专题04 二次函数图像变换3大题型（专项训练）数学冀教版九年级下册

专题04 二次函数图像变换 目录 A题型建模・专项突破 题型一、平移变换（左右 + 上下组合平移） 1 题型二、对称变换（关于 x 轴、y 轴、顶点对称） 3 题型三、图像变换与解析式互推（逆向求解） 6 B综合攻坚・能力跃升 题型一、平移变换（左右 + 上下组合平移） 1．将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．把抛物线沿直线方向平移个单位后，其顶点在原抛物线上，则是（    ） A． B． C． D． 3．抛物线的函数表达式为，若将轴向上平移2个单位长度，将轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 4．已知二次函数的图像与其向下平移个单位长度所得的图像都与轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则的值为（   ） A．18 B．16 C．20 D．24 5．如图，抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为 ． 6．已知抛物线的解析式为，将其右移2个单位，下移3个单位，则平移后抛物线的顶点坐标为 ． 7．已知二次函数 ． （1） 若点 向下平移1个单位长度，向左平移 个单位长度后，恰好落在该二次函数的图象上，则 的值为 ； （2） 已知该函数图象经过，两个不同的点． 当，，且时，的取值范围是 ． 8．问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合．实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为． 数学建模：如图1，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为，对称轴为直线，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为，落地点为．以为原点，所在直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点正上方的点处起跳，落地点为，点的坐标为，点在轴的正半轴上．求起跳点与落地点的水平距离的长． 9．如图，点在抛物线上，且在抛物线的对称轴右侧． (1)写出抛物线的对称轴，并求a的值． (2)平移此抛物线，使平移后的抛物线对应的函数表达式为，求顶点移动的最短路程． 题型二、对称变换（关于 x 轴、y 轴、顶点对称） 1．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点的坐标为(3，4)，点的坐标为(7，0)，，分别是线段，上的点，以所在直线为对称轴，把作轴对称变换得，点恰好在轴上，若与相似，则的长为 ．（精确到0.1） 2．定义：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点P的坐标为（x，y），当x＜0时，点P的变换点P′的坐标为（﹣x，y）；当x≥0时，点P的变换点P′的坐标为（﹣y，x）． （1）若点A（2，1）的变换点A′在反比例函数y=的图象上，则k=　 　； （2）若点B（2，4）和它的变换点B'在直线y=ax+b上，则这条直线对应的函数关系式为　 　，∠BOB′的大小是　 　度． （3）点P在抛物线y=x2﹣2x﹣3的图象上，以线段PP′为对角线作正方形PMP'N，设点P的横坐标为m，当正方形PMP′N的对角线垂直于x轴时，求m的取值范围． （4）抛物线y=（x﹣2）2+n与x轴交于点C，D（点C在点D的左侧），顶点为E，点P在该抛物线上．若点P的变换点P′在抛物线的对称轴上，且四边形ECP′D是菱形，求n的值． 3．已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点在抛物线上，且与点关于抛物线的对称轴对称，设点的坐标为，当变化时，是否存在常数，使得的面积始终为定值，若存在，求出的值及面积的定值；若不存在，请说明理由． (3)若将该抛物线在间的部分记为图象，并将图象在直线上方的部分沿着直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数的图象，记这个函数的最大值为，最小值为，若．求的取值范围． 题型三、图像变换与解析式互推（逆向求解） 4．在平面直角坐标系中，对于点，如果将其坐标作如下变换：，进而得到点，则称点为点P的“变换点”．例如：点的“变换点”是点，点的“变换点”是点． (1)点的“变换点”的坐标是______； (2)求直线上所有点的“变换点”所形成的图像的函数解析式； (3)若抛物线上存在点的“变换点”，求k的取值范围． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，为线段上面一个动点． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)求周长的最小值，并求出此时点的坐标； (3)在该抛物线上是否存在点使得，如果存在请直接写出所有符合条件的点点的坐标；如果不存在请说明不存在的理由． 6．已知：如图，抛物线与坐标轴分别交于点，，，点P是线段上方抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当的面积有最大值，求点坐标． 7．如图，已知拋物线的顶点为，拋物线与轴交于点，与轴交于C、D两点（点在点D的左侧），点P是抛物线对称轴上的一个动点． (1)求此抛物线的解析式； (2)当时，的取值范围是 ； (3)是抛物线上轴上方的一个动点，当的面积为7时，求点F的坐标； (4)当的值最小时，求点P的坐标． 8．如图，已知抛物线的对称轴l为直线，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点，其中点的坐标为，点的坐标为是对称轴上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当的值最小时，求点的坐标． 9．已知一次函数与二次函数的图象的一个交点坐标为，另一个交点B在y轴上，点P为y轴右侧抛物线上的一动点． (1)求此二次函数的解析式； (2)当点P位于直线上方的抛物线上时，求面积的最大值； (3)当此抛物线在点B与点P之间的部分（含点B和点P）的最高点与最低点的纵坐标之差为9时，请直接写出点P的坐标和的面积． 1．（2024·内蒙古包头·中考真题）将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏南通·中考真题）将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·上海·中考真题）将函数的图像向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为 ． 4．（2024·四川内江·中考真题）已知二次函数的图象向左平移两个单位得到抛物线，点，在抛物线上，则 （填“＞”或“＜”）； 5．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）将抛物线向下平移5个单位长度后，经过点，则 ． 6．（2024·四川巴中·中考真题）若二次函数的图象向右平移1个单位长度后关于轴对称．则下列说法正确的序号为 ．（少选得1分，错选得0分，选全得满分） ① ②当时，代数式的最小值为3 ③对于任意实数，不等式一定成立 ④，为该二次函数图象上任意两点，且．当时，一定有 7．（2024·山西太原·三模）综合与探究 如图1，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C．直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E． (1)求抛物线的解析式及点C的坐标； (2)点D是x轴上方二次函数图象上一动点． ①连接将沿直线翻折，得到，点恰好落在直线l上，请依题意，在图1中补全图形并求直线的解析式； ②如图2，连接，交于点F；求的最大值及此时点D的坐标． 8．（2024·内蒙古·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)若，则_________，通过配方可以将其化成顶点式为_________； (2)已知点在抛物线上，其中．若且，比较与的大小关系，并说明理由； (3)若，将抛物线向上平移4个单位得到的新抛物线与直线交于A，B两点，直线与y轴交于点C，点E为中点，过点E作x轴的垂线，垂足为点F，连接，．求证：． 9．（2025·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线过点，且对称轴为直线，直线与抛物线交于A，B两点，与x轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，直线与y轴交于点D，与直线交于点E．若抛物线与线段有公共点，求h的取值范围； (3)过点C与垂直的直线交抛物线于P，Q两点，M，N分别是，的中点．试探究：当k变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点T，使得总是平分？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由． 10．（2025·吉林长春·中考真题）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点．点、是该抛物线上的两点，横坐标分别为、，已知点，作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，构造四边形． (1)求该抛物线所对应的函数表达式； (2)当两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点的坐标； (3)设抛物线在、两点之间的部分（含、两点）为图象．