专题07 二次函数与一元一次方程8大题型（专项训练）数学冀教版九年级下册

专题07 二次函数与一元一次方程8大题型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、求抛物线与x轴的交点坐标 1 题型二、求抛物线与y轴的交点坐标 6 题型三、已知二次函数的函数值求自变量的值 11 题型四、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 17 题型五、求x轴与抛物线的截线长 20 题型六、图象法解一元二次不等式 25 题型七、利用不等式求自变量或函数值的范围 29 题型八、图象法确定一元二次方程的近似根 30 B综合攻坚・能力跃升 题型一、求抛物线与x轴的交点坐标 1．已知抛物线的对称轴为直线，与轴的交点位于轴下方，且时，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故A选项中原结论错误，不符合题意； ∵抛物线与轴的交点位于轴下方， ∴当时，， ∵当时，， ∴抛物线与轴的一个交点一定在直线和轴之间， ∴抛物线与轴的另一个交点一定在直线和直线之间， ∴抛物线与轴有两个不同的交点， ∴关于的一元二次方程有两个不相同的实数根， ∴，故B选项中原结论错误，不符合题意； ∵当时，，且当时，， ∴抛物线开口向上， ∵抛物线与轴的另一个交点一定在直线和直线之间， ∴当时，， ∴，即，故D选项中原结论正确，符合题意； 当时，， ∵抛物线与轴的一个交点一定在直线和轴之间， ∴当时，的符号不确定，即的符号不确定， ∴不一定成立，故C选项不正确，不符合题意； 故选：D． 2．抛物线与轴交于点，与轴交于点，，则线段长是 ． 【答案】4 【详解】解： 抛物线 与 轴交于点 ， 把点 的坐标代入 ， 可得： ， 抛物线解析式为 ， 令 ， 可得方程： ， 因式分解得：， 解得：，， 抛物线与 轴交于点 和 ， 点 和点 均在 轴上， 线段 的长度为 ． 故答案为： 4． 3．如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为 ． 【答案】 【详解】解：由题意，， 得， 将代入， 得：， 解得：， ∴， 令，得， 解得：，， ∴为， 故答案为：． 4．如图，点在抛物线（为常数）上．抛物线与轴的交点为点，点（点在点的左侧），在抛物线上，已知点，其中． (1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标； (2)当时，求点的坐标； (3)当抛物线在点和点之间的部分（包括端点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值； (4)当点在轴上方时，过点作轴于点，连接．若四边形的边和抛物线有两个交点（不包括四边形的顶点），设这两个交点分别为点、点，线段的中点为．当以点（或以点）为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半时，直接写出所有满足条件的的值． 【答案】(1)抛物线的解析式为， (2) (3)或 (4)或或 【详解】（1）解：将代入中，得 ， 解得． 抛物线的解析式为． 顶点坐标为． （2）解：在，当时，， 解得：． ∵在抛物线上，已知点，其中． ∴， ∴点M得坐标为， ， ∴， ∴点的坐标为； （3）解：由（2）可得点，， ∵， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴点一定在对称轴右侧， 当，即时，抛物线在点和点之间的部分（包括端点）的最高点为抛物线的顶点，最低点为点C， ∴， 解得； ． 当，即时，最高点为顶点，最低点为点． 依题意，， 解得：或（舍去）． 综上所述，或． （4）解：在轴的上方， ，且， ． 在中，当时，， ∴， ∵轴于点， ∴， 以点为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半，线段的中点为， ； 情况一：当是的中点，如图1，则， ，， ∴， ， 把代入中得． 解得（舍去），； 情况二：当为的中点时，如图2， 同理可证明此时，则，即此时点F是抛物线与x轴的一个交点（对称轴左侧）， ， 解得； 情况三：如图3，设， P为线段的中点， ， 以点为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半， ， 即， ， ， ． ∵轴， ∴关于直线对称， ， 解得：， 综上所述，或或． 题型二、求抛物线与y轴的交点坐标 5．关于的二次函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对于函数， 当时，可得， ∵， ∴，即该函数图像与轴交于正半轴， ∵， ∴该函数图像的顶点坐标为， 又∵， ∴该函数图像的开口向上，顶点坐标在第四象限， ∴选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意． 故选：C． 6．二次函数的图象与坐标轴的交点个数是 个． 【答案】3 【详解】解：∵， ∴二次函数的图象与x轴有2个交点， 当时，， ∴函数图象与y轴交于点， ∴图象与坐标轴的交点个数是3． 故答案为：3 7．将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度后，所得到新的抛物线与轴的交点坐标为 ． 【答案】 【详解】解：抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度后的解析式为， 当时，， ∴平移后的解析式与轴的交点坐标为， 故答案为： ． 8．如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，． (1)点的坐标是 ，点的坐标是 ． (2)点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作的平行线交线段于点． ①试探究：在直线上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； ②设抛物线的对称轴与直线交于点，与直线交于点．当时，请求出的长． 【答案】(1)； (2)①存在，点的坐标为或；② 【详解】（1）解：当时，，解得：，， ∵点在点的左侧 ∴，， 当时，，即． 故答案为：，． （2）解：①存在，理由如下： ∵，， ∴直线的函数表达式为， 设点的坐标为，其中， ∵，， ∴，，， ∵， ∴当时，以点，，，为顶点的四边形为平行四边形， 分两种情况： 如图，当时，四边形为菱形， ∴， ∴，解得：，（舍去）， ∴点的坐标为， ∵点向左移动2个单位长度，向下移动6个单位长度得到点， ∴点的坐标为； 如图，当时，四边形为菱形， ∴， ∴，解得：，（舍去）， ∴点的坐标为， ∵点向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点， ∴点的坐标为； 综上，存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，点的坐标为或； ②设点的坐标为，其中， ②设抛物线的对称轴与直线交于点，与直线交于点．当时，请求出的长． ∵，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵，， ∴直线的函数表达式为； ∵直线， ∴设直线的解析式为， ∵点的坐标， ∴， ∴ ∴， ∵抛物线的对称轴与直线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴，整理得：，解得：，（不符合题意，舍去）， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为， ∴． 题型三、已知二次函数的函数值求自变量的值 9．已知关于x的方程的一个根比1大且另一个根比1小，则a的取值范围正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设， ∵， ∴抛物线开口向上， ∵关于x的方程的一个根比1大且另一个根比1小， ∴当时，函数值， ∴， 对于一元二次方程，解得，， ∴， 故选：A． 10．已知二次函数，当自变量x取m时，对应的函数值小于0，当自变量x取时，对应的函数值为，则满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：令，解得， ∵当自变量x取m时，对应的函数值小于， ， ， ， 故选：B． 11．对于任意函数，定义当时，若函数值，称为此函数的不动点．例如函数，当时，则点为此函数的不动点．则二次函数的不动点为 ． 【答案】或 【详解】解：根据题意得：当时，若函数值，称为此函数的不动点， 即， ∴ ，整理得：， 解得：或， ∴二次函数的不动点为或， 故答案为：或． 12． 定义  平面直角坐标系中，抛物线的顶点和图像上两点、组成一个等腰直角三角形，且直线平行于轴，那么称为抛物线的“特征三角形”，线段的长称为抛物线的“特征值”． 根据定义完成下列问题． (1)已知平面直角坐标系中，抛物线的顶点是点，且经过点． ①求抛物线的表达式，并求“特征三角形”的面积（在的左侧）． ②若抛物线的顶点为点，其“特征三角形”另外两个顶点为、（在的左侧），若以点、、、组成的四边形是正方形，求抛物线的表达式． (2)现对定义提出以下命题： 命题一 若两抛物线二次项系数绝对值相同，它们的“特征值”一定相等． 命题二 若两抛物线二次项系数比设为，它们的“特征值”比值一定为． 以上命题中，成立的是 （填写命题序号），尝试通过举例证明你的选择． 【答案】(1)①，的“特征三角形”的面积为；②或或或 (2)一，二；证明见解析 【详解】（1）解：（1）①∵抛物线的顶点是点，且经过点， 设抛物线的表达式为， ∴， 解得：， ∴， 即抛物线的表达式为， 如图，设直线与抛物线：交于点，（在的左侧）， ∴轴， 联立，解得：或， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 又∵轴， ∴称为抛物线的“特征三角形”， 此时， ∴抛物线的表达式为，“特征三角形”的面积为； ②由①知：轴， ∵以点、、、组成的四边形是正方形（在的左侧）， ∴，， 如图， 当在下方时，则，， 当在上方时， ∵为的“特征三角形”（在的左侧）， ∴， 设的表达式为，过点， ∴，得：， ∴， 此时抛物线的表达式为； 当在下方时，， 设的表达式为，过点， ∴，得：， ∴， 此时抛物线的表达式为； 当在上方时，则，， 当在上方时，， 设的表达式为，过点， ∴，得：， ∴， 此时抛物线的表达式为； 当在下方时，， 设的表达式为，过点， ∴，得：， ∴， 此时抛物线的表达式为； 综上所述，抛物线的表达式为或或或； （2）解：命题一和命题二都成立， 故答案为：一，二； 证明： 命题一：设两抛物线的表达式为和， 它们的二次项系数分别和，且 即两抛物线二次项系数绝对值相同， 设抛物线的顶点为，则，设直线与抛物线交于点，（在的左侧），则轴，如下图， 联立，解得：或， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 又∵轴， ∴称为抛物线的“特征三角形”， “特征值”为； 设抛物线的顶点为，则，设直线与抛物线交于点，（在的左侧），则轴， 联立，解得：或， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 又∵轴， ∴称为抛物线的“特征三角形”， “特征值”为， ∴这两个抛物线的“特征值”相等， ∴若两抛物线二次项系数绝对值相同，它们的“特征值”一定相等； 命题二：设两抛物线的表达式为和， 它们的二次项系数分别和，比值为， 设抛物线的顶点为，则，设直线与抛物线交于点，（在的左侧），则轴，如上图， 联立，解得：或， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 又∵轴， ∴称为抛物线的“特征三角形”， “特征值”为； 设抛物线的顶点为，则，设直线与抛物线交于点，（左的左侧），则轴， 联立，解得：或， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 又∵轴， ∴称为抛物线的“特征三角形”， “特征值”为， ∴， ∴若两抛物线二次项系数绝对值相同，它们的“特征值”一定相等； 和，命题一的证明可以基于第（1）②小题） ∴若两抛物线二次项系数比设为，它们的“特征值”比值一定为． 题型四、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 13．抛物线（a，b，c为常数，）经过点，顶点为，下列正确的是（    ）． A． B．若点，在抛物线上，则 C． D．关于x的方程无实数解 【答案】D 【详解】解：A、∵抛物线（a，b，c为常数，）经过点， ∴方程有解， ∴， ∵， ∴，故选项A错误，不符合题意； B、∵抛物线的顶点为， ∴对称轴为直线， ∵点，在抛物线上， ∴点，关于直线对称， ∴， ∴，故选项B错误，不符合题意； C、∵抛物线的顶点为，， ∴， 当时，， ∴，故选项C错误，不符合题意； D、∵抛物线的顶点为，， ∴抛物线与直线没有交点， ∴关于x的方程无实数解，故选项D正确，符合题意． 故选：D． 14．已知二次函数的图象与x轴的交点坐标为，，有下列结论：①；②若点，，均在该二次函数的图象上，则；③若方程的两个实数根为，且，则；④若m为任意实数，则．其中正确结论的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：二次函数与轴交点为和， 设表达式为：， ∵， ∴， ∴，故结论①正确． 对称轴为直线，开口向上，函数值随离对称轴距离增大而增大： 到对称轴距离为3，3到对称轴距离为1，6到对称轴距离为4， ∴，结论②正确． 方程的解是对应函数向下平移1个单位后的图象与轴交点的横坐标， 原函数在和处与轴相交，平移后交点必在原交点外侧，即且．结论③正确． 二次函数最小值在顶点处取得：， 若m为任意实数，则，即．结论④错误． 故选：C． 15．二次函数（，a，b，c为常数）的图象如图所示，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：由图可知，当时，与有交点， 所以若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是． 故答案为：． 16．已知二次函数部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： x … 0 1 2 3 … y … 0 3 4 a 0 … (1)请在平面直角坐标系中根据以上数据进行描点、连线，画二次函数图象； (2)请写顶点坐标：________， _______ (3)当时，写出方程的解． 【答案】(1)见解析 (2)， (3) 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：∵当和时，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当时，， ∴顶点坐标为， ∵当和时，函数值相等， ∴， 故答案为：，； （3）解：根据图象的顶点坐标为，可知二次函数方程的解为． 题型五、求x轴与抛物线的截线长 17．设二次函数 的图像与一次函数 的图像交于点 ，若函数 的图像与 轴仅有一个交点，则 的值是（    ） A．6 B．8 C． D．7 【答案】A 【分析】此题主要考查了抛物线与轴的交点问题，以及曲线上点的坐标与方程的关系，要 【详解】解：一次函数的图象经过点， ，解得：， 当时，，， 当时，， ∵函数 的图像与 轴仅有一个交点， 的图象与轴的交点为， ∴ 又∵， ∴ ， ∴，解得： ∴， 故选：A． 18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点与轴平行的直线交抛物线于点、，则的长为 ． 【答案】 【详解】∵抛物线与y轴交于点， 当时， ∴点坐标为． 当时，，解得， ∴， ∴． 故答案为：． 19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与x轴相交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴相交于点 (1)求线段的长； (2)当为等腰三角形时，求的面积； (3)过点A的直线：与抛物线在第一象限相交于点M，过点M的直线：与抛物线有唯一公共点，与x轴正半轴相交于点当时，k与a之间是否存在某种数量关系？若存在，求出这个数量关系；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)6 (2)或 (3)存在，， 【详解】（1）解：令，则或， 则点A、B的坐标分别为：、， 则； （2）解：由抛物线的表达式知，点， 当为等腰三角形时，存在或两种情况， 当时，， 则， 解得：（正值已舍去）． 当时，， 则， 解得：（正值已舍去）， 而， 当时，． 当时，． ∴的面积为或． （3）解：，理由： 直线过点A，则直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：或， 即点M的横坐标为， ， 则点M在的中垂线上且和关于该中垂线对称， 由中点坐标公式得，点，直线表达式中的值为， 则直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 则， 整理得：， 即． 20．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时， ①求抛物线的顶点坐标． ②将抛物线向下平移个单位，若平移后的抛物线过点，且与轴两交点之间的距离为6，求的值． (2)已知点，在抛物线上，且，求的取值范围． 【答案】(1)①；②， (2) 【详解】（1）解：①∵， ∴ ∴抛物线的顶点坐标为， ②∵将抛物线向下平移个单位， ∴平移后抛物线解析式为， 把代入，得， ∴ ∴ 设平移后的抛物线与轴两交点横坐标为，， 则，， ∴ ∴ ∵平移后的抛物线与轴两交点之间的距离为6， ∴ ∴ ∴ 解得： 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ∴． （2）解：把，代入，得 ， ∵， ∴， ∴， 把代入，得 ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型六、图象法解一元二次不等式 21．如图是抛物线图象的一部分，其顶点坐标为，与x轴的一个交点为，直线与抛物线交于A，B两点，下列结论：①；②；③抛物线与x轴的另一个交点是；④不等式的解集为；⑤方程有两个相等的实数根；其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线交轴于负半轴， ∴， ∵对称轴在轴右边， ∴， ∴， ∴，故错误， ∵顶点坐标为， ∴， ∴，故②正确； ∵，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点是，故错误， 由题意：图象与直线交于，两点， ∴当时，即不等式的解集为，故④正确， ∵抛物线 图象与直线只有一个交点， ∴方程有两个相等的实数根，故⑤正确， 故选C． 22．已知两个不相等的实数a，b满足不等式，若，令，则S的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 令， ∴结合二次函数图象可解得：， ∵， ∴， 故选：B． 23．已知二次函数与x轴的一个交点为，其对称轴为直线，其部分图象如图所示，有下列5个结论：①，②；③；④若关于x的方程有两个实数根，，且满足则；⑤直线经过点，则关于x的不等式的解集是．其中正确结论的个数为 ． 【答案】4 【详解】解：由题意知，图象开口向下，即， 对称轴为直线，则， ∴， 当时，， ∴，①正确，故符合要求； 图象与轴有两个交点，则有两个不相等的实数根，即，②错误，故不符合要求； 将代入得，，③正确，故符合要求； 由题意知，关于对称轴对称的点坐标为， ∵关于x的方程的两个实数根，为图象交点的横坐标，如图1， 由图象可知，，；④正确，故符合要求； ∵， ∴过点，如图2， ∴关于x的不等式，即的解集为，⑤正确，故符合要求； ∴正确结论的个数为4个， 故答案为：4． 24．根据下列要求，解答相关问题． (1)请补全以下求不等式的解集过程： ①构造函数，画出图象，根据不等式特征构造二次函数，并在下面的坐标系中（见图①）画出二次函数的大致图象（只画出图象即可） ②求得界点，标示所需：当时，求得方程的解为 ； ③借助图象，写出解集：由所标示图象，可得不等式的解集为 ． (2)利用（1）中求不等式解集的步骤，求不等式的解集： ①构造函数，画出图象； ②求得界点，标示所需； ③借助图象，写出解集． (3)参照以上两个求不等式解集的过程，借助一元二次方程的求根公式，直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1)①见解析；②，；③或 (2)①见解析；②，；③ (3)见解析 【详解】（1）解：①， 则该抛物线与x轴交点的坐标分别是，，且抛物线开口方向向下， 所以其大致图象如图①所示： ②由①知，方程的解为，； ③根据图示知，不等式的解集为或． 故答案为：，；或； （2）解：①构造函数，画出图象，如图②所示； ②当时，方程的解为：，； ③由图（2）知，不等式的解集是：； （3）解：当时，关于x的不等式的解集是或； 当时，关于x的不等式的解集是； 当时，关于x的不等式的解集是全体实数． 题型七、利用不等式求自变量或函数值的范围 25．对于二次函数．有下列四个结论：①它的对称轴是直线；②设，，则当时，有；③它的图象与轴的两个交点是和；④当时，．其中正确的结论的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ∴它的对称轴是直线，故①正确； ∵对称轴两侧的增减性不一样， ∴设，则当时，有，故②错误； 当，则，解得：，故它的图象与x轴的两个交点是和，故③正确； ∵， ∴抛物线开口向下， ∵它的图象与x轴的两个交点是和， ∴当时，，故④正确． ∴正确的结论的个数为3， 故选：C． 26．已知二次函数的图象与x轴有两交点，当且该函数图象与轴两交点的横坐标，满足：，时，则的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【详解】解：当时，，即二次函数开口向上， ∵， ∴当时，；当时，， ∴，解得：， ∵， ∴当时，；时，， ∴，解得：， ∴． 故选：B． 27．已知函数的图象如图所示，与轴交于，且．下列结论： ①； ②若，两点均在此函数图象上，则； ③关于的一元二次方程有两个不相等的实数根； ④． 其中正确结论有 （只需填写正确结论的序号） 【答案】①②④ 【详解】解：根据函数图象可得， ∴方程的两个根为和， 又∵当时，， 设，当时，， ∴，， ∴， 又∵，即， ∴， ∴，故①正确； ∵的函数图象的对称轴为直线， 又，关于直线对称， ∴若，两点均在此函数图象上，则，故②正确； 如图 与无交点， ∴关于的一元二次方程无实数根，故③不正确； ∵方程的两个根为和， ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴，故④正确， 故答案为：①②④． 28．如图，已知二次函数的图象经过两点与，且与轴相交于、两点，其顶点为． (1)求点的坐标； (2)求的面积； (3)在二次函数图象上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)把二次函数图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变．得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象有两个公共点时，的取值范围是什么？ 【答案】(1) (2) (3)存在，或 (4) 【详解】（1）解：∵点与在二次函数的图象上， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∴ ∴ ； （2）解：当时，则， 解得，， ，， ， ∴； （3）解：设点的坐标为，当点在轴的上方时， ∴， 解得：，， ∴或， 当点在轴的下方时的点不存在． ∴或； （4）解：如图，当直线经过点时， ∴， ， 当直线经过点时， ∴， ， 由图象得：． 题型八、图象法确定一元二次方程的近似根 29．已知二次函数中部分和的值如下表所示： 则方程的一个较大的根的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由表格数据可得： ∵函数的对称轴为直线， 当时，；当时，； ∴的较小的根的范围为， ∴的较大的根的范围是． 故选：C． 30．如图是抛物线的图象，结合图象，可知方程有 个实数根． 【答案】3 【详解】解：在同一平面直角坐标系中作出与的图象，结合图像可得有三个交点， ∴方程有3个实数根． 故答案为：3． 31．如图，菱形中，，，点为对角线上一动点，过点作于点，连接．若，，，当点与点，重合时，．下表给出了，，的一些数据（近似值精确到0.01） (1)补全表格； (2)在同一平面直角坐标系中描出了部分点，．请补全表格中数据的对应点，并分别画出与关于的函数图象； (3)结合函数图象，解决下列问题：（结果均精确到0.1） ①当时，的值约为_________； ②过点作于点，当时，的长度约为_________． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①；②或 【详解】（1）解：当时，点与点重合，，如图， 四边形为菱形， ，， ， ， ． 故答案为：； （2）在同一平面直角坐标系中描出了部分点，，得到与关于的函数图象，如图， （3）①当时，即：， 作出函数的图象，如图， 观察图象可知：直线与函数的图象交点的横坐标约为， 由的图象可知：当时，的值约为． 故答案为：； ②过点作于点，则， ， ， 此时， 观察图象可知：与的图象的交点的横坐标为或， 或， 即的长度约为或． 故答案为：或． 1．（2025·山东青岛·中考真题）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（   ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 【答案】C 【详解】解：A选项，二次函数， 令，解得， ∴原二次函数与轴的交点坐标为， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标是，A选项错误； B选项，二次函数， 对称轴为， 将代入函数解析式可得， ∴原二次函数顶点坐标为， 翻折后新函数图象的对称轴不变，为， 在处，函数没有最大值，B选项错误； C选项，二次函数， 令，则有， 即，解得，， ∴原二次函数与轴的交点坐标为，， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标不变，为，， ∴图象与轴两个交点之间的距离为，C选项正确； D选项，新函数图象的对称轴为， 由图象可知，函数在时，的值随值的增大而减小， 当时，的值随值的增大而增大，D选项错误． 故选：C ． 2．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论： ①；②方程没有实数根；③； ④． 其中错误的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：二次函数与轴交于点、，图象开口向上， ∴对称轴直线为，， ∴， 当时，， ∴，即， ∴， ∴，故①正确； 图象开口向上，对称轴直线为， ∴当时，函数有最小值，最小值轴的下方， ∴抛物线与直线两个不同的交点， ∴方程有两个不相等的实数根，故②错误； ∵二次函数与轴交于点，其中， ∴当，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，，故③正确； 当时，函数有最小值，最小值为，， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，错误的有②， ∴错误的有1个， 故选：A ． 3．（2025·四川德阳·中考真题）已知抛物线（a，b，c是常数，）过点，且，该抛物线与直线（k，c是常数，）相交于两点（点A在点B左侧）．下列说法：①；②；③点是点A关于直线的对称点，则；④当时，不等式的解集为．其中正确的结论个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：∵抛物线过点和（）， ∴设抛物线为， ∴， ∴，， ∵且， ∴，， ∴，结论①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，结论②错误； 由题意，第一种情况，若， ∵对称轴直线， ∴对称点的横坐标为， ∴两点间的横向距离为， ∵， ∴，即， 第二种情况，若， ∵该抛物线与直线（k，c是常数，）相交于两点（点A在点B左侧）如图，     ∴，故结论③不正确； 当时，方程的根为和， 即， ∵， ∴不等式的解集为，结论④正确． 综上，正确结论为①④，共2个， 故选：B． 4．（2025·山东·中考真题）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（   ）    A．当时，随的增大而减小 B．当时，有最大值 C．当时， D．当时， 【答案】B 【详解】解：A．当时，随的增大先增大、后减小，即A选项错误，不符合题意； B．由函数图象可知：抛物线的对称轴为，即当时，有最大值，则B选项正确，符合题意； C．由函数图象可知：当时，，即C选项错误，不符合题意； D．当时，由图象知，对应的值有两个，即D选项错误，不符合题意． 故选B． 5．（2025·江苏徐州·中考真题）如图为二次函数的图象，下列代数式的值为负数的是 （写出所有正确结果的序号）． ①a；②；③c；④；⑤． 【答案】①②⑤ 【详解】解：①∵抛物线开口向下， ∴，符合题意； ②∵抛物线的对称轴是直线，且， ∴， ∴， 符合题意； ③∵抛物线与轴的交点在轴的正半轴， ∴，不符合题意； ④∵图象与x轴有2个交点， ∴，不符合题意； ⑤∵时，， ∴，符合题意； 故答案为：①②⑤． 6．（2025·湖北武汉·中考真题）已知二次函数（为常数，且）．下列五个结论： ①该函数图象经过点； ②若，则当时，随的增大而减小； ③该函数图象与轴有两个不同的公共点； ④若，则关于的方程有一个根大于0且小于1； ⑤若，则关于的方程的正数根只有一个． 其中正确的是 （填写序号） 【答案】①②④⑤ 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴该函数图象经过点；故①正确； 当时，， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小；故②正确； ∵， ∴， ∴抛物线与轴有1个或2个交点，故③错误； 当时， ∵函数图象经过点， ∴的一个根为， ∴由根与系数的关系可知：方程的另一个根为， ∵， ∴，即：关于的方程有一个根大于0且小于1；故④正确； ∵， ∴当时，， 由④可知，当时，抛物线与轴的两个交点分别为，且， ∴抛物线的开口向上，对称轴在轴的左侧， ∴当时，抛物线与直线有两个交点，一个在第一象限，一个在第二象限， 故有一个正根， 当时，抛物线与直线有两个交点，一个为，一个在对称轴的左侧，即在第三象限， 故，则关于的方程的正数根只有一个；故⑤正确； 故答案为：①②④⑤． 7．（2025·江苏淮安·中考真题）已知二次函数（m为常数）． (1)若点在该函数图像上，则 ； (2)证明：该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点； (3)若该函数图像上有两个点、，当时，直接写出p的取值范围． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)或 【详解】（1）解：将代入，得：， 解得， 故答案为：2； （2）解：， ， ， ， 该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点； （3）解：的对称轴为直线， 二次项系数， 二次函数图像开口向上， ， 点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ， 即， 或． 8．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点． (1)若点为该二次函数的顶点， 求二次函数的表达式； 求线段长度的最大值； (2)若该二次函数与轴的一个交点为，且，求的取值范围． 【答案】(1)，； (2)． 【详解】（1）解：∵为二次函数的顶点， ∴， 解得， ∴二次函数表达式为； 因为正比例函数经过点， ∴， ∴， ∴正比例函数表达式为， 设，则，， ∴ ， ∴当时，线段的长度取得最大值； （2）解：∵二次函数经过点， ∴，即， 令， 解得，， ∵二次函数与轴的一个交点为，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴的取值范围是． 9．（2025·江苏宿迁·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，到两个坐标轴的距离都小于或等于的点叫“阶近轴点”，所有的“阶近轴点”组成的图形记为图形．如图所示，所有的“1阶近轴点”组成的图形是以坐标原点为中心，2为边长的正方形区域． (1)下列函数图像上存在“1阶近轴点”的是___________； ①；②；③． (2)若一次函数的图像上存在“3阶近轴点”，求实数的取值范围； (3)特别地，当点在图形上，且横坐标是纵坐标的倍时，称点是图形的“阶完美点”，若二次函数的图像上有且只有一个“2阶完美点”，求实数的取值范围． 【答案】(1)① (2) (3)或 【详解】（1）解：经过点，点是“1阶近轴点”，故①符合题意； 设存在“1阶近轴点”，设此点的坐标为， 由题意得，， ∴不等式组无解， ∴图像上不存在“1阶近轴点”，故②不符合题意； ∵， ∴函数的最小值为2， ∴函数图像上的点到轴的距离大于等于2， ∴函数不存在“1阶近轴点”，故③不符合题意； ∴函数图像上存在“1阶近轴点”的是①； 故答案为：①； （2）解：设一次函数的图像上“3阶近轴点”的坐标为， 由题意得，， 解得：， ∵一次函数的图像上存在“3阶近轴点”， ∴关于的不等式组有解， ∴或或， 解得：或或，即， ∴实数的取值范围为； （3）解：设“2阶完美点”的坐标为， 由题意得，， ∴“2阶完美点”在函数上， ∵二次函数的图像上有且只有一个“2阶完美点”， ∴函数与函数只有一个交点， 令，整理得， 设函数，则函数与轴的交点的横坐标有且只有一个满足， 当时，， 若函数与轴有2个交点，则当时，有， ∴， 解得：； 若函数与轴只有1个交点，则， 整理得：， 解得：或， 当时，则与轴的交点的横坐标为， ∵， ∴符合题意； 当，则与轴的交点的横坐标为，不符合题意，舍去； 综上所述，实数的取值范围为或． 10．（2025·青海·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，点B的坐标为，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)①求点A的坐标； ②当时，根据图象直接写出x的取值范围________； (3)连接交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①，② (3)存在，， 【详解】（1）解：将、代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①令，则， 解得或， ∴点A的坐标为； ②根据图象可知，当时，x的取值范围为， 故答案为：； （3）解：设点P的坐标为， ∵，， ∴，，， ∵是以为直角边的直角三角形， ∴分以下两种情况讨论： 当为斜边时，则， ∴， 解得， ∴； 当为斜边时，则， ∴， 解得， ∴． 综上所述，存在符合条件的P点，，． 11．（2025·河北·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，顶点为．抛物线经过点．两条抛物线在第一象限内的部分分别记为，． (1)求，的值及点的坐标． (2)点在上，到轴的距离为．判断能否经过点，若能，求的值；若不能，请说明理由． (3)直线交于点，点在线段上，且点的横坐标是点横坐标的一半． ①若点与点重合，点恰好落在上，求的值； ②若点为直线与的唯一公共点，请直接写出的值． 【答案】(1)， (2)不能，理由见解析 (3)①；② 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，顶点为 ∴ 解得：， ∴， ∴； （2）∵点在（第一象限）上，到轴的距离为．则 ∴当时， 解得：或 ∴或 ∵抛物线经过点，对称轴为直线 ∴经过点和 ∴不能经过点, （3）①∵， 当重合时，则 ∵是的中点， ∴, ∵点恰好落在上，经过点 ∴ 解得：； ②∵直线交于点，， ∴， ∴直线的解析式为， ∵经过点， ∴， ∴， ∴ 联立 消去得， ∴，则 ∵点的横坐标是点横坐标的一半． ∴即， 将代入， ∴①， 整理，得， ， 由， 则， 整理得，， 则或， ∵点为直线与的唯一公共点， ∴② 则或， 当时，代入②解得， 或， 当时，交点不在公共点不在第一象限，不符合题意， ∴． 当时，代入②解得，不符合题意， 故 12．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象（记为）与轴交于点，，与轴交于点，二次函数的图象（记为）经过点，．直线与两个图象，分别交于点，，与轴交于点． (1)求，的值． (2)当点在线段上时，求的最大值． (3)设点，到直线的距离分别为，．当时，对应的值有______个；当时，对应的值有______个；当时，对应的值有______个；当时，对应的值有______个． 【答案】(1)， (2) (3)2，0，4，无数 【详解】（1）解：对于二次函数，当时，， 解得：， ∴， 当时，， ∴， ∵二次函数的图象（记为）经过点， ∴， 解得： ∴，； （2）解：∵，， ∴二次函数解析式为， ∵直线与轴垂直， ∴，， ∴， 整理得：， ∵， ∴当时，取得最大值为； （3）解：如图，过点作于点，过点作于点，即直线与直线交于点， ∵， 设直线表达式为：， 代入点， 则， 解得：， ∴直线表达式为， ∴， ∴，， ∵， ∴，而， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∵，， ∴均为等腰直角三角形， ∴， 即， 同理可得， ∴当时，， 整理得：， ∴或， 对于，； 对于，， ∴当时，对应的t值有2个； 当时，，方程无解， ∴对应的t值有0个； 当时， 整理得：， ∴或， 对于方程，， 对于方程，， ∴当时，对应的t值有4个； 当时， ∵，， ∴始终成立， ∴当且时，始终成立， ∴当时，对应的t值有无数个， 故答案为：2，0，4，无数． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 二次函数与一元一次方程8大题型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、求抛物线与x轴的交点坐标 1 题型二、求抛物线与y轴的交点坐标 6 题型三、已知二次函数的函数值求自变量的值 11 题型四、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 17 题型五、求x轴与抛物线的截线长 20 题型六、图象法解一元二次不等式 25 题型七、利用不等式求自变量或函数值的范围 29 题型八、图象法确定一元二次方程的近似根 30 B综合攻坚・能力跃升 题型一、求抛物线与x轴的交点坐标 1．已知抛物线的对称轴为直线，与轴的交点位于轴下方，且时，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．抛物线与轴交于点，与轴交于点，，则线段长是 ． 3．如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为 ． 4．如图，点在抛物线（为常数）上．抛物线与轴的交点为点，点（点在点的左侧），在抛物线上，已知点，其中． (1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标； (2)当时，求点的坐标； (3)当抛物线在点和点之间的部分（包括端点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值； (4)当点在轴上方时，过点作轴于点，连接．若四边形的边和抛物线有两个交点（不包括四边形的顶点），设这两个交点分别为点、点，线段的中点为．当以点（或以点）为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半时，直接写出所有满足条件的的值． 题型二、求抛物线与y轴的交点坐标 5．关于的二次函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 6．二次函数的图象与坐标轴的交点个数是 个． 7．将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度后，所得到新的抛物线与轴的交点坐标为 ． 8．如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，． (1)点的坐标是 ，点的坐标是 ． (2)点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作的平行线交线段于点． ①试探究：在直线上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； ②设抛物线的对称轴与直线交于点，与直线交于点．当时，请求出的长． 题型三、已知二次函数的函数值求自变量的值 9．已知关于x的方程的一个根比1大且另一个根比1小，则a的取值范围正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知二次函数，当自变量x取m时，对应的函数值小于0，当自变量x取时，对应的函数值为，则满足（    ） A． B． C． D． 11．对于任意函数，定义当时，若函数值，称为此函数的不动点．例如函数，当时，则点为此函数的不动点．则二次函数的不动点为 ． 12． 定义  平面直角坐标系中，抛物线的顶点和图像上两点、组成一个等腰直角三角形，且直线平行于轴，那么称为抛物线的“特征三角形”，线段的长称为抛物线的“特征值”． 根据定义完成下列问题． (1)已知平面直角坐标系中，抛物线的顶点是点，且经过点． ①求抛物线的表达式，并求“特征三角形”的面积（在的左侧）． ②若抛物线的顶点为点，其“特征三角形”另外两个顶点为、（在的左侧），若以点、、、组成的四边形是正方形，求抛物线的表达式． (2)现对定义提出以下命题： 命题一 若两抛物线二次项系数绝对值相同，它们的“特征值”一定相等． 命题二 若两抛物线二次项系数比设为，它们的“特征值”比值一定为． 以上命题中，成立的是 （填写命题序号），尝试通过举例证明你的选择． 题型四、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 13．抛物线（a，b，c为常数，）经过点，顶点为，下列正确的是（    ）． A． B．若点，在抛物线上，则 C． D．关于x的方程无实数解 14．已知二次函数的图象与x轴的交点坐标为，，有下列结论：①；②若点，，均在该二次函数的图象上，则；③若方程的两个实数根为，且，则；④若m为任意实数，则．其中正确结论的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 15．二次函数（，a，b，c为常数）的图象如图所示，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 16．已知二次函数部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： x … 0 1 2 3 … y … 0 3 4 a 0 … (1)请在平面直角坐标系中根据以上数据进行描点、连线，画二次函数图象； (2)请写顶点坐标：________， _______ (3)当时，写出方程的解． 题型五、求x轴与抛物线的截线长 17．设二次函数 的图像与一次函数 的图像交于点 ，若函数 的图像与 轴仅有一个交点，则 的值是（    ） A．6 B．8 C． D．7 18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点与轴平行的直线交抛物线于点、，则的长为 ． 19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与x轴相交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴相交于点 (1)求线段的长； (2)当为等腰三角形时，求的面积； (3)过点A的直线：与抛物线在第一象限相交于点M，过点M的直线：与抛物线有唯一公共点，与x轴正半轴相交于点当时，k与a之间是否存在某种数量关系？若存在，求出这个数量关系；若不存在，请说明理由． 20．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时， ①求抛物线的顶点坐标． ②将抛物线向下平移个单位，若平移后的抛物线过点，且与轴两交点之间的距离为6，求的值． (2)已知点，在抛物线上，且，求的取值范围． 题型六、图象法解一元二次不等式 21．如图是抛物线图象的一部分，其顶点坐标为，与x轴的一个交点为，直线与抛物线交于A，B两点，下列结论：①；②；③抛物线与x轴的另一个交点是；④不等式的解集为；⑤方程有两个相等的实数根；其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 22．已知两个不相等的实数a，b满足不等式，若，令，则S的取值范围是（　　） A． B． C． D． 23．已知二次函数与x轴的一个交点为，其对称轴为直线，其部分图象如图所示，有下列5个结论：①，②；③；④若关于x的方程有两个实数根，，且满足则；⑤直线经过点，则关于x的不等式的解集是．其中正确结论的个数为 ． 24．根据下列要求，解答相关问题． (1)请补全以下求不等式的解集过程： ①构造函数，画出图象，根据不等式特征构造二次函数，并在下面的坐标系中（见图①）画出二次函数的大致图象（只画出图象即可） ②求得界点，标示所需：当时，求得方程的解为 ； ③借助图象，写出解集：由所标示图象，可得不等式的解集为 ． (2)利用（1）中求不等式解集的步骤，求不等式的解集： ①构造函数，画出图象； ②求得界点，标示所需； ③借助图象，写出解集． (3)参照以上两个求不等式解集的过程，借助一元二次方程的求根公式，直接写出关于x的不等式的解集． 题型七、利用不等式求自变量或函数值的范围 25．对于二次函数．有下列四个结论：①它的对称轴是直线；②设，，则当时，有；③它的图象与轴的两个交点是和；④当时，．其中正确的结论的个数为（　　） A． B． C． D． 26．已知二次函数的图象与x轴有两交点，当且该函数图象与轴两交点的横坐标，满足：，时，则的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 27．已知函数的图象如图所示，与轴交于，且．下列结论： ①； ②若，两点均在此函数图象上，则； ③关于的一元二次方程有两个不相等的实数根； ④． 其中正确结论有 （只需填写正确结论的序号） 28．如图，已知二次函数的图象经过两点与，且与轴相交于、两点，其顶点为． (1)求点的坐标； (2)求的面积； (3)在二次函数图象上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)把二次函数图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变．得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象有两个公共点时，的取值范围是什么？ 题型八、图象法确定一元二次方程的近似根 29．已知二次函数中部分和的值如下表所示： 则方程的一个较大的根的范围是（   ） A． B． C． D． 30．如图是抛物线的图象，结合图象，可知方程有 个实数根． 31．如图，菱形中，，，点为对角线上一动点，过点作于点，连接．若，，，当点与点，重合时，．下表给出了，，的一些数据（近似值精确到0.01） (1)补全表格； (2)在同一平面直角坐标系中描出了部分点，．请补全表格中数据的对应点，并分别画出与关于的函数图象； (3)结合函数图象，解决下列问题：（结果均精确到0.1） ①当时，的值约为_________； ②过点作于点，当时，的长度约为_________． 1．（2025·山东青岛·中考真题）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（   ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 2．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论： ①；②方程没有实数根；③； ④． 其中错误的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2025·四川德阳·中考真题）已知抛物线（a，b，c是常数，）过点，且，该抛物线与直线（k，c是常数，）相交于两点（点A在点B左侧）．下列说法：①；②；③点是点A关于直线的对称点，则；④当时，不等式的解集为．其中正确的结论个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2025·山东·中考真题）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（   ）    A．当时，随的增大而减小 B．当时，有最大值 C．当时， D．当时， 5．（2025·江苏徐州·中考真题）如图为二次函数的图象，下列代数式的值为负数的是 （写出所有正确结果的序号）． ①a；②；③c；④；⑤． 6．（2025·湖北武汉·中考真题）已知二次函数（为常数，且）．下列五个结论： ①该函数图象经过点； ②若，则当时，随的增大而减小； ③该函数图象与轴有两个不同的公共点； ④若，则关于的方程有一个根大于0且小于1； ⑤若，则关于的方程的正数根只有一个． 其中正确的是 （填写序号） 7．（2025·江苏淮安·中考真题）已知二次函数（m为常数）． (1)若点在该函数图像上，则 ； (2)证明：该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点； (3)若该函数图像上有两个点、，当时，直接写出p的取值范围． 8．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点． (1)若点为该二次函数的顶点， 求二次函数的表达式； 求线段长度的最大值； (2)若该二次函数与轴的一个交点为，且，求的取值范围． 9．（2025·江苏宿迁·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，到两个坐标轴的距离都小于或等于的点叫“阶近轴点”，所有的“阶近轴点”组成的图形记为图形．如图所示，所有的“1阶近轴点”组成的图形是以坐标原点为中心，2为边长的正方形区域． (1)下列函数图像上存在“1阶近轴点”的是___________； ①；②；③． (2)若一次函数的图像上存在“3阶近轴点”，求实数的取值范围； (3)特别地，当点在图形上，且横坐标是纵坐标的倍时，称点是图形的“阶完美点”，若二次函数的图像上有且只有一个“2阶完美点”，求实数的取值范围． 10．（2025·青海·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，点B的坐标为，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)①求点A的坐标； ②当时，根据图象直接写出x的取值范围________； (3)连接交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由． 11．（2025·河北·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，顶点为．抛物线经过点．两条抛物线在第一象限内的部分分别记为，． (1)求，的值及点的坐标． (2)点在上，到轴的距离为．判断能否经过点，若能，求的值；若不能，请说明理由． (3)直线交于点，点在线段上，且点的横坐标是点横坐标的一半． ①若点与点重合，点恰好落在上，求的值； ②若点为直线与的唯一公共点，请直接写出的值． 12．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象（记为）与轴交于点，，与轴交于点，二次函数的图象（记为）经过点，．直线与两个图象，分别交于点，，与轴交于点． (1)求，的值． (2)当点在线段上时，求的最大值． (3)设点，到直线的距离分别为，．当时，对应的值有______个；当时，对应的值有______个；当时，对应的值有______个；当时，对应的值有______个． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $