专题02 二次函数解析式精准求解3大题型（专项训练）数学冀教版九年级下册

专题02 二次函数解析式精准求解 目录 A题型建模・专项突破 题型一、根据二次函数的定义求参数 1 题型二、根据二次函数的对称性求函数值 6 题型三、待定系数法求二次函数解析式 17 B综合攻坚・能力跃升 题型一、根据二次函数的定义求参数 1．如果函数是二次函数，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D．m为全体实数 【答案】C 【详解】解：由题意得：， 解得． 故选：C． 2．在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，点，是该二次函数图象上的两点，其中，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．函数的最小值是 D．函数的最小值是 【答案】D 【详解】=(x+3)(x−1)， 则该抛物线与x轴的两交点横坐标分别是−3、1. 又=， ∴该抛物线的顶点坐标是(−1,−4)，对称轴为x=-1. A. 无法确定点A. B离对称轴x=−1的远近,故无法判断y与y的大小，故本选项错误； B. 无法确定点A. B离对称轴x=−1的远近,故无法判断y与y的大小，故本选项错误； C. y的最小值是−4，故本选项错误； D. y的最小值是−4，故本选项正确． 故选D. 3．如图，已知，，，与、均相切，点是线段与抛物线的交点，则的值为（    ） A．4 B． C． D．5 【答案】D 【详解】在Rt△AOB中，，， ∴； ∵，， ∴OC=6， ∴C（0，6）； ∵， ∴A（6，0）； 设直线AC的解析式为， ∴ ， 解得， ∴直线AC的解析式为； 设的半径为m， ∵与相切， ∴点P的横坐标为m， ∵点P在直线AC上， ∴P（m，-m+6）； 连接PB、PO、PA， ∵与、均相切， ∴△OBP边OB上的高为m，△AOB边AB上的高为m， ∵P（m，-m+6）； ∴△AOP边OA上的高为-m+6， ∵， ∴， 解得m=1， ∴P（1，5）； ∵抛物线过点P， ∴． 故选D． 4．（2025·上海虹口·一模）已知是二次函数，那么的值是 ． 【答案】 【详解】解：根据题意，得， ∴． 故答案为：． 5.如果关于x的函数是二次函数，则m＝ ． 【答案】1 【详解】解：由题意得：且， ∴且， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的一般形式为是解题的关键． 6．已知点在抛物线上，将此抛物线沿着y轴向上平移3个单位，点A随之平移到点的位置，那么点的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：点在抛物线上， ， ， 将此抛物线沿着y轴向上平移3个单位，点A随之平移到点的位置， 点也是沿着y轴向上平移3个单位， 即， 故答案为：． 7．若函数表示是的二次函数，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵函数表示是的二次函数， ∴，， 解得：， 故答案为：． 8．已知是二次函数，则实数 ． 【答案】 【详解】解：∵是二次函数， ∴且， 解得， 故答案为：． 9．（2025·江苏苏州·一模）定义：如果一个函数的图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该点称为这个函数图像的“倍值点”，例如，一次函数图像的“倍值点”为．若关于x的二次函数的图像上有唯一的“倍值点”，则 ． 【答案】 【详解】解：由题意可知，， 整理得，，有两个相等的根， ，且， 整理得，且， 解得：， 故答案为：． 10．已知函数是关于的二次函数，则m的值是 ． 【答案】 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 11．（浙江杭州·模拟预测）已知：二次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)设、、均在该函数图象上， ①当时，、、能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由； ②当取不小于5的任意实数时，、、一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由． 【答案】(1) (2)①当时，、、不能作为同一个三角形三边的长，理由见解析；②见解析 【详解】（1）解：把代入二次函数得：， ． （2）解：①答：当时，、、不能作为同一个三角形三边的长． 理由是当时，、、， 代入抛物线的解析式得：，，， ， 当时，、、不能作为同一个三角形三边的长． ②理由是：把、、代入得： ，，， ， ，，，都是大于的， ， ， 根据三角形的三边关系定理：三角形的任意两边之和大于第三边（也可求出两小边的和大于第三边）， 当取不小于5的任意实数时，、、一定能作为同一个三角形三边的长． 题型二、根据二次函数的对称性求函数值 1．如图，二次函数的图象交x轴于点和，交y轴于点C，图象的顶点为D．下列四个命题： 当时，；若，则；点C关于图象对称轴的对称点为E，点M为x轴上的一个动点，当时，周长的最小值为；图象上有两点和，若，且，则， 其中真命题的个数有（　 ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【详解】解：由图象知：当时，，故错误； ②抛物线的对称轴是直线 当时，，故错误； 作E关于x轴的对称点，连接如图所示： 当时，， 与E关于x轴对称， 的周长的最小值就是C、M、三点共线时取到为， 的周长的最小值为，故正确． 设关于对称轴的对称的数为 函数图象在时，y随x增大而减小， 正确． 故选C． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点，且与轴的正半轴交于点，点是该抛物线对称轴上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接、，，作于，于，如图，当时，，解得，，则， ， 则， ， ， 为等边三角形， ， ． 垂直平分， ， ． 当、、共线时，的值最小，最小值为的长， 在Rt△ABC中，， 即， 的最小值为． 故选：B． 3．如图，抛物线y=-x2+2x+1交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图， 在y=-x2+2x+1中，当x=0时，y=1，即点C（0，1）， ∵y=-x2+2x+1=-（x-1）2+2， ∴对称轴为x=1，顶点D（1，2）， 则点C关于对称轴的对称点E的坐标为（2，1）， 作点D关于y轴的对称点D′（-1，2），作点E关于x轴的对称点E′（2，-1）， 连接D′、E′，D′E′与x轴的交点G、与y轴的交点F即为使四边形EDFG的周长最小的点， 四边形EDFG的周长=DE+DF+FG+GE =DE+D′F+FG+GE′ =DE+D′E′ =， ∴四边形EDFG的周长的最小值为：． 故答案是：． 4．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，P是抛物线的对称轴上一动点，连接，，则当的值最小时，点P的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，连接， ∵抛物线与轴交于，两点， ∴点A和点B关于对称轴直线对称， ∴， ∴， ∴点A，P，C三点共线时，取得最小值，最小值为， ∵当时，，则 当时，， 解得：， ∴， 设的解析式为：， 则， 解得： 则的解析式为：， 令，则， 则， 故答案为： 5．如图，抛物线与x轴分别交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C，在其对称轴上有一动点M，连接MA、MC、AC，则当△MAC的周长最小时，点M的坐标是 ． 【答案】(2，)/ 【详解】解：点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接CB交函数对称轴于点M，则点M为所求点， 连接AC，由点的对称性知，MA=MB， △MAC的周长=AC+MA+MC=AC+MB+MC=CA+BC为最小， 令y=x2-x+5=0，解得x=1或x=3，令x=0，则y=5， 故点A、B、C的坐标分别为（1，0）、（3，0）、（0，5）， 则函数的对称轴为x=（1+3）=2， 设直线BC的表达式为y=kx+b，则 ，解得， 故直线BC的表达式为y=-x+5， 当x=2时，y=-x+5=， 故点M的坐标为（2，）． 故答案为： 6．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，点P是以点C（0，4）为圆心，1为半径的圆上的动点，点Q是线段PB的中点，连接OQ，则线段OQ的最小值是 _____． 【答案】2 【详解】解：连接AP． 当时， 解得， 则， ∵Q是线段PB的中点． ∴OQ为的中位线． ∴． 当AP最小时，OQ最小． 连接AC交圆于P时，PA最小． ∵． ∴AP的最小值：． ∴线段OQ的最小值：． 故答案为2． 7．如图，直线与y轴交于点A，直线与y轴交于点B，抛物线的顶点为C，且与x轴左交点为D（其中）． (1)当AB=12时，在抛物线的对称轴上求一点P使得△BOP的周长最小； (2)当点C在直线l上方时，求点C到直线l距离的最大值； (3)若把横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”．当m=2022时，求出在抛物线和直线a所围成的封闭图形的边界上的“整点”的个数． 【答案】(1)P（−3，3 ） (2)点C与l距离的最大值为1； (3)m＝2022时“整点”的个数为4046个． 【详解】（1）解：当x＝0时，y＝x＋m＝m， ∴B （0，m）， ∵AB＝12， ∵A（0，−m）， ∴m−（−m）＝12， ∴m＝6， ∴抛物线L的解析式为：y＝x2＋6x， ∴抛物线L的对称轴x＝−3， 又知O、D两点关于对称轴对称，则OP＝DP， ∴OB＋OP＋PB＝OB＋DP＋PB， ∴当B、P、D三共线时，△OBP周长最短，此时点P为直线a与对称轴的交点， 当x＝−3时，y＝x＋6＝3， ∴P（−3，3 ） （2）解：=(x＋)2−， ∴L的顶点C(−，−)， ∵点C在l上方， ∴C与l的距离＝−−(−m)＝− (m−2)2＋1≤1， ∴点C与l距离的最大值为1； （3）解：当m＝2021时，抛物线解析式L：y＝x2＋2022x，直线解析式a：y＝x＋2022， 联立上述两个解析式得方程组 ， 可得：x1＝−2022，x2＝1， ∴可知每一个整数x的值都对应的一个整数y值，且−2022和1之间（包括−2022和1）共有2024个整数； ∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线， ∴线段和抛物线上各有2024个整数点， ∴总计4048个点， ∵这两段图象交点有2个点重复， ∴整点”的个数：4048−2＝4046（个）； 故m＝2022时“整点”的个数为4046个． 8．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)直接写出点的坐标； (2)在图1中，用无刻度直尺作出点的对应点． (3)在图2中，用无刻度直尺在对称轴上作出点，使的值最小．求点的坐标和的最小值． 【答案】(1)； (2)详见解析； (3)作图见解析，，的最小值为 【详解】（1）解：点关于对称轴的对称点为点，对称轴是直线， 点为； （2）解：如图所示，连接交对称轴于点，连接交二次函数抛物线于点，点即为所求； （3）解：当时，， 点为， 如图所示，连接交对称轴于点，点即为所求，连接， 点为， ， 点关于对称轴的对称点为点， ， 当、、三点共线时，的值最小，最小值为的长， 设直线的解析式为， 将点、点代入得， 解得， 直线的解析式为， 点在抛物线的对称轴上， ， 则点，的最小值为． 9．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线．    (1)求抛物线解析式和点坐标； (2)在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标和的最小值； (3)第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点，依题意补全图形，当的值最大时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)， (3) 【详解】（1）解抛物线的对称轴是直线， ， ， 抛物线与轴交于，两点，点的坐标是，， 联立得，解得， 即该二次函数的解析式为， 令得，解得或， 点的坐标为． （2）如图，连接，线段与直线的交点就是所求作的点， 设直线的解析式为， 把和代入得，解得， 直线的解析式为， 当时，， ，在中，， 点，关于直线对称，， ．    （3）解：如图补全图形，由（1）得抛物线的解析式为，由（2）得，故设，则， ， 过点作，垂足为，则是等腰直角三角形， ， ， 当时，有最大值，此时点． 题型三、待定系数法求二次函数解析式 1．（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，五个点的坐标分别为．若抛物线经过上述五个点中的三个点，则满足题意的的值不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：抛物线)的对称轴为直线， 当三点在抛物线 上， ， 关于对称轴对称， 将代入得， 解得， 当时，得，， 点E在抛物线上， 故抛物线同时经过三点； 当三点在抛物线上 把代入得， 解得， 当时，， 在抛物线上， 故抛物线同时过 三点； 当三点在抛物线上， 把代入得， 解得， 把点代入， 在抛物线上， 抛物线同时过三点； 综上所述，抛物线能同时经过三个点有；；且a的值分别是． 的值不可能为Ｃ． 故选：C ． 2．（2025·广东·中考真题）已知二次函数的图象经过点，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：二次函数的图象经过点， ， 二次函数的图象不经过原点， ， 则， 若取，则， 该二次函数的表达式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 3．（2025·黑龙江大庆·中考真题）定义：若点，点都在同一函数图象上，则称点A和点为该函数的一组“奇对称点对”，记为．规定：与为同一组“奇对称点对”．例如：点和点都在一次函数的图象上，则点B和点为一次函数的一组“奇对称点对”，记为．下列说法正确的序号为 ． ①点，点，则点A和点为二次函数的一组“奇对称点对”；②反比例函数有无数组“奇对称点对”；③点，点，若为函数的一组“奇对称点对”，则，；④由函数在范围内的图象与函数在范围内的图象组成一个新的函数图象，将该图象所对应的函数记为w函数，其解析式可写为．若w函数有两组“奇对称点对”，则k的取值范围是． 【答案】①②④ 【详解】解：①将代入，得到； 将代入，得到； 可知点，点都在二次函数上， 那么点A和点为二次函数的一组“奇对称点对”；故①正确； ②当代入，得到， 当代入，可得， ，都在反比例函数上， ，为反比例函数的一组奇对称点对”， 可以取无数个不为0的数， 反比例函数有无数组“奇对称点对”；故②正确； ③点，点，为函数的一组“奇对称点对”， 点，点都在函数上， ， ， ③错误； ④不妨设和是w函数的一组“奇对称点对”，即和在w函数上， 假设在上，那么在上， 将代入，得到， ， ，该函数有两组“奇对称点对”， 当时，有两个不同的实数根， ，， ，（符合题意）， ； ④正确； 故答案为：①②④． 4．（2025·河南·中考真题）在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … 0 1 … … 1 … (1)求二次函数的表达式． (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)；见解析 (3)或 【详解】（1）解：把点代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：， ∴二次函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点为， 画出函数图象，如图， （3）解：根据题意得：平移后的抛物线解析式为， ∴平移后的抛物线的对称轴为直线， 当，即时， 最大值在，最小值在 ，差为： 当时，，当时，， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴ 解得故舍去 当，即时， 当平移后抛物线的对称轴在y轴和直线左侧时，此时最小值为， 当时，取得最大值，最大值为， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴， 解得：或（舍去）； 当，即时，此时最小值为，， 当时，取得最大值，最大值为， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴， 解得：或（舍去）， 当平移后抛物线对称轴在直线右侧时，，即， 最小值在，最大值在 ，差为： 当时，，当时，， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴ 解得故舍去 综上所述，n的值为或． 5．（2025·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于、两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，过点B的直线与抛物线的另一个交点为点D，点M为抛物线对称轴上的一点，连接，设点M的纵坐标为n，当时，求n的值； (3)如图2，点N是抛物线的顶点，点P是x轴上一动点，将顶点N绕点P旋转后刚好落在抛物线上的点H处，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴相交于、两点，与y轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：联立， 解得：， ∴， ∵， ∴对称轴为直线，顶点为， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴的值为； （3）解：由（2）得顶点，设， 由旋转得， 当时， 过点作轴的平行线，过点分别作平行线的垂线，垂足为点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 将点代入， 得， 整理得：， 解得：， ∴或； 当时，过点作轴的平行线，过点分别作平行线的垂线，垂足为点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 将点代入， 得， 整理得：， 解得：， 或， 综上所述：所有符合条件的点P的坐标为：或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，两点间距离公式等知识点，难度较大，解题的关键在于构造“三垂直”全等模型． 1．（2025·上海徐汇·一模）二次函数中m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，即， 故选：A． 2．（2025·浙江·一模）已知点在某函数图象上，则这个函数图象不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A、将代入反比例解析式，得， 将点代入，得，整理，，有实数解，故能满足条件． B、将代入反比例解析式，得， 将点代入，得，整理，，有实数解，故能满足条件． C、点的横坐标为a，纵坐标为，满足关系式，将图上代入一次函数解析式成立， 故能满足条件． D、设二次函数解析式为，将点代入解析式得：,代入得，整理，，无解，故不能满足条件． 故选：D． 3．（山东济南·模拟预测）若是二次函数，则的值等于（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【详解】解：是二次函数，则且 由可得或， 由可得，， 综上 故答案为：C 4．（广东云浮·一模）关于x的函数是二次函数的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵是二次函数， ∴， 解得：， 故选A． 5．（2024·浙江台州·二模）王老师在上函数复习课时，利用列表法给出了变量x，y 的三组对应值如下表，你觉得这三点可以同时位于（   ）的图象上． 1 2 4 ….. A．一次函数和反比例函数 B．二次函数和反比例函数 C．一次函数和二次函数 D．一次函数和二次函数和反比例函数 【答案】B 【详解】解：若点和在一次函数的图象上， 设一次函数为，则，解得， ， 把代入得， 令，整理得， ， 存在的值使， 故这三不可以同时位于一次函数的图象上和二次函数的图象上， 若点和在反比例函数的图象上， 设反比例函数为，则， 解得， ， 把代入得，， 故当时， 故这三点可以同时位于二次函数的图象上和反比例函数的图象上． 故选：B． 6．（2024·广东广州·一模）已知． (1)化简A； (2)若点是抛物线上的一点，求A的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解：∵点是抛物线上的一点， ∴ ∴ ∴． 7．（2024·江苏盐城·三模）中，，，则的最小值等于（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，   ， ， 在中，设，则， ， 又， ， ， 在中，， 即， 当时，最小，此时， 的最小值为， 故选：C． 8．（2025·四川绵阳·三模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，P为抛物线上一点，其横坐标为，C为抛物线对称轴上一动点，连接，，当取得最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：当时，则有， ∴， 由可知：对称轴为直线，当时，则有， 解得：， ∴， 连接，，如图所示： 由轴对称可知：，所以， ∴当P、B、C三点共线时，取得最小值， 设直线的解析式为，则有， ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴当时，则有， ∴，即， ∵， ∴； 故选A． 9．（2024·江苏无锡·三模）如图，在四边形中，，对角线、交于点O，且．若，则的最小值为（    ） A．16 B．4 C．9 D．2 【答案】D 【详解】解：如图，作交的延长线于，作于， ∵， ， ∵， 四边形是平行四边形， ，， ， 设，则， 在中，，， ，， ， 在中， ， 当时，，即 ． 故选：D． 10．（2025·辽宁抚顺·一模）如图．点中，点是轴上一动点，以点为旋转中心，将线段逆时针旋转90°，得到线段，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】设，则， 由题知，， ， ， 时，取得最小值． 故答案为：． 11．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与y轴相交于点，且抛物线的对称轴为直线．给出以下4个结论：①；②对于任意实数m，的值不小于2；③若P是对称轴上的一点，则的最小值为；④若点在抛物线上，满足且，则一定有．其中，所有正确结论的序号为 ． 【答案】②③④ 【详解】解：由图象和题意可知：，当时，， ∴， ∴，；故①错误， 当时，函数取得最小值为：， ∴对于任意实数m，， ∴的值不小于2，故②正确； 作点关于对称轴的对称点，连接， 则：， ∴当点在上时，的值最小为的长， ∵， ∴， ∴的最小值为；故③正确； ∵抛物线的开口向上， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵点在抛物线上，满足且， ∴， ∴点离对称轴远， ∴；故④正确； 故答案为：②③④． 12．（2025·福建龙岩·二模）如图1，已知中，，，点为边上一动点（不与点、重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、，与交于点． (1)当时，求的值； (2)试探究猜想、、之间满足的数量关系，并给予证明； (3)在点在边上运动的过程中，、的面积分别记为、，求的最小值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)的最小值为 【详解】（1）解：如图2， ∵， ∴ 由旋转得，， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ （2）猜想：． 证明：如图3，过点作于点， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴； （3）解：如图4，过点作于点，过点作于点，过点作于点， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 设，， ∵，∴，，， 中， ， ∴ ∵ ∴当时，的最小值为． 13．（2025·安徽·中考真题）已知抛物线经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)点和分别在抛物线和上（与原点都不重合）． ①若，且，比较与的大小； ②当时，若是一个与无关的定值，求与的值． 【答案】(1)对称轴是直线 (2)；， 【详解】（1）解：由题意得，将点代入得， ，即， 所以， 故所求抛物线的对称轴是直线． （2）解：①由（1）可知，当时，， 抛物线的解析式为． ∵， ∴ ， ∵抛物线过原点，且点A与原点不重合， ∴， ， 故． ②由题意知，，． ∵， ∴． 因为两条抛物线均过原点，且A，B与原点都不重合，所以，． 故，即． 于是． 依题意知，是与无关的定值． 则，解得． 经检验，当时，是一个与无关的定值，符合题意． 所以，． 14．（2025·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴的正半轴相交于点，二次函数的图象经过点，且与二次函数的图象的另一个交点为，点的横坐标为． (1)求点的坐标及的值． (2)直线与二次函数的图象分别相交于点，与直线相交于点，当时， ①求证：； ②当四边形的一组对边平行时，请直接写出的值． (3)二次函数与二次函数组成新函数，当时，函数的最小值为，最大值为，求的取值范围． 【答案】(1)点的坐标为，的值分别为 (2)①见解析②或 (3) 【详解】（1）解：当时，， 解得， ∴， 将代入，得， ∴， 将，分别代入，得 ， 解得． 答：点的坐标为，的值分别为． （2）①证明：如图， 设直线的解析式为，将，分别代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为， 设点E的坐标为 ∵， ∴， 将代入得， 将代入，得， ∴， ， ∴ ②如图 当时，， ∴， ∴， 即，解得． 当时，， ∴， ∴， 即，解得， ∴或． （3）∵次函数与二次函数组成新函数， ∴， ∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小； 当时，y随x的增大而增大．且当时，取得最小值． ∵当时，函数的最小值为，最大值为， ∴当时，取得最小值为，即， 解得． ∵时，函数的最大值为， ∴当时，函数的最大值为，即， 解得； 当时，， 解得，或（舍去）， ∴， ∵， ∴， 解得，． 15．（2025·山东济南·中考真题）二次函数的图象经过，两点，顶点为G． (1)求二次函数的表达式和顶点G的坐标． (2)如图1，将二次函数的图象沿x轴方向平移个单位长度得到一个新函数的图象，当时，新函数的最大值是8，求n的值． (3)如图2，将二次函数的图象沿直线平移，点A，G的对应点分别为，，连接，，线段与交于点M．若，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)，顶点G的坐标为 (2)或 (3)或 【详解】（1）解：将，代入， ， 解得， ， ， 当时，取最小值，最小值为， 顶点G的坐标为． （2）解：Ⅰ、当抛物线向右平移时： 根据平移规律可得新抛物线解析式为：， 对称轴为直线， ， ， 当时，即时，如图： 直线与抛物线交点M纵坐标最大， 将，代入解析式得， 解得，与矛盾，不合题意； 当时，即时，如图： 直线与抛物线交点N纵坐标最大， 将，代入解析式得， 解得，与矛盾，不合题意； ，符合题意； Ⅱ、当抛物线向左平移时， 根据平移规律可得新抛物线解析式为：， 对称轴为直线， ， ， ∴当时，y取最大值8，代入解析式得： ， 解得：，（舍）， 综上可知，或； （3）解： 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得， 直线的解析式为， 令，则, ∴直线与轴交于， 直线与坐标轴围成的是一个等腰直角三角形， ∴图象沿直线平移时，上下方向与左右方向平移的距离相等， 设向上、向右平移了m个单位， ，， 由平移得，， 四边形是平行四边形， 线段与交于点M， ∴为线段的中点， ， Ⅰ、如图，抛物线沿射线平移， ∵，，G， ∴由勾股定理可得， ， ，且， ∵， ∴， ∴四点共圆，是在以为直径的圆上， 中点， 则， ， 即 解得：或（舍） ∴； Ⅱ、如图，抛物线沿射线平移， 作关于点对称点， 则可同理证明，且， ∵， ∴， ∴四点共圆，在以为直径的圆上， 中点， 则， ， 即 解得：或（舍） ∴； 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题02二次函数解析式精准求解 目录， A题型建模·专项突破 题型一、根据二次函数的定义求参数 题型二、根据二次函数的对称性求函数值…6 题型三、待定系数法求二次函数解析式 17 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、根据二次函数的定义求参数 1.如果函数y=(m-2)xm-2+2x-7是二次函数，则m的取值范围是() A.m=±2 B.m=2 C.m=-2 D.m为全体实数 2.在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+2x-3的图象如图所示，点Ax,y,,Bx2,y2)是该二次函数图 象上的两点，其中-3≤x<x2≤0，则下列结论正确的是() A.片<2 B.y>y2 C.函数y的最小值是-3D.函数y的最小值是-4 3.如图，已知OA=6,OB=8,BC=2,OP与OB、AB均相切，点P是线段AC与抛物线y=ax2的交点， 则a的值为() 1/11 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B A A.4 B.9 c.1i D.5 4.（2025上海虹口一模)已知y=2xm2是二次函数，那么m的值是」 5.如果关于x的函数y=(m+)x+2x-1是二次函数，则m=一 6.已知点A1,a在抛物线y=-2x2+1上，将此抛物线沿着y轴向上平移3个单位，点A随之平移到点的 位置，那么点A的坐标是一 7.若函数y=(k-2)x+3x+1表示y是x的二次函数，则k的值为 8.己知y=(m-1)xm+州+3x-4是二次函数，则实数= 9.(2025江苏苏州一模)定义：如果一个函数的图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该点称为这 个函数图像的“倍值点”，例如，一次函数y=x+1图像的“倍值点”为(1,2)，若关于x的二次函数 =伽-小+x+子n的图像上有唯一的倍值点”，则m 10.已知函数y=(m-1)xm1+5x+3是关于x的二次函数，则m的值是 11.(浙江杭州模拟预测)已知：二次函数y=x+bx-3的图象经过点P(-2,5). (I)求b的值： (2)设P(m,y)、P,(m+1,y)、P(m+2,y)均在该函数图象上， ①当m=4时，乃、、⅓能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由； ②当m取不小于5的任意实数时，片、、⅓一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由. 题型二、根据二次函数的对称性求函数值 1.如图，二次函数y=-x2+2x+m+1的图象交x轴于点Aa,0)和B(b,0),交y轴于点C,图象的顶点为D.下 列四个命题： 2/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ①当x>0时，y>0;②若a=-1,则b=4;③点C关于图象对称轴的对称点为E,点M为x轴上的一 个动点，当m=2时，△MCE周长的最小值为2+210；④图象上有两点P(x,)和Q(x,y2),若 x<1<2,且x+x2>2,则乃>y2, 其中真命题的个数有() B A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线=5x2-25x的顶点为A点，且与轴的正半轴交于点B,P点 是该抛物线对称轴上的一点，则OP+:AP的最小值为() A.3 B.2V5 C.3+23 D.3+25 2 3.如图，抛物线y=-x2+2+1交x轴于A,B两点，交y轴于点C,点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线 的对称轴的对称点为点E,点G,F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为一 4.如图，抛物线y=-x2-3x+10与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,P是抛物线的对称轴上一动点， 连接BP,CP，,则当BP+CP的值最小时，点P的坐标为· 3/11 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5.如图，抛物线y=5x_20 +5与x轴分别交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C,在 3 3 其对称轴上有一动点M,连接MA、MC、AC,则当△MAC的周长最小时，点M的坐标是_ M 6.如图，抛物线y=。x23与x轴交于A,B两点，点P是以点C(0,4)为圆心，1为半径的圆上的动点， 点Q是线段PB的中点，连接OQ,则线段OQ的最小值是一 B 7.如图，直线1：y=-m与y轴交于点A,直线a:y=x+m与y轴交于点B,抛物线y=x2+mx的顶点为C, 且与x轴左交点为D(其中m>0), D (1)当AB=12时，在抛物线的对称轴上求一点P使得△BOP的周长最小： (2)当点C在直线1上方时，求点C到直线1距离的最大值： (3)若把横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”.当m=2022时，求出在抛物线和直线α所围成的封闭图形 4/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 的边界上的“整点”的个数 8.如图，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C.己知点A的坐标是(-1,0) 抛物线的对称轴是直线x=1. 图1 图2 (1)直接写出点B的坐标； (2)在图1中，用无刻度直尺作出C点的对应点D. (3)在图2中，用无刻度直尺在对称轴上作出点P,使PA+PC的值最小.求点P的坐标和PA+PC的最小值. 9.如图，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C.己知点A的坐标是(-1,0)， 抛物线的对称轴是直线x=1. A B O1 备用图 (1)求抛物线解析式和B点坐标； (②)在对称轴上找一点P,使PA+PC的值最小，求点P的坐标和PA+PC的最小值； (3)第一象限内的抛物线上有一动点M,过点M作MN⊥x轴，垂足为N,连接BC交MN于点Q,依题意 补全图形，当MQ+√2CQ的值最大时，求点M的坐标. 题型三、待定系数法求二次函数解析式 1.(2025江苏南通.中考真题)在平面直角坐标系x0y中，五个点的坐标分别为 A-1,5,B(1,2),C(2,1,D3,-1,E(5,5.若抛物线y=ax-2)+k(a>0)经过上述五个点中的三个点，则 满足题意的a的值不可能为() B.9 D. 3 2.(2025广东.中考真题)已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点(c,0),但不经过原点，则该二次函 数的表达式可以是一·（写出一个即可） 5/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.(2025黑龙江大庆·中考真题)定义：若点A(m,n),点A(-m,-n都在同一函数图象上，则称点A和点 A为该函数的一组“奇对称点对”，记为[A,4].规定：【A,A]与A,4为同一组“奇对称点对”.例如：点 B(1,2)和点B(-1,-2)都在一次函数y=2x的图象上，则点B和点B为一次函数y=2x的一组“奇对称点对”， 记为B,B,].下列说法正确的序号为一· ①点A(1,1),点A,(-1,-1,则点A和点A为二次函数y=x2+x-1的一组“奇对称点对”；②反比例函数 y=1有无数组“奇对称点对”；③点C1,2),点C(-1,-2),若C,C]为函数y=ar'+bx-1的一组“奇对称点 对”，则a=2,b=2;④由函数y=-x在x<0范围内的图象与函数y=-x2+2x-k(k>0)在x≥0范围内的 -xx<0) 图象组成一个新的函数图象，将该图象所对应的函数记为w函数，其解析式可写为y= -x2+2x-k(x≥0) .9 若w函数有两组“奇对称点对”，则k的取值范围是0<k< 4 (2025·河南·中考真题)在二次函数y=ax2+bx-2中，x与y的几组对应值如下表所示， -2 4-3-2-10 2 (1)求二次函数的表达式 (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象. (3)将二次函数的图象向右平移n个单位长度后，当0≤x≤3时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5， 请直接写出n的值. 5.(2025四川内江·中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A(-3,0)、 B(1,0)两点，与y轴交于点C(0,3). 6/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A M D 图1 图2 (1)求抛物线的表达式： (2)如图1，过点B的直线：y=x-1与抛物线的另一个交点为点D,点M为抛物线对称轴上的一点，连接 MB、MD,设点M的纵坐标为n,当MB=MD时，求n的值； (3)如图2，点N是抛物线的顶点，点P是x轴上一动点，将顶点N绕点P旋转90°后刚好落在抛物线上的 点H处，请直接写出所有符合条件的点P的坐标. B 综合攻坚·能力跃升 1.(2025上海徐汇一模)二次函数y=m-1)x2+mx+1中m的取值范围是() A.m≠1 B.m=1 C.m>1 D.m<1 2.(2025浙江一模)已知点M(a,a-3)在某函数图象上，则这个函数图象不可能是() (1,2) (1,-2) 7/11 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D.(2,10H (2,-1八N 3. (山东济南模拟预测)若y=m2+mxm-m是二次函数，则m的值等于() A.-1 B.O C.2 D.-1或2 4.(广东云浮.一模)关于x的函数y=(a-b)x2+1是二次函数的条件是() A.a≠b B.a=b C.b=0 D.a=0 5.(2024浙江台州·二模)王老师在上函数复习课时，利用列表法给出了变量x,y的三组对应值如下表， 你觉得这三点可以同时位于()的图象上 X 4 m 2-m -3m2+5m-1 A. 一次函数和反比例函数 B.二次函数和反比例函数 C.一次函数和二次函数 D.一次函数和二次函数和反比例函数 4m+4 m+2 6.（2024广东广州一模)已知A= m+ m (1)化简A; (2)若点(m,0)是抛物线y=x2+2x-3上的一点，求A的值， 7.(2024江苏盐城三模)ABC中，∠BAC=120°，AB+AC=6,则BC的最小值等于() B A.5 B.23 C.33 D.4√5 025四则绳阳三模)如图，抛物线产+x+4与x轴交于A,B两点，P为抛物线上店 坐标为-子，C为抛物线对称轴上一动点，连接AC,PC,当PC+4C取得最小值时，an∠BAC的值为() 4 8/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A OE A B.3 C. D.② 4 9.(2024江苏无锡·三模)如图，在四边形ABCD中，AD∥CB,对角线AC、BD交于点O,且 ∠AOB=120°.若AC+BD=4,则AD+BC的最小值为() B A.16 B.4 C.9 D.2 10.(2025辽宁抚顺一模)如图.点A(3,0)中，点B是x轴上一动点，以点B为旋转中心，将线段B0逆 时针旋转90°，得到线段BC,连接AC,则线段AC的最小值为一· 11.(2025四川资阳中考真题)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴相交于点A0,2),且抛物线的对称轴为直线x=-1.给出以下4个结论：① abc<0;②对于任意实数m,am2+bm+c+a的值不小于2；③若P是对称轴上的一点，则0P+AP的最 小值为2√2；④若点(xy),x2y2)在抛物线上，满足x<x2且x+x2+2>0,则一定有乃<》2.其中，所有 正确结论的序号为· 12.(2025·福建龙岩二模)如图1，已知ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，点D为BC边上一动点（不 与点B、C重合)，连接AD,将线段AD绕点A逆时针旋转120°得到线段AE,连接CE、DE,AC与 9/11 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 DE交于点F. E B 图1 备用图 ()当AE∥BC时，求 DC的值， (2)试探究猜想AC、CD、CE之间满足的数量关系，并给予证明； (3)在点D在BC边上运动的过程中，ADE、△CDE的面积分别记为SADE、S△cDE,求 △4DE的最小值· SACDE 13.(2025安徽.中考真题)已知抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过点(4,0). (1)求该抛物线的对称轴； (2)点A(x,)和B(x2,2)分别在抛物线y=Qx2+bx和y=x2-2x上（A,B与原点都不重合). ①若a=2,且x=5,比较y与⅓的大小： ②当点=点时，若。是一个与x无关的定值，求a与b的值. 14.(2025辽宁中考真题)如图，在平面直角坐标系0y中，三次函数=x-广+1的图象与x维的 正半轴相交于点A,二次函数y,=ax2+c的图象经过点A,且与二次函数片的图象的另一个交点为B,点 B的横坐标为一3 (I)求点A的坐标及a,c的值. ②直线：与二次函数片的图象分别相交于点C,D,与直线B相交于点E,当- 3<m<3时， ①求证：DE=2CE; ②当四边形ACBD的一组对边平行时，请直接写出m的值. 国=次话最万=-+子<小与=次数为=m+之到组成新数，当- ≤x≤t-n时， 函数以的最小值为)。最大植为答，采的取值范围。 10/11