当时，若图象的最高点与最低点的纵坐标之差为．求的值； (4)连结、，当时，直接写出的取值范围（这里、、均是大于且小于的角）． 11．（2025·江苏镇江·一模）如图①，已知点A，B，C，D在二次函数的图像上，且，分别过点A，B，C，D作x轴的垂线，垂足为F，G，E，H．    (1)若轴，则与的数量关系为 ，连接，直线与直线交于点K，点K的横坐标为 （用含a，b的代数式表示）． (2)若与x轴不平行，试判断与的数量关系是否发生变化，并说明理由； (3)如图②，已知，抛物线的对称轴为直线，且与x轴存在唯一交点，点A在y轴上，且，直线与直线交于点K，且点K恰好落在抛物线的对称轴上． ① 补全图形，求二次函数的解析式； ②交对称轴于点M，若P，Q分别是线段上的点，求四边形周长的最小值． 12．（25-26九年级上·福建·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且对称轴为直线，顶点为．直线与抛物线交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)过点作轴交延长线于点，求点的纵坐标； (3)过点与垂直的直线交抛物线于两点，分别是的中点．试探究：当变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点，使得总是平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二次函数图像变换 目录 A题型建模・专项突破 题型一、平移变换（左右 + 上下组合平移） 1 题型二、对称变换（关于 x 轴、y 轴、顶点对称） 2 题型三、图像变换与解析式互推（逆向求解） 3 B综合攻坚・能力跃升 题型一、平移变换（左右 + 上下组合平移） 1．将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式为，即， 故选：B． 2．把抛物线沿直线方向平移个单位后，其顶点在原抛物线上，则是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】原抛物线可化为，顶点为， 已知直线，当时，；当时，， 一次函数过点，， ， 平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位或向左平移个单位，向下平移个单位， 新的顶点为或， 当顶点为时， ， ， ， ， ； 当顶点为时， ， ， ， ， ，与 矛盾； 故． 故选：． 3．抛物线的函数表达式为，若将轴向上平移2个单位长度，将轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵轴向上平移2个单位，相当于函数图象向下平移2个单位； ∵轴向左平移3个单位，相当于函数图象向右平移3个单位； ∴原函数向右平移3个单位得； 再向下平移2个单位得． 故选：C． 4．已知二次函数的图像与其向下平移个单位长度所得的图像都与轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则的值为（   ） A．18 B．16 C．20 D．24 【答案】B 【详解】解：∵原函数与x轴交于点和，向下平移m个单位后新函数为，且四个交点等距， ∴平移后新函数与x轴交于点和， 将代入新函数：，解得：． 故m的值为16． 故选B． 5．如图，抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为 ． 【答案】27 【详解】解：如图， 抛物线的顶点坐标是， ， 平移后抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， 当时，， ， 关于x轴对称， 平移后阴影部分的面积等于的面积， ， 故答案为：27． 6．已知抛物线的解析式为，将其右移2个单位，下移3个单位，则平移后抛物线的顶点坐标为 ． 【答案】 【详解】解：抛物线的解析式为，将其右移2个单位，下移3个单位， 则平移后抛物线的解析式为， 平移后抛物线的顶点坐标为， 故答案为：． 7．已知二次函数 ． （1） 若点 向下平移1个单位长度，向左平移 个单位长度后，恰好落在该二次函数的图象上，则 的值为 ； （2） 已知该函数图象经过，两个不同的点． 当，，且时，的取值范围是 ． 【答案】 2或6 【详解】解：∵点 向下平移1个单位长度，向左平移 个单位长度， ∴平移后的点的坐标为， 把点代入得： ， 解得：或6． 故答案为：2或6 （2）已知二次函数， 当时，， 当时，， ∵， ∴， 即，解得， ∴的取值范围是． 故答案为： 8．问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合．实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为． 数学建模：如图1，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为，对称轴为直线，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为，落地点为．以为原点，所在直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点正上方的点处起跳，落地点为，点的坐标为，点在轴的正半轴上．求起跳点与落地点的水平距离的长． 【答案】（1），；（2）起跳点与落地点的水平距离的长为 【详解】解：（1）由题意得，抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为60， ∴顶点坐标为， 设抛物线的函数解析式为：， ∵图象过原点， ， 解得， ； （2）依题意，抛物线的形状不变，且点的坐标为， 故第二次的函数图象可以看作由（1）的抛物线向上平移75个单位长度得到的， ∴新的抛物线的解析式为：， 当时，， 解得：，（舍去）， 故起跳点与落地点的水平距离的长为； 9．如图，点在抛物线上，且在抛物线的对称轴右侧． (1)写出抛物线的对称轴，并求a的值． (2)平移此抛物线，使平移后的抛物线对应的函数表达式为，求顶点移动的最短路程． 【答案】(1)对称轴为直线； (2)5 【详解】（1）解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线． 把代入，得， 解得或． ∵点在抛物线的对称轴右侧， ∴． （2）解：∵抛物线是由抛物线先向左平移3个单位，再向下平移4个单位(或先向下平移4个单位，再向左平移3个单位)得到的， ∴根据勾股定理，得顶点移动的最短路程为． 题型二、对称变换（关于 x 轴、y 轴、顶点对称） 1．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点的坐标为(3，4)，点的坐标为(7，0)，，分别是线段，上的点，以所在直线为对称轴，把作轴对称变换得，点恰好在轴上，若与相似，则的长为 ．（精确到0.1） 【答案】2.0或3.3 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为， ，，， 若△， 则， 设， 则，， 即， 解得：， ， ； 若△， 则， 同理：可得：． 故答案为：2.0或3.3． 2．定义：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点P的坐标为（x，y），当x＜0时，点P的变换点P′的坐标为（﹣x，y）；当x≥0时，点P的变换点P′的坐标为（﹣y，x）． （1）若点A（2，1）的变换点A′在反比例函数y=的图象上，则k=　 　； （2）若点B（2，4）和它的变换点B'在直线y=ax+b上，则这条直线对应的函数关系式为　 　，∠BOB′的大小是　 　度． （3）点P在抛物线y=x2﹣2x﹣3的图象上，以线段PP′为对角线作正方形PMP'N，设点P的横坐标为m，当正方形PMP′N的对角线垂直于x轴时，求m的取值范围． （4）抛物线y=（x﹣2）2+n与x轴交于点C，D（点C在点D的左侧），顶点为E，点P在该抛物线上．若点P的变换点P′在抛物线的对称轴上，且四边形ECP′D是菱形，求n的值． 【答案】(1) －2；(2) y=x+，90；(3) m＜0，m=或m=；(4) n=﹣8，n=﹣2，n=﹣3． 【详解】（1）∵A（2，1）的变换点为A′（－1，2），把A′（－1，2）代入y=中，得到k=－2． 故答案为－2． （2）点B（2，4）的变换点B′（﹣4，2），把（2，4），（﹣4，2）代入y=ax+b中． 得到：，解得：，∴． ∵OB2==20，OB′2==20，BB′2==40，∴OB2+OB′2=BB′2，∴∠BOB′=90°． 故答案为y=x+，90． （3）①当m＜0时，点P与点P'关于y轴对称，此时MN垂直于x 轴，所以m＜0． ②当m≥0，PP'⊥x轴时，则点P'的坐标为（m，m），点P的坐标为（m，﹣m）． 将点P（m，﹣m）代入y=x2﹣2x﹣3，得：﹣m=m2﹣2m﹣3． 解得：（不合题意，舍去）． 所以． ③当m≥0，MN⊥x轴时，则PP'∥x轴，点P的坐标为（m，m）． 将点P（m，m）代入y=x2﹣2x﹣3，得：m=m2﹣2m﹣3． 解得：（不合题意，舍去）． 所以． 综上所述：m的取值范围是m＜0，m=或m=． （4）∵四边形ECP'D是菱形，∴点E与点P'关于x轴对称． ∵点E的坐标为（2，n），∴点P'的坐标为（2，﹣n）． ①当点P在y轴左侧时，点P的坐标为（﹣2，﹣n）． 代入y=（x﹣2）2+n，得：﹣n=（﹣2﹣2）2+n，解得：n=﹣8． ②当点P在y轴右侧时，点P的坐标为（﹣n，﹣2）． 代入y=（x﹣2）2+n，得：﹣2=（﹣n﹣2）2+n．解得：n1=﹣2，n2=﹣3． 综上所述：n的值是n=﹣8，n=﹣2，n=﹣3． 3．已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点在抛物线上，且与点关于抛物线的对称轴对称，设点的坐标为，当变化时，是否存在常数，使得的面积始终为定值，若存在，求出的值及面积的定值；若不存在，请说明理由． (3)若将该抛物线在间的部分记为图象，并将图象在直线上方的部分沿着直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数的图象，记这个函数的最大值为，最小值为，若．求的取值范围． 【答案】(1)； (2)，面积为3； (3) 【详解】（1）解：抛物线． 对称轴为直线， ．解得． 则抛物线 （2）解：抛物线与轴交于点， 当时，，则点C坐标为． 点在抛物线上，且与点关于抛物线的对称轴对称， ，解得，则点D坐标为． 抛物线与轴交于、两点， ，解得，则点A坐标为，点B坐标为， 点的坐标为， 在直线上， 设所在直线解析式为， 则 则． 当的面积为定值时， 直线与所在直线平行． ．即． 设，则， 解得，则点P坐标为． 的面积为定值， ． （3）解：抛物线， 抛物线的顶点坐标为． 当时，． 时M的最高点坐标为，最低点坐标为． 关于的对称点坐标为， 关于的对称点坐标为． 当时，N的最高点坐标为，最低点坐标为． 此时，不合题意舍去； 当最高点纵坐标为t时，即，． ，解得． 当 N的最高点纵坐标为t， 即，最低点纵坐标为，即时， ，解得． 综上：． 题型三、图像变换与解析式互推（逆向求解） 4．在平面直角坐标系中，对于点，如果将其坐标作如下变换：，进而得到点，则称点为点P的“变换点”．例如：点的“变换点”是点，点的“变换点”是点． (1)点的“变换点”的坐标是______； (2)求直线上所有点的“变换点”所形成的图像的函数解析式； (3)若抛物线上存在点的“变换点”，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或． 【详解】（1）解： 点的“变换点”的坐标是； （2）解：设直线上的任意点P为． 当时，点为，形成的图像的函数解析式为； 当时，点为，形成的图像的函数解析式为； 所以，所求的函数解析式为； （3）解：如图1， 当时，由得． 若此时二次函数的图像上存在点的“变换点”， 则， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴． 如图2， 当时，由得， 若此时二次函数的图像上存在点的“变换点”， 则， ∴， 解得：（经检验，满足题意）或（不合题意，舍去）， ∴． 综上：或． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，为线段上面一个动点． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)求周长的最小值，并求出此时点的坐标； (3)在该抛物线上是否存在点使得，如果存在请直接写出所有符合条件的点点的坐标；如果不存在请说明不存在的理由． 【答案】(1)， (2)的周长最小为12， (3)存在，或． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点， ∴抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴； 设直线的解析式为，把，代入得， ∴； （2）作点关于的对称点，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵对称， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵点在线段上， ∴， ∴的周长为， ∴当点在线段上时，的周长最小为， 设直线的解析式为， 则：，解得， ∴， 联立，解得； 故； （3）存在； 作点关于轴的对称点，连接，作，则：，则：， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ 当点在直线上方时，作交于点，作轴， 由（2）可知，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同法可得，直线的解析式为， 联立，解得或； ∴； 当点在直线得下方时，延长至点，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，， 由中点坐标公式可知：， 同法可得，直线的解析式为， 联立，解得或； ∴； 综上：或． 6．已知：如图，抛物线与坐标轴分别交于点，，，点P是线段上方抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当的面积有最大值，求点坐标． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于和， 设抛物线的解析式为， 将代入，得， 即，解得， 有， 抛物线的解析式为； （2）, 直线的表达式为: , 将点的坐标代入上式得: ,解得: , 直线的表达式为: , 点的横坐标为,则, 过点作轴的垂线,交线段于点, 则, , 当时, 的值取最大,此时． 7．如图，已知拋物线的顶点为，拋物线与轴交于点，与轴交于C、D两点（点在点D的左侧），点P是抛物线对称轴上的一个动点． (1)求此抛物线的解析式； (2)当时，的取值范围是 ； (3)是抛物线上轴上方的一个动点，当的面积为7时，求点F的坐标； (4)当的值最小时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 把点B的坐标代入中得，解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越小； 在中，当时，， ∵， ∴时的函数值小于时的函数值， ∴当时，的取值范围是； （3）解：在中，当时，解得或， ∴， ∴； ∵的面积为7，且点F在x轴上方， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，解得或， ∴点F的坐标为或； （4）解：如图所示，连接， 由对称性可得， ∴， ∴当P、B、D三点共线时，有最小值，即此时有最小值； 在中，当时，， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴点P的坐标为． 8．如图，已知抛物线的对称轴l为直线，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点，其中点的坐标为，点的坐标为是对称轴上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当的值最小时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于点，点的坐标为， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：连接交抛物线对称轴于点，则此时的值最小， 令，则， 解得或， ∴点， 设直线的解析式为：， ∵点，点， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴当的值最小时，点的坐标为． 9．已知一次函数与二次函数的图象的一个交点坐标为，另一个交点B在y轴上，点P为y轴右侧抛物线上的一动点． (1)求此二次函数的解析式； (2)当点P位于直线上方的抛物线上时，求面积的最大值； (3)当此抛物线在点B与点P之间的部分（含点B和点P）的最高点与最低点的纵坐标之差为9时，请直接写出点P的坐标和的面积． 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）解：∵点在一次函数的图象上， ∴ ∴ ∴一次函数的解析式为， 当 ∴ 又∵、都在二次函数的图像上， ∴ ∴， ∴二次函数的解析式为； （2）解：过作轴交于点，设点坐标为 则， ∴ ∴ ∵ ∴当时，有最大值 （3）解：∵二次函数的解析式为 ∴抛物线的最高点的纵坐标为4 ∵，点为轴右侧，在点与点之间的部分（含点和点）的最高点与最低点的纵坐标之差为9 ∴P点在对称轴的右侧，其纵坐标为 把代入得：， 解得：或（舍） ∴点的坐标为 过P点作平行于y轴，交于D点， 当， 则D的坐标为 ∴ ∴=． 1．（2024·内蒙古包头·中考真题）将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：抛物线向下平移2个单位后， 则抛物线变为， ∴化成顶点式则为 ， 故选：A． 2．（2024·江苏南通·中考真题）将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解∶ 抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线为， ∴新抛物线的顶点坐标为， 故选∶D． 3．（2025·上海·中考真题）将函数的图像向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为 ． 【答案】 【详解】解：∵函数的图像向下平移2个单位， ∴平移后的新函数的解析式为； 故答案为：． 4．（2024·四川内江·中考真题）已知二次函数的图象向左平移两个单位得到抛物线，点，在抛物线上，则 （填“＞”或“＜”）； 【答案】 【详解】解：， ∵二次函数的图象向左平移两个单位得到抛物线， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴， 故答案为：． 5．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）将抛物线向下平移5个单位长度后，经过点，则 ． 【答案】2 【详解】解：抛物线向下平移5个单位长度后得到， 把点代入得到，， 得到， ∴， 故答案为：2 6．（2024·四川巴中·中考真题）若二次函数的图象向右平移1个单位长度后关于轴对称．则下列说法正确的序号为 ．（少选得1分，错选得0分，选全得满分） ① ②当时，代数式的最小值为3 ③对于任意实数，不等式一定成立 ④，为该二次函数图象上任意两点，且．当时，一定有 【答案】①③④ 【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴为直线， 而二次函数的图象向右平移1个单位长度后关于轴对称． ∴， ∴，故①符合题意； ∴， ∴ ， ， ∵， ∴当时，取最小值，故②不符合题意； ∵， ∴对称轴为直线， ∵， 当时，函数取最小值， 当时，函数值为， ∴， ∴对于任意实数，不等式一定成立，故③符合题意； 当时， ∵， ∴， ∴， 当时，满足， ∴， ∴， 当时，不满足，不符合题意，舍去，故④符合题意； 综上：符合题意的有①③④； 故答案为：①③④． 7．（2024·山西太原·三模）综合与探究 如图1，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C．直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E． (1)求抛物线的解析式及点C的坐标； (2)点D是x轴上方二次函数图象上一动点． ①连接将沿直线翻折，得到，点恰好落在直线l上，请依题意，在图1中补全图形并求直线的解析式； ②如图2，连接，交于点F；求的最大值及此时点D的坐标． 【答案】(1)，点 (2)①   ②的最大值为，点D的坐标为 【详解】（1）由题意得： ∴解得： 则抛物线的表达式为：， 当时，， ∴点； （2）①由抛物线的表达式知，其对称轴为直线 设交抛物线的对称轴于点，如图， 设点、的坐标分别为：， 则，， ， 解得： ， 则点， 设直线的解析式为 把点、的坐标代入得， ，解得， ∴直线的表达式为：； ②过点作轴的平行线交的延长线于点，过点作轴的平行线交于点， 则 ∴， 由点的坐标得，直线的表达式为： 当时，， ∴点 ，即， 设点则点则 则 ， ∴的最大值为，这时，点D的坐标为． 8．（2024·内蒙古·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)若，则_________，通过配方可以将其化成顶点式为_________； (2)已知点在抛物线上，其中．若且，比较与的大小关系，并说明理由； (3)若，将抛物线向上平移4个单位得到的新抛物线与直线交于A，B两点，直线与y轴交于点C，点E为中点，过点E作x轴的垂线，垂足为点F，连接，．求证：． 【答案】(1)2， (2)，理由见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，且， ∴将点代入得：， 解得， 则化成顶点式为， 故答案为：2，． （2）解：，理由如下： ∵抛物线经过点， ∴， ∵， ∴，即， 二次函数的对称轴为直线， ， ∴， ∴， 又∵， ∴点到对称轴的距离大于到对称轴的距离， 又∵抛物线的开口向上， ∴． （3）证明：若，则， 将向上平移4个单位得到新抛物线， ∵抛物线与直线交于点， ∴设点的坐标为， 将代入得：， ∴， ∵点为中点， ∴， 轴于点， ， ∴， ， ∴． 9．（2025·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线过点，且对称轴为直线，直线与抛物线交于A，B两点，与x轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，直线与y轴交于点D，与直线交于点E．若抛物线与线段有公共点，求h的取值范围； (3)过点C与垂直的直线交抛物线于P，Q两点，M，N分别是，的中点．试探究：当k变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点T，使得总是平分？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)抛物线的对称轴上存在，使得总是平分． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，且对称轴为直线， ∴，解得：， ∴； （2）当时，则：， ∴当，，当时，， ∴， ∵， ∴顶点坐标在直线上移动， ∵与线段有公共点， ∴联立，整理，得：， ∴当，即：时，满足题意， 将从开始向右移动，直至抛物线与线段只有一个交点为时，与线段均有公共点， ∴当过点时，， 解得：或， ∴当时，抛物线与线段有公共点； （3）存在； ∵， ∴当时，， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴点在抛物线的对称轴上， ∵过点，且与直线垂直， ∴，设直线的解析式为：， 在直线上取点，在上取点，使，作轴，轴，则：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴直线的解析式为：，即：， 联立，整理，得：， ∴，， ∵为的中点， ∴， 联立， 同理可得：， 假设存在点，使得总是平分，如图，作， ∵平分， ∴ ∴， ∴， 设，则：， 解得： ∴抛物线的对称轴上存在，使得总是平分． 10．（2025·吉林长春·中考真题）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点．点、是该抛物线上的两点，横坐标分别为、，已知点，作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，构造四边形． (1)求该抛物线所对应的函数表达式； (2)当两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点的坐标； (3)设抛物线在、两点之间的部分（含、两点）为图象．当时，若图象的最高点与最低点的纵坐标之差为．求的值； (4)连结、，当时，直接写出的取值范围（这里、、均是大于且小于的角）． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【详解】（1）将点代入中得： 解得：， ∴． （2）根据抛物线对称轴公式可知： 抛物线的对称轴为， ∵、关于对称轴对称，且横坐标分别为、， ∴、中点在对称轴上， ∴， ， 解得：， ∵点是该抛物线上的点， 将代入抛物线解析式得， ， 即 设是A关于的对称点，则： 解得，， ∴点坐标为． （3）∵抛物线顶点为，开口向上，，， 当时，包含，最低点为。 当时，，最高点为A，纵坐标差为：， 解得：； 当时，，最高点为B，纵坐标差为： ， 解得：． 综上，m的值为或． （4）∵点是点关于点的对称点，点是点关于点的对称点，结合题意可知： ∴，，，， ∴，，，， 如图，四边形是平行四边形，当点在之间，的左侧，过点作 ∴ ∴ ∴ 当点在上时， ∴ ∴ 解得， 当点在上时 ∴， ∴， ∴， 解得，． 其中，，时，如图，经检验符合， 综上，． 11．（2025·江苏镇江·一模）如图①，已知点A，B，C，D在二次函数的图像上，且，分别过点A，B，C，D作x轴的垂线，垂足为F，G，E，H．    (1)若轴，则与的数量关系为 ，连接，直线与直线交于点K，点K的横坐标为 （用含a，b的代数式表示）． (2)若与x轴不平行，试判断与的数量关系是否发生变化，并说明理由； (3)如图②，已知，抛物线的对称轴为直线，且与x轴存在唯一交点，点A在y轴上，且，直线与直线交于点K，且点K恰好落在抛物线的对称轴上． ① 补全图形，求二次函数的解析式； ②交对称轴于点M，若P，Q分别是线段上的点，求四边形周长的最小值． 【答案】(1)， (2)不发生变化；理由见解析 (3)①，图见解析；② 【详解】（1）解：如下图，    设，，，， ∵轴， ∴点A与B，C与D关于该抛物线的对称轴对称， ∴， ∴，即； ∵点A与B，C与D关于该抛物线的对称轴对称， ∴直线与直线的交点K在该抛物线的对称轴上， ∴点K的横坐标为． 故答案为：，； （2）不发生变化，证明如下： 如下图，过点A，C分别作的垂线，垂足为S，T，    设，，，， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵， ∴， ∴，即； （3）①如下图，    由，解得， ∴； ②由①图，轴， ∴， ∵， ∴，， 作点A关于的对称点，作点M关于的对称点，连接，    则即为四边形周长的最小值， ∵， ∴， ∴四边形周长的最小值为． 12．（25-26九年级上·福建·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且对称轴为直线，顶点为．直线与抛物线交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)过点作轴交延长线于点，求点的纵坐标； (3)过点与垂直的直线交抛物线于两点，分别是的中点．试探究：当变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点，使得总是平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【详解】（1）解：∵抛物线过点，且对称轴为直线， ∴， 解得， ∴该抛物线表达式为； （2）解：由题作图可得： ∵ ∴顶点， 设，， 联立与， 得， 整理可得： ∴，， 直线， 当时，， ∴点的纵坐标为； （3）解：存在， ∵把代入直线可得：， 解得：， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴点在抛物线的对称轴上， ∵过点，且与直线垂直， ∴直线的解析式为， 即， 联立， 整理，得， ∴，， ∵为的中点， ∴， 同理可得， 如图，作于，于， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 设，则， 解得， ∴抛物线的对称轴上存在，使得总是平分 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $