 综上，； ②画出二次函数图象如图， （3）∵， 当时，， 整理得， 解得或（舍去）； 当时，， 整理得， 解得或（舍去）； 综上，的值为或． 题型三、拱桥问题（实际问题与二次函数） 1．某校计划举办劳动之星颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口．要在拱门上顺次粘贴“劳”“动”“之”“星”（分别记作点A，B，C，D）四个大字，要求与地面平行，且，抛物线最高点的五角星（点E）到的距离为，，，如图2所示，甲、乙两位同学得到如下结论：甲：抛物线的解析式一定为；乙：点C到的距离为．则下列说法正确的是（　　） A．甲对乙错 B．甲乙都对 C．甲错乙对 D．甲乙都错 【答案】C 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系， ∵抛物线最高点的五角星（点E）到的距离为，，， ∴点C的坐标为，点B的坐标为，点D的横坐标为2， ∴点E的坐标为， 设抛物线的解析式为，将点E的坐标代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为．故甲不对； ∵点D的横坐标为2， ∴点D的纵坐标为， ∴点C到的距离为．故乙对． 故选：C． 2．如图一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1米，拱桥的跨度为10米，桥洞与水面的最大距离是5米，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4米的景观灯．两盏景观灯之间的水平距离为 米． 【答案】5 【详解】解：如下图，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系， 设这条抛物线的解析式为，由抛物线经过点，可得， 解得：， 这段抛物线表示的二次函数为， 由已知得，两盏景观灯的纵坐标都是， ， 解得：， 两盏景观灯之间的水平距离是5米， 故答案为：5． 3．如图，是一个抛物线形拱桥的截面示意图．桥下水面的宽度，以所在的直线为轴，为原点建立平面直角坐标系，拱顶距离水面，在点处装有一个宽光束射灯进行照明，光束的有效光照区域恰好能覆盖整个水面； (1)___________；求拱桥抛物线的解析式； (2)如图，当水面上升后，光束的有效光照区域为，无法照到整个水面，求此时照明灯照不到的水面区域的宽度； (3)如图，因河水上涨，点处一棵大树倒下并挡住了桥洞，大树顶端恰好落于点处，为避免产生阻塞，市政部门准备调用一装有机械臂的设备将大树移开．为机械臂的一部分，为保证抓取稳固，需始终保持机械臂，假设机械臂的起点始终在抛物线上，请问机械臂起点与树木之间距离是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在，最大值为 【详解】（1）解：； 由题知，，，顶点，即， 设拱桥抛物线的解析式为， ， 解得， 拱桥抛物线的解析式为； （2）设的解析式为， ， ， 的解析式为， 当时， ，此时点坐标为 ， 解得：，， 此时点坐标为， 照明灯照不到的水面区域的宽度； （3）存在， 如图，过点作轴于点，交于点， 顶点为， ， ， ， ， 设，则， ， 当时，的最大值为1， 的最大值为． 题型四、销售问题(实际问题与二次函数） 1．某畅销书的售价为每本20元，每星期可卖出300本，书城准备开展“读书节活动”，决定降价促销．经调研，如果调整书籍的售价，每降价1元，每星期可多卖出20本．设每本降价元后，每星期售出此畅销书的总销售额为元，则与之间的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设每本降价元后，每星期售出此畅销书的总销售额为元， 由题意得：， 故选：B． 2．疫情期间，某种一次性医用外科口罩的利润y（元）与售价x（元）之间的函数关系式为，且售价x的取值范围是，则最大利润是 元． 【答案】35 【详解】解：函数， 顶点横坐标为， ∴在对称轴左边， 由于抛物线开口向下，且， ∴在上，二次函数的值的增大而增大， 因此最大值在处取得， 当时，． 则最大利润是35元． 故答案为：35． 3．某超市购入一批进价为12元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量（盒）与销售单价（元）是一次函数关系，下表是与的几组对应值． 销售单价/元 ．．． 12 14 16 18 20 ．．． 销售量/盒 ．．． 56 52 48 44 40 ．．． (1)求与的函数表达式； (2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ (3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为242元，求的值． 【答案】(1)与的函数表达式为； (2)糖果销售单价定为26元时，所获日销售利润最大，最大利润是392元； (3)的值为6． 【详解】（1）解：设与的函数表达式为， 把，；，代入， 得，解得， ∴与的函数表达式为； （2）解：设日销售利润为w元， 根据题意，得 ∵ ∴抛物线开口向下，函数有最大值 ∴当时，有最大值为392， ∴糖果销售单价定为26元时，所获日销售利润最大，最大利润是392元； （3）解：设日销售利润为w元， 根据题意，得 ∴， ∴， 解得：（舍去），． ∴的值为6． 题型五、投球问题(实际问题与二次函数） 1．一个小球从地面上一点处以一定的方向弹出，落在斜坡上的点处，小球的飞行路线可以用二次函数表示，斜坡所在直线可以用表示，它们的图像如图所示，当小球飞行的水平距离为时，其飞行高度达到最大值（不考虑空气阻力等因素）．由题意可得到以下结论： ①； ②当小球落到点处时，点与点的水平距离为； ③当时，小球与斜坡之间的竖直高度最大． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】解：①当小球飞行的水平距离为时，其飞行高度达到最大值， ； 因为对称轴为； 则； ， 解得：， 则； 故①说法正确； ②∵，， ∴， 联立， 解得：； 当小球落到点处时，点与点的水平距离为； 故②说法正确； ③由题意小球与斜坡之间的竖直高度为， ∵， ∴当时，小球与斜坡之间的竖直高度有最大距离，故③说法正确； 综上所述，正确的有①②③，有3个； 故选：D． 2．从地面竖直向上抛出一小球，根据物理学规律，小球的高度h（单位：）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是，则小球运动中的最大高度是 ． 【答案】45 【详解】对于二次函数，先对其进行配方： 因为二次项系数，所以该二次函数图象开口向下，在顶点处取得最大值， 当时，取得最大值45，又因为3在这个取值范围内， 所以小球运动中的最大高度是45m． 故答案为：45． 3．某学习小组共同研究关于二次函数的实际问题： 如图，一高尔夫球员从山坡下的点处打出一球，球向山坡上的球洞点处飞去，球的飞行路线为抛物线如果不考虑空气阻力，当球达到最大高度时，球移动的水平距离为，已知山坡的坡度是，，两点间的距离是． 为了方便研究，学习小组经讨论，以点为坐标原点，直线为轴建立坐标系，如图所示请你帮助该学习小组解决以下问题： (1)求球洞点的坐标． (2)确定球的飞行路线所在抛物线的函数表达式，同时判断这一杆能否把高尔夫球从点处直接打入点处的球洞，请说明理由． (3)嘉淇同学指出，如果高尔夫球员从点处沿地面水平向后退到点处，他不改变击球角度和力度，使得一杆能把高尔夫球直接打入点处的球洞，请你求出后退距离（即的长度）． 【答案】(1) (2)，这一杆不能把高尔夫球从点直接打入球洞点，理由见解析 (3)高尔夫球员后退米 【详解】（1）解：在中， 山坡的坡度是， ， ， ， ， ， ， 又， 点的坐标为； （2）由题意，顶点的坐标是， 设抛物线的解析式为， 点的坐标是， 把点的坐标代入得：， 解得：， 该抛物线的解析式为：， 当时，， 这一杆不能把高尔夫球从点直接打入球洞点； （3）设高尔夫球员从点处沿地面水平向后退米， 则抛物线解析式为， 把代入解析式得：， 解得：或舍去， ， 答：高尔夫球员后退米． 题型六、喷水问题（实际问题与二次函数） 1．如图，为了美化校园环境，学校计划在草坪中央修建一个直径为米的圆形喷水池，水池中心处立着一个圆柱形实心石柱，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈抛物线型，水柱在距水池中心处到达最大高度为，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点处汇合，则要修建的高度是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【详解】解：选图中第一象限的抛物线， 由题意得，抛物线顶点坐标为，过点， 设抛物线解析式为， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴点， ∴， 故选：． 2．某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为，则两个水柱的最高点之间的距离为 m．    【答案】10 【详解】解：∵， ∴点, ∴水柱的最高点到y轴距离为， ∴两个水柱的最高点之间的距离为， 故答案为：10． 3．如图，消防人员在进行救援火灾演练，发现在距离失火大楼米的位置向上面喷水，水流刚好在窗上沿处达到最高点后进入失火房间．已知消防人员所在的消防车上点距离地面米，窗上沿距离地面米． (1)如图，以消防员脚下地面为原点，建立平面直角坐标系，使水流线正好在一个平面上，求水流抛物线的解析式； (2)实际操作中发现，失火中心点在房间内与窗上沿水平距离米处，且比窗上沿低米的位置，问消防员怎样移动消防设施，可以使水流刚好落在失火中心？（不计其他因素，请设计两种移动方案．参考数据：，结果精确到米） 【答案】(1) (2)消防员把喷水头向下平移米，或向左平移米，可以使水流刚好落在失火中心 【详解】（1）解：由题意知，， 设水流抛物线的解析式为， 代入，得，解得， ∴水流抛物线的解析式是 （2）解：由题意知，失火中心点坐标是． 方案一：水流抛物线的解析式是， 当时，， 即抛物线向下平移（米）． 抛物线正好经过失火中心； 方案二：水流抛物线的解析式是， 当时，， 解得，（舍去）， ， 即抛物线向左平移（米）， 抛物线正好经过失火中心． 所以消防员把喷水头向下平移米，或向左平移米，可以使水流刚好落在失火中心． 题型七、增长率问题（实际问题与二次函数） 1．下列说法错误的是（   ） A．一元二次方程的一次项系数是 B．若函数是关于x的二次函数，则m的值为 C．将数字图案“69”旋转，得到的数字图案是“69” D．某商场一月份的营业额为200万元，第一季度的营业额共y万元，若每月的增长率相同，设每月的增长率为x，则y与x之间的函数关系式为 【答案】D 【详解】解：A：一元二次方程的一次项系数为，正确； B：∵函数是关于的二次函数， ∴且， 解得，即， 当时，系数，不符合要求， ∴，正确； C：数字“69”整体旋转后，得到“69”，正确； D：第一季度的营业额包括一月、二月和三月， 一月为200万元，二月为万元，三月为万元， 总和， 而非，错误． 故选：D． 2．某商店一月份销售额为万元，月平均增长率，一季度的销售额为万元，那么关于月平均增长率的函数解析式是 ． 【答案】 【详解】一月份销售额为万元， 二月份销售额为万元， 三月份的销售额为万元， 根据题意可得，， 故答案为：． 3．某工厂一种产品2013年的产量是100万件，计划2015年产量达到121万件．假设2013年到2015年这种产品产量的年增长率相同． (1)求2013年到2015年这种产品产量的年增长率； (2)2014年这种产品的产量应达到多少万件？ 【答案】(1)这种产品产量的年增长率为 (2)2014年这种产品的产量应达到110万件 【详解】（1）解：设这种产品产量的年增长率为x， 根据题意列方程得， 解得，（舍去）． 答：这种产品产量的年增长率为． （2）解：（万件）． 答：2014年这种产品的产量应达到110万件． 题型八、其他问题（实际问题与二次函数） 1．一种高脚杯如图1所示，其杯肚部分外轮廓线为抛物线的一部分，图2为其杯肚的截面图，已知杯口，杯深．如图3，若将盛有部分液体的高脚杯倾斜（即与液面所在直线相交，所夹较小角为），液面与交于点E，且点E距杯口的距离，则此时液面宽为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系，作于点H，作于点Q， 则， 则各点坐标为：，，，，． 设抛物线的表达式为， 把点A坐标代入解析式，得， 解得， ∴． ∵，E点坐标为， ∴直线与x轴的交点为． 设所在直线解析式为， 把点，代入解析式，得． 令， 得， 解得，． ∴， ∴． 故答案为：C． 2．“路亚”是一种钓鱼方法，用这种方法钓鱼时先把鱼饵通过鱼线收到鱼竿末端，然后用力将鱼饵甩向远处．如图，人站在离水面高度的位置，当鱼饵被抛出后，鱼竿所在的位置为直线，此时鱼线形成的图象近似的看成抛物线，若点C到y轴的距离为，则鱼线落在水面上的点到点A的水平距离 ． 【答案】10 【详解】解：根据题意，得，代入解析式， 解得， 故一次函数的解析式， 当时， ， 故点， 把代入解析式， 解得（舍去）， 故抛物线的解析式为， 当时， ， 解得， 故鱼线落在水面上的点到点A的水平距离． 故答案为：10． 3．大棚经济“金钥匙”，激活乡村产业振兴新引擎．琪琪家计划在自家菜地修建一个蔬菜大棚，图1是其横截面的示意图，其中为两段垂直于地面的墙体，两段墙体之间的水平距离为8米，大棚的顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑，建立如图1所示的平面直角坐标系，已知骨架的一端固定在离地面4米的墙体A处，另一端固定在墙体D处，骨架最高点P到墙体的水平距离为2米，且点P离地面的高度为米． (1)求该抛物线的解析式，并写出点D坐标； (2)写出直线的解析式； (3)为了大棚顶部更加稳固，琪琪爸爸计划在棚顶安装铝合金支架，如图2所示，支架可以看成是由线段三部分组成，其中点E，G在顶棚抛物线形骨架上，，分别交于点F、H，且（在左侧）．当F、H间的水平距离为3米时，求的长； (4)为了节约成本，支架调整为线段两部分组成，如图3所示，直接写出求做这一个支架所需铝合金材料的最大长度． 【答案】(1)； (2) (3) (4) 【详解】（1）解：由题意可得， ∴设与之间的函数关系式，将点代入， 得，解得． ∴抛物线的解析式为； 当时，， ； （2）已知，设直线的解析式为， 解得 ∴直线的解析式为； （3）设点的横坐标为， ∵在抛物线上，在直线上， ∴点纵坐标为，点纵坐标为． ∴， ∵间的水平距离为3米，且在左侧， ∴点的横坐标为， 同理，点纵坐标为 点纵坐标为， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ （4）已知，， 设点的横坐标为， 由（3）得． 在中，， ∴函数图象开口向下，存在最大值， 其对称轴为， ∴， ∵支架长度为， ∴支架所需铝合金材料的最大长度为：． 1．（2025·甘肃·中考真题）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ， 当时，取最大值，最大值为，即2.75米， 故选：B． 2．（2025·江苏淮安·中考真题）某商店销售一种玩具，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 每件的售价x/元 … 25 28 31 … 日销售量y/件 … 15 12 9 … (1)求y与x之间的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）； (2)当玩具日销售额为300元时，求每件玩具的售价． 【答案】(1) (2)10元或30元 【详解】（1）解：∵日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系， ∴设函数表达式为， ∵当时，；当时，； ∴，解得， ∴， ∴y与x之间的函数表达式为； （2）解：由（1）知，， ∴日销售额， ∵玩具日销售额为300元， ∴令，即， 整理可得， 解得，， ∴每件玩具的售价为10元或30元时，日销售额为300元． 3．（2025·河北·模拟预测）某果农要销售红富士苹果，已知每千克红富士苹果成本为6元，在销售的80天里，售价m（元/千克）与时间t（销售开始后的第t天）之间的关系式为： （t为整数）．日销量y（千克）是时间t（销售开始后的第t天）的一次函数，且第1天销量为198千克，第10天销量为180千克． (1)求y与t之间的关系式； (2)哪一天日销售利润最大，并求最大值； (3)在销售前40天中，利用某平台进行销售．该果农每销售1千克，就要付给平台n元，在这前40天中每天扣除平台费用后，日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围． 【答案】(1)； (2)第30天日销售利润最大，最大值为2450元； (3)． 【详解】（1）解：设，将，代入可得， 解得， 与t之间的关系式为； （2）解：设日销售利润为W元， 当时，， 则 ， ， 当时，W有最大值2450， 当时，， 则 ， 二次项系数，对称轴为，在上W随t的增大而减小， 当时，（元）， ∵， 可知第30天日销售利润最大，最大值为2450元； （3）解：设扣除平台费用后利润为，前40天中， 对称轴为， 随t的增大而增大，且， ，解得， 又， 4．（2025·河北石家庄·三模）一天放学后，妈妈带淇淇到面馆吃面，爱思考的淇淇仔细观察盛面汤的碗，发现汤碗的截面图如图1所示，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），是抛物线的顶点，碗底高，碗口宽，与碗底宽平行．当碗中装满面汤时，面汤的最大深度．以为原点，水平线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系如图2所示． (1)求图2中抛物线的解析式； (2)喝掉部分面汤后，汤的表面（后面简称“汤面”）下降了至处，求此时汤面的长； (3)将面汤碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，如图3，当时停止，求此时汤面的长． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：依题意，， 设抛物线解析式为， ∵，， ∴， ∴ 解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）∵汤面下降了 ∴此时汤面与碗底距离为，即． 令， 解得（舍去）， ∴汤面的宽度为． （3）∵ ∴． 如解图，作出线段，设与轴的交点为． 由（1）知，， ∴． ∵， ∵ ∴， ∴． 设直线的解析式为．将分别代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为． 令， 解得或 （舍去） ∴， ∴． 5．（2025·江苏盐城·中考真题）［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示． ［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、． （1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式． ［模型应用］ （2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________． （3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球． 【答案】（1）扣杀球击球路线的函数表达式为；网前吊球击球路线的函数表达式为；（2）；（3）乙能接到网前吊球的击球 【详解】解：（1）以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系， 则，， 设直线的解析式为， ， ， 扣杀球击球路线的函数表达式为； 设网前吊球击球路线的函数表达式为， ， ， 网前吊球击球路线的函数表达式为； （2）令，则， ， ， ， ， ． 故答案为：； （3）对于，令，则， ， ， ， ， 扣杀球时，羽毛球的平均速度约为， （秒 ， 乙不能接到扣杀球的击球． 从点击球，击球点是抛物线的最高点， ， ， ， ， 乙能接到网前吊球的击球． 6．（2025·陕西·中考真题）某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部，左、右门洞，均呈抛物线型，水平横梁，的最高点到的距离，，关于所在直线对称．，，为框架，点，在上，点，分别在，上，，，．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知抛物线的函数表达式为，，求的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， ∵， ∴结合二次函数的对称性得， 将代入， 得 则， ∴； （2）解：由（1）得抛物线的函数表达式， ∵，，．，且抛物线的函数表达式为， ∴， 整理得， ∴， ∴， 解得， ∴． 7．（2025·四川攀枝花·中考真题）跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用． 【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间、运动快慢、运动路程的数据． 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 … 运动快慢 12 10 8 6 4 2 … 运动路程 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】 【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：与之间的关系可以近似地用______________函数表示，与之间的关系可以近似地用______________函数表示．（选填：一次、二次、反比例） 【检验】根据猜想求出与与之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证． 【应用】当弹珠到达水平轨道上点时，前方点处有一辆电动小车以的速度在匀速向前直线运动，若弹珠能追上小车，那么的最大值是多少？ 【答案】【猜想】：图见解析，一次，二次；【检验】：，，验证见解析；【应用】：最大为 【详解】解：【猜想】：描点，连线，画图如下： 猜想：与之间的关系可以近似地用一次函数表示，与之间的关系可以近似地用二次函数表示； 故答案为：一次，二次； 【检验】：设，把代入，得， 解得：， ∴， 验证：当时，，符合题意； 设，把点，代入，得， 解得， ∴， 验证：当时，，符合题意； 【应用】：∵，设， 由题意，得：， ∴， ∴当时，最大为； 故最大为． 8．（2025·上海·二模）某企业在2024年1-4月的净利润见下表．经调查后发现，企业的利润数是经过月数的二次函数．（注：净利润数单位为万元；初始宣发资金可单独计算入总利润） XX企业2024年1-4月净利润表 经过月数（x） 1 2 3 4 净利润数（y） -9 -16 -24 (1)求y关于x的函数解析式（无需写定义域）； (2)补全表中的空格处并填空：本公司1-4月平均每月亏损________万元；通过技术改革，到2024年________月起，公司当月不再亏损；理论上到2025年的________月份公司可以把之前的亏损全部赚回来； (3)新年伊始，为使创新产品销量增加，政府决定资助此企业宣发资金，从2025年初启动宣发程序．已知从2025年1月起初始宣发资金是上表亏损的金额的20％，每月使用k万元进行宣发，如初始宣发资金用完，用去金额将从净利润中扣除．若因宣发每月净利润数提升k％，请直接写出k取不同值时由2024年初至2025年第一季度末的总盈亏情况．（计算时保留一位小数） 【答案】(1) (2)空格处应填；17.5；10；3 (3)当时，，盈利， 当时，不亏损也不盈利， 当时，，亏损． 【详解】（1）设二次函数解析式为， ， 所以函数解析式为； （2）由（1）知函数解析式为， 当时，， 故空格处应填； （万元）， 所以1-4月平均每月亏损17.5万元， 故答案为：17.5； 令，解得， 所以到2024年10月起，公司当月不再亏损， 故答案为：10； 因为，所以， 则1-9月共亏损165万元，10月份不亏损也没有盈利， 11月盈利11万元，12月盈利24万元，2025年1月盈利39万元， 2025年2月盈利56万元，2025年3月盈利75万元， 从2024年1月到2025年2月亏损35万元，到3月盈利40万元， 理论上到2025年的3月份公司可以把之前的亏损全部赚回来， 故答案为：3； （3）由（2）可知2024年总利润为万元， 初始宣发资金为（万元）， 则每月的净利润数为， 当代入求和可得2025年第一季度末的净利润为 ， 所以2024年初至2025年第一季度末的总利润为： ， 所以当时，，盈利， 当时，不亏损也不盈利，当时，，亏损． 9．（2025·吉林·中考真题）如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿边以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动．当点P出发后，以为边作正方形，使点D和点B始终在边同侧．设点P的运动时间为，正方形与重叠部分图形的面积为y（平方单位）． (1)的长为_______． (2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． (3)当正方形的对称中心与点B重合时，直接写出x的值． 【答案】(1)7 (2) (3) 【详解】（1）解：当重合时，如下图： ，以为边作正方形， 是等腰直角三角形， ， 即， 解得：（负的舍去）， ， ， ， 故答案为：7； （2）解：当在线段上运动时， ， 当在线段的延长线上运动时，即点在线段上运动，如下图： ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ； （3）解：当正方形的对称中心与点B重合时， ， ， 即， 解得：， ． 10．（2025·山东德州·中考真题）综合与实践 【活动背景】 数学活动课上，老师提供了如下素材： 某窗户生产厂家要用一根长为的铝合金型材制作一个“日”字形窗户框架（如图），要求恰好用完整条铝合金型材（接缝及型材宽度忽略不计）． 【活动任务】 结合素材信息，运用所学数学知识，给出合理的窗户框架设计方案． 【方案一】 甲学习小组从美观角度出发，计划把窗户框架长宽之比设计为接近黄金分割比的．请帮助甲学习小组求出此时窗户框架的宽． 【方案二】 乙学习小组从实用角度出发，计划把窗户面积设计得尽可能大，从而使采光效果更好．请帮助乙学习小组求出窗户的最大面积． 【答案】（1）窗户框架的宽为； （2）该窗户框架的分别为1米，米时，窗户框架的面积最大，最大值为． 【详解】解：（1）由题意，设窗户框架的宽（横向边长）为长（纵向边长）为， ∵“日”字形框架由3条横向边和2条纵向边组成，总型材长度为， ∴． ∵长宽之比为， ∴长为横向边，宽为纵向边，黄金分割比中长宽，故，即：． 将代入得，． ∴． 答：窗户框架的宽为． （2）由题意，设窗户框架的长为，则宽为， ∴，即， ∴要使窗户框架的面积最大，则，于是宽为． ∴当时，最大值为． ∴要使做成的窗户框架的面积最大，故该窗的分别为1米，米时，窗户框架的面积最大，最大值为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 二次函数实际应用8大题型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、图形问题（实际问题与二次函数） 1 题型二、图形运动问题(实际问题与二次函数） 4 题型三、拱桥问题（实际问题与二次函数） 8 题型四、销售问题(实际问题与二次函数） 12 题型五、投球问题(实际问题与二次函数） 14 题型六、喷水问题（实际问题与二次函数） 17 题型七、增长率问题（实际问题与二次函数） 20 题型八、其他问题（实际问题与二次函数） 21 B综合攻坚・能力跃升 题型一、图形问题（实际问题与二次函数） 1．如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为．有下列结论：①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积的最大值为；④当时，菜园面积为．其中，正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．用总长为米的材料做成如图1的矩形窗框，设窗框的宽为米，窗框的面积为米，关于的函数图象如图2，则的值是 ． 3．【模型呈现】 （1）如图1，中，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，求证：； 【模型应用】 （2）如图2，将图1放置在平面直角坐标系中，若点的坐标为，则点的坐标是______； （3）如图3，直线分别交轴、轴于点A、B．点的坐标为，点为直线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，请直接写出的最小值． 题型二、图形运动问题(实际问题与二次函数） 1．如图1，在矩形中，，是边上的一个动点，，交于点，设，，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 ．综合与实践 2.如图1，是以为斜边的等腰直角三角形，四边形是矩形，点，，，在同一条直线上，，将沿射线向左平移，得到，点，，的对应点分别为点，，．平移的速度为1个单位长度/秒． 设平移的时间为秒，与矩形重叠部分的面积为． 特例感知 当时，的值恰好变为0． （1）的长为______________． 规律探究 （2）①求出与之间的函数解析式，并直接写出的取值范围； ②在如图2所示的平面直角坐标系中，画出①中所求得函数（含自变量取值范围）的图象． 数学思考 （3）请直接写出满足的所有的值． 题型三、拱桥问题（实际问题与二次函数） 1．某校计划举办劳动之星颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口．要在拱门上顺次粘贴“劳”“动”“之”“星”（分别记作点A，B，C，D）四个大字，要求与地面平行，且，抛物线最高点的五角星（点E）到的距离为，，，如图2所示，甲、乙两位同学得到如下结论：甲：抛物线的解析式一定为；乙：点C到的距离为．则下列说法正确的是（　　） A．甲对乙错 B．甲乙都对 C．甲错乙对 D．甲乙都错 2．如图一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1米，拱桥的跨度为10米，桥洞与水面的最大距离是5米，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4米的景观灯．两盏景观灯之间的水平距离为 米． 3．如图，是一个抛物线形拱桥的截面示意图．桥下水面的宽度，以所在的直线为轴，为原点建立平面直角坐标系，拱顶距离水面，在点处装有一个宽光束射灯进行照明，光束的有效光照区域恰好能覆盖整个水面； (1)___________；求拱桥抛物线的解析式； (2)如图，当水面上升后，光束的有效光照区域为，无法照到整个水面，求此时照明灯照不到的水面区域的宽度； (3)如图，因河水上涨，点处一棵大树倒下并挡住了桥洞，大树顶端恰好落于点处，为避免产生阻塞，市政部门准备调用一装有机械臂的设备将大树移开．为机械臂的一部分，为保证抓取稳固，需始终保持机械臂，假设机械臂的起点始终在抛物线上，请问机械臂起点与树木之间距离是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在请说明理由． 题型四、销售问题(实际问题与二次函数） 1．某畅销书的售价为每本20元，每星期可卖出300本，书城准备开展“读书节活动”，决定降价促销．经调研，如果调整书籍的售价，每降价1元，每星期可多卖出20本．设每本降价元后，每星期售出此畅销书的总销售额为元，则与之间的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 2．疫情期间，某种一次性医用外科口罩的利润y（元）与售价x（元）之间的函数关系式为，且售价x的取值范围是，则最大利润是 元． 3．某超市购入一批进价为12元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量（盒）与销售单价（元）是一次函数关系，下表是与的几组对应值． 销售单价/元 ．．． 12 14 16 18 20 ．．． 销售量/盒 ．．． 56 52 48 44 40 ．．． (1)求与的函数表达式； (2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ (3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为242元，求的值． 题型五、投球问题(实际问题与二次函数） 1．一个小球从地面上一点处以一定的方向弹出，落在斜坡上的点处，小球的飞行路线可以用二次函数表示，斜坡所在直线可以用表示，它们的图像如图所示，当小球飞行的水平距离为时，其飞行高度达到最大值（不考虑空气阻力等因素）．由题意可得到以下结论： ①； ②当小球落到点处时，点与点的水平距离为； ③当时，小球与斜坡之间的竖直高度最大． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．从地面竖直向上抛出一小球，根据物理学规律，小球的高度h（单位：）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是，则小球运动中的最大高度是 ． 3．某学习小组共同研究关于二次函数的实际问题： 如图，一高尔夫球员从山坡下的点处打出一球，球向山坡上的球洞点处飞去，球的飞行路线为抛物线如果不考虑空气阻力，当球达到最大高度时，球移动的水平距离为，已知山坡的坡度是，，两点间的距离是． 为了方便研究，学习小组经讨论，以点为坐标原点，直线为轴建立坐标系，如图所示请你帮助该学习小组解决以下问题： (1)求球洞点的坐标． (2)确定球的飞行路线所在抛物线的函数表达式，同时判断这一杆能否把高尔夫球从点处直接打入点处的球洞，请说明理由． (3)嘉淇同学指出，如果高尔夫球员从点处沿地面水平向后退到点处，他不改变击球角度和力度，使得一杆能把高尔夫球直接打入点处的球洞，请你求出后退距离（即的长度）． 题型六、喷水问题（实际问题与二次函数） 1．如图，为了美化校园环境，学校计划在草坪中央修建一个直径为米的圆形喷水池，水池中心处立着一个圆柱形实心石柱，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈抛物线型，水柱在距水池中心处到达最大高度为，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点处汇合，则要修建的高度是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为，则两个水柱的最高点之间的距离为 m．    3．如图，消防人员在进行救援火灾演练，发现在距离失火大楼米的位置向上面喷水，水流刚好在窗上沿处达到最高点后进入失火房间．已知消防人员所在的消防车上点距离地面米，窗上沿距离地面米． (1)如图，以消防员脚下地面为原点，建立平面直角坐标系，使水流线正好在一个平面上，求水流抛物线的解析式； (2)实际操作中发现，失火中心点在房间内与窗上沿水平距离米处，且比窗上沿低米的位置，问消防员怎样移动消防设施，可以使水流刚好落在失火中心？（不计其他因素，请设计两种移动方案．参考数据：，结果精确到米） 题型七、增长率问题（实际问题与二次函数） 1．下列说法错误的是（   ） A．一元二次方程的一次项系数是 B．若函数是关于x的二次函数，则m的值为 C．将数字图案“69”旋转，得到的数字图案是“69” D．某商场一月份的营业额为200万元，第一季度的营业额共y万元，若每月的增长率相同，设每月的增长率为x，则y与x之间的函数关系式为 2．某商店一月份销售额为万元，月平均增长率，一季度的销售额为万元，那么关于月平均增长率的函数解析式是 ． 3．某工厂一种产品2013年的产量是100万件，计划2015年产量达到121万件．假设2013年到2015年这种产品产量的年增长率相同． (1)求2013年到2015年这种产品产量的年增长率； (2)2014年这种产品的产量应达到多少万件？ 题型八、其他问题（实际问题与二次函数） 1．一种高脚杯如图1所示，其杯肚部分外轮廓线为抛物线的一部分，图2为其杯肚的截面图，已知杯口，杯深．如图3，若将盛有部分液体的高脚杯倾斜（即与液面所在直线相交，所夹较小角为），液面与交于点E，且点E距杯口的距离，则此时液面宽为（    ） A． B． C． D． 2．“路亚”是一种钓鱼方法，用这种方法钓鱼时先把鱼饵通过鱼线收到鱼竿末端，然后用力将鱼饵甩向远处．如图，人站在离水面高度的位置，当鱼饵被抛出后，鱼竿所在的位置为直线，此时鱼线形成的图象近似的看成抛物线，若点C到y轴的距离为，则鱼线落在水面上的点到点A的水平距离 ． 3．大棚经济“金钥匙”，激活乡村产业振兴新引擎．琪琪家计划在自家菜地修建一个蔬菜大棚，图1是其横截面的示意图，其中为两段垂直于地面的墙体，两段墙体之间的水平距离为8米，大棚的顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑，建立如图1所示的平面直角坐标系，已知骨架的一端固定在离地面4米的墙体A处，另一端固定在墙体D处，骨架最高点P到墙体的水平距离为2米，且点P离地面的高度为米． (1)求该抛物线的解析式，并写出点D坐标； (2)写出直线的解析式； (3)为了大棚顶部更加稳固，琪琪爸爸计划在棚顶安装铝合金支架，如图2所示，支架可以看成是由线段三部分组成，其中点E，G在顶棚抛物线形骨架上，，分别交于点F、H，且（在左侧）．当F、H间的水平距离为3米时，求的长； (4)为了节约成本，支架调整为线段两部分组成，如图3所示，直接写出求做这一个支架所需铝合金材料的最大长度． 1．（2025·甘肃·中考真题）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏淮安·中考真题）某商店销售一种玩具，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 每件的售价x/元 … 25 28 31 … 日销售量y/件 … 15 12 9 … (1)求y与x之间的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）； (2)当玩具日销售额为300元时，求每件玩具的售价． 3．（2025·河北·模拟预测）某果农要销售红富士苹果，已知每千克红富士苹果成本为6元，在销售的80天里，售价m（元/千克）与时间t（销售开始后的第t天）之间的关系式为： （t为整数）．日销量y（千克）是时间t（销售开始后的第t天）的一次函数，且第1天销量为198千克，第10天销量为180千克． (1)求y与t之间的关系式； (2)哪一天日销售利润最大，并求最大值； (3)在销售前40天中，利用某平台进行销售．该果农每销售1千克，就要付给平台n元，在这前40天中每天扣除平台费用后，日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围． 4．（2025·河北石家庄·三模）一天放学后，妈妈带淇淇到面馆吃面，爱思考的淇淇仔细观察盛面汤的碗，发现汤碗的截面图如图1所示，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），是抛物线的顶点，碗底高，碗口宽，与碗底宽平行．当碗中装满面汤时，面汤的最大深度．以为原点，水平线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系如图2所示． (1)求图2中抛物线的解析式； (2)喝掉部分面汤后，汤的表面（后面简称“汤面”）下降了至处，求此时汤面的长； (3)将面汤碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，如图3，当时停止，求此时汤面的长． 5．（2025·江苏盐城·中考真题）［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示． ［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、． （1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式． ［模型应用］ （2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________． （3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球． 6．（2025·陕西·中考真题）某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部，左、右门洞，均呈抛物线型，水平横梁，的最高点到的距离，，关于所在直线对称．，，为框架，点，在上，点，分别在，上，，，．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知抛物线的函数表达式为，，求的长． 7．（2025·四川攀枝花·中考真题）跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用． 【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间、运动快慢、运动路程的数据． 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 … 运动快慢 12 10 8 6 4 2 … 运动路程 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】 【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：与之间的关系可以近似地用______________函数表示，与之间的关系可以近似地用______________函数表示．（选填：一次、二次、反比例） 【检验】根据猜想求出与与之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证． 【应用】当弹珠到达水平轨道上点时，前方点处有一辆电动小车以的速度在匀速向前直线运动，若弹珠能追上小车，那么的最大值是多少？ 8．（2025·上海·二模）某企业在2024年1-4月的净利润见下表．经调查后发现，企业的利润数是经过月数的二次函数．（注：净利润数单位为万元；初始宣发资金可单独计算入总利润） XX企业2024年1-4月净利润表 经过月数（x） 1 2 3 4 净利润数（y） -9 -16 -24 (1)求y关于x的函数解析式（无需写定义域）； (2)补全表中的空格处并填空：本公司1-4月平均每月亏损________万元；通过技术改革，到2024年________月起，公司当月不再亏损；理论上到2025年的________月份公司可以把之前的亏损全部赚回来； (3)新年伊始，为使创新产品销量增加，政府决定资助此企业宣发资金，从2025年初启动宣发程序．已知从2025年1月起初始宣发资金是上表亏损的金额的20％，每月使用k万元进行宣发，如初始宣发资金用完，用去金额将从净利润中扣除．若因宣发每月净利润数提升k％，请直接写出k取不同值时由2024年初至2025年第一季度末的总盈亏情况．（计算时保留一位小数） 9．（2025·吉林·中考真题）如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿边以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动．当点P出发后，以为边作正方形，使点D和点B始终在边同侧．设点P的运动时间为，正方形与重叠部分图形的面积为y（平方单位）． (1)的长为_______． (2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． (3)当正方形的对称中心与点B重合时，直接写出x的值． 10．（2025·山东德州·中考真题）综合与实践 【活动背景】 数学活动课上，老师提供了如下素材： 某窗户生产厂家要用一根长为的铝合金型材制作一个“日”字形窗户框架（如图），要求恰好用完整条铝合金型材（接缝及型材宽度忽略不计）． 【活动任务】 结合素材信息，运用所学数学知识，给出合理的窗户框架设计方案． 【方案一】 甲学习小组从美观角度出发，计划把窗户框架长宽之比设计为接近黄金分割比的．请帮助甲学习小组求出此时窗户框架的宽． 【方案二】 乙学习小组从实用角度出发，计划把窗户面积设计得尽可能大，从而使采光效果更好．请帮助乙学习小组求出窗户的最大面积． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $